异方差 作业

问题：现有某地区人均可支配收入与人均生活费用支出资料：
人均可支配收入人均生活费用支出
3547 2940
2769 2322
2334 2898
1957 2560
1893 1585
1953 1977
1960 1658
4279 3520
2774 2311
3626 2859
2248 1849
2839 2048
1919 3777
2515 2302
1695 1847
要求运用下列方法诊断和检验上述样本观察资料中是否存在异方差问题：
（1）回归残差图法。

（2）Goldfeld—Quant检验法。

（3）Glejser检验法。

（4）White检验法。

（5）比较各种方法检验和诊断的结果。

(6)用加权最小二乘法估计家庭消费函数。

解答：
（1）
从图中看出，点在x为2000左右时残差突然很大，而随着x的增大残差逐渐减小，趋于平缓，所以可以推测该样本存在递减异方差。

（2）先排序，分成两组，奇数项，把中间一组数删去从而得到：
x y x y
1695 1847 2515 2302
1893 1585 2769 2322
1919 3777 2774 2311
1953 1977 2839 2048
1957 2560 3547 2940
1960 1658 3626 2859
2248 1849 4279 3520
分别求出残差平方和
观测值预测 Y 残差残差平方
1 2230.696981 -383.697 147223.3729
2 2189.985608 -604.986 366007.5863
3 2184.639671 1592.36 2535611.419
4 2177.648829 -200.649 40259.95255
5 2176.826377 383.173
6 146822.0254
6 2176.209538 -518.21 268541.1253
观测值预测 Y 残差残差平方
1 2094.11962
2 207.8804 43214.25173
2 2289.179342 32.82066 1077.195603
3 2293.0191 17.9809 323.3127611
4 2342.935958 -294.936 86987.21911
5 2886.645729 53.35427 2846.678232
6 2947.31391 -88.3139 7799.34665
RSS1和RSS2的值显然不同，所以存在异方差。

F=RSS1/RSS2=3576285.727/147319.3894=24.27573
查表得F(5,5)=5.05
F显然远远大于F(5,5),所以存在较为明显的异方差。

（3）
观测值预测 Y 残差∣et∣xt xt^2 √xt 1/xt 1/√xt
1 2875.867 64.13254 64.13254 3547 12581209 59.5567 0.00028
2 0.016791
2 2526.741 -204.741 204.7408 2769 7667361 52.62129 0.000361 0.019004
3 2331.535 566.4649 566.4649 233
4 5447556 48.31149 0.000428 0.020699
4 2162.357 397.6432 397.6432 1957 3829849 44.23799 0.000511 0.022605
5 2133.637 -548.637 548.6368 1893 3583449 43.50862 0.000528 0.022984
6 2160.562 -183.562 183.5618 1953 3814209 44.19276 0.000512 0.022628
7 2163.703 -505.703 505.703 1960 3841600 44.27189 0.00051 0.022588
8 3204.352 315.6484 315.6484 4279 18309841 65.41407 0.000234 0.015287
9 2528.985 -217.985 217.9846 2774 7695076 52.66878 0.00036 0.018987
10 2911.319 -52.3186 52.31862 3626 13147876 60.21628 0.000276 0.016607
11 2292.943 -443.943 443.9427 2248 5053504 47.41308 0.000445 0.021091
12 2558.153 -510.153 510.1533 2839 8059921 53.28227 0.000352 0.018768
13 2145.304 1631.696 1631.696 1919 3682561 43.80639 0.000521 0.022828
14 2412.759 -110.759 110.7586 2515 6325225 50.14978 0.000398 0.01994
15 2044.785 -197.785 197.7846 1695 2873025 41.17038 0.00059 0.024289
把︳et︳当做被解释变量，xt、xt^2、√xt、1/xt、1/√xt分别当做解释变量，进行回归分析，求得解释变量系数p-value值，结果是小于0.05，故存在异方差。

（4）建立模型：et^2=a0+a1x+a2X^2+u
xt xt^2 et^2
3547 12581209 4112.983
2769 7667361 41918.81
2334 5447556 320882.5
1957 3829849 158120.1
1893 3583449 301002.4
1953 3814209 33694.92
1960 3841600 255735.5
4279 18309841 99633.89
2774 7695076 47517.28
3626 13147876 2737.238
2248 5053504 197085.1
2839 8059921 260256.3
1919 3682561 2662431
2515 6325225 12267.47
1695 2873025 39118.73
回归统计
Multiple R 0.325759
R Square 0.106119
Adjusted R
-0.04286
Square
标准误差678692.5
观测值15
nR^2=0.168919 查表为5.991明显大于nR^2，说明不存在异方差。

（5）回归残差图法、Goldfeld—Quant检验法、Glejser检验法检验改组数据为显著性的，White 检验法则检验出是不显著的。

（6）
y x ｜e｜y/｜e｜1/｜e｜x/｜e｜2940 3547 64.13254246 45.8425612 0.015592708 55.3073348
2322 2769 204.7408395 11.3411667 0.004884223 13.5244146
2898 2334 566.4649174 5.11593906 0.001765334 4.12029047
2560 1957 397.6432401 6.43793165 0.002514817 4.92149697
1585 1893 548.6368325 2.88897848 0.001822699 3.45036988
1977 1953 183.5617645 10.7702168 0.005447758 10.6394706
1658 1960 505.7030065 3.2786042 0.001977445 3.87579266
3520 4279 315.6483722 11.1516495 0.003168082 13.5562239
2311 2774 217.9845838 10.6016671 0.00458748 12.7256706
2859 3626 52.31861799 54.6459389 0.019113655 69.306112
1849 2248 443.9426801 4.16495211 0.002252543 5.06371678
2048 2839 510.1532601 4.01447988 0.001960195 5.56499433
3777 1919 1631.695697 2.31476985 0.000612859 1.17607713
2302 2515 110.7586274 20.783934 0.009028642 22.7070347
1847 1695 197.7845569 9.33844396 0.005056006 8.56993097
进行回归分析得
Coefficients 标准误差t Stat P-value Lower 95% Intercept 0.25889 0.431947397 0.59936324 0.560076928 -0.6822391 X Variable
777.956 258.86455 3.00526113 0.010959021 213.938168 1
X Variable
0.58309 0.069629186 8.37417323 2.34755E-06 0.4313779 2
bo=777.956 b1=0.58309
所以，综上所述，求得的一元线性回归模型是yt=777.956+0.58309xt。