山东省济南市数学高三理数第二次联考试卷

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2022届高三第二次模拟考试数学题带答案和解析(山东省济南省)

2022届高三第二次模拟考试数学题带答案和解析（山东省济南省）选择题设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合A，B，然后求交集即可.详解：由题意可得：，∴故选：D选择题设复数满足(其中为虚数单位),则下列说法正确的是（）A. B. 复数的虚部是C. D. 复数在复平面内所对应的点在第一象限【答案】D【解析】分析：先求出，然后依次判断模长，虚部，共轭复数，对应的点是否正确即可.详解：∴，复数的虚部是1，，复数在复平面内所对应的点为，显然在第一象限.故选：D选择题已知是公差为的等差数列, 为数列的前项和,若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:先根据已知条件求出,再利用通项求.详解:由题得所以故答案为：C选择题已知角的终边经过点,其中,则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用三角函数定义确定与的值，即可得到结果.详解：∵角的终边经过点,其中,∴时，，，∴；时，，，∴；∴故选：B选择题某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:箱子中有编号为的五个形状、大小完全相同的小球,从中任取两球,若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖;否则不中奖则中奖的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求出所有的基本事件的个数，再求摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.详解：由题得试验的所有基本事件有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4）,(3,5),(4,5),共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件有（1,3），（1,5），（3,5），共3个，由古典概型的概率公式得.故答案为：C选择题已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到z的最小值.详解：不等式组对应的可行域如图所示：因为z=2x+y,所以y=-2x+z,所以当直线y=-2x+z经过点A(1，4)时，直线的纵截距z最小，所以z的最小值为2×1+4=6.故答案为：B选择题已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示,则该棱柱的左视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题得侧视图是一个矩形，先求矩形的长，再求侧视图的面积.详解：设侧视图的长为x，则所以侧视图的面积为故答案为：C选择题设分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线的左右顶点,其中,若双曲线的顶点到渐近线的距离为,则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意得到2c=a,,解方程组即得双曲线的标准方程.详解：由题得故答案为：A选择题执行如图所示的程序框图,则该程序框图的输出结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：运行程序得到s的周期是4，再通过周期得到输出的值.详解：运行程序如下：s=2,i=1,s=-3,i=2,s=-,i=3,s=,i=4,s=2,i=5,可以看出S的周期性，周期为4，，所以输出的是.故答案为：选择题如图,半径为的圆中, 为直径的两个端点,点在圆上运动,设,将动点到两点的距离之和表示为的函数,则在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分成两类情况与分别求表达式即可.详解：当时，，，∴，当时，，∴故选：A选择题已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先设A,B,,再求切线PA,PB方程，再求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.详解:设A,B,,因为所以切线PA的方程为所以切线PB的方程为联立切线PA,PB的方程解之得x=a+b,y=ab,所以P（a+b,ab）.所以故答案为：A选择题已知定义在上的函数,当时, 且为奇函数,若方程的根为,则的所有的取值为（）A. 或或B. 或或C. 或或或D. 或或或【答案】D【解析】分析：先求出函数f(x)的对称中心，再画出分段函数的图像，再画出直线y=kx+k（过定点（-1,0））图像，数形结合分析得到答案.详解：因为为奇函数，所以函数f(x)的对称中心为（-1,0），画出函数f(x)的图像如图所示，直线y=k(x+1)，所以直线过定点P（-1,0）,当直线y=kx+k处于直线AF位置时，函数f(x)与直线y=kx+k有七个交点，它们分别是A,B,C,P,D,E,F,其中A和F，B和E，C和D都关于点P 对称，所以所以故答案为：D填空题已知是互相垂直的单位向量,向量,,则__________．【答案】2【解析】分析:直接利用向量的数量积运算即得解.详解:由题得.故答案为:2填空题2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是__________．【答案】丙【解析】分析：利用反推法，逐一排除即可.详解：如果甲是冠军，则爸爸与妈妈均猜对，不符合；如果乙是冠军，则三人均未猜对，不符合；如果丙是冠军，则只有爸爸猜对，符合；如果丁是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；如果戊是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；故答案为：丙填空题已知表示不超过的最大整数,例如: .在数列中, ,记为数列的前项和,则__________．【答案】4947【解析】分析：先对n分类讨论，求出每一段的数列的和，再求.详解：当1≤n≤9时，=0；当10≤n≤99时，=1，此区间所有项的和为90.当100≤n≤999时，=2，此区间所有项的和为900×2=1800.当1000≤n≤2018时，=3，此区间所有项的和为3×1019=3057.所以90+1800+3057=4947.故答案为：4947填空题已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥的体积的表达式，最后求函数的最大值.详解：设球的半径为R,所以设AB=x,则，由余弦定理得设底面△ABC的外接圆的半径为r,则所以PA=.所以三棱锥的体积=.当且仅当x=时取等.故答案为：解答题在中, ,.(1)求的长;(2)设是平面内一动点,且满足，求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】分析：(1)先求出，再利用余弦定理求的长.(2)先求出的表达式，再求函数的取值范围得解.详解：（1）在中，.代入数据得: .，.在中，由余弦定理知:代入数据得: .（2）设，则.在中，由余弦定理知:.，又，，的取值范围为.解答题如图,在以为顶点的五面体中,底面是矩形, .(1)证明: 平面;(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,称图中所示的五面体为“刍甍”(chúméng),书中将刍甍的体积求法表述为:术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若刍甍的“下袤”的长为,“上袤”的长为,“广”的长为,“高”即“点到平面的距离”为,则刍甍的体积的计算公式为:,证明该体积公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）先证明，再证明平面.(2)利用割补法证明.详解：（1）证明：是矩形，，又平面，平面平面，又平面，平面平面又平面，平面，平面.（2）解：设分别是棱上的点，且满足，链接.由第（1）问的证明知，，所以四边形和为平行四边形.，又，平面，多面体为三棱柱.因此，刍甍可别分割成四棱锥和三棱柱.由题意知，矩形中，矩形的面积，又四棱锥的高，即“点到平面的距离”为，四棱锥的体积；三棱柱的体积可以看成是以矩形为底,以点到平面的距离为高的四棱柱体积的一半.又矩形的面积三棱柱的体积刍甍的体积：.刍甍体积公式得证.解答题近期济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数, 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内, 与(均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立关于的回归方程,并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后,为更好的服务乘客,车队随机调查了人次的乘车支付方式,得到如下结果：已知该线路公交车票价元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据调查结果发现:使用扫码支付的乘客中有名乘客享受折优惠,有名乘客享受折优惠,有名乘客享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下,按照上述收费标准,试估计该车队一辆车一年的总收入.参考数据:其中参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:【答案】(1)见解析;(2) 活动推出第天使用扫码支付的人次为；(3)见解析.【解析】分析：（1）根据散点图判断, 适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型. (2)先求出，再得到，再预测活动推出第天使用扫码支付的人次.(3)先求出享受折优惠、8折优惠、9折优惠的收入，再得到总的收入.详解：(1)根据散点图判断, 适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型. (2) ,两边同时取常用对数得:；设,,，，把代入,得: ，，，；把代入上式:；活动推出第天使用扫码支付的人次为关于的回归方程为: ，活动推出第天使用扫码支付的人次为；(3)由题意可知:一个月中使用现金的乘客有人,共收入元；使用乘车卡的乘客有人，共收入元；使用扫码支付的乘客有人，其中:享受折优惠的有人,共收入元享受折优惠的有人,共收入元:享受折优惠的有人,共收入元所以,一辆车一个月的收入为:（元）所以,一辆车一年的收入为: (元)解答题如下图已知离心率为的椭圆经过点,斜率为的直线交椭圆于两点，交轴于点,点为线段的中点.(1)求椭圆的方程；(2)若点关于轴的对称点为,过点且与垂直的直线交直线于点,求面积的最大值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）根据题意得方程组，解之即得椭圆的方程.(2)先求出，再利用基本不等式求函数的最大值.详解：(1)由已知得: 解得,椭圆的方程为:(2)椭圆的左顶点,设的方程: ),则,由得: .设.，.则，直线的斜率为: ，所以直线的方程为,即.直线的方程式为：.所以点.点到直线的距离,，,的面积,所以，当时取等号.所以面积的最大值为.解答题已知函数,(1)讨论单调性;(2)当时,函数的最大值为,求不超过的最大整数.【答案】(1)见解析;(2)-1.【解析】分析：（1）对a分类讨论求单调性.(2)先利用导数求出m的表达式，，再求不超过的最大整数.详解：（1），①当时，时，单调递减；时，单调递增；②当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；③当时，时，单调递增；④当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上，当时，在上单调递减，上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2），，当时，，单调递增；时，，单调递减；，，，所以，存在唯一的，使，即所以，当时，，单调递增；时，，单调递减；又，所以，.所以，不超过的最大整数为.解答题选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.(1)求直线l的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)已知点的极坐标为,求的值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：(1)利用代入消参法把直线的参数方程互为普通方程，利用，把曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）把直线的参数方程化为标准形式，代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理表示即可.详解：(1) 的普通方程为: ；又,即曲线的直角坐标方程为:(2)解法一: 在直线上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程得，即,.解法二:，，，．解答题选修4-5：不等式选讲已知函数.(1)解不等式；(2)若，且,证明: ，并求时，的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：(1) 通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)利用绝对值三角不等式证明不等式，同时可知=，在结合均值不等式即可得到的值详解：(1)当时,不等式为,；当时,不等式为,不成立；当时,不等式为,,综上所述,不等式的解集为；（2）解法一:，，当且仅当，即时“”成立；由可得：.解法二：，当时，；当时，；当时，的最小值为，，当且仅当，即时“”成立；由可得：.。

2022年山东省济南市高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2022年山东省济南市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数x的值为( )A. B. 1 C. D. 22.已知集合，，，则C中元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43.“”是“直线与平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.已知函数，若，则m的值为( )A. B. 2 C. 9 D. 2或95.的展开式中，常数项为( )A. 2B. 6C. 8D. 126.济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为( )A. B. C. D.7.如图，是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则的值为( )A.B.C.D.8.已知数列，，，，，，，，，，……，其中每一项的分子和分母均为正整数．第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推．此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为( )A. 47B. 48C. 57D. 58二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件“第一次抽到的是白球”，事件“第二次抽到的是白球”，则( )A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B相互独立C. D.10.下列不等关系中一定成立的是( )A. B.C. ，D. ，11.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点在第一象限，M为线段AB的中点．M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是( )A. 的最小值为4B.C. 面积的最小值为6D. 若直线AB的斜率为，则12.在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点均不与点C重合，则下列说法正确的是( )A. 存在点E，F，G，使得平面EFGB. 存在点E，F，G，使得C. 当平面EFG时，三棱锥与体积之和的最大值为D. 记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，，，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年山东省济南市高三第二次教学质量检测理科数学(PDF版)

