2018-2019学年广东省肇庆市百花中学高一(上)期中数学试卷(附答案详解)

2018-2019学年广东省肇庆市百花中学高一（上）期中数
学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={−1,2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于()
A. {0}
B. {2}
C. {0,1，2}
D. φ
2.已知集合A={x|x2−1=0}，则下列式子表示正确的有()
①{1}∈A；②−1⊆A；③⌀⊆A④{1,−1}⊆A
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.下列函数中，在(0,+∞)上为增函数的是()
A. y=3−x
B. y=−|x|
C. y=x2+1
D. y=3
x
4.函数f(x)=√2−x+log2(2+x)的定义域是()
A. {x|−2≤x≤2}
B. {x|−2<x≤2}
C. {x|−2≤x<2}
D. {x|−2<x<2}
5.函数y=a x−2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点()
A. (0,1)
B. (1,1)
C. (2,0)
D. (2,2)
6.函数f(x)=8
x
的值域是()
A. (−∞,+∞)
B. (−∞,0)
C. (0,+∞)
D. (−∞,0)∪(0,+∞)
7.三个数a=0.32，b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是()
A. b<c<a
B. c<b<a
C. b<a<c
D. a<c<b
8.如果log 1
2x<log 1
2
y<0，那么()
A. y<x<1
B. x<y<1
C. 1<x<y
D. 1<y<x
9.若lgx−lgy=a，则lg(x
2)3−lg(y
2
)3=()
A. 3a
B. 3
2a C. a D. a
2
10.根据表格内的数据，可以断定方程e x−x−2=0的一个根所在的区间是()
A. (−1,0)
B. (0,1)
C. (1,2)
D. (2,3)
11.下图是指数函数(1)y=a x，(2)y=b x，(3)y=c x，(4)y=d x的图象，则a、b、c、
d与1的大小关系是()
A. a<b<1<c<d
B. b<a<1<d<c
C. 1<a<b<c<d
D. a<b<1<d<c
12.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为()
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本
再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
A. (1)(2)(4)
B. (4)(2)(3)
C. (4)(1)(3)
D. (4)(1)(2)
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.计算：0.2512+lg2+log
3+lg5=______．
9
14.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2+x+1，则f(−1)=______．
15.已知幂函数y=f(x)的图象过(2,√2
)，则f(9)=．
2
16.已知a+a−1=3，则a12+a−12=______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.求下列函数的定义域：
(1)f(x)=√x+4
；
x+2
(2)f(x)=√x2−5x+6．
18. 已知集合A ={x|3≤x <7}，B ={x|x 2−12x +20<0}，求：A ∩B ，∁R (A ∪B)，
(∁R A)∩B ．
19. 已知函数f(x)={x +1,x ≤−22x −1,x ≥2
x 2+2x,−2<x<2． (1)求f(−5)，f(−√3)，f[f(−52)]的值；
(2)若f(a)=3，求实数a 的值．
20. 已知函数f(x)=x +m x ，且f(1)=3．
(1)求m 的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
21.有一个公益广告说：“若不注意节约用水，那么若干年后，最有一滴水只能是我们
的眼泪．”我国是水资源匮乏的国家．为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定：每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%.设某人本季度实际用水量为x(0≤x≤7)吨，应交水费为f(x)，
(1)求f(4)、f(5.5)、f(6.5)的值；
(2)试求出函数f(x)的解析式．
22.已知函数f(x)=a⋅2x+a−2
是奇函数．
2x+1
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(3)求函数的值域．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由集合B中的0≤x≤2，得到范围中的整数有0，1，2，共3个，
∴集合B={0,1，2}，又A={−1,2}，
则A∩B={2}．
故选：B．
找出集合B中范围中的整数解，确定出集合B，再由集合A，找出两集合的公共元素，即可确定出两集合的交集．
此题考查了交集及其运算，是一道基本题型，其中根据题意确定出集合B是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：已知集合A={x|x2−1=0}={−1,1}，
①{1}∈A；②−1⊆A；③⌀⊆A④{1,−1}⊆A
由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得：以上式子表示正确的有：③④
故选：B．
利用集合与集合基本运算求出A集合，再由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得答案，
本题考查集合与集合基本运算，集合与集合的关系，元素与集合的关系，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：函数y=3−x在(0,+∞)上为减函数，故选项A错误；
函数y=−|x|在(0,+∞)上为减函数，故选项B错误；
函数y=x2+1在(0,+∞)上为增函数，故选项C正确；
函数y=3
在(0,+∞)上为减函数，故选项D错误．
x
故选：C．
