人教版初二数学讲义《全等三角形的认识》

一、概念
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点． 对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角．
对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．
如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应．
注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：
模块一 全等三角形的概念和性质
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1
全等三角形的认识
C
B
A B'A'
⑴把其中一个图形通过平移、翻折或旋转，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上． ⑵有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角．
二、全等三角形的性质
⑴全等三角形的对应边相等； ⑵全等三角形的对应角相等；
⑶全等三角形的周长相等，面积相等．
【例1】 ⑴ 如果ABC DEF △≌△，则AB 的对应边是_______，AC 的对应边是_______ ，C
∠的对应角是_______ ，DEF ∠的对应角是__________．两个三角形的周长ABC C △______DEF C △，两个三角形的面积ABC S △_____DEF S △（填“>”、“=”、“<”）．
⑵ 如图，若ABC AEF △≌△，AB AE =，B E ∠=∠，则对应结论
①AC AF =；②FAB EAB ∠=∠；③EF BC =； ④EAB FAC ∠=∠中 正确结论共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
（东城区期末检测）
⑶如图所示，若△ABE ≌△ACF ，且AB =5，AE =3，则EC 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．2.5
【解析】 ⑴DE ，DF ，F ∠，ABC ∠，=，=；⑵C ；⑶A.
【例2】 如图，已知ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B ∠=︒，120EAB ∠=︒，求DFB ∠的
度数.
【解析】 ∵ABC ADE △≌△
∴25D B ∠=∠=︒，DAE BAC ∠=∠ 又∵10120CAD EAB ∠=︒∠=︒， ∴11()(12010)5522
DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒
∴10552590DFB BAF B FAC CAB B ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒
夯实基础
能力提升
F E C
B A F
G
E D
C A
F E
C
B A
【教师备选】如图，△ABC ≌△ADE 中，BA ⊥AE ，∠BAC =30°，AD =5，
求BD 的长．
【解析】由题意得：∠BAC =∠DAE =30°，AB =AD ，∠BAE =90°，
∴∠CAD =30°， ∴∠BAD =60°，
∴△ABD 是等边三角形．
故可得：BD =AD =5．
全等三角形的判定方法：
⑴如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS ．
⑵如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS ． ⑶如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA ．
⑷如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS ．
⑸如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL ．
两个三角形中对应相等的边或角 是否全等
全等：√ 不全等：×
公理或推论（简写）
三条边 √ SSS 两边一角 两边夹角
√ SAS 两边与其中一边对角 × 两角一边 两角和夹边 √ ASA 两角与其中一角对边
√ AAS 三角
×
特殊：直角三角形中，除以上几种方法外还可选用斜边直角边“HL ”．
1. 全等三角形的判定（一）——SSS
尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC B'C'BC ===，，
． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．
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模块二 全等三角形的判断
E
D C
B A
C B
A
C'B'A'
【点评】 学生版方框内需要填充.
【引例】已知：如图，AB DE AC DF BE CF ===，，
．求证：AC DF ∥． 分析：要证AC DF ∥，需证ACB DFE ∠=∠，只要证__________≌___________． 证明：∵BE CF =（ ） ∴BE EC CF EC +=+（ ） 即BC =_____．
在ABC △和DEF △中，
()
()(
)__________________AB BC AC =⎧⎪
=⎨⎪
=⎩
∴__________≌___________（ ）
∴ACB DFE ∠=∠（ ）
∴AC DF ∥（ ）
【解析】 分析：只要证ABC DEF △≌△．
证明：∵BE CF =（已知）
∴BE EC CF EC +=+（等量加等量和相等） 即BC EF =．
在ABC △和DEF △中，
AB DE
BC EF
AC DF =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
（已知）（已证）（已知） ∴ABC DEF △≌△（SSS ）．
∴ACB DFE ∠=∠（全等三角形的对应角相等）．
∴AC DF ∥（同位角相等，两直线平行）
【点评】 此题非常基础，就是要给学生呈现一个标准的书写格式，每一步都要有理有据，老师们
一定要给学生强调到位，突出证明过程的重要性.
