2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题05函数的单调性与最值(教学案)含解析

2019年高考数学（文）一轮复习精品资料
1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式；
2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围；
3.与导数交汇命题，以解答题形式考查．
1．函数单调性的定义
增函数减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区
间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0
时，就称函数y＝f(x)在
区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0
时，就称函数y＝f(x)在区
间M上是减函数
图象
自左向右看图象是上升
的
自左向右看图象是下降
的
2.单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．
【特别提醒】
1．函数的单调性是局部性质
函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．
2．函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函
数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；
如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．
3．单调区间的表示
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
高频考点一 确定函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间：
(1)y ＝－x 2
＋2|x |＋1；(2)y ＝log 12
(x 2
－3x ＋2)．
解 (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋2x ＋1，x ≥0，
－x 2
－2x ＋1，x <0，
即y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－
x －2
＋2，x ≥0，－x ＋
2
＋2，x <0.
画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． (2)令u ＝x 2
－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12 u 与u ＝x 2
－3x ＋2的复合函数．
令u ＝x 2
－3x ＋2>0，则x <1或x >2.
∴函数y ＝log 12 (x 2
－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
又∵u ＝x 2
－3x ＋2的对称轴x ＝32
，且开口向上，
∴u ＝x 2
－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12
u 在(0，＋∞)上是单调减函数，
∴y ＝log 12 (x 2
－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
【变式探究】(1)函数f (x )＝log 12(x 2
－4)的单调递增区间为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)
(2)试讨论函数f (x )＝
ax
x －1
(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．
(2)解 法一 设－1<x 1<x 2<1，
f (x )＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1＋1x －1，
f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1＋1x 2－1
＝
a （x 2－x 1）
（x 1－1）（x 2－1）
，
由于－1<x 1<x 2<1，
所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，
故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上递减；
当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上是增函数．
法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′
（x －1）2
＝
a （x －1）－ax （x －1）2＝－a
（x －1）
2.
当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上递增. 【方法规律】确定函数单调性的方法
(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法． (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”． (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．
【变式探究】 判断函数f (x )＝x ＋a x
(a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明． 解 f (x )在(0，a ]上是减函数，在[ a ，＋∞)上是增函数． 证明如下：
法一 设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝
x 1－x 2
x 1x 2(x 1x 2
－a )．
当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数． 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数f (x )＝x ＋a x
(a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．
高频考点二 函数的最值
例2、(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，
－x 2＋2x ，x ≤1，
则f (f (3))＝________，函数f (x )的最大值是________．
(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a
x
，x ∈[1，＋∞)且a ≤1.
①当a ＝1
2
时，求函数f (x )的最小值；
②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．
(1)解析 ①由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，
－x 2＋2x ，x ≤1.
所以f (3)＝log 1
33＝－1，
则f (f (3))＝f (－1)＝－3，
②当x >1时，f (x )＝log 1
3
x 是减函数，得f (x )<0.
当x ≤1时，f (x )＝－x 2
＋2x ＝－(x －1)2
＋1在(－∞，1]上单调递增，则f (x )≤1，综上可知，f (x )的最大值为1.
答案 －3 1
(2)解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋1
2x ＋2，设1≤x 1＜x 2，
则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2，
∵1≤x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，2x 1x 2＞2， ∴0＜12x 1x 2＜12，1－1
2x 1x 2
＞0，
∴f (x 2)－f (x 1)＞0，f (x 1)＜f (x 2)． ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72
.
②当x ∈[1，＋∞)时，x 2＋2x ＋a
x
>0恒成立．
则x 2
＋2x ＋a >0对x ∈[1，＋∞)上恒成立． 即a >－(x 2
＋2x )在x ∈[1，＋∞)上恒成立．
令g (x )＝－(x 2
＋2x )＝－(x ＋1)2
＋1，x ∈[1，＋∞)， ∴g (x )在[1，＋∞)上是减函数，g (x )max ＝g (1)＝－3. 又a ≤1，
∴当－3<a ≤1时，f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立． 故实数a 的取值范围是(－3，1]．
【方法规律】求函数最值(值域)的五种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
【变式探究】 如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥1
2时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么
函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．－1
高频考点三 函数单调性的应用
例3、已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c >a >b
B ．c >b >a
C ．a >c >b
D ．b >a >c 答案 D
解析 ∵f (x )的图象关于x ＝1对称，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又由已知可得f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，即f (2)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12>f (e)．选D. 【变式探究】(1)如果函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么
a 的取值范围是________．
(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________． 解析 (1)对任意x 1≠x 2，都有
f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
>0.
所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，
解得32
≤a <2.
故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，2. (2)∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增． ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝0. 故原不等式f (log 1
9
x )>0可化为
f (lo
g 1
9
x )>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12或f (log 19
x )>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
，
∴log 19x >12或－12<log 1
9x <0，
解得0<x <1
3
或1<x <3.
所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <1
3或1<x <3.