31 1 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和 .
5 3 15 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 19．（本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝ AC＝2，BC＝1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点.
π
|PQ|
(2)若直线θ＝
4
(ρ∈R)与曲线
C1
交于
M，N
两点，与曲线
C2
交于
P，Q
两点，求的值． |MN|
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
1
(1)已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋
≥2y＋3；
x2－2xy＋y2
(2)设 a，b，c>0 且 ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ 3.
等于( )
3π
π
A.
B.
4
3
π C.
4
π D.
6
7.如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值 8.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，AB＝2 3，AC＝2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则A→M·A→O 等于( )
A．[2，＋∞)
B．[1,2]
C．[1，＋∞)
D．(0,2]
2
ex
＋ln x
12.已知函数 f(x)＝－k x
，若 x＝2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，则实数 k 的

山东省济南市重点中学2025届高三第二次调研数学试卷含解析

山东省济南市重点中学2025届高三第二次调研数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B ．5C ．655D ．62．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 3．复数5i12i+的虚部是 ( )A ．iB ．i -C ．1D ．1-4．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（） A ．2-B ．1-C ．1D ．25．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（）A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =7．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（）A ．45 B ．35C ．25 D．158．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 9．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)10．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（） A ．2 B ．1C ．2D ．511．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（）A 51+ B 51+ C 51RD - D 51RC - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年山东省济南市历城第二中学高三第二次模拟考试数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年山东省济南市历城第二中学高三第二次模拟考试数学试题的。

1.已知集合，，则( )A. B.C. D.2.在，“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.已知向量，，若，则的最小值为( )A.B.C.D. 4.《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布( )A. 30尺 B. 40尺C. 6尺D. 60尺5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则函数的大致图象为( )A. B.C.D.6.在平面直角坐标系中，P 为圆上的动点，定点现将y 轴左侧半圆所在坐标平面沿y 轴翻折，与y 轴右侧半圆所在平面成的二面角，使点A 翻折至，P 仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则，P 两点间距离的取值范围是( )A. B.C.D.7.函数且的所有零点之和等于( )A. B.C. D.8.已知函数满足，，若对任意正数a ，b 都有，则x 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列四个命题中，正确的有( ) A. 数列的第k 项为 B. 已知数列的通项公式为，则是该数列的第7项C. 数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为D. 数列的通项公式为，则数列是递增数列10.关于函数，下列叙述正确的是( )A. 其图象关于直线对称B. 其图象关于点对称C. 其值域是D. 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到11.如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形ABCD为直角梯形，，，在四棱锥中，则( )A. 平面平面PBDB. 平面PBCC. 三棱锥的外接球表面积为D. 平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值为三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

山东省济南市2020年高三第二次教学质量检测理科数学

(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； (3)求三棱锥 E－ABC 的体积.
x2 y2
11
20．（本小题满分 12 分）设椭圆＋＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知＋
a2 3
|OF| |OA|
＝ 3e ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． |FA|
18．（本小题满分 12 分）某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损
72 15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
99 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值 8.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，AB＝2 3，AC＝2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则A→M·A→O 等于( )
A.3
只一项是符合题目要求的． 1.若集合 A＝{x∈N|x≤ 2 020}，a＝2 2，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A
B．a⊆A
C．{a}∈A
D．a∉ A
2.设 z＝1－i＋2i，则|z|等于( ) 1＋i
1
A.0
B.
C.1
D. 2
2
f x＋1
3.若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2 020]，则函数 g(x)＝
31 1 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和 .

