九年级下230°45°60°角的三角函数值习题新版北师大版
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答：火箭从A处到B处的平均速度约为335米/秒．
此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.O，C，D在同一 直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A处到B处的平均 速度(结果精确到1米/秒，参考数据： 3≈1.732， 2 ≈1.414)．
【思路点拨】在两个直角三角形中求出AO，BO，进而计 算出AB，最后求出平均速度即可．
解：由题意得：AD＝4 000米，∠ADO＝30°，CD＝460米， ∠BCO＝45°.
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小 型景观桥CD(如图②所示)，若CD⊥AB，AC＝14米，AB ＝10米，sin∠ACB＝5 3，求景观桥CD的长度． 14
解：∵sin∠ABACB＝sAinCB，∴5103＝si1n4B.
∴sinB＝
3 2.
14
∴∠B＝60°. ∴tanB＝CBDD＝
【点拨】由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15 m，
AB＝1.5 m，
∴AD＝BC＝15 m，CD＝AB＝1.5 m.
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15 m，
∴DE＝AD·tan∠EAD＝15× 3＝5 3
3 (m)．
∴CE＝DE＋CD＝(5 3＋1.5) m.
【答案】D
6．含30°角的直角三角形的三边之比为_1_∶___3_∶__2，等腰直 角三角形的三边之比为_1_∶__1_∶____2_______；已知特殊三 角函数值求角，即可看这个比值(数)想到三角形哪两边 的比(形)，从而确定它所对应的角．
北师版 九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
2 30°，45°，60°角的三角函数值
提示：点击 进入习题
1 见习题 2B 3B 4D 5D
答案显示
6 1∶ 3∶2；1∶1∶ 2
7A 8C
9C
10 (1)1
sin A (2)cos A
(3)cos B
11 A 12 B 13 见习题 14 见习题 15 见习题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是 ···
(A ) A．tan A＝sin A
cos B B．sin2 A＋cos2 A＝1
C．sin2 A＋sin2 B＝1
D．tan A·tan B＝1
12．【教材P7习题T3改编】已知α，β都是锐角，如果sin α＝cos β，那么α与β之间满足的关系是( B )
连接AC，BD，则
AC BD
的值为(
)
1
2
3
3
A.2 B. 2 C. 2 D. 3
【点拨】设 AC 与 BD 交于点 O，如图所示．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝12∠ABC＝30°.
∵tan∠ABD＝ABOO＝
33，∴BADC＝22ABOO＝
3 3.
在Rt△AOD中，∵AD＝4 000米，∠ADO＝30°， ∴OA＝12AD＝2 000 米，OD＝ 23AD＝2 000 3米． 在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝OD－CD＝(2 000 3－460)米．
∴AB＝OB－OA＝2 000 3－460－2 000≈1 004(米)． ∴火箭的平均速度为1 004÷3≈335(米/秒)．
16 见习题
答案显示
1．特殊角的三角函数值：
1
2
3
sin 30°＝___2___，sin 45°＝__2____，sin 60°＝___2___；
3
2
1
cos 30°＝__2____，cos 45°＝___2___，cos 60°＝___2___；
3 tan 30°＝___3___，tan 45°＝___1___，tan 60°＝__3____．
3.
∴BD＝
3 3 CD.
∵AC2＝CD2＋AD2，∴196＝CD2＋10－
33CD2.
∴CD＝8 3米(负值舍去)．
答：景观桥 CD 的长度为 8 3米．
16．【2021·枣庄】2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一 号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射 场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．如图，运载 火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达 站测得AD＝4 000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到 达点B处，
7．【教材P24复习题T4改编】【中考·怀化】已知∠α为锐角， 且sin α＝ 1，则∠α＝( A ) 2 A．30° B．45° C．60° D．90°
8．已知锐角α满足2sin(α＋20°)＝ 3 ，则锐角α的度数是 ( C) A．60° B．80° C．40° D．以上都不对
9．【教材P7习题T3改编】若△ABC中，sin A＝cos B＝
2．【2020·天津】2sin 45°的值等于( B ) A．1 B. 2 C. 3 D．2
3．已知在△ABC中，AB＝ cos160°，BC＝tan 45°，AC＝ 2sin 60°，则cos A的值为( B )
1
3
3
2
A.2
B. 2
C. 3
D. 2
4．【2021·陕西】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
A．α＝β
B．α＋β＝90°
C．α－β＝90°
D．β－α＝90°
【点拨】∵α，β都是锐角，sinα＝cosβ，
∴sinα＝cos(90°－α)＝cosβ，
∴90°－α＝β，即α＋β＝90°.故选B.
13．【教材P24复习题T6变式】计算： (1)12－1＋(sin 60°－1)0－2cos 30°＋| 3－1|；
解：原式＝2＋1－2× 23＋ 3－1＝2；
(2)sin
sin 30° 60°－cos
－ 45°
（1－tan 30°）2－tan 45°.
1
原式＝
2 23－
2－1－ 2
33－1
＝
1 3－
2－1＋ 1
＝ 3＋ 2－1＋ 33－1
＝43 3＋ 2－2.
