澧县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

澧县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “方程
+
=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．
A ．必要不充分
B ．充要
C ．充分不必要
D ．不充分不必要
2． 若直线l 的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α相交但不垂直
3． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x ”的概率为（ ） A ．
14 B ．18 C ．23 D ．112
4． 抛物线E ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2），若线段AF 的中点B 在抛物线上，则|BF|=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（ ）
A ．∅
B ．{1，4}
C ．M
D ．{2，7}
6． 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6
7． 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．
D ．±3
8． 如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A．B．C．D．
9．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) A5
B4
C3
D2
10．已知f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），若f（2016）=k，则f（﹣2016）=（）
A．k B．﹣k C．1﹣k D．2﹣k
11．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（）
A．36种B．18种C．27种D．24种
12．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）
A． B．C． D．
二、填空题
13．函数f（x）=a x+4的图象恒过定点P，则P点坐标是．
14．已知tan β
=，tan （α﹣β）
=，其中α，β均为锐角，则α= ．
15．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．
16．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④
sin sin sin a b c
A B C
+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 17
．已知
，
是空间二向量，若=3，
||=2，
|
﹣
|=
，则
与的夹角为 ．
18．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m
x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
三、解答题
19
．已知函数
．
（Ⅰ）若函数f （x ）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[1，e]上的最小值．
20．（本题满分15分）
已知抛物线C 的方程为2
2(0)y px p =>，点(1,2)R 在抛物线C 上．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线:22l y x =+于
M ，N 两点，求MN 最小时直线AB 的方程．
【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.
21．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线．
（2）若
，求
的值．
22．已知函数f （x ）=lnx ﹣a （1
﹣），a ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若f （x ）的最小值为0． （i ）求实数a 的值；
（ii ）已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=f （a n ）+2，记[x]表示不大于x 的最大整数，求证：n ＞1时[a n ]=2．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x （θ
为参数，],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t ì=+ïí=+ïîa
a
（t 为参数）．
（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的极坐标；
（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．
【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
24．已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1﹣m}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
澧县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：若方程
+=1表示椭圆，则满足，即，
即﹣3＜m ＜5且m ≠1，此时﹣3＜m ＜5成立，即充分性成立，
当m=1时，满足﹣3＜m ＜5，但此时方程+
=1即为x 2+y 2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要
性不成立．
故“方程+
=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的充分不必要条件．
故选：C ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．
2． 【答案】B
【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4），
∴=﹣2，
∴∥， 因此l ⊥α． 故选：B ．
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 4． 【答案】D
【解析】解：依题意可知F 坐标为（，0）
∴B 的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=
，
∴抛物线准线方程为x=﹣
，
所以点B到抛物线准线的距离为=，
则B到该抛物线焦点的距离为．
故选D．
5．【答案】D
【解析】解：∵M∪N=M，∴N⊆M，
∴集合N不可能是{2，7}，
故选：D
【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．
6．【答案】B
【解析】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，
设底面边长为a，则，∴a=6，
故三棱柱体积．
故选B
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
7．【答案】B
【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，
可得，（m＞0）
解得m=3．
故选：B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．
8．【答案】D
【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=的值．
∵S==1﹣=
故选D．
9．【答案】C
【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3.
