高三数学老师考试卷子答案

一、选择题（每题5分，共50分）
1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像的对称轴是直线x = ____________。

答案：2
2. 下列函数中，是奇函数的是：
A. f(x) = x^3
B. f(x) = x^2
C. f(x) = x^4
D. f(x) = |x|
答案：A
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，d = 2，则S10 =
____________。

答案：100
4. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(3, 4)的坐标中，横坐标之差是：
答案：2
5. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的实部可能是：
A. 3
B. 1
C. -1
D. -3
答案：A
6. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(-3)的值是：
答案：不存在
7. 在三角形ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：
答案：105°
8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，q = 3，则S5 =
____________。

答案：243
9. 下列不等式中，正确的是：
A. 3x > 2x
B. 2x > 3x
C. x > 2x
D. x < 2x
答案：D
10. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得极小值，则a、b、c之间的关
系是：
答案：a > 0，b = 0
二、填空题（每题5分，共25分）
11. 函数y = (x - 1)^2 + 2的图像的顶点坐标是__________。

答案：(1, 2)
12. 已知等差数列{an}的第3项是7，第6项是19，则该数列的首项是__________。

答案：1
13. 若复数z满足|z - 3i| = 5，则z的实部范围是__________。

答案：-2 ≤ x ≤ 2
14. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|，则f(0)的值是__________。

答案：5
15. 在直角三角形ABC中，若∠A = 60°，∠C = 30°，则BC的长度是
__________。

答案：AB
三、解答题（每题15分，共45分）
16. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1，求f(x)的图像的极值点和拐点。

解答：
首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 4，令f'(x) = 0，解得x = 1 或 x = 2/3。

当x < 2/3时，f'(x) > 0；当2/3 < x < 1时，f'(x) < 0；当x > 1时，
f'(x) > 0。

因此，f(x)在x = 2/3时取得极大值，极大值为f(2/3) = 8/27。

在x = 1时，f(x)取得极小值，极小值为f(1) = 3。

求二阶导数f''(x) = 6x - 6，令f''(x) = 0，解得x = 1。

当x < 1时，f''(x) < 0；当x > 1时，f''(x) > 0。

因此，f(x)在x = 1处取得拐点，拐点坐标为(1, 3)。

17. 已知数列{an}是等比数列，若a1 = 3，q = 2，求an + 1 + an - 1的值。

解答：
由等比数列的性质，an = a1 q^(n - 1)。

则an + 1 + an - 1 = 3 2^n + 3 2^(n - 2) = 3 (2^n + 2^(n - 2))。

化简得an + 1 + an - 1 = 3 (2^n + 1/4 2^n) = 3 (5/4 2^n) = 15/4 2^n。

18. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

解答：
求导数f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0，解得x = 2。

在区间[1, 3]上，f'(x) < 0，因此f(x)在x = 2时取得最大值。

f(2) = 2^2 - 4 2 + 3 = -1。

在区间[1, 3]的端点，f(1) = 1^2 - 4 1 + 3 = 0，f(3) = 3^2 - 4 3 + 3 = 0。

因此，f(x)在区间[1, 3]上的最大值是-1，最小值是0。