2023年山东省济南市高考数学二模试卷【答案版】

2023年山东省济南市高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z =−12+√32i ，则z 2+z ＝（） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．12．已知集合A ＝{（x ，y ）|y ＝x }，B ＝{（x ，y ）||x |+|y |＝1}，则A ∩B 中元素的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．33．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点在圆x 2+y 2＝4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（） A ．1B ．2C ．4D ．84．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（） A ．7.6B ．7.8C ．8D ．8.25．已知直线y ＝x ﹣1与曲线y ＝e x +a 相切，则实数a 的值为（） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．26．17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法．如图，AEB̂是一个半圆，圆心为O ，ABCD 是半圆的外切矩形．以直线OE 为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD ，阴影部分，半圆AEB ̂所形成的几何体的体积分别为V 1，V 2，V 3，则下列说法正确的是（）A ．V 1+V 2＜V 3B ．V 1+V 2＞V 3C ．V 1＞V 2D ．V 1＝V 27．已知函数f(x)=3x−13x +1，数列{a n }满足a 1＝1，a n +3＝a n （n ∈N +），f （a 1）+f （a 2+a 3）＝0，则∑ 2023i=1a i =（） A ．0B ．1C ．675D ．20238．已知函数f （x ）＝a sin2x +b cos2x （ab ≠0）的图象关于直线x =π6对称，则下列说法正确的是（） A ．f(x −π6)是偶函数B ．f （x ）的最小正周期为2πC ．f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．方程f （x ）＝2b 在区间[0，2π]上有2个实根二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0，则下列说法正确的是（） A ．1a−c＞1b−cB ．a ﹣c ＞2bC ．a 2＞b 2D ．ab +bc ＞010．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（） A ．乙发生的概率为12B ．丙发生的概率为12C ．甲与丁相互独立D ．丙与丁互为对立事件11．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，E ，F ，G 分别是线段AD ，CD ，BC 的中点，将△ABD 沿直线BD 折起得到三棱锥A ﹣BCD ，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（）A ．直线EF ∥平面ABCB ．直线BE 与DG 是异面直线C ．直线BE 与DG 可能垂直D ．若EG =√74AB ，则二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为π312．若定义在[0，1]上的函数f （x ）同时满足：①f （1）＝1；②对∀x ∈[0，1]，f （x ）≥0成立；③对∀x 1，x 2，x 1+x 2∈[0，1]，f （x 1）+f （x 2）≤f （x 1+x 2）成立；则称f （x ）为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（）A ．f （x ）＝x 2，x ∈[0，1]是“正方和谐函数”B ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （0）＝0C ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （x ）在[0，1]上是增函数D ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则对∀x ∈[0，1]，f （x ）≤2x 成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin(5π6−α)=√3cos(α+π6)，则tan(α+π6)的值为．14．已知abc 表示一个三位数，如果满足a ＞b 且c ＞b ，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共个（用数字作答）．15．已知向量a →=(1，2)，b →=(4，2)，若非零向量c →与a →，b →的夹角均相等，则c →的坐标为（写出一个符合要求的答案即可）．16．如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝2|AD |，A 1，A 2分别为边AB ，CD 的中点，M ，N 分别为线段A 2C （不含端点）和AD 上的动点，满足|MA 2||CD|=|DN||AD|，直线A 1M ，A 2N 的交点为P ，已知点P 的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）根据国家统计局统计，我国2018﹣2022年的新生儿数量如下：（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量y 与年份编号x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测我国2023年的新生儿数量．参考公式及数据：r =∑x i y n i=1−nxy√(∑ i=1x i −nx2)(∑ i=1y i −ny 2)，b =∑x i y ini=1−nxy ∑ n i=1x i2−nx 2，a =y −b x ，∑ 5i=1y i =6206，∑x i y i 5i=1=17081，√(∑ 5i=1x i 2−5x 2)(∑ 5i=1y i 2−5y 2)≈1564．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n +1﹣2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）由a n ，b n 构成的n ×n 阶数阵如下所示，求该数阵中所有项的和T n ． (a 1b 1，a 1b 2，a1b 3，⋯，a 1b n a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，⋯，a 2b n a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，⋯，a 3b n⋯a nb 1，a n b 2，a n b 3，⋯，a n b n)19．（12分）如图，在正三棱台ABC ﹣DEF 中，M ，N 分别为棱AB ，BC 的中点，AB ＝2DE ．（1）证明：四边形MNFD 为矩形；（2）若四边形MNFD 为正方形，求直线BC 与平面ACFD 所成角的正弦值．20．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是△ABC 的重心，且AG →⋅BG →=0．（1）若∠GAB =π6，求tan ∠GAC 的值；（2）求cos ∠ACB 的取值范围．21．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，由E 的三个顶点构成的三角形的面积为2．（1）求E 的方程；（2）记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，点P 在线段AB 上运动，垂直于x 轴的直线PQ 交E 于点M （点M 在第一象限），P 为线段QM 的中点，设直线AQ 与E 的另一个交点为N ，证明：直线MN 过定点．22．（12分）已知函数f(x)=lnx (x−a)2．（1）当a ＝0时，求f （x ）在区间[1，e ]上的值域；（2）若f （x ）有唯一的极值点，求a 的取值范围．2023年山东省济南市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z =−12+√32i ，则z 2+z ＝（） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1解：由z =−12+√32i 得z 2+z =z(z +1)=(−12+√32i)(12+√32i)=(√32i)2−(12)2=−1．故选：A ．2．已知集合A ＝{（x ，y ）|y ＝x }，B ＝{（x ，y ）||x |+|y |＝1}，则A ∩B 中元素的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3解：解{y =x |x|+|y|=1得，{x =12y =12或{x =−12y =−12， ∴A ∩B ={(−12，−12)，(12，12)}，A ∩B 的元素个数为2．故选：C ．3．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点在圆x 2+y 2＝4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（） A ．1B ．2C ．4D ．8解：由于抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为x 轴正半轴上， x 2+y 2＝4与x 轴正半轴的交点为（2，0），故抛物线的焦点为（2，0），所以p2=2⇒p =4，因此抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4．故选：C ．4．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（） A ．7.6B ．7.8C ．8D ．8.2解：这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为6+7+8+9+95=7.8．故选：B ．5．已知直线y ＝x ﹣1与曲线y ＝e x +a 相切，则实数a 的值为（） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2解：由y ＝e x +a ，得y ′＝e x +a •（x +a ）′＝e x +a ，设切点为（x 0，y 0），则{y 0=x 0−1①y 0=e x 0+a ②e x 0+a =1③，由①②得，x 0−1=e x 0+a ④，联立③④得，x 0＝2，a ＝﹣2．故选：A ．6．17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法．如图，AEB̂是一个半圆，圆心为O ，ABCD 是半圆的外切矩形．以直线OE 为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD ，阴影部分，半圆AEB ̂所形成的几何体的体积分别为V 1，V 2，V 3，则下列说法正确的是（）A ．V 1+V 2＜V 3B ．V 1+V 2＞V 3C ．V 1＞V 2D ．V 1＝V 2解：设半圆的半径为r ，则△OCD 以直线OE 为轴旋转一周所得图形为圆锥，底面半径与高均为r ，则V 1=13πr 3；半圆AEB̂所形成的几何体为半球，体积V 3=12×43πr 3=23πr 3；阴影部分所形成的几何体为圆柱挖去一个半球，体积V 2=πr 3−23πr 3=13πr 3． ∴V 1＝V 2，V 1+V 2＝V 3，结合选项可知，D 正确．故选：D ．7．已知函数f(x)=3x−13x +1，数列{a n }满足a 1＝1，a n +3＝a n （n ∈N +），f （a 1）+f （a 2+a 3）＝0，则∑ 2023i=1a i =（） A ．0B ．1C ．675D ．2023解：函数f （x ）的定义域为R ，且f （﹣x ）=3−x−13−x +1=−3x−13x +1=−f （x ），故函数f （x ）为奇函数，又f （x ）＝1−23x+1为R 上的增函数，因为f （a 1）+f （a 2+a 3）＝0，所以f （a 1）＝﹣f （a 2+a 3）＝f （﹣a 2﹣a 3）， ∴a 1+a 2+a 3＝0，因为数列{a n }满足a 1＝1，a n +3＝a n （n ∈N +），所以∑ 2023i=1a i =674（a 1+a 2+a 3）+a 2023＝0+a 1＝1，故选：B ．8．已知函数f （x ）＝a sin2x +b cos2x （ab ≠0）的图象关于直线x =π6对称，则下列说法正确的是（） A ．f(x −π6)是偶函数B ．f （x ）的最小正周期为2πC ．f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．方程f （x ）＝2b 在区间[0，2π]上有2个实根解：∵函数f （x ）＝a sin2x +b cos2x （ab ≠0）的图象关于直线x =π6对称， ∴f （0）＝f （π3），即b ＝a sin2π3+b cos2π3，所以a =√3b ，所以f （x ）=√3b sin2x +b cos2x ＝2b sin （2x +π6），此时f （π6）＝2b sin （2×π6+π6）＝2b ，故函数图象关于x =π6对称，f （x −π6）＝2b sin （2x ﹣2×π6+π6）＝2b sin （2x −π6），令g （x ）＝f （x −π6）＝2b sin （2x −π6），则g （π12）＝2b sin （π6−π6）＝0，而g （−π12）＝2b sin （﹣2×π6）=−√3b ≠0，故g （x ）＝f （x −π6）＝2b sin （2x −π6）不是偶函数，故A 错误； f （x ）的最小正周期为2π2=π，故B 错误；因为b 的正负无法确定，故f （x ）在区间[−π3，π6]上的单调性无法确定，故C 错误；令f （x ）＝2b ，x ∈[0，2π]，因2b ≠0，则sin （2x +π6）＝1，因为x ∈[0，2π]，所以2x +π6∈[π6，25π6]，所以2x +π6=π2或2x +π6=5π2，解得x =π6或x =7π6，故D 正确．故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0，则下列说法正确的是（） A ．1a−c＞1b−cB ．a ﹣c ＞2bC ．a 2＞b 2D ．ab +bc ＞0解：对于A ，∵a ＞b ＞c ，∴a ﹣c ＞b ﹣c ＞0，∴1a−c＜1b−c，A 错误；对于B ，∵a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，∴b +c ＝﹣a ＜0，a ﹣b ＞0， ∴a ﹣b ＞b +c ，即a ﹣c ＞2b ，B 正确；对于C ，∵a ﹣b ＞0，a +b ＝﹣c ＞0，∴a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）＞0，即a 2＞b 2，C 正确；对于D ，ab +bc ＝b （a +c ）＝﹣b 2≤0，D 错误．故选：BC ．10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（） A ．乙发生的概率为12B ．丙发生的概率为12C ．甲与丁相互独立D ．丙与丁互为对立事件解：对于A ，基本事件总数为6×5＝30，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”包含的基本事件数为5×3＝15，∵P （乙）=1530=12，∴正确，对于B ，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”包含的基本事件数为2×3×3＝18， ∴P （丙）=1830=35，∴错误，对于C ，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”包含的基本事件数为2×3×2＝12， ∴P （丁）=1230=25，∵P （甲丁）=3×230=15，∴P （甲）=12， ∴P （甲丁）＝P （甲）P （丁），∴正确，对于D ，∵丙与丁两个事件不会同时发生，是互斥事件，且并事件为必然事件，∴丙与丁互为对立事件，∴D 正确．故选：ACD ．11．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，E ，F ，G 分别是线段AD ，CD ，BC 的中点，将△ABD 沿直线BD 折起得到三棱锥A ﹣BCD ，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（）A ．直线EF ∥平面ABCB ．直线BE 与DG 是异面直线C ．直线BE 与DG 可能垂直D ．若EG =√74AB ，则二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为π3解：对于A ，∵E ，F 分别为AD ，CD 中点，∴EF ∥AC ， ∵AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ，A 正确；对于B ，∵BE ∩平面BCD ＝B ，DG ⊂平面BCD ，B ∉DG ， ∴BE 与DG 为异面直线，B 正确；对于C ，设菱形ABCD 的边长为2，又∠BAD =π3，则BD ＝2，∵BE →=BD →+DE →=BD →+12DA →，DG →=DB →+BG →=DB →+12BC →， ∴BE →⋅DG →=(BD →+12DA →)⋅(DB →+12BC →)=−BD →2+12BD →⋅BC →−12BD →⋅DA →+14DA →⋅BC → =−4+12×4×12−12×4×(−12)+14DA →⋅BC →=−2+14DA →⋅BC →， ∵DA →⋅BC →=4cos ＜DA →，BC →＞∈[−4，4]，∴BE →⋅DG →≠0，即BE 与DG 不可能垂直，C 错误；对于D ，取BD 中点O ，连接AO ，CO ，OG ，OE ，∵△ABD ，△CBD 为等边三角形，∴AO ⊥BD ，CO ⊥BD ， ∴∠AOC 即为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，设菱形ABCD 的边长为2，则OA =OC =√3，∵EG →=OG →−OE →=12(OB →+OC →)−12BA →=12(OB →+OC →)−12(OA →−OB →)=12OC →−12OA →+OB →， ∴EG →2=14OC →2+14OA →2+OB →2−12OA →⋅OC →+OB →⋅OC →−OA →⋅OB →=34+34+1−32cos∠AOC =52−32cos∠AOC ，又EG =√74AB ，∴52−32cos∠AOC =74，解得：cos ∠AOC =12，∴二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为π3，D 正确．故选：ABD ．12．若定义在[0，1]上的函数f （x ）同时满足：①f （1）＝1；②对∀x ∈[0，1]，f （x ）≥0成立；③对∀x 1，x 2，x 1+x 2∈[0，1]，f （x 1）+f （x 2）≤f （x 1+x 2）成立；则称f （x ）为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（）A ．