14． (1)比较大小： sin 30°___＜_____sin 45°； sin 45°___＜_____sin 60°； cos 30°___＞_____cos 45°； cos 45°___＞_____cos 60°.
解：sin 88°＞sin 65°＞sin 52°＞sin 34°＞sin 18°； cos 88°＜cos 65°＜cos 52°＜cos 34°＜cos 18°.
(4)比较大小(在横线上填写“＞”“＝”或“＜”)： 若α＝45°，则sin α____＝____cos α； 若α＜45°，则sin α____＜____cos α； 若α＞45°，则sin α___＞_____cos α.
【答案】B
5．【教材P9随堂练习T2变式】【2021·十堰】如图，小明利 用一个锐角是30°的三角尺测操场旗杆的高度，已知他
与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的
眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是( )
A．(15 3＋1.5) m
B．5 3 m
C．15 3 m
D．(5 3 ＋1.5) m
∴cos∠B1AC＝AABC1，cos∠B2AC＝AABC2，cos∠B3AC＝AABC3. ∵AB3＜AB2＜AB1， ∴AABC1＜AABC2＜AABC3， 即 cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC. 综上可知，随着锐角度数的增大，它的正弦值增大，它的余弦值
减小．
(3)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°， 88°这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．
15．【2021·永州】已知锐角三角形ABC中，∠A，
∠B，∠C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系 式：sina A＝sinb B＝sinc C. (1)如图①，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的
值； 解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°.
∵sinaA＝sinbB＝sincC，∴sin660°＝sinb45°. ∴b＝2 6.
2， 2
则下列最确切的结论是( C )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
10．在△ABC中，∠C＝90°，则：
(1)sin2A＋cos2A＝___1_____； sin A
(2)tan A＝__c_o_s _A___；
(3)sin A＝__c_o_s_B___．
(2)如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定， 也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它 的正弦值和余弦值的变化规律．
解：在题图①中，令 AB1＝AB2＝AB3，显然有 B1C1＞B2C2＞B3C3， ∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3， ∴BA1BC11＞BA2BC22＞BA3BC33. ∵sin∠B1AC1＝BA1BC11，sin∠B2AC2＝BA2BC22，sin∠B3AC3＝BA3BC33， ∴sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3. 在题图②中，∵∠C＝90°，
(5)比较下列正弦值和余弦值的大小： sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
解：∵cos 30°＝sin 60°，cos 70°＝sin 20°， 且sin 60°＞sin 50°＞sin 20°＞sin 10°， ∴cos 30°＞sin 50°＞cos 70°＞sin 10°.
此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.O，C，D在同一 直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A处到B处的平均 速度(结果精确到1米/秒，参考数据： 3≈1.732， 2 ≈1.414)．
【思路点拨】在两个直角三角形中求出AO，BO，进而计 算出AB，最后求出平均速度即可．
解：由题意得：AD＝4 000米，∠ADO＝30°，CD＝460米， ∠BCO＝45°.
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小 型景观桥CD(如图②所示)，若CD⊥AB，AC＝14米，AB ＝10米，sin∠ACB＝5 3，求景观桥CD的长度． 14
解：∵sin∠ABACB＝sAinCB，∴5103＝si1n4B.
∴sinB＝
3 2.
14
∴∠B＝60°. ∴tanB＝CBDD＝
【点拨】由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15 m，
AB＝1.5 m，
∴AD＝BC＝15 m，CD＝AB＝1.5 m.
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15 m，
∴DE＝AD·tan∠EAD＝15× 3＝5 3
3 (m)．
∴CE＝DE＋CD＝(5 3＋1.5) m.
【答案】D
6．含30°角的直角三角形的三边之比为_1_∶___3_∶__2，等腰直 角三角形的三边之比为_1_∶__1_∶____2_______；已知特殊三 角函数值求角，即可看这个比值(数)想到三角形哪两边 的比(形)，从而确定它所对应的角．
北师版 九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
2 30°，45°，60°角的三角函数值
提示：点击 进入习题
1 见习题 2B 3B 4D 5D
答案显示
6 1∶ 3∶2；1∶1∶ 2
7A 8C
9C
10 (1)1
sin A (2)cos A
(3)cos B
11 A 12 B 13 见习题 14 见习题 15 见习题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是 ···
(A ) A．tan A＝sin A
cos B B．sin2 A＋cos2 A＝1
C．sin2 A＋sin2 B＝1
D．tan A·tan B＝1
12．【教材P7习题T3改编】已知α，β都是锐角，如果sin α＝cos β，那么α与β之间满足的关系是( B )
连接AC，BD，则
AC BD
的值为(
)
1
2
3
3
A.2 B. 2 C. 2 D. 3
【点拨】设 AC 与 BD 交于点 O，如图所示．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝12∠ABC＝30°.
∵tan∠ABD＝ABOO＝
33，∴BADC＝22ABOO＝
3 3.
