高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数学案苏教版必修4(2021年整理)

高中数学第一章三角函数1.2 任意角的三角函数学案苏教版必修4 编辑整理：
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任意角的三角函数
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
任意角的三角函数
1。

理解三角函数的定义,会使用定义求三角函数值；
2. 会判断给定角的三角函数值的符号；
3. 会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围
选择题 填空题 任意角的三角函数在高考中属于基础题,
以选择填空形式出现。

注意
三角函数的几何应用—三角函数线
二、重难点提示
重点:三角函数的定义、三角函数线。

难点：用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
一、任意角的三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是（x ，y ），并记|OP |＝r （此时r ＝22y x >0），那么，
（1）比值y
r
叫做α的正弦，记做sinα,即sin
y
r
α=；
（2）比值x
r
叫做α的余弦,记做cosα，即cos
x
r
α=；
(3）比值y
x
叫做α的正切,记做tanα，即tan
y
x
α=。

注意:三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y）在终边上的位置无关,只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关.
二、三角函数在各象限的符号
根据三角函数的定义可知，三角函数在各象限的符号如下图：
技巧点拨：口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.
三、三角函数线
（1）有向线段:规定了方向的线段。

（2)三角函数线
【核心归纳】
(1）三角函数线的定义：
正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数量可以用来表示三角函数值,统称为三角函数线。

(2）特殊情况：
当角α的终边在x轴上,正弦线、正切线分别变成了一个点，其数量为0；当角α的终边在y轴上，余弦线变成了一个点，其数量为0，正切线不存在。

(3）三角函数线的主要作用
解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象和
性质的基础。

例题1 (青岛)已知角θ的终边上有一点P （－3，m ),且sin θ＝4
2
m ，求cos θ与tan θ的值。

思路分析：先利用三角函数定义sin θ＝r
y
，求出m 的值，再用公式cos θ＝r x ,tan θ
＝
x
y
代入数据求解. 答案：由已知r ＝22
3m +-＝23m +，
∴
2342m
m
m +=
,解得m ＝0，或m ＝±5， (1）当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；
（2）当m ＝5时,cos θ＝－46，tan θ＝－315
;
（3)当m ＝－5时，cos θ＝－46，tan θ＝3
15。

技巧点拨:
1. 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r 。

2. 当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。

例题2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围,并由此写出角α的集合。

（1)sin α≥23;（2）cos α≤－2
1
.
思路分析：根据三角函数线，在单位圆中首先作出满足sin α＝23，cos α＝－2
1
的角
的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围。

答案：（1）作直线y ＝2
3
交单位圆于A ，B 两点,连接OA ，OB ,则OA 与OB 围成的区域（如
图①阴影部分）即为角α的终边的范围,
故满足条件的角α的集合为{α｜2k π＋3
π
≤α≤2k π＋32π，k ∈Z ｝,
（2）作直线x ＝－2
1
交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域（如
图②阴影部分）即为角α的终边的范围，
故满足条件的角α的集合为｛α|2k π＋32π≤α≤2k π＋3
4π
，k ∈Z }.
技巧点拨:三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的有力工具。

忽视角所在象限的讨论致误
【满分训练】已知角α的顶点在原点上，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为（3a ，4a ）(a ≠0)，求角α的正弦值和正切值.
错解：由题意得x ＝3a ，y ＝4a ， 所以r ＝22y x +＝2243a a +＝5a ，
所以sin α＝r y ＝a a 54＝54,tan α＝x
y
＝a a 34＝34。

错因分析：本题中点的坐标含参数,当a ＞0时，该点在第一象限，即角α的终边在第一象限；当a ＜0时，该点在第三象限，即角α的终边在第三象限，故应对a 的取值范围进行分类讨论。

防范措施：根据角的终边上一点的坐标求三角函数值时,若坐标中含有字母，则应分类讨论。

正解：由题意得x ＝3a ,y ＝4a ,
所以r ＝22y x +＝2243a a +＝5|a ｜， 若a ＞0,则r ＝5a ，
所以sin α＝54
54==a a r y ，
tan α＝x
y
＝a a 34＝34；
若a ＜0，则r ＝－5a ，
所以sin α＝r y
＝a a 54-＝－54,
tan α＝x
y
＝a a 34＝34。

技巧点拨：开方运算时注意||2a a =这一结论。