f （x ）＝x 2，x ∈[0，1]是“正方和谐函数”B ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （0）＝0C ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （x ）在[0，1]上是增函数D ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则对∀x ∈[0，1]，f （x ）≤2x 成立解：A ：易知①②满足，∀x 1，x 2，x 1+x 2∈[0，1]时，f(x 1)+f(x 2)=x 12+x 22≤(x 1+x 2)2≤f(x 1+x 2)，故A 对；B ：由②知f （0）≥0，在③中令x 1＝x 2＝0，故2f （0）≤f （0）得f （0）≤0，故f （0）＝0，故B 对；C ：举反例，函数f(x)={0，x =01，0＜x ≤1是正方和谐函数，但不是增函数，故C 错；实际上，若0≤x 1＜x 2≤1，则0＜x 2﹣x 1≤1，故f （x 1）+f （x 2﹣x 1）≤f （x 1+x 2﹣x 1）＝f （x 2），f （x ）为[0，1]上的不减函数； D ：由C 知，f （x ）为[0，1]上的不减函数，0＝f （0）≤f （x ）≤f （1）＝1，当12≤x ≤1时，得f （x ）≤1≤2x ；当14≤x ＜12时，12≤2x ＜1，故f （2x ）≤1≤4x ；依次类推，⋯，当12n≤x ＜12n−1时，则12≤2n−1x ＜1，f(2n−1x)≤1≤2n x （1），条件③中令x 1=x 2=x ∈[0，12]，2f(x)≤f(2x)⇒f(x)≤12f(2x)，f(2x)≤12f(4x)(x ∈[0，14])，⋯，f(x)≤12f(2x)≤⋯≤12n−1f(2n−1x)(x ∈[0，12n−1])（2），由（1）（2）得f(x)≤12f(2x)≤⋯≤12n−1f(2n−1x)≤2x ，12n≤x ≤1时，f （x ）≤2x ，当n →+∞时，12n→0，故0＜x ≤1时，f （x ）≤2x ，又由f （0）＝0也满足上式，故∀x ∈[0，1]，f （x ）≤2x ，故D 对．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin(5π6−α)=√3cos(α+π6)，则tan(α+π6)的值为 √3 ．解：由sin(5π6−α)=√3cos(α+π6)可得sin[π−(π6+α)]=√3cos(α+π6)⇒sin(π6+α)=√3cos(α+π6)⇒tan(α+π6)=√3．故答案为：√3．14．已知abc 表示一个三位数，如果满足a ＞b 且c ＞b ，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共 240 个（用数字作答）．解：a ，b ，c 为取自0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的不同的三个数字，最小的数字放置在中间，余下两数可排百位或个位，故共有“凹数”的个数为2×C 103=240．故答案为：240．15．已知向量a →=(1，2)，b →=(4，2)，若非零向量c →与a →，b →的夹角均相等，则c →的坐标为（1，1）（答案不唯一，可以去直线y ＝x 上除原点外的任意点）（写出一个符合要求的答案即可）．解：设c →=（x ，y ），c →与a →，b →的夹角分别为α，β，则cos α＝cos β，∴c →⋅a→|c →||a →|=c →⋅b→|c →||b →|，可得2√5(x +2y)=√5(4x +2y)，整理得x ＝y ，不妨取x ＝y ＝1，则c →=(1，1)．故答案为：（1，1）（答案不唯一，可以去直线y ＝x 上除原点外的任意点）．16．如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝2|AD |，A 1，A 2分别为边AB ，CD 的中点，M ，N 分别为线段A 2C （不含端点）和AD 上的动点，满足|MA 2||CD|=|DN||AD|，直线A 1M ，A 2N 的交点为P ，已知点P 的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为 √3 ．解：以A 1A 2所在的直线为y 轴，线段A 1A 2的中垂线所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系：设|AD |＝|BC |＝m （m ＞0），则|AB |＝|CD |＝2m ，则有A （﹣m ，−m2），B （m ，−m 2），A 1（0，−m 2），A 2（0，m2），C （m ，m2），D （﹣m ，m2），设M （x 0，m2）（0＜x 0＜m ），N （﹣m ，y 0）（−m 2≤y 0≤m2），所以|MA 2|＝x 0，|DN |=m2−y 0，又因为|MA 2||CD|=|DN||AD|，所以x 02m=m2−y 0m，所以x 0＝m ﹣2y 0或y 0=m−x 02，又因为k AM =m 2−(−m 2)x 0−0=m x 0，所以直线A 1M 的方程为：y ﹣（−m2）=mx 0（x ﹣0），即y =mx 0x −m2，同理可得直线A 2N 的方程为：y −m2=−y 0−m 2m （x ﹣0），即y =m 2−y 0−m2m x =m 2−m−x 02−m 2mx =m 2+x2m ，由{y =m x 0x −m 2y =m 2+x 02m x ，可得{x =2x 0m 22m 2−x 02y =2m 3+mx 022(2m 3−x 02)，即P （2x 0m 22m 2−x 02，2m 3+mx 022(2m 2−x 02)），因为x P =2x 0m 22m 2−x 02，∴x P 2=（2x 0m 22m 2−x 02）2， y P =2m 3+mx 022(2m 2−x 02)=m(2m 2+x 02)2(2m 2−x 02)，∴y P 2=（m(2m 2+x 02)2(2m 2−x 02)）2=m 24•(2m 2−x 02)2+8m 2x 02(2m 2−x 02)2=m 24•（1+8m 2x 02(2m 2−x 02)2=m 24+2m 4x 02(2m 2−x 02)2=m 24+x P 22，即有y P2−x P 22=m 24，∴y P 2m 24−x P 2m 22=1，所以点P 所在双曲线方程为：y 2m 24−x 2m 22=1，所以a 2=m 24，b 2=m 22，所以c 2＝a 2+b 2=3m 24，所以e =ca =√32m 12m =√3．故答案为：√3．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）根据国家统计局统计，我国2018﹣2022年的新生儿数量如下：（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量y 与年份编号x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测我国2023年的新生儿数量．参考公式及数据：r =∑x i y n i=1−nxy√(∑ i=1x i −nx 2)(∑ i=1y i −ny 2)，b =∑x i y ini=1−nxy ∑ n i=1x i2−nx 2，a =y −b x ，∑ 5i=1y i =6206，∑x i y i 5i=1=17081，√(∑ 5i=1x i 2−5x 2)(∑ 5i=1y i 2−5y 2)≈1564．解：（1）∵x =1+2+3+4+55=3，y =15∑ 5i=1y i =15×6206=1241.2， ∑x i y i 5i=1=17081，√(∑ 5i=1x i 2−5x 2)(∑ 5i=1y i 2−5y 2)≈1564，∴r =∑5i=1i i −5xy√(∑ i=1x i −5x 2)(∑ i=1y i −5y 2)≈17081−5×3×1241.21564≈−0.983．∴新生儿数量y 与年份编号x 具有很强的负相关性；（2）b =∑ 5i=1x i y i −5xy ∑ 5i=1x i2−5x 2=17081−5×3×1241.212+22+32+42+52−5×32=−153710=−153.7， a =y −b x =1241.2−(−153.7)×3=1702.3． ∴y =−153.7x +1702.3．取x ＝6，得y =−153.7×6+1702.3=780.1． ∴预测我国2023年的新生儿数量为780.1万人．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n +1﹣2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）由a n ，b n 构成的n ×n 阶数阵如下所示，求该数阵中所有项的和T n ． (a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，⋯，a 1b n a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，⋯，a 2b n a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，⋯，a 3b n⋯a nb 1，a n b 2，a n b 3，⋯，a n b n)解：（1）由S n＝2n+1﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝4﹣2＝2；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，对n＝1也成立．所以a n＝2n，n∈N*；b n＝log2a n＝log22n＝n；（2）T n＝（a1b1+a1b2+...+a1b n）+（a2b1+a2b2+...+a2b n）+...+（a n b1+a n b2+...+a n b n）＝（a1+a2+...+a n）（b1+b2+...+b n）=2(1−2n)1−2•12n（1+n）＝n（1+n）（2n﹣1）．19．（12分）如图，在正三棱台ABC﹣DEF中，M，N分别为棱AB，BC的中点，AB＝2DE．（1）证明：四边形MNFD为矩形；（2）若四边形MNFD为正方形，求直线BC与平面ACFD所成角的正弦值．证明：（1）延长AD，BE，CF，则AD，BE，CF相交于一点G，连接FM，GN，DN，GM，M，N分别为棱AB，BC的中点，所以MN∥AC，且MN=12AC，由于AB＝2DE，所以AC＝2DF，又AC∥DF，所以DF∥MN，MN＝DF，所以四边形MNFD为平行四边形，在三棱锥G﹣ABC中，GA＝GC，GM＝GN，MC＝AN，所以△GAN≅△GCM，进而得∠CGM＝∠AGN，又GF＝GD，GM＝GN，因此△FGM≅△DGN，所以MF＝DN，故四边形MNFD为矩形；解：（2）由DE =12AB ，DE ∥AB 可知D ，E 分别是GA ，GB 的中点，所以DM ∥GB ，DM =12GB ，又四边形MNFD 为正方形，所以DM ＝MN ，所以AC ＝GB ，由于三棱锥G ﹣ABC 为正三棱锥，且AC ＝GB ，因此三棱锥G ﹣ABC 为正四面体，因此直线BC 与平面ACFD 所成的角即为直线GC 与平面ABC 所成角，取△ABC 的中心为O ，连接GO ，则GO ⊥平面ABC ，所以∠GCO 为直线GC 与平面ABC 所成角，设四面体G ﹣ABC 的棱长为a ，在△ABC 中，由正弦定理可得AO =12BCsin60°=√33a ，GO =√GC 2−OC 2=√a 2−(√33a)2=√63a ，在△GOC 中，sin ∠GCO =GO GC =√63，故直线BC 与平面ACFD 所成的角的正弦值为√63．20．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是△ABC 的重心，且AG →⋅BG →=0．（1）若∠GAB =π6，求tan ∠GAC 的值；（2）求cos ∠ACB 的取值范围．解：（1）延长CG 交AB 于点D ，如图所示：∵点G 是△ABC 的重心，∴D 是AB 的中点，且DG =12CG ，∵AG →⋅BG →=0，∴AG ⊥BG ，∴DG ＝DA ＝DB =12c ，GC ＝2DG ＝c ，又∠GAB =π6，则AG =√32c ，在△AGC 中，设∠CAG ＝α，由正弦定理得AGsin∠ACG=CGsinα，即√32c sin(π6−α)=c sinα，∴√32sin α＝sin （π6−α），即cos α＝2√3sin α， ∴tan α=sinαcosα=√36，即tan ∠GAC =√36；（2）由（1）得CD =32c ，在△ABC 中，cos ∠BAC =AC 2+AB 2−BC 22AC⋅AB =b 2+c 2−a 22bc ，在△ACD 中，cos ∠DAC =AD 2+AC 2−DC22AD⋅AC=c 24+b 2−9c 242b⋅c 2=b 2−2c 2bc ，∴b 2+c 2−a 22bc=b 2−2c 2bc，即a 2+b 2＝5c 2，在△ACB 中，cos ∠ACB =a 2+b 2−c 22ab =2(a 2+b 2)5ab ≥45，当且仅当a ＝b 时等号成立，又∠ACB ∈（0，π），则cos ∠ACB ＜1，故cos ∠ACB 的取值范围为[45，1）．21．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，由E 的三个顶点构成的三角形的面积为2．（1）求E 的方程；（2）记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，点P 在线段AB 上运动，垂直于x 轴的直线PQ 交E 于点M （点M 在第一象限），P 为线段QM 的中点，设直线AQ 与E 的另一个交点为N ，证明：直线MN 过定点．解：（1）因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，故2a ＝4，所以a ＝2，E 的三个顶点构成的三角形，面积为12×2ab =ab ；所以ab ＝2，解得b ＝1，故E 的方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由于MQ ⊥x 轴，所以MN 不可能垂直于x 轴，故直线MN 的斜率存在，故设直线MN 的方程为y ＝kx +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y =kx +m x 24+y 2=1⇒⇒(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0，则Δ=(8km)2−4(1+4k 2)(4m 2−4)＞0，x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k2，直线AB 的方程为x2+y =1，当x ＝x 1时，y =1−x 12，所以P(x 1，1−x12)，P 是MQ 的中点，所以Q （x 1，2﹣x 1﹣y 1），k QA =2−x 1−y 1x 1−2=y 2x 2−2，即−1−y 1x 1−2=y 2x 2−2，所以−1=y 1x 1−2+y 2x 2−2，则（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝y 2（x 1﹣2）+y 1（x 2﹣2）⇒（kx 2+m ）（x 1﹣2）+（kx 1+m ）（x 2﹣2）＝﹣（x 1﹣2）（x 2﹣2），化简得（2k +1）x 1x 2﹣（2+2k ﹣m ）（x 1+x 2）﹣4m +4＝0，代入x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k2得(2k +1)4m 2−41+4k2−(2+2k −m)−8km 1+4k2−4m +4=0，故（m +2k ）（m +2k ﹣1）＝0，所以m ＝﹣2k 或m ＝﹣2k +1，故直线NM 的方程为y ＝kx ﹣2k 或y ＝kx ﹣2k +1，由于M 不与A 重合，所以直线不经过（2，0），故直线NM 的方程为y ＝kx ﹣2k +1，此时Δ＝（8km ）2﹣4（1+4k 2）（4m 2﹣4）＝64k 2﹣16m 2+16＝64k 2﹣16（﹣2k +1）2+16＝64，故k ＞0，此时直线过定点（2，1）． 22．（12分）已知函数f(x)=lnx (x−a)2．（1）当a ＝0时，求f （x ）在区间[1，e ]上的值域；（2）若f （x ）有唯一的极值点，求a 的取值范围．解：（1）当a ＝0时，f （x ）=lnx x 2， f ′（x ）=1x ⋅x 2−2xlnxx 4=1−2lnxx 3，令f ′（x ）＝0得x =√e ，所以在（1，√e）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（√e，e）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x=√e处的极大值，且f（√e）=12e ，又f（1）＝0，f（e）=1e2，所以f（x）在[1，e]上的值域为[0，12e ]．（2）f′（x）=1x(x−a)2−2(x−a)lnx(x−a)4=1−ax−2lnx(x−a)3，x＞0，f（x）的极值点等价于f′（x）的变号零点，设g（x）＝1−ax−2lnx，x＞0，①若a≤0时，f（x）的定义域为（0，+∞），因为x＞0，所以x﹣a＞0，所以（x﹣a）3＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为g（1）＝1﹣a＞0，g（e﹣a）＝1−ae−a−2ln（e﹣a）＜0，所以存在唯一的x0∈（1，e﹣a），使得g（x0）＝0，即f′（x0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）存在唯一极大值点，符合题意，②若a＞0，f（x）的定义域为（0，a）∪（a，+∞），当x∈（a，+∞）时，（x﹣a）3＞0，g（x）＝1−ax−2lnx，g′（x）=ax2−2x=a−2xx2＜0，所以g（x）单调递减，又g（a）＝﹣2lna，当a＞1时，g（a）＜0，所以g（x）＜0，f′（x）＜0，所以f（x）在（a，+∞）上无极值点，当a＝1时，g（a）＝0，所以g（x）≤0，f′（x）≤0，f（x）单调递减，所以f （x ）在（a ，+∞）上无极值点，当0＜a ＜1时，g （a ）＞0，g （2）＜0，所以存在唯一的x 1∈（a ，2），g （x 1）＝0，即f ′（x 1）＝0，所以当x ∈（a ，x 1）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（x 1，+∞）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以x ＝x 1为f （x ）在（a ，+∞）的极大值点，所以f （x ）在（a ，+∞）有一个极值点，当x ∈（0，a ）时，（x ﹣a ）3＜0， g （x ）＝1−ax −2lnx ，g ′（x ）=a x 2−2x =a−2x x2，令g ′（x ）＝0得x =a2，所以当x ∈（0，a2）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，当x ∈（a2，a ）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，令g （a 2）＝﹣1﹣2ln a2=0，解得a =2√e，当a ＞1时，若a ∈（1，√e），g （a2）＞0，g （a ）＝﹣2lna ＜0，当x ∈（0，a2）时，g （a 216）＝1−16a −2ln a 216＜1−16a +√a216−4＝﹣3＜0，所以存在x 2∈（a 216，a 2），x 3∈（a2，a ），g （x 2）＝g （x 3）＝0，当x ∈（0，x 2）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（x 2，x 3）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈（x 3，a ）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以x ＝x 2为f （x ）的极大值点，x ＝x 3为f （x ）的极小值点，所以f （x ）在（0，a ）上有两个极值点，若a ∈（√e，+∞），则g （a2）≤0，g （x ）≤0，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（0，a ）上无极值点，所以a ＞1不符合题意，当a ＝1时，g （12）＞0，g （116）＜0，g （1）＝0，所以存在唯一x 4∈（116，12），使得g （x 4）＝0，当x ∈（0，x 4）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0，当x ∈（x 4，1）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＜0，所以x ＝x 4为f （x ）的极大值点，此时f （x ）在（0，a ）有一个极值点，所以a ＝1符合题意，当0＜a ＜1时，g （a2）＞0，g （a ）＝﹣2lna ＞0，当x ∈（0，a2）时，g （a 216）＜0，所以存在为友谊x 5∈（a 216，a 2），使得g （x 5）＝0，当x ∈（0，x 5）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（x 5，a ）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以x ＝x 5为f （x ）的极大值点，所以f （x ）在（0，a ）有一个极值点，不合题意，综上所述，a 的取值范围为（﹣∞，0]∪{1}．。