利用基本初等函数的单调性逐一判断即可．
理能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：要使函数有意义，则{2−x ≥02+x >0
， 得{x ≤2x >−2
，即−2<x ≤2， 即函数的定义域为{x|−2<x ≤2}，
故选：B ．
根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查函数定义域的求解，利用函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵当X =2时
y =a x−2+1=2恒成立
故函数y =a x−2+1(a >0且a ≠1)的图象必经过点(2,2)
故选：D ．
根据a 0=1(a ≠0)时恒成立，我们令函数y =a x−2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y =a x−2+1(a >0且a ≠1)的图象恒过点的坐标．
本题考查的知识点是指数函数的单调性与特殊点，其中指数的性质a 0=1(a ≠0)恒成立，是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：令y =8x ，则解析式中y 的取值范围即为函数的值域
则原函数的解析式可变形为x =8y ，
要使该表达式有意义，分母y ≠0．
∴y ∈(−∞,0)∪(0,+∞)
解析式，写出用y表示x的形式，令表达式有意义，即可求出满足条件的y的取值范围，即原函数的值域．
本题考查的知识点是函数的值域，函数的值域的求法是函数中的难点之一，其中根据函数的解析式形式，选择适当的方法是求值域的问题．
7.【答案】C
【解析】解：∵0<a=0.32<1，b=log20.3<log31=0，c=20.3>20=1．
∴b<a<c．
故选：C．
利用幂函数、指数函数和对数函数的单调性即可得出．
本题考查了幂函数、指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：不等式log1
2x<log1
2
y<0可化为：
log1
2
x<log1
2
y<log1
2
1
又∵函数y=log1
2x的底数0<1
2
<1
故函数y=log1
2
x为减函数
∴x>y>1
故选：D．
本题所给的不等式是一个对数不等式，我们要先将不等式的三项均化为同底根据对数函数的单调性，即可得到答案．
本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据对数函数的性质将对数不等式转化为一个整式不等式是解答本题的关键．
9.【答案】A
【解析】
直接利用对数的性质化简表达式，然后把lgx−lgy=a代入即可【解答】
解：lg(x
2)3−lg(y
2
)3
=3(lgx−lgy)=3a．
故选A．
10.【答案】C
【解析】解：由上表可知，
令f(x)=e x−x−2，
则f(−1)≈0.37+1−2<0，
f(0)=1−0−2=−1<0，
f(1)≈2.72−1−2<0，
f(2)≈7.39−2−2>0，
f(3)≈20.09−3−2>0．
故f(1)f(2)<0，
故选：C．
令f(x)=e x−x−2，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．考查了二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数的图像和性质，体现了数形结合思想的运用．
解法一：可先分两类，即(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数小于1，然后再从(3)(4)中比较c、d的大小，从(1)(2)中比较a、b的大小．
解法二：作一条直线x=1，它与各个图象的交点的纵坐标就是各自的底数，由图即可比较它们的大小．
【解答】
解法二：令x=1，由图知c1>d1>a1>b1，
∴b<a<1<d<c．
故选：B．
12.【答案】D
【解析】解：离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象(4)；
回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象(1)；最后加速向学校，其距离与时间的关系为二次函数，故应选图象(2)．
故选：D．
根据题意，即可得解．
本题考查的知识点是函数的图象，属于基础题．
13.【答案】2
+lg5=1+(lg2+lg5)=1+1=2，
【解析】解：原式=0.5+lg2+1
2
故答案为：2．
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．
14.【答案】3
【解析】解：f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2+x+1，
则f(−1)=f(1)=3．
故答案为：3．
由偶函数性质可得f(−1)=f(1)，结合已知解析式求解即可．
本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】1
3
【分析】
本题主要考查用待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．
设幂函数y =f(x)=x α，由题意可得f(2)=√22，由此求得α的值，可得y =f(x)的解析式，从而可求f(9)的值．
【解答】
解：设幂函数y =f(x)=x α，
由题意可得f(2)=√22，即2α=√22=2−12， ∴α=−12
，∴y =f(x)=x −12． ∴f(9)=9−12=13， 故答案为：13．
16.【答案】√5
【解析】解：∵a >0，
∴a 12+a −12=√(a 12+a −12)2
=√a +a −1+2=√5． 故答案为：√5．
利用a 12+a −12=√a +a −1+2，即可得出．
本题考查了指数的运算法则、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由{x +4≥0x +2≠0
，得x ≥−4且x ≠−2； ∴函数f(x)的定义域为{x|x ≥−4且x ≠−2}．
(2)由x 2−5x +6≥0，得(x −2)(x −3)<0，解得：2<x <3；
∴函数f(x)=√x 2−5x +6的定义域为{x|2<x <3}．
【解析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查函数定义域的求解，利用函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．
18.