夯实基础
F
D B
A
【例3】 已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在同一直线上，AB =DE ，BF =EC ，AC =DF ．
⑴求证：AB ∥DE ；
⑵又知∠D =30°，∠DEC =15°，求∠CFB 的度数．
【解析】 ⑴∵AC =DF ，∴AC FC DF FC -=-，即AF CD =
在ABF △和DEC △中，AB DE BF EC AF DC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴(SSS)ABF DEC △≌△ ∴∠D =∠A ∴AB ∥DE ．
⑵ ∵ABF DEC △≌△
∴∠D =∠A =30°，∠DEC =∠ABF =15° ∴∠CFB=∠A +∠ABF =45°．
2. 全等三角形的判定（二）——SAS
尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC A'A ==∠=∠，，
． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．
C B
A
E
D
A'
B'
C'
【点评】 学生版方框内需要填充.
【例4】 如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，D 为AB 延长线
上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC ． ⑴求证：△ABE ≌△CBD ；
⑵若∠CAE=30º，求∠BCD 的度数．
能力提升
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能力提升
A D F
C
B
E E
C
D B
A
【解析】⑴∵ ∠ABC =90º，D 为AB 延长线上一点， ∴ ∠A BE =∠CBD =90º . 在△ABE 和△CBD 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB
∴ △ABE ≌△CBD (SAS)
⑵∵ AB =CB ，∠ABC =90º，
∴ ∠CAB =45°. 又∵ ∠CAE =30º， ∴ ∠BAE =15°. ∵ △ABE ≌△CBD ， ∴ ∠BCD =∠BAE =15°.
3. 全等三角形的判定（三）——ASA &AAS
尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使B'C'BC B'B C'C =∠=∠∠=∠，
，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．
C B
A
E
D C'B'
A'
思考：若将C'C ∠=∠改成A'A ∠=∠呢？画出的A'B'C'△和ABC △全等吗？ 【点评】 学生版方框内需要填充.
【例5】 已知，如图，点D 在边BC 上，点E 在△ABC 外部，DE 交AC 于F ，若AD =AB ，∠1=
∠2=∠3．
求证：BC=DE ．
【解析】∵∠1=∠2=∠3
∴∠BAC =∠DAE
又∵∠DFC =∠AFE ∴∠C =∠E
在△ABC 和△ADE 中 能力提升
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321F E D C
B
A
BAC DAE C E
AB AD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△ADE (AAS) ∴BC =DE ．
4. 全等三角形的判定（四）——HL
尺规作图：已知Rt ABC △，画一个Rt A B C '''△，使B'C'BC A'B'AB ==，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．
C B
A
B'
A'
N C'
M
【点评】 学生版方框内需要填充.
【例6】 已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC =DC ，求证：BE =DF ． 【解析】∵AC 平分∠BAD
∴∠FAC =∠EAC
又∵CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ∴∠F =∠CEA =90° 在△FAC 和△EAC 中 F CEA
FAC EAC AC AC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△FAC ≌△EAC (AAS) ∴CF =CE ，
在Rt △BEC 和Rt △DFC 中 BC DC
CE CF =⎧⎨
=⎩
∴Rt △BEC ≌ Rt △DFC (HL)
能力提升
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F
E
D C
B
A
∴BE =DF ．
【探究对象】全等三角形中图形所涉及的基本构图
【探究目的】从构图角度更加熟悉全等三角形的图形及常规解法，辅以全国中考题作为例题
【探究一】共边型
平移 对称 (翻折)
【变式
1】如图，己知
AC =BD ，要使△ABC ≌△DCB ，则只需添加一个适当的条件是 (填
一个即可) （2012黑龙江齐齐哈尔）
【解析】∵AC =BD ，BC 是公共边，
∴要使△ABC ≌△DCB ，需添加：
①AB =DC （SSS ）或②∠ACB =∠DBC （SAS ）
【变式2】如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，求证：∠DBC =∠DCB
（2012江苏常州）
【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD
又∵AB =AC ，AD =AD ，∴△BAD ≌△CAD （SAS ） ∴BD =CD ∴∠DBC =∠DCB
【备注】等腰三角形基本知识请老师酌情补充．
【变式3】如图，点E ，F 在BC 上，BE =CF ，∠A =∠D ，∠B =∠C ，求证：AB =DC ．
（2012广西钦州）
【解析】∵点E ，F 在BC 上，BE =CF ，∴BE +EF =CFR +EF ，即BF =CE
在△ABF 和△DCE 中，∵∠A =∠D ，∠B =∠C ，BF =CE ， ∴△ABF ≌△DCE （AAS ） ∴AB =DC
【探究二】共角型
D
C
B
A
D
C
B
A
F
E
A
B
C
D
