2013-高数下考试试卷及参考答案

武汉理工大学考试试卷（A 卷）
2013 ~2014 学年 2 学期 高等数学A （下） 课程 任课教师．．．．
日
一、选择题（本题共5小题，每小题3分） 1、直线21
121
y z x -++==-与平面10x y z --+=之间的夹角为（ ） 。

（A ）/2π；（B ）/6π；（C ）/3π；（D ）0
2、二元函数(),f x y 在其驻点()0,0处可微的充要条件是( )。

(A)
0x y →→= (B) 0
0(,0)(0,0)
(0,)(0,0)
lim
0,lim 0x y f x f f y f x y
→→--==
(C)[]0
lim (,)(0,0)0x y f x y f →→-=
(D)00lim (,0)(0,0)0lim (0,)(0,0)x x y y x y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''
-==-⎣⎦
⎣⎦
3、设函数(),f x y 连续，则二次积分
2
22
02cos ()d f r rdr π
θ
θ⋅=⎰
⎰
( )。

(A) 2
2
2
()dx f x y dy +⎰
(B)
2
220
()dx f x y dy +⎰
(C)
2
22
()dy f x y dx +⎰
(D)
2
220
1()dy f x y dx +⎰
4、设L 为圆周2
2
1x y +=，则2L
x ds =⎰Ñ （ ）。

(A) π-；(B)
2
π
；(C) π； (D) 2π 5、设lim 0n n na a →∞
=≠，则级数
1
n
n a
∞
=∑ ( )。

（A ）发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D)无法确定敛散性
二、填空题（本题共5小题，每小题3分）
1、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，则
z z x y
∂∂+=∂∂1.
2、曲线32
x t y t z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
在点()1,1,1处的法平面方程为326.x y z ++=
3、设Ω是由平面2
0,,1,z z y y y x ====所围成的闭区域，则0.xzdxdydz Ω
=
⎰⎰⎰
4、设曲面∑为()2
2
101x y z +=≤≤，则曲面积分
23
.2
x dS π∑
=
⎰⎰
Ò
5、幂级数()
1
31
n
n n x n ∞
=-+∑
的收敛域是
11
(,].33
-
三、计算题（本题共7小题，每小题8分） 1、求微分方程()ln ln 0x xdy y x dx +-=的通解。

2、已知两直线1:1L x y z ==-和211
:132
y z L x ---=
=--， 求：（1）过2L 且平行于1L 的平面π的方程； （2）1L 与2L 的最短距离d 。

3、设函数2
2
(,),z f x y xy f =具有二阶连续偏导数，求22
,z z x x ∂∂∂∂.
4、
计算：10
x
y
I dx dy y
=⎰.
5、 已知L 是第一象限中从点(0,0)O 沿圆周222x y x +=到点()2,0A ，再沿圆周224x y +=到点
(0,2)B 的曲线段，计算233(2)L
I x ydx x x y dy =++-⎰。

6、计算()()()2
22I y
x dydz z y dzdx x z dxdy ∑
=
-+-+-⎰⎰，其中∑为曲面222z x y =--位于0z ≥内
的部分的上侧.
7、求级数()11n
n n x ∞
=-∑的收敛域及其和函数，并求级数()1
12n
n n n ∞
=⋅-∑的和。

四、应用题（本题满分8分）
求二元函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域{}
22
(,)4,0D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值。

五、证明题（本题满分6分）
设()u f 连续，区域Ω由10≤≤z ，2
22t y x ≤+围成，设()(
)[]
d V y x f
z
t f ⎰⎰⎰Ω
++=
222
，
求证：3)(lim 2
0π
=+
→t
t f t ，并求)(t f 的表达式.
武汉理工大学考试试卷 --- 参考答案（A 卷）
一、选择题（本题共5小题，每小题3分） 1、直线21
121
y z x -++==-与平面10x y z --+=之间的夹角为（ ） 。

（A ）
2π （B ）6π （C ）3
π
（D ）0 解：(1,2,1),(1,1,1)s n =-=--，(1,2,1)(1,1,1)0,sn s n =---=⊥，选 D
2、二元函数(),f x y 在其驻点()0,0处可微的充要条件是( )。

(A)
0x y →→= (B) 0
0(,0)(0,0)(0,)(0,0)
lim
0,lim 0x y f x f f y f x y
→→--==
(C)[]00
lim (,)(0,0)0x y f x y f →→-= (D)00lim (,0)(0,0)0lim (0,)(0,0)x x y y x y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-==-⎣⎦⎣⎦
解：(0,0)为(,)f x y 驻点，则(0,0)0,(0,0)0,x y f f ''==可微()z o ρ⇔∆=
⇔0x y →→=选A 。