山东名校考试联盟暨2024年4月济南市高三二模数学参考答案

-1-山东名校考试联盟2024年4月高考模拟考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号12345678答案BCDADBBA8．【解析】因为球与三棱锥P ABC -的棱均相切，所以面ABC 截球得到的截面圆与ABC △的三边均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与面ABC 垂直的直线上，又因为ABC △的内切圆半径恰为1，所以棱切球的球心即为圆心，如图过球心O 作PA 的垂线交PA 于H ,则1OH r ==，又因为2OA =所以PO =,所以2P ABC V -=．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011答案ACACDBCD11．【解析】对于A 选项：方法一：假设存在*k ∈N ，使1k a =，则1πsin12k k a a -==，因为[]10,1k a -∈，所以11k a -=，依次类推得，11a =，与已知111[,)32a ∈矛盾，所以A 选项错误．方法二：用数学归纳法证明，当1n 时，总有113n a < ．因为111[,32a ∈，所以1113a < ，设当n k =时，总有113k a < ，则πππ1π,sin 162222k k a a << ，即1113k a +< ，所以，当1n k =+时，总有1113k a +< ，-2-由数学归纳法知，当1n 时，总有113n a < ．所以A 选项错误．B 选项，要证数列{}n a 单调递增，只需证πsin2nn a a >，令()π1sin ([,1))23f x x x x =-∈，则()ππcos 122f x x '=-，()f x '在1[,1)3上单调递减，因为110,(1)1034f f ⎛⎫''=->=-< ⎪⎝⎭，故()f x '在1[,1)3上存在唯一零点0x ，当01[,)3x x ∈时，()0f x '>，当0(,1)x x ∈时，()0f x '<，所以()πsin 2f x x x =-在01[,)3x 上为增函数，在0(,1)x 上为减函数，因为()110,1036f f ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以当1[,1)3x ∈时，总有()0f x >，即πsin 2x x >，令n x a =，则有πsin 2n n aa >，B 选项正确．C 选项，要证13144n n a a ++ ，只需证π31sin 244n n a a + ，令()π31124sin ([43g x x x x =--∈，则()cos ππ3224g x x '=-，()g x '在[13,1)上单调递减，因为13(0,(1)034g g ''=>=-<，故()g x '在[13,1)上存在唯一零点1x ，当11[,)3x x ∈时，()0g x '>，当1(,1)x x ∈时，()0g x '<，所以()sin π31244g x x x =--在11[,)3x 上为增函数，在1(,1)x 上为减函数，因为1()(1)03g g ==，所以当1[,1)3x ∈时，总有()0g x ，即s π31244in x x + ，令n x a =，则有π31sin244n n a a + ，C 选项正确．A ，B ，C 三选项可通过数形结合直观观察：如图D 选项，令()π31sin ([,1))223h x x x x =-∈，则()ππ3cos 222h x x '=-，()h x '在1[,1)3上单调递减，因为133()0,(1)0322h h ''=<=-<，所以()π3sin 22h x x x =-在1[,1)3上为减函数，-3-因为1()03h =，所以当π(0,)2x ∈时，总有()1(03h x h = ，即π3sin 22x x ，所以π3sin 22n n a a ，即132n n a a + ，整理得112n n n a a a +- ，其中1,2,3n =所以21132211,21,212n n na a a a a a a a a +---累加后得，1112n n a a S +- ，即1122n n a a S ++ ，D 选项正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省济南市章丘区2024年高三下第二次大考数学试题

山东省济南市章丘区2024年高三下第二次大考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+等于（）A ．12B ．23C ．16D ．132．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦3．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB 的中点在y轴上，则正实数a 的取值范围为（） A ．(0,)+∞B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．[e,)+∞4．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，186．点(,)P x y 为不等式组+4x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞ C ．()2,1-D ．[]2,1-7．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（） A ．12B ．14C ．15 D ．1108．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．6B ．5C ．2D ．329．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（）A ．(]0101，B ．(]099，C ．(]0100，D ．()0+∞，10．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm11．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（） A ．B ．C ．D ．12．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（） A ．1B ．1-C ．iD ．i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022届山东省济南市历城区济钢高级中学高三第二次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（） A ．2B ．32C ．3D ．42．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-3．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C< C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A >D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >4．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．21556．执行下面的程序框图，则输出S 的值为（）A ．112-B ．2360C ．1120D ．43607．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A ．22B ．32C ．212+ D ．312+ 8．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（）A ．49-B ．23C ．32或49-D ．329．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A ．31-B ．21-C ．512- D ．212- 10．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．811．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（） A ． B ．C ．D ．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（）．A ．3B ．2C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【高三】2021年4月高三数学理科二模试题(济南人教B版有答案)

【高三】2021年4月高三数学理科二模试题（济南人教B版有答案）启用前绝密高三巩固训练理科数学本试题分为第一卷（）和第二卷（非），共4页，考试时间为120分钟。

满分是150分。

考试结束后，将试卷和答题纸一起交回注意事项：1.答题前，考生必须用0.5mm黑色签字笔在答题卡和试卷上指定的位置写下姓名、座位号、考生号、县、区和科目2.第ⅰ卷每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上.3.第二卷必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸上每个问题指定区域的相应位置，而不是试卷上；如果你需要改变，先划掉原来的答案，然后写一个新的答案；不要使用修正液、胶带或修正胶带。

不符合上述要求的答案无效4.题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：统计中的公式：，其中，，，，一、选择题:(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.如果已知集合，则a．b．c.d．2.如果复数（虚数单位）是纯虚数，则实数的值为a．b．c.d．3.功能是a．最小正周期为的奇函数b.最小正周期为的偶函数c、具有最小正周期的奇数函数D.具有最小正周期的偶数函数4.等差数列中，已知，，使得的最小正整数n为a、 7b.8c.9d.105.为了解疾病a是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：有疾病a和无疾病a的总计男20525女101525合计302050请计算一下统计数字。

你对a型糖尿病与性别有关的信心有多大下面的临界值表供参考：0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828a、不列颠哥伦比亚省。

6.△abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c,且asina+csinc-asinc=bsinb．是a.b.c.d.7.一所学校在周五安排六节课，包括语文、数学、英语、物理、化学和体育。

山东省济南市高考数学二诊试卷(理科)

山东省济南市高考数学二诊试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）满足条件的集合M的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 12. （2分） (2019高二下·上饶月考) 已知为虚数单位，若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2019高一上·大庆期中) 设函数，则 =（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 如图的程序执行后输出的结果是（）A . ﹣1B . 1C . 0D . 25. （2分）设a表示平面，a，b表示直线，给定下列四个命题：①a∥α，a⊥b⇒b⊥α；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③a⊥α，a⊥b⇒b∥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b其中正确命题的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）(2017·东城模拟) 已知向量，满足2 + =0，• =﹣2，则（3 + ）•（﹣）=（）A . 1B . 3C . 4D . 57. （2分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A . 3πB . πC . πD . π8. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高三上·房山期末) “b＜a＜0”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）(2017高二上·南阳月考) 在中，角的对边分别为，若，则此三角形外接圆的半径（）A .B .C .D .11. （2分）已知点P是双曲线C：（a>1）上的动点，点M为圆O：x2+y2=1上的动点，且，若|PM|的最小值为，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）奇函数f(x)在区间[-2,-1]上是减函数，且有最小值3，那么f(x)在区间[1,2]为（）A . 增函数且最小值为-3B . 增函数且最大值为-3C . 减函数且最小值为-3D . 减函数且最大值为-3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在（x﹣）8的二项展开式中，常数项为28，则实数a的值是________．14. （1分） (2018高一下·淮北期末) 中，边上的高，角所对的边分别是，则的取值范围是________．15. （1分）(2017·凉山模拟) 设点M，N是抛物线y=ax2（a＞0）上任意两点，点G（0，﹣1）满足•＞0，则a的取值范围是________．16. （1分）当x∈[﹣1，2]时，x3﹣x2﹣x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）数列{an}满足， n=1，2，3，…，{an}的前n项和记为Sn ．（Ⅰ）当a1=2时，a2等于多少（Ⅱ）数列{an}是否可能为等比数列？证明你的推断；18. （5分）(2017·南海模拟) 已知PC⊥平面ABC，AC=2 ，PC=BC，AB=4，∠BAC=30°．点D是线段AB 上靠近B的四等分点，PE∥CB，PC∥EB．（Ⅰ）证明：直线AB⊥平面PCD；（Ⅱ）若F为线段AC上靠近C的四等分点，求平面PDF与平面CBD所成锐二面角的正切值．19. （15分） (2018高二下·衡阳期末) 某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测株树苗的高度，经数据处理得到如图的频率分布直方图，起中最高的株树苗高度的茎叶图如图所示，以这株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.图1图2（1）求这批树苗的高度高于米的概率，并求图1中，，，的值；（2）若从这批树苗中随机选取株，记为高度在的树苗数列，求的分布列和数学期望.（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利获得签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批树苗能否被签收？20. （10分） (2017高二下·黄陵开学考) 已知中心在坐标原点的椭圆C经过点A（2，3），且点F （2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程和离心率e；（2）若平行于OA的直线l与椭圆有公共点，求直线l在y轴上的截距的取值范围．21. （10分）(2017·蚌埠模拟) 已知f（x）=ln（ax+b）+x2（a≠0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，求a，b的值；（2）若f（x）≤x2+x恒成立，求ab的最大值．22. （10分） (2017高二上·南京期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．23. （10分）(2017·长沙模拟) 设函数f（x）=2x﹣a，g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）+f（﹣x）≤g（x）的解集；（2）求证：中至少有一个不小于．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

