拓展资源：备选练习 (3)

备选练习
例如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AD、BC分别相交于E、F。

你认为OE与OF有怎样的关系？请证明你的结论。

猜想：平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点O即为对称中心。

由于DA和BC是对应线段，而EF过对称中心O，E、F分别为EF与DA、BC的交点，所以E、F关于点O对称，所以OE=OF。

证明思路：由OE、OF分别在△AOE、△COF中，可证△AOE≌△COF。

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
举一反三：对于任意一个中心对称图形，经过对称中心的直线被该图形所截得的线段恰好以对称中心为中点。

思维误区如图，平形四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE垂直于AB ，OE垂直于CD，垂足分别是E，F，求证：OE=OF。

在这题中，容易误认为∠3和∠4为对顶角，进而得到
∠3=∠4。

必须注意的是，OE、OF是从O点分别向AB、CD
作的两条直线，OE、OF是否在同一直线上需要加以证明。

证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB∥CD，∴∠1=∠2。

又∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠OFD=∠OEB=90°，
∴△OFD≌△OEB，
∴OE=OF。

请读者尝试证明OE、OF在同一直线上。