（B ）偏导数存在，为可微的必要条件（没说偏导数连续）；（C ）函数连续为必要条件；
（D ）偏导连续是充分条件，不是必要条件。

3、 设函数(),f x y 连续，则二次积分
2
2202cos ()d f r rdr π
θ
θ⋅=⎰
⎰
( )。

(A) 2
2
2
()dx f x y dy +⎰
(B)
2
220
()dx f x y dy +⎰
(C)
2
22
()dy f x y dx +⎰
(D)
2
220
1()dy f x y dx +⎰
解：圆2r =为224x y +=，2cos r θ=为22
(1)1x y -+=，。

4、设L 为圆周221x y +=，则2
L
x ds =⎰Ñ （ ）。

(A) π-； (B) 2
π
； (C) π；(D) 2π 解：2222
11()22
L L
L
L
x ds y ds x y ds ds π==
+==⎰⎰
⎰⎰
蜒蜒
5、设lim 0n n na a →∞
=≠，则级数
1
n
n a
∞
=∑ ( )。

（A ）发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D)无法确定敛散性 解：由lim 0n n na a →∞
=≠知n n
a ∑不可能为交错级数，要么为正项，要么为负项。

由正项级数公式：n n
a ∑与1
n
n
∑
收敛性相同。

故发散。

二、填空题（本题共5小题，每小题3分）
1、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，则
z z x y
∂∂+=∂∂1. 解：由题知z 是,x y 的函数。

令23u x y z =+-有2sin u u =。

两边对x 求导：
2cos (13)13x x
u z z ''⋅-=-，2cos 16cos 3x u z u -'=-，同理4cos 26cos 3y u z u -'=-。

1z z x y
∂∂+=∂∂。

也可不引进U 。

2、曲线32
x t y t z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
在点()1,1,1处的法平面方程为
326.
x y z ++=
解：2
(,,)(3,2,1) (1,1,1) (3,2,1)s n x y z t t '''===，3(1)2(1)(1)0x y z -+-+-=即326x y z ++=
3、设Ω是由平面20,,1,z z y y y x ====所围成的闭区域，则
0.xzdxdydz Ω
=
⎰⎰⎰
解：设(,,)f x y z xz =，Ω关于0x =面即YOZ 面对称，而(,,)(,,)f x y z xz f x y z -=-=-，故为0.
4、设曲面∑为()22101x y z +=≤≤，则曲面积分
23
.2
x dS π∑
=
⎰⎰
Ò
解：
2
22
2x dS x dS x dS x dS ∑
∑∑∑=++
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
乙乙上
下
侧
=
4π+4
π+π=32π。

其中：
22
22
11=()122x dS y dS x y dS dS π∑∑∑∑=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙乙侧
侧
侧
侧
212
222
223
0011()224
Dxy
Dxy
Dxy x dS x dS x dxdy y dxdy x y dxdy d r dr ππθ∑∑====
+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙乙?上
下
5、幂级数()
1
3()1
n
n n s x x n ∞
=-=
+∑的收敛域是
11
(,].33
- 解：1
1lim ||3n n n a R a →∞+==，111
()31n s n ∞
=-=+∑发；11(1)()31n n s n ∞=-=+∑收。

故为11(,]33-
三、计算题（本题共7小题，每小题8分）
1、 求微分方程()ln ln 0x xdy y x dx +-=的通解。

解：11ln y y x x x '+
=， 111
ln ln ln 1ln ,.ln 2
dx dx dx x x x x x x c x y ce e e dx c R x x --⎰⎰⎰=+⋅⋅=+∈⎰
2、 已知两直线1:1L x y z ==-和211
:132
y z L x ---=
=--， 求：（1）过2L 且平行于1L 的平面π的方程； （2）1L 与2L 的最短距离d 。

解：（1）{}{}{}1,1,11,3,21,3,4n ∆
⨯--=-=为平面的法向量，在2L 上取点(1,1,1)A ，
由点法式得平面π的方程为：340x y z +-= （2）在1L 上取点(0,0,1)B ，则B 点到平面π
的距离即为d ==
3、 设函数2
2
(,),z f x y xy f =具有二阶连续偏导数，求22
,z z x x ∂∂∂∂. 解：2122x z xyf y f '''=+⇒ ()()2221111221222222xx
z yf xy xyf y f y xyf y f '''''''''''=++++⇒
2234
1111222244.xx z yf x y f xy f y f '''''''''=+++
4、
计算：10
x
y
I dx dy y
=⎰. 解：换序 ()()21
11120000sin sin cos cos y y y y I dy dx y y dy y yd y y y =
=-=-+⇒⎰⎰⎰⎰ ()()111
000
cos cos 1cos1cos sin 1sin1.I y yd y y y y =-+=-+-=-⎰
思考：用分部积分可以吗？
11110000sin [][]]x x
x x y y y x
I dx dy x dy x dy dx x dx y y y x '==-=-⎰⎰⎰
1
1111
00
00011sin cos |sin 21cos1sin 1sin122
xdx x u udu u udu =-
=--⋅=--=-⎰⎰⎰⎰。