山东省济南市数学高三理数二模考试试卷

山东省济南市数学高三理数二模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合， U=R则（）A .B . {0,1}C . {-2,-1}D . {-2,-1,0}2. （2分）(2018·潍坊模拟) 下面四个命题中，正确的是（）A . 若复数，则B . 若复数满足，则C . 若复数，满足，则或D . 若复数，满足，则，3. （2分）(2018·河北模拟) 已知命题：“ ”的否定是“ ”；命题：“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .4. （2分）已知抛物线y2=4x，圆F：（x﹣1）2+y2=1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D（如图所示），则|AB|•|CD|的值正确的是（）A . 等于1B . 最小值是1C . 等于4D . 最大值是45. （2分）(2018·茂名模拟) 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一上·台州期末) 设，，，则（）A .B .C .D .7. （2分）关于函数f(x)=和实数m、n的下列结论中正确的是（）A . 若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B . 若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C . 若f（m）＜f（n），则m2＜n2D . 若f（m）＜f（n），则m3＜n38. （2分） (2019高一下·上海月考) 如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了三种测量方案：（的角所对的边分别记为）：① 测量② 测量③测量则一定能确定间距离的所有方案的个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 09. （2分） (2016高一下·衡阳期末) 已知 =（1，2）， =（﹣2，0），且k + 与垂直，则k=（）A . ﹣1B .C .D . -10. （2分）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则这双曲线的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·兴平模拟) 定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·长春期末) 某工作的三视图如图所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·黄骅期中) 二项式（n∈N）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是________．14. （1分）若x，y满足条件当且仅当x=y=3时，z=ax+y取最大值，则实数a的取值范围是________15. （1分）已知sinα=﹣，且α为第三象限角，那么tanα的值等于________．16. （1分）(2019·南昌模拟) 江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交不会迟到；②若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是________．参考数据：若，则，，.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高三下·滨海模拟) 已知数列的前项和为 ,满足（）,数列满足（）,且（1）证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式;（2）若 ,求数列的前项和 ;（3）若 ,数列的前项和为 ,对任意的 ,都有 ,求实数的取值范围.18. （10分）(2017·河南模拟) 已知菱形ABCD如图（1）所示，其中∠ACD=60°，AB=2，AC与BD相交于点O，现沿AC进行翻折，使得平面ACD⊥平面ABC，取点E，连接AE，BE，CE，DE，使得线段BE再平面ABC内的投影落在线段OB上，得到的图形如图（2）所示，其中∠OBE=60°，BE=2．（Ⅰ）证明：DE⊥AC；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．19. （10分） (2016高二上·大庆期中) 已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．20. （10分） (2018高二下·舒城期末) 某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望．21. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 在极坐标系中，点坐标是，曲线的方程为；以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是的直线经过点．（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）求证直线和曲线相交于两点、，并求的值．22. （10分） (2016高三上·闽侯期中) 设函数f（x）=|2x﹣ |+|2x+m|（m≠0）．（1）证明：f（x）≥2 ；（2）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣ t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

(整理)济南市届高三第二次模数学试题理

高三针对性训练数学(理科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)；事件A 发生的前提下事件B 发生的概率为()()()P A B P A B P A ⋂=.第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,,1,3,5P m Q ==，则“5m =”是“P Q ⊆”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.复数231iz i -=+的虚部是 A. 52 B. 52- C. 52iD. 52i -3.某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是 A.710B.67C.47D.254. 如图所示，点P 是函数()()2sin ,0y x x R ωϕω=+∈>的图象的一个最高点，M,N 是图象与x 轴的交点.若0PM PN ⋅=uuu r uuu r，则ω的值为A.8B.4C.8π D.4π 5.已知()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当()0,1x ∈时，()2015312x f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则A. 1B. 1C.1D. 16.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为5-，则输出y 的值为 A.0.5 B.1 C.2 D.47.在不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域中，若2z x y =+的最大值为9，则a 的值为 A.0 B.3C.6D.98. 已知正实数,m n 满足1m n +=，且使116m m+取得最小值.若曲线ay x =过点,54m n P α⎛⎫⎪⎝⎭，则的值为 A. 1-B.12C.2D.39.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被抛物线24y bx =的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为A.B.C.D.10.函数()f x 的定义域为D ，对给定的正数k ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()[],f x a b 在内是单调函数；②()[],f x a b 在上的值域为[],ka kb ，则称区间[],a b 为()y f x =的k 级“理想区间”.下列结论错误的是A.函数()()2f x x x R =-∈存在1级“理想区间”B.函数()()xf x e x R =∈不存在2级“理想区间”C.函数()()2401xf x x x =≥+存在3级“理想区间” D. 函数()()1log 0,14xa f x a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭不存在4级“理想区间” 第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________.12.二项式4x ⎛+ ⎝的展开式中常数项为________. 13.已知圆C 过点()1,0-，且圆心在x 轴的负半轴上，直线:1l y x =+被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为___________.14.已知正方形ABCD,M 是DC 的中点，由AM mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r确定,m n 的值，计算定积分sin n mxdx ππ=⎰__________.15.如图，三个半径都是5cm 的小球放在一个半球面的碗中，三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径R 是_________cm.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）已知向量()cos 2cos sin ,1,cos sin 3a x x b x x π⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r ，，函数()f x a b =⋅r r .（I ）求函数()f x 的单调递增区间；（II ）在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c 已知()2,3f A a B π===，求ABC ∆的面积S.17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，非常数等比数列{}n b 的公比是q ，且满足：12a =，122231,3,b S b a b ===.（I ）求n n a b 与；（II ）设223n a n n c b λ=-⋅，若数列{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围.18. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB//CD ，602=2ABC AB CB ∠==o ，.在梯形ACEF 中，EF//AC ，且AC=2EF ，EC ⊥平面ABCD. （I ）求证：BC AF ⊥；（II ）若二面角D AF C --为45°，求CE 的长.19. （本小题满分12分）已知正棱锥S ABC -侧棱棱SA,SB,SC 两两互相垂直，D,E,F 分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个点，加上点S ，把这四个点两两相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X （若点S 与所取三点在同一平面内，则规定X=0）.（I ）求事件“X=0”的概率；（II ）求随机变量X 的分布列及数学期望.20. （本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e ，半焦距为c ，()0,1B 为其上顶点，且2a ，22,c b 依次成等差数列.（I ）求椭圆的标准方程和离心率e ；（II ）P,Q 为椭圆上的两个不同的动点，且2BP BQ k k e ⋅=. （i ）试证直线PQ 过定点M ，并求出M 点坐标；（ii ）PBQ ∆是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ 的斜率；否则请说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数()()20,1xf x a x a a =->≠且.（I ）当2a =时，求曲线()f x 在点()()2,2P f 处的切线方程；（II ）若()f x 的值恒非负，试求a 的取值范围；（III ）若函数()f x 存在极小值()g a ，求()g a 的最大值.2015届高三教学质量调研考试理科数学参考答案一、选择题ABCDD DBBAD二、填空题（11）甲（12）4 （13）()4322=++y x （14）1（15）32155+三、解答题（16）解：（Ⅰ）x x x b a x f 22sin cos )32cos()(-+-=⋅=πcos(2)cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2333x x x x xπππ=-+=++312cos 2sin 22))223x x x x x π=+=+=+…………3分令222232k x k πππππ-+≤+≤+()Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+()Z k ∈, 所以，函数)(x f 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. …………6分（Ⅱ）由23)(=A f ，得21)32sin(=+πA ，因为A 为ABC ∆的内角，由题意知π320<<A ，所以πππ35323<+<A ，因此ππ6532=+A ，解得4π=A , …………………………… 8分又2=a ，3B π=，由正弦定理BbA a sin sin =，得6=b ,……………… 10分由4π=A ，3π=B ，可得)sin())(sin(sin B A B AC +=+-=π1=sin cos cos sin 2222A B A B +=⋅+⋅426+=,…………………11分所以，ABC ∆的面积C ab S sin 21=4266221+⨯⨯⨯==233+ .…12分(17)解：(1)由已知可得⎩⎨⎧==+22232qa q a 所以q 2-3q +2＝0，…………………………3分解得q ＝2或q ＝1(舍)，从而a 2＝4，所以a n ＝2n ，12-=n n b .…………5分(2)由(1)知，λλn n a n n n b c 32322-=⋅-=.…………………………………7分由题意，n n c c <+1对任意的*N n ∈恒成立，即λλnnn n 323211-<-++恒成立，亦即nn232>λ恒成立，即n⎪⎭⎫⎝⎛⋅>3221λ恒成立．…………9分由于函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛⋅=3221是减函数，所以3132213221max =⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n ，……11分故31>λ，即λ的取值范围为),31(+∞．……………………………………12分（18）解证：（Ⅰ）证明：在ABC ∆中,2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅= 所以222AB AC BC =+,由勾股定理知90ACB ∠=所以 BC AC ⊥． ……2分又因为 EC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD所以 BC EC ⊥． ………………………4分又因为ACEC C = 所以 BC ⊥平面ACEF ，又AF ⊂平面ACEF所以 BC AF ⊥． ………………………6分（Ⅱ）因为EC ⊥平面ABCD ，又由（Ⅰ）知BC AC ⊥，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz -. 设=CE h，则()0,0,0C,)A,F h ⎫⎪⎪⎝⎭，1,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,1,02AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，AF h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. …………………………8分设平面DAF 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.AD AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以10,220.x y x hz ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令x =所以133)2h=-，n . …………………………9分又平面AFC 的法向量2(0,1,0)=n ……………………………10分所以1212cos 45⋅==⋅n n n n ，解得h = ． ……………………11分所以CE 的长为4． …………………………………12分（20）解：(I )由题意1=b ，2222c b a =+，又222c b a +=，解得2,322==c a ,椭圆的标准方程为132=+y . 离心率3632==e ………………3分 (II)(i )设直线PQ 的方程为n my x +=，设),(),,(2211y x Q y x P 联立⎩⎨⎧=++=3322y x n my x ，得032)3(222=-+++n mny y m ………………4分 0)(12)3()3(4)2(22222>-=-⨯+-=∆n m n m mn (*)⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+22212213332m m y y m mn y y ………………6分321122211==-⋅-=⋅e x y x y k k MN BM ))((22)1)(1(3212121n my n my x x y y ++==--∴032))(32(3)-2(221212=-++++∴n y y mn y y m03232)32(333)-2(22222=-++-+++-∴n m mn mn m m m整理得03222=--m mn n0))(3(=+-∴m n m nm n -=∴或m n 3= ………………9分所以直线PQ 的方程为)1(-=-=y m m my x (舍)或)3(3+=+=y m m my x 所以直线PQ 过定点)3,0(-.………………10分(ii ) 由题意, ︒≠∠90PBQ ,若︒=∠90BPM ,或︒=∠90BQM ,则P 或Q 在以BM 为直径的圆T 上,即在圆4)1(22=++y x 上联立⎩⎨⎧=+=++334)1(2222y x y x ,得0=y 或1 (舍) 即P 或Q 只可以是椭圆的左右顶点,故3±=PQ k . ………………13分(21)解:(I )当2=a 时, x x f x22)(-=,22ln 2)(-='∴xx f ,22ln 4)2(-='∴f ,又0)2(=f ,∴所求切线方程为x y )22ln 4(-=;…………………………………………3分(II )0)(='x g ,则2e x =, 0≤x 时, 0)(≤x f 恒成立;0≥x 时, 若10<<a ,则1>x 时021)(<-<x f ,与题意矛盾,故1≥a ;……5分由0)(≥x f 知x a x 2≥,所以)2ln(ln x a x ≥, ∴xx a )2ln(ln ≥,……………………………………………6分令x x x g )2ln()(=,则22)2ln(1)2ln(221)(xx x x x x x g -=-⨯⨯=',…7分令0)(='x g ,则2ex =,且20e x <<时, 2,0)(ex x g >>'时0)(<'x g , ∴e e e e g x g 22ln )2()(max ===,精品文档精品文档 ∴e e a ea 2,2ln ≥≥, 即a 的取值范围为),[2+∞ee ……………………………………………9分(III ) ,2ln )(-='a a x f x①当10<<a 时, )(,0)(,0ln ,0x f x f a a x ∴<'∴<>在R 上为减函数, )(x f 无极小值.…10分 ②当1>a 时,设方程0)(='x f 的根为t ,得a a t ln 2=,即a t a ln 2log =＝aa ln ln 2ln, ∴)(x f 在),(t -∞上为减函数,在),(-∞t 上为增函数,∴)(x f 的极小值为aa a t a t f t ln ln 2ln 2ln 22)(-=-=,………………12分即aa a a g ln ln 2ln 2ln 2)(-=, ∵0ln 2,1>∴>aa . 设0,ln )(>-=x x x x x h ,则x xx x x h ln 1ln 1)(-=--=',令0)(='x h ,得1=x , ∴)(x h 在)1,0(上为增函数,在),1(+∞上为减函数,∴)(x h 的最大值为1)1(=h ,即)(a g 的最大值为1,此时2e a =………………14分。

