2020版考前三个月(浙江专版文理通用)习题 高考知识 方法篇 专题4 三角函数与平面向量 第16练 Word版答案

第16练 三角函数的图象与性质
[题型分析·高考展望] 三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换．考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般为低中档，在二轮复习中应强化该部分的训练，争取对该类试题会做且不失分．
体验高考
1．(2015·湖南)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π
2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π
3，则φ等于( )
A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6 答案 D
解析 因为g (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)， 所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，
所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，
则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π
2，k 2∈Z ，
2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ， 得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪(k 1－k 2)π＋π
2－φ. 因为0<φ<π2，所以0<π2－φ<π
2
，
故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π
3，
则φ＝π
6
，故选D.
2．(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )
A ．向左平行移动π
3
个单位长度
B ．向右平行移动π
3个单位长度
C ．向左平行移动π
6个单位长度
D ．向右平行移动π
6个单位长度
答案 D
解析 由题可知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D.
3．(2016·课标全国乙)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π
4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫
π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 答案 B
解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ，即π
2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T
2＝
2π
2ω
，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 4．(2015·浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．
答案 π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π
8＋k π，k ∈Z 解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋1
2sin 2x ＋1
＝
22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π
2
＝π. 由π2＋2k π≤2x －π4≤3π
2＋2k π，k ∈Z ， 解得3π8＋k π≤x ≤7π
8
＋k π，k ∈Z ，
∴单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π
8＋k π，k ∈Z . 5．(2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫
π2－x ·
cos ⎝⎛⎭
⎫x －π
3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π
4上的单调性． 解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π
2＋k π，k ∈Z }．
f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π
3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π
3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋3
2sin x － 3
＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)令z ＝2x －π
3
，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是
⎣⎡⎦
⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .
由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π，k ∈Z .
得－π12＋k π≤x ≤5π
12
＋k π，k ∈Z .
设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π
12
＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4. 所以，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4
，－π
12上单调递减． 高考必会题型
题型一 三角函数的图象
例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )
A.⎝
⎛⎭⎫k π－14，k π＋3
4，k ∈Z B.⎝
⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋3
4，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14
，k ＋3
4，k ∈Z D.⎝
⎛⎭⎫2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z (2)(2016·北京)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π
4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A ．t ＝12，s 的最小值为π
6
B ．t ＝
32，s 的最小值为π6
C ．t ＝12，s 的最小值为π
3
D ．t ＝
32，s 的最小值为π3
答案 (1)D (2)A
解析 (1)由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2π
ω
＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，
∴f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎫πx ＋π
4. 由2k π<πx ＋π
4<2k π＋π，k ∈Z ，
得2k －14<x <2k ＋3
4
，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z .故选D. (2)点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3的图象上，
则t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12
. 又由题意得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋s )－π
3＝sin 2x ， 故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π
6
.
点评 (1)画三角函数图象用“五点法”，由图象求函数解析式逆用“五点法”是比较好的方法．
(2)对三角函数图象主要确定下列信息：①周期；②最值；③对称轴；④与坐标轴交点；⑤单调性；⑥与标准曲线的对应关系．
变式训练1 (1)若函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(0<ω<2)的图象关于直线x ＝π
6对称，则f (x )的最小正周
期为( ) A.2π
3 B.4π3 C ．2π
D.8π3
(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π
2，ω＞0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解
析式为______________．
答案 (1)B (2)f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(0<ω<2)的图象关于直线x ＝π6对称，∴sin(π6ω＋π
4)＝±1，
∴π6ω＋π4＝k π＋π
2，k ∈Z ， 解得ω＝6k ＋3
2，k ∈Z ，
∵ω＝6k ＋3
2∈(0,2)，
解得k ＝(－14，1
12
)，k ∈Z ，
∴可得k ＝0，解得ω＝3
2
.
∴f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π32＝4π
3
.
(2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝1
2.
∵|φ|＜π2，∴φ＝π6
.
又∵11π
12是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，
∴
11π12ω＋π
6
＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6. 题型二 三角函数的简单性质
例2 (2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫
π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤
π6，2π3上的单调性． 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫
π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －
3
2
(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －3
2(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3－3
2， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π
3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π
12
时，f (x )单调递增，
当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π
3
时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦
⎤5π12，2π
3上单调递减． 点评 解决此类问题首先将已知函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k )的形式，再将ωx ＋φ看成θ， 利用y ＝sin θ(或y ＝cos θ)的单调性、对称性等性质解决相关问题． 变式训练2 (2016·北京)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)求f (x )的单调递增区间． 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2⎝⎛
⎭
⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4， 由ω＞0，f (x )最小正周期为π，得2π
2ω＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得－3π8＋k π≤x ≤π
8
＋k π，k ∈Z ，
即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π
8＋k π，k ∈Z . 题型三 三角函数图象的变换
例3 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π
2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；
(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫
5π12，0，求θ的最小值．
解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6
.数据补全如下表：
且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2θ－π
6. 因为函数y ＝sin x 的图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π
12－θ，k ∈Z .
由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫
5π12，0成中心对称， 令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π
3，k ∈Z ， 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6
.