【答案】解：B ={x|2<x <10}，∴A ∩B ={x|3≤x <7}，A ∪B ={x|2<x <10}， ∴∁R (A ∪B)={x|x ≤2，或x ≥10}，
∵∁R A ={x|x <3，或x ≥7}，
∴(∁R A)∩B ={x|2<x <3，或7≤x <10}．
【解析】进行交集、并集和补集的运算即可．
本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(−5)=−5+1=−4，
f(−√3)=(−√3)2+2(−√3)=3−2√3，
f(−52)=−52+1=−32
，则f(−32)=(−32)2+2×(−32)=94−3=−34， 即f[f(−52)]=−34；
(2)若a ≤−2，由f(a)=3，得a +1=3，解得a =2，不成立，
若−2<a <2，则由f(a)=3得a 2+2a =3，即a 2+2a −3=0，解得a =1或a =−3(舍)，
若a ≥2，则由f(a)=3得2a −1=3，得a =2，
综上a =1或a =2．
【解析】(1)根据分段函数的表达式直接代入进行求解即可．
(2)分别讨论a 的范围，解方程f(a)=3即可．
本题主要考查分段函数的应用，根据分段函数的表达式分别进行求解是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意知，f(1)=1+m =3，
∴m =2；
(2)由(1)知，f(x)=x +2x ，x ≠0，
∵f(−x)=−x +2−x =−(x +2x )=−f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
【解析】(1)根据f(1)=3即可得出m =2；
(2)先得出f(x)的定义域，然后容易得出f(−x)=−f(x)，从而得出f(x)是奇函数．
本题考查了已知函数求值的方法，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题．
21.
【答案】解：(1)根据题意f(4)=4×1.3=5.2；f(5.5)=5×1.3+0.5×3.9=8.45； f(6.5)=5×1.3+1×3.9+0.5×6.5=13.65．
(2)根据题意：
①当x ∈[0,5]时
f(x)=1.3x
②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；
即：当x ∈(5,6]时
f(x)=1.3×5+(x −5)×3.9=3.9x −13
③当x ∈(6,7]时
f(x)=6.5x −28.6；
∴f(x)={1.3x,x ∈o[0,5]
3.9x −13,x ∈(5,6]6.5x −28.6,x ∈(6,7]
．
【解析】(1)根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，求f(4)；根据若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%求f(5.5)；
(2)根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%.分为三段，建立分段函数模型．
本题主要考查做应用题时：要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为R ，且为奇函数，∴f(0)=0，
∴a =1
(2)由(1)知f(x)=2x −12+1=1−2
2+1，所以f(x)为增函数 证明：任取x 1<x 2∈R
f(x 1)−f(x 2)=1−22x 1+1−1+22x 2+1=2(2x 1−2x 2) (2x 1+1) (2x 2+1)
∵x 1<x 2∈R ∴2x 1<2x 2
∴f(x 1)−f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2)
∴f(x)为R 上的增函数．
(3)令y =2x −1
2x +1则2x =−1−y y−1
而2x>0∴2x=−1−y
y−1
>0
∴−1<y<1
所以函数f(x)的值域为(−1,1)
【解析】(1)根据函数f(x)为定义域为R的奇函数，则f(0)=0，代入解析式可求出a 的值；
(2)由(1)知f(x)=2x−1
2x+1=1−2
2x+1
，所以f(x)为增函数，任取x1<x2∈R，然后判定
f(x1)−f(x2)的符号，根据函数单调性的定义即可判定；
(3)令y=2x−1
2x+1
，求出2x，根据2x的范围可求出y的范围，从而求出函数的值域．本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的单调性和函数的值域，属于中档题．。