山东省济南市高三数学第二次模拟考试试题理-人教版高三全册数学试题

山东省济南市2018届高三数学第二次模拟考试试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，满分150分．考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合}082|{2≤--=x x x M ，集合}1|{≥=x x N ，则=N M（A ）}42|{≤≤-x x （B ）}1|{≥x x （C ）}41|{≤≤x x （D ）}2|{-≥x x （2）设R ∈θ，则“6πθ=”是“21sin =θ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）函数⎩⎨⎧>-≤=1,41,)(2x x x e x f x ，则=)]2([f f （A ）e1（B ）0 （C ）e （D ）1（4）函数xx x f 2)1ln()(-+=的一个零点所在的区间是（A ）)1,0( （B ）)2,1( （C ）)3,2(（D ）)4,3(（5）已知函数113)(22+++=x x x x f ，若32)(=a f ，则=-)(a f（A ）32 （B ）32- （C ）34 （D ）34- （6）已知02<<-απ，51cos sin =+αα，则αα22sin cos 1-的值为（A ）57 （B ）257 （C ）725 （D ）2524（7）函数)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，在),0[+∞单调递增．若)2()(log 2-<f a f ，则实数a 的取值范围是（A ）)4,0( （B ）)41,0( （C ）)4,41(（D ）),4(+∞（8）设角θ的终边过点）（2,1，则=-)4tan(πθ（A ）31 （B ）23 （C ）32- （D ）31- （9）已知命题“R ∈∃x ，使021)1(22≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是（A ）)1,(--∞ （B ）)3,1(- （C ）),3(+∞- （D ）)1,3(- （10）将函数)62sin(π-=x y 的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为（A ）3π=x （B ）6π=x （C ）12π=x （D ）12π-=x（11）函数)2sin(41)(2π--=x x x f ，)(x f '是)(x f 的导函数，则)(x f '的图象大致是（A ）（B ）（C ）（D ）（12）设)(x f '是函数)R )((∈x x f 的导函数，3)1(=-f ，若对任意的R ∈x ，2)(>'x f ，则52)(+>x x f 的解集为（A ）)1,1(- （B ）),1(+∞- （C ）)1,(--∞ （D ）)1,(-∞第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

山东省济南市实验中学高三二模数学试题(解析版)