点评 对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减，上加下减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx ＋φ写成ω(x ＋φ
ω)，最后确定平移的单位
和方向．伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向加以区分．
变式训练3 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n ), 函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π
3，－2)． (1)求m ，n 的值；
(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间． 解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .
因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π
3
，－2)，
所以⎩⎨⎧
3＝m sin π6＋n cos π
6
，
－2＝m sin 4π3＋n cos 4π
3
，
即⎩⎨
⎧
3＝12m ＋3
2
n ，－2＝－32m －1
2
n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，
n ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π
6)．
由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π
6)．
设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，
由题意知，x 2
0＋1＝1，所以x 0＝0，
即y ＝g (x )图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π
6)＝1，
因为0<φ<π，所以φ＝π
6，
所以g (x )＝2sin(2x ＋π
2
)＝2cos 2x .
由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π
2≤x ≤k π，k ∈Z ，
所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π
2
，k π]，k ∈Z .
高考题型精练
1．(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x
答案 A
解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π
2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；
y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确； C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确．
2．(2016·课标全国甲)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移后图象的对
称轴为( ) A ．x ＝k π2－π
6(k ∈Z )
B ．x ＝k π2＋π
6(k ∈Z )
C ．x ＝k π2－π
12(k ∈Z )
D ．x ＝k π2＋π
12
(k ∈Z )
答案 B
解析 由题意，将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝
2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得函数的对称轴为x ＝k π2＋π
6
(k ∈Z )，故选B. 3．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π
24
)等于( )
A ．－ 3
B ．－1 C. 3 D ．1
答案 C
解析 由图象知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π
2，ω＝2.
由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π
4，k ∈Z .
又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.
由A tan(2×0＋π
4)＝1，
知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π
4)，
∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π
3
＝ 3.
4．函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象如图所示，则函数g (x )的解析式可以是( )
A ．g (x )＝sin(2x －π3
) B ．g (x )＝sin(2x ＋2π3
) C ．g (x )＝cos(2x ＋5π6
) D ．g (x )＝cos(2x －π6
) 答案 C
解析 代值计算可得f (π8)＝sin π4＝22
， 由图象可得g (x )的图象经过点(17π24，22
)， 代入验证可得选项A ，g (17π24)＝sin 13π12≠22
，故错误； 选项B ，g (17π24)＝sin 25π12≠22
，故错误； 选项D ，g (17π24)＝cos 15π12＝－cos π4≠22
，故错误； 选项C ，g (17π24)＝cos 27π12＝cos π4＝22
，故正确． 5．已知α∈[0，π]，
(1)若cos α＝12
，则tan 2α＝________； (2)若sin α＞cos α＞12
，则α的取值范围是________． 答案 (1)－3 (2)(π4，π3
) 解析 (1)∵cos α＝12，α∈[0，π]，∴α＝π3
， ∴tan 2α＝tan 2π3
＝－ 3. (2)α∈[0，π]，又sin α＞cos α，
∴α>π4，cos α＞12，∴α＜π3
，
综上可知：α的取值范围是(π4，π3
)． 6．已知φ∈[0，π)，函数f (x )＝cos 2x ＋cos(x ＋φ)是偶函数，则φ＝________，f (x )的最小值为________．
答案 0 －98
解析 ∵函数f (x )＝cos 2x ＋cos(x ＋φ)是偶函数，
∴f (－x )－f (x )＝cos(－2x )＋cos(－x ＋φ)－cos 2x －cos(x ＋φ)＝0恒成立，
即cos(－x ＋φ)－cos(x ＋φ)＝－2sin φ·sin(－x )
＝2sin φ·sin x ＝0恒成立，
∵φ∈[0，π)，∴φ＝0.
f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1
＝2(cos x ＋14)2－98
. ∴f (x )的最小值为－98
. 7．(2016·课标全国丙)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移____个单位长度得到．
答案 2π3
解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3
个单位长度得到．
8．(2015·湖北)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝⎛⎭
⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________． 答案 2
解析 f (x )＝4cos 2x 2
sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示．
观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点．
9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭
⎫π6＝________. 答案 ±2
解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6
是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 10．把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6
个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：
①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6； ②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；
③该函数在⎣⎡⎦
⎤0，π6上是增函数； ④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦
⎤0，π2上的最小值为3， 则a ＝2 3.
其中，正确判断的序号是________．
答案 ②④
解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6
个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确；y ＝f ⎝⎛⎭
⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，所以②正确；由－π2
＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12
＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦
⎤－5π12，π12，所以③不正确；y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2
时，函数取得最小值，y min ＝2sin
4π3
＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝23，所以④正确．所以正确的判断为②④.
11．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭
⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，
有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32
＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12
cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14
， f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34
， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12
. 12．(2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3
个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值． 解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )
＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1
＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1
＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2
(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12
(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭
⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x －π3＋3－1的图象，
再把得到的图象向左平移π
3
个单位，得到y＝2sin x＋3－1的图象，
即g(x)＝2sin x＋3－1.
所以g⎝⎛⎭⎫π
6＝2sin π
6
＋3－1＝ 3.。