【变式4】如图：点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE ≌△ACD，需添加一个条件是（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．
（2012青海）【解析】∵∠A=∠A，AE=AD
∴添加：∠ADC=∠AEB（ASA），∠B=∠C（AAS），
AB=AC（SAS），∠BDO=∠CEO（ASA）
可得△ABE ≌△ACD
故填：∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO．
【变式5】如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，要使△ABC ≌△DBE，请你添加一个适当的条件(只需添加一个即可) ．
【解析】∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE
即∠ABC=∠DBE 又∵AB=DB
∴添加：∠BDE=∠BAC （ASA），BE=BC （SAS），
∠ACB=∠DEB （AAS）
可得△ABC ≌△DBE
故填：∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．
【探究三】平行型
【变式6】如图，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC 边上，且∠GDF=∠ADF．求证：△ADE ≌△BFE．
【解析】∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE
∵E是AB的中点，∴AE=BE
O
E
C
B
D
A
E
A
B
D
C
G
E
F
A
B C
D
又∵∠AED=∠BEF
∴△ADE ≌△BFE（AAS）
【变式7】如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF．求证：△ABF ≌△DCE．
【解析】∵AB∥CD，∴∠A＝∠C
∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE
又∵AB＝DC，∴△ABF ≌△DCE（SAS）
【变式8】如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．【解析】∵AD=EB∴AD﹣BD=EB﹣BD，即AB=ED
又∵BC∥DF，∴∠CBD=∠FDB
∴∠ABC=∠EDF
又∵∠C=∠F，
∴△ABC ≌△EDF（AAS）
∴AC=EF．
【点评】此题AB=ED的证明，也可看成是共边型．
【探究四】垂直型
【变式9】如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且AC=MD，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：△ABC ≌△MED．
【解析】∵MD⊥AB，∴∠MDE=∠C=90°
∵ME∥BC，∴∠B=∠MED
又∵AC=MD
∴△ABC ≌△MED（AAS）．
【变式10】如图，已知△ABC中，45
ABC
∠=︒，F是高AD和BE的交点，4
CD=，则线段DF的长度为（）.
A
．B．4 C
．D
．
【解析】∵45
ABC
∠=︒，AD是△ABC的高∴在等腰Rt△ABD中，AD=BD
F
E
D
C
B
A
E
F
D
A B
C
M
E
D
C
B
A
F E
D C
A
B
∵∠BDF =∠ADC =90°，则根据“8字型”∠FBD =∠CAD ∴△BDF ≌△ADC （ASA ）． ∴DF =CD =4，故选B ．
【变式11】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，CE ⊥BE ，CE 与AB 相交于点F ，AD ⊥CF
于点D ，且AD 平分∠F AC ，请写出图中两对．．全等三角形，并选择其中一对加以证明． （2010吉林）
【解析】△ADC ≌△ADF 、△ADC ≌△CEB 、△ADF ≌△CEB （写出其中两对即可）
证法一：若选择△ADC ≌△ADF
∵AD 平分∠F AC ，∴∠CAD =∠F AD ∵AD ⊥CF ，∴∠ADC =∠ADF =90° ∴△ADC ≌△ADF （ASA ）
证法二：若选择△ADC ≌△CEB
∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC =∠CEB =90° ∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠ECB =90° 又∵∠ACD +∠DAC =90°，∴∠DAC =∠ECB 又∵AC =CB ，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）
【例7】 如图所示为我国边境线上某界河，其中A 点在境外，我国地质勘探人员在不跨越国界
的情况下要测量河两岸相对的两点A 、B 间的距离，请你给出解决方案并加以证明．
【解析】可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD =BC 再作出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E
在同一条直线上，这时测得的DE 的长就是AB 的长． 证明：在△ABC 和△EDC 中 ABC EDC ACB ECD BC DC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△EDC （ASA ） ∴AB =ED
【例8】 如图所示，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
⑴你能找出图中的全等三角形吗？如果再加上AB AC =呢？
⑵在⑴的基础上，连接EF 交AD 于M ，你能找出图中的全等三角形吗？
能力提升
探索创新
模块三 全等三角形判定的应用
A F
D C B A F
E
D
C
B
A
⑶在⑵的基础上，当∠BAC =90︒时，你能找出图中的全等三角形吗？
【解析】⑴
△AED ≌△AFD ；△AED ≌△AFD ，△BED ≌△CFD ，△ABD ≌△ACD
⑵△ABD ≌ACD ，△ADE ≌△ADF ，△BDE ≌△CDF ，△AEM ≌△AFM ， △DEM ≌△DFM
⑶△ABD ≌△ACD ，△ADE ≌△ADF ≌△BDE ≌△CDF ， △AEM ≌△AFM ≌△DEM ≌DFM ．
