《直线的倾斜角与斜率》导学案(人教A版必修2)

问题导入：（ 1）经过两点有且只有 ( 确定 )一条直线 . 那么 , 经过一点 P 的直线 l 的位置
能确定吗 ? 如图 , 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, …易见 ,答案是否定的 .这些直线有什 么联系呢 ?
Y
ab
c
O
P
X
它们都经过点 P.
(2)它们的 ‘倾斜程度 ’不同 . 怎样描述这种 ‘倾斜程度 ’的不同 ? 新授课阶段
4．2x－ y－ 11＝ 0 【解析】 易知 AB 边的中点坐标为 D (4，－ 3)，因为 AB 边上的中线
所在的直线经过点
C、 D，由两点式得，
y －
－3－11＝
x－6，化简得 4－6
2x－ y－11＝ 0。
5．B 【解析】 注意到直线过原点时截距相等，都等于 0 和不过原点时倾斜角为
两种情况，所以这样的直线有 2 条．故选 B 。
解 : 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB ⊥PQ. 课堂小结
1.直线的倾斜角和斜率的概念；
2.直线的斜率公式及其灵活运用。
3.直线的位置关系的条件的运用。
拓展提升 1．C 【解析】 由已知可得 tan α＝－ tanπ3＝－ 3，因为 α∈ [0，π)，所以 α＝23π.故选 C。
1.直线的倾斜角的概念
当直线 l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线 l
之间所成的角 α叫
做直线 l 的倾．斜．角．.特别地 ,当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定 α = 0 °．
问 : 倾斜角 α的取值范围是什么 ?
当直线 l 与 x 轴垂直时 ,
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度
课堂小结
1.直线的倾斜角和斜率的概念；
2.直线的斜率公式及其灵活运用。
3.直线的位置关系的条件的运用。
作业
见同步练习部分
拓展提升
1．直线 xtanπ3＋ y＋ 2＝ 0 的倾斜角 α是 (
)
π A. 3
π B.6
2π C. 3
π D ．－ 3
2．下列说法中，正确的是 ( ) ① y＋ 1＝ k(x－ 2)表示经过点 (2，－ 1)的所有直线；
垂直；
α = 90 °直,线与 x 轴
(2)k 与 P1、P2的顺序无关 , 即 y 2, y1和 x2 , x1 在公式中的前后次序可以同时交换 , 但分子
与分母不能交换 ;
(3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得
;
(4) 当 y 2 y1 时 , 斜率 k = 0, 直线的倾斜角 α =0，°直线与 x 轴平行或重合 .
综上所述， d 的取值范围是（ 0， 34 ] 解法二 两平行直线在旋转过程中， 0＜ d≤PQ，而 PQ= 34 ，故 d 的取值范围是（ 0，
34 ] 。
（ 2）当 B≠０时，两直线斜率存在，从方程※中解得
直线的斜率
k= －
A B
=
－
15±d 34－ d2 d2－ 9
A 15±d 34－ d2
B=
2．B 【解析】 y＋ 1＝ k(x－ 2)表示的直线的斜率一定存在，且恒过点
它不能表示垂直于 x 轴的直线，故①错误，其余三个都对．故选
B。
(2，－ 1)，所以，
3．D 【解析】 因为直线倾斜角的取值范围是 [0 °，180 °)，且直线 l 与 x 轴相交，其倾 斜角不能为 0°，所以 45°<α＋ 45°<180°，得 0°<α<135，°故选 D 。
(三 ) 直线的斜率公式 : 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 ≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率 ? 可用计算机作动画演示 : 直线 P1P2 的四种情况 , 并引导如何作辅助线 , 斜率公式 : 对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当 x1 x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角
2
6． C
【解析】
直线
l
的斜率
k＝ tan
1＋ m α＝ 2－ 1
＝ m2＋ 1≥１，所以
π4≤απ2＜。
135 °
7． C 【解析】 α必为钝角，且 sin α的绝对值大，故选 C。
8．C 【解析】 由已知可得 a∈ (0,1)，从而斜率 k∈ (0,1)，且在 x 轴上的截距的绝对值 大于在 y 轴上的截距，故选 C。
|
，
（※）
① 当 B≠０时，两直线斜率存在，有（
d2－ 9）（A B
）
2－
30（
A B
）＋ d2－ 25=0
由 d＞0 及 △ ≥０得：（－ 30） 2－ 4（ d2－ 9）（ d2－ 25）≥０
从而 0＜ d≤ 34 ② 当 B=0 时，两直线分别为 x=－ 2，与 x=1，它们间的距离为 3，满足上述结论。
斜．角． α．.。
2.直线的斜率 : 一条直线的倾斜角 α(α≠90°)的
叫做这条直线的斜率 ,斜率常用小写字母
k 表示 ,也就是
⑴当直线 l 与 x 轴
时 , α=0°, k = tan0 =°0;
⑵当直线 l 与 x 轴
时 , α= 90 °, k 不存在 .
