苏教版高中选修2-3数学江苏专用课时跟踪检测(二十七) 离散型随机变量的均值

[课下梯度提能]
一、基本能力达标
1. 若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44
D ．3×0.64
解析：选C 因为ξ～B (n,0.6)，所以E (ξ)＝n ×0.6，故有0.6n ＝3，解得n ＝
5.P (ξ＝1)＝C 1
5×0.6×0.44＝3×0.44.
2. 随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于( )
A ．16 C ．2.2
D ．2.3
解析：选A 由已知得E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.
3. 今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )等于( )
A ．0.765
B ．1.75
C ．1.765
D ．0.22
解析：选B P (X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P (X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
4．已知离散型随机变量X 的分布列为
若Y ＝aX ＋3，E (Y )＝7
3，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B 由离散型随机变量分布列的性质，得12＋13＋m ＝1，解得m ＝1
6.
∴E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－1
3. ∴E (Y )＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝－13a ＋3＝7
3， ∴a ＝2.
5．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1
3，遇到红灯时停留的时间都是2 min ，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y 的期望为( )
A.13 B ．1 C.43
D.83
解析：选D 遇到红灯的次数X ～B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，13，∴E (X )＝43.∴E (Y )＝E (2X )＝2×43
＝8
3.
6．若随机变量X ～B (n,0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)＝________. 解析：∵X ～B (n,0.6)，E (X )＝3， ∴0.6n ＝3，即n ＝5.
∴P (X ＝1)＝C 1
5×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44＝0.076 8.
答案：0.076 8
7．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的数学期望为________．
解析：X 的可能取值为3,2,1,0，
P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P (X ＝0)＝0.43＝0.064.
所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064 ＝2.376. 答案：2.376
8．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的数学期望为________．
解析：设取得次品数为X(X＝0,1,2)，
则P(X＝0)＝C03C27
C210＝
7
15，P(X＝1)＝
C13C17
C210＝
7
15，
P(X＝2)＝C23
C210＝
1
15，
∴E(X)＝0×7
15＋1×
7
15＋2×
1
15＝
3
5.
答案：3 5
9．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算
公式有P(A)＝C12C13C15
C310＝
1
4.
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝C38
C310＝
7
15，P(X＝1)＝
C12C28
C310＝
7
15，
P(X＝2)＝C22C18
C310＝
1
15.
综上知，X的分布列为
故E(X)＝0×7
15＋1×
7
15＋2×
1
15＝
3
5(个)．
10．一接待中心有A，B，C，D四部热线电话，已知某一时刻电话A，B占线的概率均为0.5，电话C，D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的数学期望．
解：P(X＝0)＝0.52×0.62＝0.09，
P(X＝1)＝C12×0.52×0.62＋C12×0.52×0.4×0.6＝0.3，
P(X＝2)＝C22×0.52×0.62＋C12C12×0.52×0.4×0.6＋C22×0.52×0.42＝0.37，
P (X ＝3)＝C 12×0.52×0.4×0.6＋C 12C 22×0.52×0.42
＝0.2，
P (X ＝4)＝0.52×0.42＝0.04. 于是得到X 的概率分布列为
所以E (X )＝0＝1.8. 二、综合能力提升
1．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为6
7，则口袋中白球的个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．2
解析：选A 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为X ，则X 取值0,1,2，
P (X ＝0)＝C 27－x
C 27＝(7－x )(6－x )42，
P (X ＝1)＝C 1x ·C 1
7－x C 2
7＝x (7－x )
21， P (X ＝2)＝C 2x
C 27
＝x (x －1)42，
∴0×(7－x )(6－x )42
＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，解得x ＝3.
2．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．
求：(1)抽取次数X 的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好电池． 解：(1)由题意知，X 取值为1,2,3. P (X ＝1)＝3
5； P (X ＝2)＝25×34＝3
10； P (X ＝3)＝25×14＝1
10.
所以X的分布列为
X 12 3
P 3
5
3
10
1
10
(2)E(X)＝1×3
5＋2×
3
10＋3×
1
10＝1.5，
即平均抽取1.5次可取到好电池．
3．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，
则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m处击中目标的概率为1
2，他的命中
率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率；
(2)求射手甲在这次射击比赛中得分的数学期望．
解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都未击中
目标为事件D，依题意P(A)＝1 2，
设在x m处击中目标的概率为P(x)，
则P(x)＝k
x2，且
1
2＝
k
1002，
∴k＝5 000，即P(x)＝5 000 x2，
∴P(B)＝5 000 1502＝
2
9，
P(C)＝5 000 2002＝
1
8，
P(D)＝1
2×
7
9×
7
8＝
49
144.
由于各次射击都是相互独立的，
∴该射手在三次射击中击中目标的概率
P＝P(A)＋P(A·B)＋P(A·B·C)
＝P(A)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)·P(C)
＝1
2＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
1
2·
2
9＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
1
2·⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
2
9·
1
8＝
95
144.
(2)依题意，设射手甲得分为X，则P(X＝3)＝1 2，
P(X＝2)＝1
2×
2
9＝
1
9，P(X＝1)＝
1
2×
7
9×
1
8＝
7
144，
P(X＝0)＝49 144.
所以E(X)＝3×1
2＋2×
1
9＋1×
7
144＋0×
49
144＝
255
144＝
85
48.
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