【教师备选】为什么SSA 不能判定全等
尺规作图：已知线段a b ，
和角α，求作ABC △，使得BC a AC b A α==∠=，，，这样的三角形有几个？
a b
α
F
E D
C
B
A M F
E
D
C
B
A
训练1. 已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB DC ∥，AB DC =．
⑴ 求证：AC 与BD 互相平分；
⑵ 若过O 点作直线l ，分别交AB DC 、于E F 、两点， 求证：OE OF =．
【解析】 ⑴ ∵AB DC ∥，
∴A C ∠=∠，
在AOB △和COD △中， A C AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴()AAS AOB COD △≌△， ∴AO CO BO DO ==，， 即AC 与BD 互相平分． ⑵由⑴可知AO CO =， 在AOE △和COF △中， AOE COF A C AO CO ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩ ∴()AAS AOE COF △≌△， ∴OE OF =
另：证明BOE DOF △≌△也可．
训练2. 如右图所示，AB CD ∥，AC DB ∥，AB CD =，AD 与BC 交于
O ，AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．
【解析】 7对：
AOB △≌DOC △；AOC △≌DOB △；AEO △≌DFO △；
AEC △≌DFB △；ABC △≌DCB △；ABD △≌DCA △；
AEB △≌CFD △．理由略．
训练3. 请分别按给出的条件画ABC △（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不
唯一的，想一想，为什么？
⑴ 1202cm 4cm B AB AC ∠=︒==，，；⑵ 902cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑶ 302cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑷ 302cm 2cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑸ 302cm 1cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑹ 302cm 1.5cm B AB AC ∠=︒==，，； 【解析】 只有⑹所作的三角形不唯一．
训练4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么
情况下，它们会全等？
⑴ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等；
思维拓展训练(选讲)
A
F
E
O D C
B
l
O
F E
D
C
B
A
⑵ 阅读与证明：
对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形它们全等. 可证明如下：
已知：ABC △、111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠．
求证：111ABC A B C △≌△．（先把文字语言转化成符号语言） 证明：分别过点B ，1B 作BD AC ⊥于D ，1111B D AC ⊥于1D ，则
11190BDC B D C ∠=∠=︒，（如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法）
D
C
B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
∵在BCD △和111B C D △中，11111190BDC B D C C C BC B C
∠=∠=︒⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴111()BCD B C D AAS △≌△
∴11BD B D =
∵在ADB △和111A D B △中，111111190BD B D AB A B ADB A D B =⎧⎪
=⎨⎪∠=∠=︒
⎩
∴ 111()ADB A D B HL △≌△，∴ 1A A ∠=∠，
∵在ABC △和111A B C △中，1111A A C C BC B C
∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ 111()ABC A B C AAS △≌△．
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！ ⑶归纳与叙述：由⑴、⑵可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
【解析】
⑴；⑵略；⑶若ABC △、111A B C △均为锐角三角形或均为直角三角形
或均为钝角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠，则111ABC A B C △≌△．
实战演练
题型一 全等三角形的概念和性质 巩固练习
【练习1】 ① 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；
⑷ ；⑸ ；⑹ ．
全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ． ② 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等
C ．两角和一组对应边相等
D ．两边及第三边上的高对应相等 ③ 下列命题错误的是（ ）
A ．全等三角形对应边上的高相等
B ．全等三角形对应边上的中线相等
C ．全等三角形对应角的角平分线相等
D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等
【解析】 ①⑴定义，⑵SAS ，⑶ASA ，⑷AAS ，⑸SSS ，⑹HL ；相等．②C ；③D ．
【练习2】 如图，在ABC △中，D E 、分别是边AC BC 、上的点，若
ADB EDB EDC △≌△≌△，则C ∠的度数为______________．
【解析】
30︒.
