求ln2的近似值——兼谈两道高考题的解法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求 ln2 的近似值
——兼谈两道高考题的解法
题 11-118 (2014 年高考课标全国卷 II 理科第 21 题)已知函数 f (x) ex ex 2x ．
(1)讨论 f x 的单调性； (2)设 g x f 2x 4bf x ，当 x 0 时， g x 0 ，求 b 的最大值；
(2)若 f (x) g(x) ，则由定积分的定义可得
b f (x)dx
b
g(x)dx ．
a
a
所以可把恒等式(11-23)两边在相同的区间上同时求定积分，再由定积分的基本性质，可
得
1
1
1
1
1
21dx 2 xdx 2 x 2dx 2 x ndx 2
1 dx
0
0
0
0
0 1 x
2
当 b 2 时，得 g(ln 2) 3 4 2 6 ln 2 0, ln 2 8 2 3 0.6928 ．
2
12
当 b 3 2 1 时 ， ln(b 1 b2 2b) ln 2 4
，所以
g(ln 2) 3 2 2 (3 2 2) ln 2 0, ln 2 18 2 0.6934 ．
2
28
所以 ln2 的近似值(精确到 0.001)为 0.693．
题 11-118(3)的解法不易想到：为何要令 b 3 2 1？ 4
所以笔者欲另辟蹊径——直接求 ln2 的近似值！并且这种方法在前一年的高考题中可以 找到：
题 11-119 (2013 年高 考福建 卷理科 第 15 题)当 x R , x 1 时， 有如下 表达式 ：
2
21 3
1 3
1 3
3
1 5
1 3
5
1 7
1 3
7
1 9
1 3
9
1 11
1 3
11
1 2n 1
1 3
2 n 1
(11-28)
所以
ln
2
2
1
1
1
3
1
1
5
842
0.693
(11-29)
3 3 3 5 3 1215
当 b 2 时，若 2 ex +ex 2b 2 即 0 x ln(b 1 b2 2b) ，得 g(x) 0 ，所
以当 0 x ln(b 1 b2 2b) 时， g(x) 0 ．
所以 b 的最大值是 2． (3)由(2)得 g(ln 2) 3 2 2b 2(2b 1) ln 2 ．
(1)对恒等式
的证明：
1 x x2 xn 1 ( xR, x 1) 1 x
(11-23)
1 x x2 xn lim(1 x x2 xn ) n
lim 1
x n1
1 lim xn1 n
1
( xR, x 1)
n 1 x
1 x 1 x
现行数学教材(俗称新课标教材)的前一轮教材(俗称大纲教材)中的全日制普通高级中学 教科书《数学·第三册(选修 II)》(2006 年人民教育出版社)第 100-101 页的阅读材料讲述的 就是无穷递缩等比数列各项的和的公式，该公式的实质就是恒等式(11-23)．
t1dx t xdx t x2dx t x ndx t 1 dx(t 0)
0
0
0
0
0 1 x
0
1dx
0 xdx
0 x 2dx
0 x ndx
0
1 dx(t 0)
t
t
t
t
t 1 x
由它们还可得
ln(1 t) t t 2 t3 t n (t 0)
1 x x2 xn 1 ． 1 x
1
1
1
1
1
两边同时积分得： 21dx 2 xdx 2 x 2dx 2 x ndx 2
1 dx ．
0
0
0
0
0 1 x
从而得到如下等式：1 1 1 ( 1)2 1 ( 1)3 1 ( 1) n1 ln 2 ．
22 2 3 2
2 0
C1n
xdx
2 0
C2n
x
2dx
2 0
Cnnx
ndx
2 (1 x) ndx
0
从而得到如下等式：
C C C C 0 1 1 1 (1 )2 1 2 (1 )3 1
n (1 ) n1 1 [(3 ) n1 1]
n2 2 n 2 3 n 2
n 1 n 2
n 1 2
为了帮助读者的理解，下面对这道高考题作两点说明：
(3)已知1.4142 2 1.4143 ，估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)．
答案 (1)由均值不等式，得 f (x) ex +ex 2 0 ，函数 f x 在 (, ) 上单调递
增．
(2) g x e2x e2x 4b(ex ex ) (8b 4)x, g x 2(ex +ex 2)(ex +ex 2b 2)． 当 b 2 时， g(x) 0 (当且仅当 x 0 时取等号)，可得 g x 0(x 0) 恒成立．
ln 1 t 1t
2 t
t3 3
பைடு நூலகம்
t 2n1 2n 1
(t
R)
(11-27)
在式(11-25)中令 t 1，得结论
ln2 1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
但由此式计算 ln2 的近似值(精确到 0.001)，就要计算该式右边的很多项．
在式(11-27)中令 t 1 ，得 3
ln
n 1 2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C C C C 0 1 1
n2 2
1 n
(1 2
)2
1 3
2 n
(
1 2
)3
1 n 1
n
n
(1 2
)
n1
．
解
n
1
[( 1
3 2
) n 1
1]
．由
C0n1
C1n
x
C2n
x2
Cnnx
n
(1
x)
n
，两边同时积分得
1
1
1
1
1
2 0
C0n1dx
23
n
ln(1 t) t t 2 t3 t n (t 0)
23
n
所以
ln(1 t) t t 2 t3 t n (t R)
(11-25)
23
n
所以
ln(1 t) t t 2 t3 (1)n t n (t R)
(11-26)
23
n
式(11-26)-式(11-25)，得
即
ln 2=1 1 1 ( 1)2 1 ( 1)3 1 ( 1) n
(11-24)
22 2 3 2
n2
由等式(11-24)可求出 ln2 的近似值(精确到 0.001)，但计算等式(11-24)右边的项数会较
