北京市2017届高三数学(文)一轮复习 3.6 简单的三角恒等变换(课时测试) 含解析

高三一轮复习 3.6 简单的三角恒等变换（检测教师版)
时间:50分钟总分：70分
班级：姓名:
一、选择题（共6小题，每题5分，共30分)
1。

错误!的值为( )
A．1 B．－1 C.错误! D．－错误!
【答案】D
【解析】原式＝错误!＝错误!＝－错误!.故选D.
2．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝错误!，则cos2α＝（) A．－错误!B．－错误!C。

错误!
D.错误!
【答案】A
【解析】∵sinα＋cosα＝错误!，∴（sinα＋cosα）2＝错误!，∴2sinαcosα＝－错误!,即sin2α＝－错误!。

又∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝错误!〉0，∴2kπ＋错误!<α〈2kπ＋错误!π（k∈Z）。

∴4kπ＋π〈2α〈4kπ＋错误!π（k∈Z）。

∴2α为第三象限角。

∴cos2α＝－错误!＝－错误!.故选A. 3．函数f(x）＝sin x－cos错误!的值域为（)
A．－2，2］B．－错误!，错误!] C．－1，1］
D。

错误!
【答案】B
【解析】f（x)＝sin x－错误!cos x＋错误!sin x＝错误!错误!＝错误!sin错误!.x∈R，所以x－错误!∈R，所以f（x)∈－错误!,错误!],故选B。

4．已知sin 2α＝错误!,则cos2错误!等于（）
A.错误!B。

错误! C.错误!
D.错误!
【答案】A
【解析】cos2错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，故选A。

5．已知函数f(x)＝sin x＋2错误!cos2错误!，设a＝f错误!,b＝f错误!,c＝f错误!，则a,b，c的大小关系是（)
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】B
【解析】f（x）＝sin x＋2错误!·错误!＝sin x＋错误!cos x＋错误!＝2sin错误!＋错误!，
因为函数f(x)在错误!上单调递增，所以f错误!＜f错误!，而c＝f错误!＝2sin错误!＋错误!＝
2sin错误!＋错误!＝f（0）＜f错误!，所以c＜a＜b.故选B。

6．若f（x）＝3sin x－4cos x的一条对称轴方程是x＝a,则a的取值范围可以是（）
A.错误!
B.错误!C。

错误! D.错误!
【答案】D
【解析】因为f（x）＝3sin x－4cos x＝5sin(x－φ)错误!，则sin(a－φ）＝±1，
所以a－φ＝kπ＋错误!，k∈Z，即a＝kπ＋错误!＋φ，k∈Z,而tan φ＝错误!且0＜φ＜错误!,所以错误!＜φ＜错误!，
所以kπ＋错误!＜a＜kπ＋π，k∈Z，取k＝0,此时a∈错误!。

故选D。

二、填空题（共4小题,每题5分，共20分）
7．已知cos（α＋β）＝错误!,cos(α－β）＝错误!，则tan αtan β的值为________．
【答案】错误!
【解析】因为cos（α＋β）＝错误!，所以cos αcos β－sin αsin β＝错误!。

①
因为cos（α－β）＝错误!,所以cos αcos β＋sin αsin β＝错误!.②
①＋②得cos αcos β＝错误!. ②－①得sin αsin β＝错误!.所以tan αtan β＝错误!＝错误!。

8．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－错误!cos B ·cos C ,且tan B ·tan C ＝1－错误!，则角A 的值为________．
【答案】A ＝错误!.
【解析】由题意知，sin A ＝－错误!cos B ·cos C ＝sin(B ＋C ）＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，
在等式－错误!cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－错误!，
又tan(B ＋C )＝错误!＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝错误!。

9.（2016北京市海淀区）已知函数π
()sin()14f x x x =-+。

（1）求函数()f x 的最小正周期__________.；
（2)求函数()f x 在区间ππ[]126
，上的最大值与最小值的和__________。

【答案】 π ， 0;
【解析】（1）因为π
()sin()14f x x x =-+cos )]1x x x =-+
2cos (sin cos )1x x x =-+22cos sin 2cos 1x x x =-+sin2cos2x x =-π)4
x =- 所以函数()f x 的最小正周期2ππ||T ω==。

（2）因为ππ[]126x ∈，，所以ππ2[]63x ∈，，所以πππ(2)[]41212
x -∈-，。

当ππ2412x -=-时，函数()f x 取得最小值π2sin()12-；
当
ππ2412x -=时，函数()f x 取得最大值π
2sin 12， 因为ππ2sin()2sin()01212-+=,
所以函数()f x 在区间ππ[]126
，上的最大值与最小值的和为0。

10．已知直线l 1∥l 2，A 是l 1,l 2之间的一定点，并且A 点到l 1，l 2的距离分别为 h 1，h 2，B 是直线l 2上一
动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ，则△ABC 面积的最小值为__________。

【答案】h 1h 2
【解析】如图，设∠ABD ＝α，则∠CAE ＝α，AB ＝错误!，AC ＝错误!。

所以S △ABC ＝错误!·AB ·AC ＝错误!错误!.
当2α＝错误!,即α＝错误!时,S △ABC 的最小值为h 1h 2.
三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11。

（2016年北京房山区二模）已知函数
. (Ⅰ)求
的值和的最小正周期； (Ⅱ)求在上的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
的最小正周期为 （Ⅱ)
【解析】
（Ⅰ）的最小正周期为
（Ⅱ）因为，所以所以
所以即
12．已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P（－3，错误!）．
（1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos（x－α)cos α－sin(x－α)sin α,求函数g(x)＝3f 错误!－2f2（x)在区间错误!上的值域．
【答案】见解析
【解析】(1)∵角α的终边经过点P（－3,错误!)，∴sin α＝错误!，cos α＝－错误!，tan α＝－错误!。

∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－错误!＋错误!＝－错误!.
(2）∵f（x）＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x,x∈R,∴g（x)＝错误!cos错误!－2cos2x＝错误!sin 2x－1－cos 2x＝2sin 错误!－1,
∵0≤x≤错误!，∴－错误!≤2x－错误!≤错误!. ∴－错误!≤sin 错误!≤1,
∴－2≤2sin错误!－1≤1，
故函数g(x)＝错误!f 错误!－2f2（x）在区间错误!上的值域是－2，1］．。