答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 (2)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |0<x <13或1<x <3 【方法规律】(1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．
1. （2018年全国卷Ⅱ）若在
是减函数，则的最大值是
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，所以由
得
，
因此
，从而的最大值为。

2. （2018年江苏卷）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧
（P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求
均在线段
上，
均在圆弧上．设OC 与MN 所成
的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大
【解析】
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．
当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
则．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
3. （2018年全国III卷）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）切线方程是
（2）证明见解析
【解析】（1），．
因此曲线在点处的切线方程是．
（2）当时，．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以．因此．
1.[2017山东,10,5分][文]若函数e x f(x)(e=
2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是 ()
A.f(x)=2-x
B.f(x)=x2
C.f(x)=3-x
D.f(x)=cos x
【答案】A【解析】对于选项A,f(x)=2-x=()x, 则e x f(x)=e x·()x=()x,∵>1,∴e x f(x)在R上单调递
增,∴f(x)=2-x具有M性质.对于选项B,f(x)=x2,e x f(x)=e x x2,[e x f(x)]'=e x(x2+2x),令e x(x2+2x)>0,得x>0或x<-2;令
e x (x 2+2x )<0,得-2<x<0,∴函数e x
f (x )在(-∞,-2)和(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,∴f (x )=x 2
不具有M 性质.对于选项C,f (x )=3-x =()x ,则e x f (x )=e x ·()x =()x ,∵<1,∴y=()x 在R 上单调递减,∴f (x )=3-x
不具有M 性质.对于选项D,f (x )=cos x ,e x
f (x )=e x cos x ,则[e x f (x )]'=e x (cos x-sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )=e x
cos x 在R 上不是单调递增的,所以f (x )=cos x 不具有M 性质.
2.[2017天津,6,5分][文]已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a=-f (log 2 ),b=f (log 2 4.1),c=f (20.8
),则a ,b ,c 的大小关系为 ( )
A .a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b
【答案】C 【解析】由f (x )是奇函数可得,a=-f (log 2 )=f (log 25),∵log 25>log 2 4.1>log 2 4=2>20.8
,且函数f (x )是增函数,∴c<b<a.
3.[2017全国卷Ⅱ,14,5分][文]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=2x 3
+x 2,则
f (2)= .
【答案】12 【解析】依题意得,f (-2)=2×(-2)3
+(-2)2
=-12,由函数f (x )是奇函数,得f (2)=-f (-2)=12. 1.【2016高考北京文数】已知(2,5)A ，(4,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（ ） A.−1 B.3 C.7 D.8 【答案】C
【解析】由题意得，AB ：51
1(4)2924
y x y x --=
-⇒=-+-， ∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤⋅-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7，故选C. 2.【2016高考北京文数】下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（ ） A.1
1y x
=
- B.cos y x = C.ln(1)y x =+ D.2x y -= 【答案】D
【解析】由1
2()2
x x y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D.
3.【2016高考上海文科】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，
则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A 、①和②均为真命题
B 、①和②均为假命题
C 、①为真命题，②为假命题
D 、①为假命题，②为真命题
【答案】D
4.【2016高考北京文数】函数()(2)1x f x x x =
≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】1()11121
f x x =+≤+=-，即最大值为2. 5.【2016高考天津文数】已知函数2(43)3,0()(01)lo
g (1)1,0
a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23
x f x =-
恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 【答案】12[,)33
【解析】由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程|()|23
x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以232,3a a <<解得，因此a 的取值范围是12[,)33. 6.【2016高考上海文科】
已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x
+.
（1）当 1a =时，解不等式()f x >1；
（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值； （3）设a >0，若对任意t ∈1
[,1]2
，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}|01x x <<．（2）0a =或14-
．（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】
（1）由21log 11x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得112x +>，解得(0,1)x ∈．
（2）()2221log log 0a x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
有且仅有一解， 等价于211a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解． 当0a =时，1x =，符合题意；
当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-
． 综上，0a =或14
-． （3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．
函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．
()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
成立． 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 所以12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23
a ≥． 故a 的取值范围为2
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．
1.【2015高考四川，文15】已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2
＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212
()()g x g x x x --，现有如下命题： ①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；
②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；
③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；
④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n .
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).
【答案】①④
【解析】对于①，因为f '(x )＝2x
ln 2＞0恒成立，故①正确
对于②，取a ＝－8，即g '(x )＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误
对于③，令f '(x )＝g '(x )，即2x ln 2＝2x ＋a
记h (x )＝2x ln 2－2x ，则h '(x )＝2x (ln 2)2－2
存在x 0∈(0，1)，使得h (x 0)＝0，可知函数h (x )先减后增，有最小值.
因此，对任意的a ，m ＝n 不一定成立.③错误
对于④，由f '(x )＝－g '(x )，即2x ln 2＝－2x －a
令h (x )＝2x ln 2＋2x ，则h '(x )＝2x (ln 2)2＋2＞0恒成立，
即h (x )是单调递增函数，
当x →＋∞时，h (x )→＋∞
当x →－∞时，h (x )→－∞
因此对任意的a ，存在y ＝a 与函数h (x )有交点.④正确
2.【2015高考陕西，文10】设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，(
)2a b q f +=，1(()())2
r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>
【答案】C 【解析】1()ln ln 2p f ab ab ab ===；()ln 22a b a b q f ++==；11(()())ln 22
r f a f b ab =+= 因为2a b ab +>，由()ln f x x =是个递增函数，()()2
a b f f ab +> 所以q p r >=，故答案选C 3.【2015高考浙江，文12】已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩
，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值
是 ． 【答案】1
;2662
--
4.【2015高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数x
ax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；
（2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由.
【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增.
【解析】（1）当0=a 时，x
x f 1)(=，显然是奇函数； 当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ， 所以此时)(x f 是非奇非偶函数.
（2）设]2,1[22∈<∀x x ， 则]1)()[())(()()(2121212112212121x x x x a x x x x x x x x x x a x f x f -+-=-++-=- 因为]2,1[21∈<x x ，所以021<-x x ，4221<+<x x ，4121<<x x ， 所以12)(221<+<x x a ，11412
1<<x x ， 所以01)(2
121>-+x x x x a ， 所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <，
故函数)(x f 在]2,1[上单调递增.。