多．下面再来用题 11-119 的方法探求 ln2 的较快求法．
由恒等式(11-23)，可得
——兼谈两道高考题的解法
题 11-118 (2014 年高考课标全国卷 II 理科第 21 题)已知函数 f (x) ex ex 2x ．
(1)讨论 f x 的单调性； (2)设 g x f 2x 4bf x ，当 x 0 时， g x 0 ，求 b 的最大值；
(2)若 f (x) g(x) ，则由定积分的定义可得
b f (x)dx
b
g(x)dx ．
a
a
所以可把恒等式(11-23)两边在相同的区间上同时求定积分，再由定积分的基本性质，可
得
1
1
1
1
1
21dx 2 xdx 2 x 2dx 2 x ndx 2
1 dx
0
0
0
0
0 1 x
2
当 b 2 时，得 g(ln 2) 3 4 2 6 ln 2 0, ln 2 8 2 3 0.6928 ．
2
12
当 b 3 2 1 时 ， ln(b 1 b2 2b) ln 2 4
，所以
g(ln 2) 3 2 2 (3 2 2) ln 2 0, ln 2 18 2 0.6934 ．
2
28
所以 ln2 的近似值(精确到 0.001)为 0.693．
题 11-118(3)的解法不易想到：为何要令 b 3 2 1？ 4
所以笔者欲另辟蹊径——直接求 ln2 的近似值！并且这种方法在前一年的高考题中可以 找到：
题 11-119 (2013 年高 考福建 卷理科 第 15 题)当 x R , x 1 时， 有如下 表达式 ：
2
21 3
1 3
1 3
3
1 5
1 3
5
1 7
1 3
7
1 9
1 3
9
1 11
1 3
11
1 2n 1
1 3
2 n 1
(11-28)
所以
ln
2
2
1
1
1
3
1
1
5
842
0.693
(11-29)
3 3 3 5 3 1215
当 b 2 时，若 2 ex +ex 2b 2 即 0 x ln(b 1 b2 2b) ，得 g(x) 0 ，所
以当 0 x ln(b 1 b2 2b) 时， g(x) 0 ．
所以 b 的最大值是 2． (3)由(2)得 g(ln 2) 3 2 2b 2(2b 1) ln 2 ．
(1)对恒等式
的证明：
1 x x2 xn 1 ( xR, x 1) 1 x
(11-23)
1 x x2 xn lim(1 x x2 xn ) n
lim 1
x n1
1 lim xn1 n
1
( xR, x 1)
n 1 x
1 x 1 x
现行数学教材(俗称新课标教材)的前一轮教材(俗称大纲教材)中的全日制普通高级中学 教科书《数学·第三册(选修 II)》(2006 年人民教育出版社)第 100-101 页的阅读材料讲述的 就是无穷递缩等比数列各项的和的公式，该公式的实质就是恒等式(11-23)．
t1dx t xdx t x2dx t x ndx t 1 dx(t 0)
0
0
0
0
0 1 x
0
1dx
0 xdx
0 x 2dx
0 x ndx
0
1 dx(t 0)
t
t
t
t
t 1 x
由它们还可得
ln(1 t) t t 2 t3 t n (t 0)
1 x x2 xn 1 ． 1 x
1
1
1
1
1
两边同时积分得： 21dx 2 xdx 2 x 2dx 2 x ndx 2
1 dx ．
0
0
0
0
0 1 x
从而得到如下等式：1 1 1 ( 1)2 1 ( 1)3 1 ( 1) n1 ln 2 ．
22 2 3 2
2 0
C1n
xdx
2 0
C2n
x
2dx
2 0
Cnnx
ndx
2 (1 x) ndx
0
从而得到如下等式：
C C C C 0 1 1 1 (1 )2 1 2 (1 )3 1
n (1 ) n1 1 [(3 ) n1 1]
n2 2 n 2 3 n 2
n 1 n 2
n 1 2
为了帮助读者的理解，下面对这道高考题作两点说明：
(3)已知1.4142 2 1.4143 ，估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)．
答案 (1)由均值不等式，得 f (x) ex +ex 2 0 ，函数 f x 在 (, ) 上单调递
增．
(2) g x e2x e2x 4b(ex ex ) (8b 4)x, g x 2(ex +ex 2)(ex +ex 2b 2)． 当 b 2 时， g(x) 0 (当且仅当 x 0 时取等号)，可得 g x 0(x 0) 恒成立．
ln 1 t 1t
2 t
t3 3
பைடு நூலகம்
t 2n1 2n 1
(t
R)
(11-27)
在式(11-25)中令 t 1，得结论
ln2 1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
但由此式计算 ln2 的近似值(精确到 0.001)，就要计算该式右边的很多项．
在式(11-27)中令 t 1 ，得 3
ln
n 1 2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C C C C 0 1 1
n2 2
1 n
(1 2
)2
1 3
2 n
(
1 2
)3
1 n 1
n
n
(1 2
)
n1
．
解
n
1
[( 1
3 2
) n 1
1]
．由
C0n1
C1n
x
C2n
x2
Cnnx
n
(1
x)
n
，两边同时积分得
1
1
1
1
1
2 0
C0n1dx
23
n
ln(1 t) t t 2 t3 t n (t 0)
23
n
所以
ln(1 t) t t 2 t3 t n (t R)
(11-25)
23
n
所以
ln(1 t) t t 2 t3 (1)n t n (t R)
(11-26)
23
n
式(11-26)-式(11-25)，得
即
ln 2=1 1 1 ( 1)2 1 ( 1)3 1 ( 1) n
(11-24)
22 2 3 2
n2
由等式(11-24)可求出 ln2 的近似值(精确到 0.001)，但计算等式(11-24)右边的项数会较
多．下面再来用题 11-119 的方法探求 ln2 的较快求法．
由恒等式(11-23)，可得