5、已知L 是第一象限中从点(0,0)O 沿圆周222x y x +=到点()2,0A ，再沿圆周224x y +=到点(0,2)B 的曲线段，计算233(2)L
I x ydx x x y dy =++-⎰。

解：2
3
2
3
3(2)3(2)L I x ydx x x y dy x ydx x x y dy +=++--++-⎰⎰Ñ()0
2
2 4.2
D
d y dy π
σ=--=
-⎰⎰⎰
6、计算()()()2
22I y
x dydz z y dzdx x z dxdy ∑
=
-+-+-⎰⎰，其中∑为曲面222z x y =--位于0z ≥内
的部分的上侧. 解：()()()1
12
22:0
z I y
x dydz z y dzdx x z dxdy ∑+∑∑==
-
-+-+-⎰⎰⎰⎰
()222:2
365.xy D x y I dv x dxdy πππΩ
+≤=--
-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰
7、求级数()11n
n n x ∞
=-∑的收敛域及其和函数，并求级数
()1
12n
n n n ∞
=⋅-∑的和。

解：一方面，lim 111021n n x x n →∞=⇒-<⇒<<-， 当0x =时，原级数为()1
1n
n n ∞
=-∑发散，
当2x =时，原级数为
1
n n ∞
=∑发散故级数()1
1n
n n x ∞
=-∑的收敛域为()0,2.
另方面，()()()11
2
1
1
11()111x t
n
n n
n n n n n t t S x n x t nt
t t t t t t t ∞
∞
∞
∞∆-=-====''⎛⎫⎛⎫'=-====⋅= ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭
∑∑∑∑ 故 ()()
()2
1
1
()1022n
n x S x n x x x ∞
=-=-=
<<-∑ 最后，()11
1112.2229n
n
n n n n n S ∞
∞==⋅-⎛⎫⎛⎫=⋅-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑
四、应用题（本题满分8分）求二元函数2222
(,)2f x y x y x y =+-在区域
{}
22(,)4,0D x y x y y =+≤≥
上的最大值和最小值。

解：（A
）先求函数的驻点：解方程组22220(21420x y f x xy x f y f y x y ⎧'=-=⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨
⎨'=⎪
=-=⎩⎪⎩ 再求边界上的最点： （1）当0,22y x =-≤≤时，2(,)f x y x =， 此时的最大值为(2,0)4f ±=，最小值为(0,0)0f =；
（B ）当224,0x y y +=≥时，令()()
222222
,,24L x y x y x y x y λλ=+-++-
解方程组2222222220(1)0 1 0,324220(2)0() 240(3)x y L x xy x x or y x y L y x y y y A or x x y λλλλ⎧'=-+=⇒==+⇒==⎪⎪
'=-+=⇒==+⎨
⎪+-=⎪⎩
由（）见
22
021223=2210)x x x x or y y y y y λλλ⎧⎧
=±=±⎪⎪=⎧=+⎧⎪⎪⇒
⎨⎨⎨⎨==+⎩⎩⎪⎪=≥=⎪⎪⎩⎩
代入（）有，则综上 (
)7
0,28,4f f ⎛== ⎝
⎭ 比较上述函数值的大小得，max min 8,0.f f == 五、证明题（本题满分6分）
设()u f 连续，区域Ω由10≤≤z ，2
22t y x ≤+围成，设()(
)[]
d V y x f
z
t f ⎰⎰⎰Ω
++=
222
，
求证：3)(lim
2
0π
=+
→t
t f t ，并求)(t f 的表达式. 证及解： （1）(
)()21
2
20
[][]t f t z
f
dV d d z f dz πθρρρ=
+=+⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()()20
2,3
t f t t f d π
πρρρ=
+⎰
()()()3
03
3
23)(lim
lim lim 02
002
0π
ππ
ππ
ρ
ρρππ
=
+=
+=
+=+
→+→+
→⎰f t f t
d f t
t f t t
t t ，()00=f
（2）()()t t f t t f ππ
23
2+=
'，且()00=f ，这是可分离变量的微分方程 ()()tdt t f t df π23
1
=+，()312-=∴t Ce t f π，又()00=f ，3
1
=∴C
故 ()()
13
12
-=
t e t f π。