题型二 全等三角形的判定 巩固练习
【练习3】 已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．
AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．
（北京中考试题）
【解析】 ∵AB ED ∥，∴B E ∠=∠．
在ABC △和CED △中， AB CE B E BC ED =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，，
， ∴ABC CED △≌△． ∴AC CD =．
【练习4】 如图所示，已知AC BC ⊥，AD BD ⊥，AD BC =，CE AB ⊥， DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，试证明CE DF =．
【分析】 法一，根据题目中给出的条件，可以利用“HL ”证明
ABC BAD △≌△，得到CAB DBA ∠=∠，然后再利用“AAS ”证明CAE DBF △≌△，即可得出CE DF =． 法二，此题在证明了ABC BAD △≌△后，根据全等三角形的面积相等，即ABC BAD S S =△△，而这两个三角形又是同底的，可以得出高CE 等于高DF ．
【解析】 法一：∵AC BC ⊥，AD BD ⊥，
∴90ACB BDA ∠=∠=°． 在Rt ABC △和Rt BAD △中，
F
E D C
B A
A
C
E
D
B
E
D
C B
A
()AB BA BC AD =⎧⎨
=⎩边，
，
公共 ∴Rt Rt (HL)ABC BAD △≌△，
∴AC BD =，CAB DBA ∠=∠（全等三角形的对应边、对应角相等）． ∵CE AB ⊥于点E ，DF AB ⊥于点F ， ∴90CEA DFB ∠=∠=°． 在CAE △和DBF △中， 90CEA DFB CAE DBF AC BD ∠=∠=⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
°，，
， ∴(AAS)CAE DBF △≌△，
∴CE DF =（全等三角形的对应边相等）． 法二：∵AC BC ⊥，AD BD ⊥，
∴90ACB BDA ∠=∠=°． 在Rt ABC △和Rt BAD △中， AB BA BC AD =⎧⎨
=⎩
，
， ∴Rt Rt (HL)ABC BAD △≌△，
∴ABC BAD S S =△△．
又∵AB AB =，CE AB ⊥，DF AB ⊥， ∴CE DF =．
【点评】 本题方法一通过两次直角三角形全等得到结论，其中第一次全等运用了“HL ”，第二次
全等运用了“AAS ”，要注意区别．通过方法二我们可以知道有时灵活运用三角形面积相等也可证明两条线段相等．
题型三 全等三角形判定的应用 巩固练习
【练习5】 ⑴如图，AB CD =，AD 、BC 相交于点O ，要使ABO DCO △≌△，应
添加的条件为 ．(添加一个条件即可)
⑵在ABC △和A B C '''△中，AB AB
''=，B B '∠=∠，补充条件后仍不一 定能保证ABC A B C '''△≌△，则补充的这个条件是( )
A ．BC
B
C ''= B ．A A '∠=∠ C ．AC A C ''=
D ．C C '∠=∠
【解析】 ⑴A D ∠=∠或B C ∠=∠；⑵C ．
测1.
⑴如果ABC DEF △≌△，且ABC △的周长是100cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且
30AB =cm ，25DF =cm ，那么BC 的长为 ． ⑵ABC △中，::4:3:2BAC ACB ABC ∠∠∠=，且ABC DEF △≌△，则DEF ∠=______．
【解析】 ⑴∵ABC △≌DEF △，∴25DF AC ==cm ．
又∵ABC △的周长是100cm ，∴(1003025)cm 45cm BC =--=
⑵∵ABC △≌DEF △，∴DEF ABC ∠=∠．
又∵::4:3:2BAC ACB ABC ∠∠∠=，三角形内角和是180︒，
课后测
O D
C
B
A
∴40ABC ∠=︒，∴40DEF ∠=︒．
测2.
如图所示，ABC △中，D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 与CE 交于 点O ，给出下列四个条件：
①EBO DCO ∠=∠；②BEO CDO ∠=∠；③BE CD =；④OB OC = 上述四个条件中，在不添加辅助线的情况下，哪两个条件可判定ABC △是等腰三角形(用序号写出所有情形) .
【解析】 ①③、①④、②③、②④.
测3.
如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ≠BD ，则图中全等三角形
有( )
A.4对
B. 6对.
C.8对
D.10对 【解析】 C
A B
C
D
E
O
O
D
C
B
A。