2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义课件 第三章 导数及其应用 3.1 精品

即5x＋y＋2＝0.
4.(教材改编)若过曲线y＝ 1 上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标 x
1 1 (2，2)或(－2，－2) 为 .
答案 解析
－1
1 ∵y′＝(x )′＝－x2＝－4， 1 1 ∴x ＝4，x＝± . 2
2
1 1 ∴切点坐标为(2，2)或(－2，－2).
5.(教材改编)函数f(x)＝x3的斜率等于1的切＝3x2，设切点为(x0，y0)，
则 3 x2 0＝1，得 3 x0＝± 3 ，
3 3 3 3 即在点( 3 ， 9 )和点(－ 3 ，－ 9 )处有斜率为 1 的切线.
题型分类
深度剖析
题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数. (1)y＝x2sin x；
解答
y′＝(x2)′· sin x＋x2.(sin x)′
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x.( × )
考点自测
1.(教材改编)若f(x)＝x· ex，则f′(1)＝ 2e .
思维升华
求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求 导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商 的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运
算量.
跟踪训练1 (1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0＝ 1 .
1 (－ )′＝( x x
1 2
1 1 3 2 )′ ＝ x ＝ ，所以③正确. 2x x 2
3.(教材改编)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为 5x＋y＋2＝0 .
答案 解析
因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，
所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，
f′xgx－fxg′x 2 f x g x (3)[ ]′＝ (g(x)≠0). gx
知识拓展
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是 周期函数.
f′x 1 2.[ ]′＝－ 2 (f(x)≠0). fx f x
3.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x).
§3.1 导数的概念及运算
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
1.导数与导函数的概念
(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，
Δy fx0＋Δx－fx0 比值 ＝ 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导， Δx Δx 并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作 f′(x0) .
基本初等函数
f(x)＝C(C为常数) f(x)＝xα(α为常数)
导函数
0 f′(x)＝__
αxα－1 f′(x)＝______
cos x f′(x)＝_____
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x f(x)＝ex
sin x f′(x)＝－ ______
ex f′(x)＝___ axln a f′(x)＝______
答案 解析
f′(x)＝ex＋x· ex，∴f′(1)＝2e.
1 1 1 1 2.(教材改编)①(cos x)′＝sin x； ②若 y＝x2， 则 y′＝－ x； ③(－ )′＝ . x 2x x 其中正确的个数是
答案 解析
1
.
因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
1 (x2)′＝(x－2)′＝－2x－3，所以②错误；
(2)如果函数y＝f(x) 在开区间 (a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在
(a ， b) 内构成一个新函数，这个函数称为函数 y＝ f(x) 在开区间内的导函
数.记作f′(x)或y′.
2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处 的切线的斜率k，即k＝ f′(x0) . 3.基本初等函数的导数公式
＝2xsin x＋x2cos x. (2)y＝ln x＋ 1 ； 解答 x
1 1 1 1 ＝x －x2. y′＝(ln x＋x )′＝(ln x)′＋( x)′
x； (3)y＝cos 解答 x e
cos x y′＝( ex )′
sin x＋cos x cos x′· ex－cos xex′ ＝－ . ＝ x x 2 e e
1 f′(x)＝___ x
1 xln a f′(x)＝_____
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
(2)[f(x)· g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程 例2 (1)(2016· 南通一调)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x>0)
4 x 和y＝x3(x>0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则 1 的值为 3 . x2
答案 解析
1 f′(x)＝2 016＋ln x＋x× ＝2 017＋ln x， x 故由f′(x0)＝2 017，得2 017＋ln x0＝2 017，
则ln x0＝0，解得x0＝1.
(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝ －2 .
答案 解析
f′(x)＝4ax3＋2bx， ∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2， ∴f′(－1)＝－2.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映
了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这 点处的切线越“陡”.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( × )