在Rt△AOD中，∵AD＝4 000米，∠ADO＝30°， ∴OA＝12AD＝2 000 米，OD＝ 23AD＝2 000 3米． 在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝OD－CD＝(2 000 3－460)米．
∴AB＝OB－OA＝2 000 3－460－2 000≈1 004(米)． ∴火箭的平均速度为1 004÷3≈335(米/秒)．
16 见习题
答案显示
1．特殊角的三角函数值：
1
2
3
sin 30°＝___2___，sin 45°＝__2____，sin 60°＝___2___；
3
2
1
cos 30°＝__2____，cos 45°＝___2___，cos 60°＝___2___；
3 tan 30°＝___3___，tan 45°＝___1___，tan 60°＝__3____．
3.
∴BD＝
3 3 CD.
∵AC2＝CD2＋AD2，∴196＝CD2＋10－
33CD2.
∴CD＝8 3米(负值舍去)．
答：景观桥 CD 的长度为 8 3米．
16．【2021·枣庄】2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一 号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射 场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．如图，运载 火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达 站测得AD＝4 000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到 达点B处，
7．【教材P24复习题T4改编】【中考·怀化】已知∠α为锐角， 且sin α＝ 1，则∠α＝( A ) 2 A．30° B．45° C．60° D．90°
8．已知锐角α满足2sin(α＋20°)＝ 3 ，则锐角α的度数是 ( C) A．60° B．80° C．40° D．以上都不对
9．【教材P7习题T3改编】若△ABC中，sin A＝cos B＝
2．【2020·天津】2sin 45°的值等于( B ) A．1 B. 2 C. 3 D．2
3．已知在△ABC中，AB＝ cos160°，BC＝tan 45°，AC＝ 2sin 60°，则cos A的值为( B )
1
3
3
2
A.2
B. 2
C. 3
D. 2
4．【2021·陕西】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
A．α＝β
B．α＋β＝90°
C．α－β＝90°
D．β－α＝90°
【点拨】∵α，β都是锐角，sinα＝cosβ，
∴sinα＝cos(90°－α)＝cosβ，
∴90°－α＝β，即α＋β＝90°.故选B.
13．【教材P24复习题T6变式】计算： (1)12－1＋(sin 60°－1)0－2cos 30°＋| 3－1|；
解：原式＝2＋1－2× 23＋ 3－1＝2；
(2)sin
sin 30° 60°－cos
－ 45°
（1－tan 30°）2－tan 45°.
1
原式＝
2 23－
2－1－ 2
33－1
＝
1 3－
2－1＋ 1
＝ 3＋ 2－1＋ 33－1
＝43 3＋ 2－2.
14． (1)比较大小： sin 30°___＜_____sin 45°； sin 45°___＜_____sin 60°； cos 30°___＞_____cos 45°； cos 45°___＞_____cos 60°.
解：sin 88°＞sin 65°＞sin 52°＞sin 34°＞sin 18°； cos 88°＜cos 65°＜cos 52°＜cos 34°＜cos 18°.
(4)比较大小(在横线上填写“＞”“＝”或“＜”)： 若α＝45°，则sin α____＝____cos α； 若α＜45°，则sin α____＜____cos α； 若α＞45°，则sin α___＞_____cos α.
【答案】B
5．【教材P9随堂练习T2变式】【2021·十堰】如图，小明利 用一个锐角是30°的三角尺测操场旗杆的高度，已知他
与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的
眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是( )
A．(15 3＋1.5) m
B．5 3 m
C．15 3 m
D．(5 3 ＋1.5) m
∴cos∠B1AC＝AABC1，cos∠B2AC＝AABC2，cos∠B3AC＝AABC3. ∵AB3＜AB2＜AB1， ∴AABC1＜AABC2＜AABC3， 即 cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC. 综上可知，随着锐角度数的增大，它的正弦值增大，它的余弦值
减小．
(3)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°， 88°这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．
15．【2021·永州】已知锐角三角形ABC中，∠A，
∠B，∠C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系 式：sina A＝sinb B＝sinc C. (1)如图①，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的
值； 解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°.
∵sinaA＝sinbB＝sincC，∴sin660°＝sinb45°. ∴b＝2 6.
2， 2
则下列最确切的结论是( C )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
10．在△ABC中，∠C＝90°，则：
(1)sin2A＋cos2A＝___1_____； sin A
(2)tan A＝__c_o_s _A___；
(3)sin A＝__c_o_s_B___．
(2)如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定， 也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它 的正弦值和余弦值的变化规律．
解：在题图①中，令 AB1＝AB2＝AB3，显然有 B1C1＞B2C2＞B3C3， ∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3， ∴BA1BC11＞BA2BC22＞BA3BC33. ∵sin∠B1AC1＝BA1BC11，sin∠B2AC2＝BA2BC22，sin∠B3AC3＝BA3BC33， ∴sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3. 在题图②中，∵∠C＝90°，
(5)比较下列正弦值和余弦值的大小： sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
解：∵cos 30°＝sin 60°，cos 70°＝sin 20°， 且sin 60°＞sin 50°＞sin 20°＞sin 10°， ∴cos 30°＞sin 50°＞cos 70°＞sin 10°.