上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期
期中考试数学试卷
一、填空题
1．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}3B x x =>，则A B = .
2．直线10x y +-=的倾斜角是．3．已知i 34i z ⋅=-+，则z =.
4．双曲线22
179
y x -=的渐近线方程是
.
5．已知ABC V 的角A 、B 、C 对应边长分别为a 、b 、c ，4a =，5b =，6c =，则sin A =6．已知二项式5
a x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中3x 的系数为15，则a =
.7．已知实数a 、b 满足24a b +=，则224a b +的最小值为
.
8．幂函数y x α=中，α的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
的子集，当幂函数的值域与定义域
相同时，集合C =.
9．数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=+，若19270k k k a a a +++++= ，则k =
.
10．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆AOC 和半圆BOD 的直径均为2.8米，平面
AOC 和平面BOD 均垂直于平面ABCD ，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，假设
所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为
立方米.（精确到0.1立方米）
11．已知10ω>，20ω>，12()2sin cos f x x x ωω=，2()2cos g x x ω=，函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，其中
5π
4是这两个函数共同的零点，4π3
是其中一个函数的零点，则12ωω+=
.
12．若三个正整数a ，b ，c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2，0，2，5，0，6，0，7，则称（a ，b ，c ）为“幸运数组”，例如（7，6，202500）是一个幸运数组.则满足10a b c <<<的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为
.
二、单选题
13．给出下列两个命题：1p ：设直线a 不在平面α上，若直线a 与平面α不平行，则平面α上不存在与a 平行的直线；2p ：设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α上，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充分不必要条件.则（）
A ．1p 是真命题，2p 是假命题
B ．1p 是真命题，2p 是真命题
C ．1p 是假命题，2p 是真命题
D ．1p 是假命题，2p 是假命题
14．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m ，n ，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则m =（
）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
15．在等比数列{}n a 中，1401a a <<=，则能使不等式12121110n
n a a a a a a ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 成立的最大正整数n 是（
）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
16．定义：若抛物线的顶点，抛物线与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线1:3l y x b =
+经过点10,4M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，一组抛物线的顶点()()()1122331,,2,,3,B y B y B y ，(),n n B n y ⋯（n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()()1122,0,,0A x A x ，()()3311,0,,0n n A x A x ++⋯（n 为正整数）．若
1(01)x d d =<<，当d 为（
）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A ．
512或712
B ．
512或1112
C ．
712或1112
D ．
712
三、解答题
17．已知()sin cos f x x x ωω=+，0ω>，
(1)若2ω=，求函数()y f x =，π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域；
(2)已知0a >，且函数()y f x =的最小正周期为π，若函数π6y f x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
在[]π,a 上恰有3个零点，求实数a 的取值范围.
18．已知四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB BC a ==，3AD a =，2DE PE a ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥.
(1)若F 是PD 中点，证明：//CF 平面PBE ；(2)若AB ⊥平面PED ，求二面角A PD C --的大小.
19．
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示
一次购物量1至4件
5至8件9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）x 3025y 10结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，求第二类人群中应抽取的人数；
(3)若将频率视为概率，求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.
20．如图所示，由椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>和椭圆22
222:1(0)y x C b t b t
+=>>组合而成的
曲线Γ，由图形特点，这里称曲线Γ为“猫眼曲线”.特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线
”.
(1)已知猫眼曲线Γ满足a ，b ，t 成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；(2)在曲线Γ中，若2a =
，b =，1t =，斜率为(0)k k ≠的直线l 不经过坐标原点，且l 与椭圆1C 相交所得弦的中点为M ，与椭圆2C 相交所得弦的中点为N ，证明：直线OM ，ON 的斜率之比
OM
ON
k k 为定值；(3)在（2）的条件下，若直线l
的斜率k l 与椭圆2C 相切，与椭圆1C 相交于A ，B 两点，Q 为椭圆1C 上异于A ，B 的任意一点，求ABQ 面积的最大值.21．已知32
21()132
f x x ax =
-+，a ∈R .(1)若()y f x =是区间(0,1)上的严格减函数，是区间(1,3)上的严格增函数，求a 的值；(2)若函数()y f x =在区间[1,3]上的最大值不大于1，求a 的取值范围；
(3)记()(())g x f f x =
，证明：当103a ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭时，函数()y g x =有且仅有三个零点.。