由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角 α一定存在 ,但是斜率 k 不一定存在 . 例如 , α=45°时 , k = tan45 =°1; α =135时°, k = tan135 = °tan(180 －°45°) = - tan45 = - °1. 学习了斜率之后 , 我们又可以用条直线平行与垂直的条件 两条直线都有斜率而且不重合， 如果它们平行，那么它们的斜率相等； 反之，如果它们 的斜率相等，那么它们平行，即 注意 : 上面的等价是在两条直线不重．合．且．斜．率．存．在．． 的前提下才成立的，缺少这个前提， 结论并不成立．即如果 k1=k2, 那么一定有 L 1∥ L2; 反之则不一定 .
的直线 l2 方程为 Ax+By+C2=0，由于点 P、 Q 在直线上，得－ 2A－ 2B+C1=0， A+3B+C2=0，
两式相减得 C1－ C2=3A＋ 5B，两直线间的距离为 即：（ d2－ 9） A2－ 30AB＋（ d2－ 25） B2=0
|C1-C2 | A 2+B 2
=
|3A ＋5B A 2+B2
π 3π D.2<α≤4
7．已知直线
l 的倾斜角
α满足条件
sin
α＋
cosα＝
1，则 5
l 的斜率为 (
)
4
3
A. 3
B. 4
4 C．－ 3
3 D．－ 4
8．已知函数 f( x)＝ ax(a>0 且 a≠ 1，) 当 x>0 时，f(x)<1 ，方程 y＝ ax＋1a表示的直线是 (
)
参考答案
新授课阶段
两．条．直．线．都．有．斜．率． ，如果它们互相垂直， 那么它们的斜率互为负倒数； 反之，如果它们 的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意 : 结论成立的条件 . 即如果 k1·k2 = -1, 那么一定有 L1⊥ L2; 反之则不一定 . 例 2 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系 , 并证明你 的结论 . 解: 例 3 已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系。 解:
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 例 1 两条平行直线分别过点 P（－ 2，－ 2）， Q（ 1， 3），它们之间的距离为 d，如果
这两条直线各自绕着 P、 Q 旋转并且保持互相平行。
（ 1） 求 d 的变化范围；
（ 2）
用 d 表示这两条直线的斜率；
（ 3）
当 d 取最大值时，求两条直线的方程。
5．过点 P(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线的条数是 ( )
A ． 1 条 B． 2 条 C．3 条 D． 4 条 6．直线 l 经过 A(2,1)，B(1，－ m2)( m∈ R )两点，则直线 l 的倾斜角 α的范围是 ( )
π A ． 0≤α≤4
π B. 2<α<π
ππ C.4≤α<2
1.直线的倾斜角的概念 向上方向 0°≤＜α180°. α= 90 °．
2.直线的斜率 :
正切值
k = tan α 平行或重合；垂直
(三 ) 直线的斜率公式 : k
y2 y1 x2 x1
例1
（ 1）解法一 设过点 P（－ 2，－ 2）的直线 l 1 方程为： Ax+By+C1=0，过点 Q（ 1， 3）
, 引入直线的倾斜角之后 , 我
们就可以用倾斜角 α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度
.
Y
a
b
c
O
X
如图 , 直线 a∥ b∥ c, 那么它们的倾斜角 α相等吗 ? 答案是肯定的 .所以一个倾斜角 α不
能确定一条直线。确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：
一．个．点． P．和．一．个．倾．
② y＋ 1＝ k(x－ 2)表示经过点 (2，－ 1)的无数条直线；
③直线 y＋ 1＝ k(x－ 2)恒过定点；
④直线 y＋ 1＝ k(x－ 2)不可能垂直于 x 轴． ( )
A ．①②③
B．②③④
C．①③④
D ．①②④
3．设直线 l 与 x 轴的交点是 P，且倾斜角为 α，若将此直线绕点 P 按逆时针方向旋转
45°，得到直线的倾斜角为 α＋ 45°，则 ( )
A ． 0°≤α<180 ° B． 0°≤α<135 ° C． 0°<α≤ 135 °D ．0°< α<135 ° 4．已知△ ABC 的三个顶点 A(3，－ 1)，B(5，－ 5)，C(6,1)，则 AB 边上的中线所在的直 线方程为 ________。
d2－ 9
,
（ 3）当 d=
34 时， k=－
A3 B =－ 5 ，对应两条直线分别为
l1： 3x＋5y＋ 16=0,
l2：3x＋ 5y－ 18=0
3.两条直线平行与垂直的条件
例2
解 : 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以直线 BA∥ PQ. 例3
【学习目标】
3.1《直线的倾斜角与斜率》导学案
(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 理解直线的倾斜角的唯一性 .
(3) 理解直线的斜率的存在性 .
(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
(5) 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直
.
【导入新课】