一、单项选择题1．集合{}{}251,4A x x B x x =-<<=≤那么AB =〔〕A ．()2,3B ．[)2,3C ．[)2,1- D ．()2,1-【答案】C【分析】解出集合B 的解集，按照交集定义求得交集即可.【详解】{}24[2,2]B x x =≤=-，那么[2,1)A B ⋂=-应选：C2．复数(3i)(32i)()z a a =-+∈R 的实部与虚部的和为7，那么a 的值为〔〕 A ．1 B ．0 C ．2 D ．－2【答案】C【分析】根据复数的乘法运算化简后即可求解.【详解】2(3i)(32i)32i 9i 6i 36(29)i z a a a a a =-+=+--=++-，所以复数z 的实部与虚局部别为36a +，29a -，于是36297a a ++-=，解得2a =，应选：C3．设0.35a =，0.3log 0.5b =，3log 0.4c =，那么a ，b ，c 的大小关系是〔〕 A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】D【分析】根据指对数的性质，即可比较a ，b ，c 的大小. 【详解】由0.30.331log 0.50log 0.45b c a >>=>>==，∴c b a <<. 应选：D4．等差数列{}n a 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，那么该数列的中间项为〔〕 A ．28 B ．29C ．30D ．31【答案】B【分析】此题可设等差数列{}n a 共有21n 项，然后通过S S 奇偶即可得出结果.【详解】设等差数列{}n a 共有21n 项，那么13521n S a a a a +=++++奇，2462n S a a a a 偶，中间项为1n a +，故13254212n n S S a a a a a a a 奇偶111n a d dda nda ，131929029n a S S 奇偶，应选：B.5．两圆相交于两点()1,3A ，(),1B t -，两圆圆心都在直线20x y c ++=上，那么t c +的值为〔〕 A ．3- B ．2- C ．0 D ．1【答案】A【分析】由相交弦的性质，可得AB 与直线20x y c ++=垂直，且AB 的中点在这条直线20x y c ++=上；由AB 与直线20x y c ++=垂直，可得3(1)21t--=-，解可得t 的值，即可得B 的坐标，进而可得AB 中点的坐标，代入直线方程可得2c =-；进而将t 、c 相加可得答案．【详解】根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线20x y c ++=垂直，且AB 的中点在这条直线20x y c ++=上；由AB 与直线20x y c ++=垂直，可得3(1)21t--=-，解可得1t =-，那么(1,1)B --，故AB 中点为(0,1)，且其在直线20x y c ++=上，代入直线方程可得，02+⨯10c +=，可得2c =-；故(1)(2)3t c +=-+-=-；应选：A【点睛】方法点睛：解答圆和圆的位置关系时，要注意利用平面几何圆的知识来分析解答.6．市场调查发现，大约35的人喜欢在网上购置儿童玩具，其余的人那么喜欢在实体店购置儿童玩具.经工商局抽样调查发现，网上购置的儿童玩具合格率为45，而实体店里的儿童玩具的合格率为910.现工商局12345 接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，那么这个儿童玩具是在网上购置的可能性是〔〕 A ．12B ．34C ．45D ．56【答案】B【分析】根据条件，利用比例求得这个儿童玩具是在网上购置的可能性.【详解】工商局12345 接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，那么这个儿童玩具是在网上购置的可能性是313355253121445551025⨯==⨯+⨯. 应选：B7．两个三口之家〔父母+小孩〕共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，那么不同的乘车方式的种数为〔〕A ．48B ．50C ．98D ．68【答案】A【分析】先求所有乘坐情况，再求两个小孩单独乘坐一辆车的情况，即可求出结果．【详解】6人乘坐的所有情况有242364261522050C C A C +=⨯+=，两个小孩单独乘坐一辆车的情况有122C =，所以两个小孩不能单独乘坐一辆车，那么不同的乘车方式的种数为50248-=，应选：A8．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的根底上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理〞：一个图形不管是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，那么后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：函数()f x 满足()()4f x f x -=，且当[]0,2x ∈时的解析式为22log (2),01()log ,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩，那么函数()y f x =在[]0,4x ∈的图象与直线1y =-围成封闭图形的面积是〔〕A ．2B ．22log 3C ．4D ．24log 3【答案】C【分析】根据题设“出入相补原理〞，结合函数()y f x =在[]0,4x ∈的图象与直线1y =-围成封闭图形的特征及其对称性，应用数形结合的方法，移补图形可得矩形即可求面积.【详解】由题意知：()f x 关于2x =对称，而22log (2),01()log ,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩，且(0)(4)1f f ==-，(2)1f =，∴在[]0,4x ∈，()f x 、(4)f x -及1y =-的图象如下，∴将所围成的图形在x 轴下半局部阴影区域分成两局部相补到x 轴上半局部阴影区域，可得到图示：由x 轴、y 轴、1y =、4x =所围成的矩形的面积，∴函数()y f x =在[]0,4x ∈的图象与直线1y =-围成封闭图形的面积为4. 应选：C【点睛】关键点点睛：利用函数的对称性及端点值，应用数形结合及“出入相补原理〞，可将所围成的图形转化为由x 轴、y 轴、1y =、4x =所围成的矩形.二、多项选择题9．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如下列图∶那么以下说法正确的选项是〔〕． A ．B ．该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%C ．该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生D ．该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士【答案】AB【分析】根据两个图形进行数据分析可得．【详解】从条形图该高科技行业中从事技术岗位的人数为总人数的39.6%，B 正确；两个图形中没有反响从事的职业与学历的关系，CD 错．应选：AB ． 10．()()223210f x cos x sin x ωωω=->的最小正周期为π，那么以下说法正确的有〔〕 A ．2ω= B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012是函数()y f x =图象的一个对称中心【答案】BD【分析】首先化简函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期求1ω=，然后再判断三角函数的性质.【详解】()cos 2322sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，22ππω=，1ω∴= ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ，故A 不正确；当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 是函数sin y x =的单调递增区间，故B 正确；当3x π=时，52366πππ⨯+=，51sin162π=≠±，所以不是函数的对称轴，故C 不正确；、当512x π=时，52126πππ⨯+=，sin 0π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，故D 正确. 应选：BD【点睛】此题考查三角函数的化简和三角函数的性质，此题的思路是整体代入的思想，属于根底题型.11．如下列图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，Q 分别是线段11B D ，AC 上的动点，那么以下说法正确的有〔〕A ．线段PQ 长度的最小值为2B ．满足22PQ =4种C ．无论P ，Q 如何运动，直线PQ 都不可能与1BD 垂直D ．三棱锥P ABQ -的体积大小只与点Q 的位置有关，与点P 的位置无关【答案】ABD【分析】对于A 选项，当P ，Q 分别是线段11B D ，AC 的中点时，满足；对于B 选项，22PQ =1111,,,AD CD AB CB 四种；对于C 选项，当P 与'B 点重合，点Q 与C 点重合时，故PQ 1BD ⊥；对于D 选项，由于点P 到平面ABQ 的距离是2，底面QBA 的面积随着点Q 的移动而变化即可得答案..【详解】对于A 选项，当P ，Q 分别是线段11B D ，AC 的中点时，PQ 是异面直线11B D ，AC 的公垂线，此时线段PQ 长度最小，为2，故A 选项正确；对于B 选项，PQ =PQ 可以是1111,,,AD CD AB CB 四种，故B 选项正确；对于C 选项，当P 与'B 点重合，点Q 与C 点重合时，此时的直线PQ 〔即1BC 〕与平面11BC D 垂直，故PQ 1BD ⊥，故C 选项错误；对于D 选项，由于点P 到平面ABQ 的距离是2，底面QBA 的面积随着点Q 的移动而变化，所以三棱锥P ABQ -的体积大小只与点Q 的位置有关，与点P 的位置无关，故D 选项正确. 应选：ABD【点睛】此题考查空间线线，线面位置关系和距离体积的求法，考查运算和推理能力，转化思想，数形结合思想，是中档题.此题解题的关键在于取特殊的点，寻找使得条件成立的实例，进而求解.()*n n ∈N 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，那么〔〕 A ．12n k +=B ．133n n a a +=-C ．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 【答案】ABD【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2 此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得： 123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩ 123333(*)n n a n N ⇒=++++∈用等比数列求和可得()33132n na -=+那么 ()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+ 又 ()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++23133332222n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()231331322nn --=+ 2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.应选：ABD.【点睛】此题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退〞，足够的“退〞，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.三、填空题13．设向量(1,),(2,1)a m b ==，且(2)7b a b ⋅+=，那么m =__________.【答案】1-【分析】向量数量积的坐标表示，列式求m . 【详解】()24,21a b m +=+，()27b a b ⋅+=，24217m ∴⨯++=，解得：1m =-. 故答案为：1-14．3sin cos 8αα=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】【分析】根据3sin cos 8αα=求出sin +cos αα，再利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简原式即可求得．【详解】由题意，27(sin cos )12sin cos 4αααα+=+=，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα+>，那么sin cos αα+=，所以22cos 2sin 4απα===⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：2-四、双空题15．任取一个正整数m ，假设m 是奇数，就将该数乘3再加上1；假设m 是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想〞〔又称“角谷猜想〞等〕，假设5m =，那么经过________次步骤后变成1；假设第5次步骤后变成1，那么m 的可能值之和为________. 【答案】5 41【分析】〔1〕设11a =，根据“冰雹猜想〞，分别写出后面的项，直至为1，求解；〔2〕假设第5次步骤后变成1，那么61a =，根据“冰雹猜想〞，写出前面的项，直至1a ，求所有可能的首项.【详解】〔1〕当5m =时，15a =，253116a =⨯+=，38a =，44a =，52a =，61a =，所以需5次步骤后变成1；〔2〕假设第5次步骤后变成1，那么61a =，52a =，44a =，38a =或1 ，当38a =，216a =，132a =或15a =；当31a =时，22a =，14a =，所以m 的可能值是{}4,5,32，m 的可能值的和是453241++=. 故答案为：5；41【点睛】易错点点睛：当首项为m 时，注意次数指项数1-，第二问，注意两种变换，3a 有两个值，不要丢根.五、解答题16．在平面四边形ABCD 中，3ABC π∠=，2ADC π∠=，4BC =.〔1〕假设△ABC 的面积为33AC ；〔2〕假设33AD =3ACB ACD π∠=∠+，求tan ACD ∠.【答案】〔113〔2〕337. 【分析】〔1〕应用三角形面积公式有1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠△，可求AB ，由余弦定理即可求AC ；〔2〕设ACD α∠=，在Rt ACD △中sin ADAC α=，在△ABC 中应用正弦定理有sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，即可求tan α，得解.【详解】〔1〕在△ABC 中，4BC =，3ABC π∠=，∴1sin 332ABCSAB BC ABC =⋅⋅∠=，可得3AB =，在△ABC 中，由余弦定理得2222cos 13AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=，13AC ∴=.〔2〕设ACD α∠=，那么33ACB ACD ππα∠=∠+=+，在Rt ACD △中，33AD =，易知：33sin AD AC α==，在△ABC 中，3BAC ACB ABC ππα∠=-∠-∠=-，由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即4333sin sin 3παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3332sin 3sin()cos sin 32παααα∴=-=-，可得33tan α=，即33tan ACD ∠=. 17．如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，点M ，N 分别是11B C 和11A B 的中点，12AA AB BM ===，160AAB ∠=︒.〔1〕求证：BN ⊥平面111A B C ；〔2〕求二面角M AB C --的余弦值. 【答案】〔1〕证明见解析；〔25【分析】〔1〕通过判断11BN A B ⊥和BN MN ⊥即可证明；〔2〕取AB 的中点O ，连结1AO ，以点O 为原点建立空间直角坐标系，求得平面MAB和平面ABC 的一个法向量，利用向量关系即可求解.【详解】〔1〕证明：连结MN ，1A B ，侧面11ABB A 是平行四边形，且160A AB ∠=︒，所以11A BB 为正三角形，又点N 分别是11A B 的中点，所以11BN A B ⊥又因为12AA AB BM ===，所以BN =，1MN =. 所以222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥，又11A B MN N ⋂=，所以BN ⊥平面111A B C . 〔2〕取AB 的中点O ，连结1AO ，那么1//AOBN . 由〔1〕知1AO ⊥平面ABC ，CO AB ⊥，如图，以点O 为原点，直线OE ，OC ，1OA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.那么(0,0,0)O ，(0,1,0)A -，(0,1,0)B，C，1A，1B，32M ⎝，设平面MAB 的一个法向量为1(,,)n x y z =，那么1n OM ⊥，1n BM ⊥.所以302102y y ++=++=，可取1(2,0,1)n =-，易得平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)n =所以121212cos ,n n n n n n ⋅<>==-⋅因为二面角1A AB M --【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破〞：第一，破“建系关〞，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关〞，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关〞，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关〞.18．每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣某高校为了解在校学生的每周阅读时间X 〔：小时〕，对全校学生进行了问卷调查从中随机抽取了100名学生的数据，统计如下表：每周阅读时间X [)9,11[)11,13[)13,15[)15,17[)17,19[)19,21[]21,23频率0.050.10.150.40.20.060.04〔1〕根据频率分布表，估计这100名学生每周阅读时间的平均值X 〔同一组数据用该组数据区间的中点值表示〕；〔2〕假设认为目前该校学生每周的阅读时间X 服从正态分布()2,N μσ，用〔1〕中的平均值X 近似代替μ，且()1417.760.5P X ≤≤=，假设某学生周阅读时间不低于142次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡.每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为：购书卡的金额〔：元〕 20 50 概率3414记Y 〔：元〕为甲同学参加问卷调查获赠的购书卡的金额，求Y 的分布列与数学期望. 【答案】〔1〕15.88；〔2〕分布列见解析，48.125.【分析】〔1〕区间中点乘以对应的频率然后求和，可得阅读时间的平均值；〔2〕根据正态分布的对称性可得13(14)1(14)144P X P X ≥=-<=-=，由题意甲为“阅读之星〞的概率为34，由“阅读之星〞可以获赠2次随机购书卡，以及每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率，可得Y 的可能取值为20，40，50，70，100，然后写出分布列，求出期望.【详解】〔1〕100.05120.1140.15160.4180.2200.06220.0415.88x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=〔2〕由(1417.76)0.5P X ≤≤=，且正态密度曲线关于15.88x μ==对称，所以1(1417.76)1(14)(17.76)24P X P X P X -≤≤<=>==13(14)1(14)144P X P X ≥=-<=-=，由题意甲为“阅读之星〞的概率为34甲获赠购书卡金额Y 的可能取值为20，40，50，70，100133(20)4416P Y ==⨯=；33327(40)44464P Y ==⨯⨯=；111(50)4416P Y ==⨯=；12331189(70)4446432P Y C ==⨯⨯==； 3113(100)44464P Y ==⨯⨯=.故Y 的分布列为：所以32719330801()20405070100481664163264648E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 故甲同学参加问卷调査获赠的购书卡的金额为48.125元.【点睛】对根据频率分布求期望的算法要掌握，第二问关键在于读懂题意，写出Y 的可能取值以及对应个概率，那么可求出期望.19．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1F ，)2F ，过点2F 的直线l 与椭圆交于不同两点M ，N .当直线l 斜率为1-时，弦MN 的中点坐标为41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 〔1〕求椭圆E 的标准方程；〔2〕求1F MN △的内切圆半径r 最大时，直线l 的方程.【答案】〔1〕2214x y +=；〔2〕0x =. 【分析】〔1〕利用点差法，结合直线l 斜率、弦MN 的中点坐标，求得22,a b ，由此求得椭圆E 的标准方程.〔2〕利用三角形的面积公式得到114F MN r S =△，设直线l 方程为x my =1F MN △面积的最大值，来求得此时m 的值，从而求得直线l 的方程.【详解】〔1〕由题知c = 设()11,M x y ，()22,N x y ，那么有2211221x y a b+= ①，2222221x y a b+= ②，由①-②得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+= ③，当12121y y x x -=--时，12x x +=，12y y +=③，化简得224a b =，又222a b c =+，c =21b ∴=，24a =.∴椭圆E 的标准方程为2214x y +=.〔2〕1F MN △的周长为121248MF MF NF NF a +++==，11842F MNSr r =⋅⋅=，故114F MN r S =△，所以1F MN △内切圆半径r 最大即1MNF S 最大，设直线l方程为x my =由2214x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22410m y ++-=，0∆>显然成立，12y y +=12214y y m -=+，那么1121212F MNSF F y y =⋅-===，令1)t t =≥，那么221m t =-，12233F MNSt t t==≤=++，当且仅当3tt=即)1t t =≥时取“=〞，此时m =，直线l方程为0x =.【点睛】涉及三角形内切圆半径r 的题目，可利用面积公式()12ABC S a b c r =++⋅△列方程来求解.20．函数()()x f x e ax a =-∈R . 〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕当2a =时，求函数()()cos g x f x x =-在,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数. 【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕2个.【分析】〔1〕求导得到()x f x e a '=-，再对a 分类讨论得到函数()f x 的单调性；〔2〕由题得()sin 2x g x e x '=+-，再对x 分三种情况讨论得解. 【详解】〔1〕()x f x e ax =-，其定义域为R ，()x f x e a '=- ①当0a ≤时，因为()0f x '>，所以()f x 在R 上单调递增， ②当0a >时，令()0f x '>得ln x a >，令()0f x '<得ln x a < 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()ln ,a +∞上单调递增，综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞单调递减，()ln ,a +∞单调递增，〔2〕得()2cos x g x e x x =--，,2x π⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭那么()sin 2xg x e x '=+-①当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，因为()()1(sin 1)0xg x e x '=-+-<所以()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，所以()()00g x g >=，所以()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上无零点；②当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()g x '单调递增，且(0)10g '=-<，2102g e ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x '= 当()00,x x ∈时，()0g x '<，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>所以()g x 在[)00,x 递减0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦递增，且()00g =，所以()00g x <，又因为202g e πππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭所以()002g x g π⎛⎫⋅<⎪⎝⎭所以()g x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上存在一个零点，所以()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点； ③当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，2()sin 230x g x e x e π'=+->->，所以()g x 在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增因为02g π⎛⎫>⎪⎝⎭，所以()g x 在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点；综上所述，()g x 在,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数为2个. 【点睛】方法点睛：函数的零点问题常见的解法有：〔1〕方程法〔直接解方程得解〕；〔2〕图象法〔直接研究函数()f x 的图象得解〕；〔3〕方程+图象法〔令()0f x =得到，再研究函数(),()g x h x()()g x h x图象性质即得解〕.要根据条件灵活选择方法求解.。

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