10．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），f（2016）=k，
∴f（2016）=20163a+2016b+1=k，
∴20163a+2016b=k﹣1，
∴f（﹣2016）=﹣20163a﹣2016b+1=﹣（k﹣1）+1=2﹣k．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
11．【答案】 C
【解析】
排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：分4种情况讨论，
①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，
②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，
③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，
④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，
则共有6+12+6+3=27种乘船方法，
故选C．
【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、
组合公式．
12．【答案】A
【解析】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，
∴圆的半径，
由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，
在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，
∴；
由，得b+2c＜2a，
再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，
∴3c2+4bc＜3a2，
∴4bc＜3b2，
∴4c＜3b，
∴16c2＜9b2，
∴16c2＜9a2﹣9c2，
∴9a2＞25c2，
∴，
∴．
综上所述，．
故选A．
二、填空题
13．【答案】（0，5）．
【解析】解：∵y=a x的图象恒过定点（0，1），
而f（x）=a x+4的图象是把y=a x的图象向上平移4个单位得到的，
∴函数f（x）=a x+4的图象恒过定点P（0，5），
故答案为：（0，5）．
【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．
14．【答案】 ．
【解析】解：∵tan β=，α，β均为锐角，
∴tan （α﹣β）==
=，解得：tan α=1，
∴α=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．
15．【答案】 ．
【解析】解：∵asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，
∴由正弦定理得a 2=b 2+c 2﹣bc ，即：b 2+c 2﹣a 2
=bc ， ∴由余弦定理可得b 2=a 2+c 2
﹣2accosB ，
∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，
∵bc=4，
∴S △ABC =bcsinA==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
16．【答案】②④ 【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知sin sin a A b B =，推出A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，sin sin a B b A =，即sin sin sin sin A B B A =恒成立，所以是正
确的；对于③中，cos cos a B b A =，可得sin()0B A -=，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由
正弦定理以及合分比定理可知
sin sin sin a b c
A B C
+=+是正确，故选选②④．1 考点：正弦定理；三角恒等变换． 17．【答案】 60° ．
【解析】解：∵|﹣|=，
∴
∴
=3，
∴cos ＜＞=
=
∵
∴与的夹角为60°． 故答案为：60°
【点评】本题考查平面向量数量积表示夹角和模长，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积，再用夹角的表示式．
18．【答案】[3,6]-. 【
解
析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由已知得：f ′（x ）=
．
要使函数f （x ）在区间[1，+∞）内单调递增，只需≥0在[1，+∞）上恒成立．
结合a ＞0可知，只需a ，x ∈[1，+∞）即可．
易知，此时
=1，所以只需a ≥1即可．
（2）结合（1），令f ′（x ）=
=0得
．
当a ≥1时，由（1）知，函数f （x ）在[1，e]上递增，所以f （x ）min =f （1）=0；
当
时，
，此时在[1，）上f ′（x ）＜0，在上f ′（x ）＞0，
所以此时f （x ）在上递减，在
上递增，所以f （x ）min =f （）=1﹣lna ﹣；
当
时，
，故此时f ′（x ）＜0在[1，e]上恒成立，所以f （x ）在[1，e]上递减，
所以f （x ）min =f （e ）=
．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．
20．【答案】（1）2
4y x =；（2）20x y +-=．
【解析】（1）∵点(1,2)R 在抛物线C 上，2
2212p p =⨯⇒=，…………2分
即抛物线C 的方程为2
4y x =；…………5分
21．【答案】
【解析】（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ∴OD∥AE又AE⊥DE
∴DE⊥OD，又OD为半径
∴DE是的⊙O切线
（II）解：过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x
又由△AEF∽△DOF可得∴
【点评】本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=﹣=．
当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a．
所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．
综上述：a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）无最小值，不合题意；
当a＞0时，[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0，
令g（x）=1﹣x+lnx（x＞0），则g′（x）=﹣1+=，
由g′（x）＞0，解得0＜x＜1；由g′（x）＜0，解得x＞1．
所以g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
故[g（x）]max=g（1）=0，即当且仅当x=1时，g（x）=0．
因此，a=1．
（ⅱ）因为f（x）=lnx﹣1+，所以a n+1=f（a n）+2=1++lna n．
由a1=1得a2=2于是a3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜．
猜想当n≥3，n∈N时，2＜a n＜．
下面用数学归纳法进行证明．
①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．
②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜a k＜成立．
则当n=k+1时，a k+1=1+
+lna k ，
由（Ⅰ）知函数h （x ）=f （x ）+2=1++lnx 在区间（2，）单调递增，
所以h （2）＜h （a k ）＜h （），又因为h （2）=1++ln2＞2，
h （）=1++ln ＜1++1＜．
故2＜a k+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．
根据①②可知，当n ≥3，n ∈N 时，不等式2＜a n ＜成立． 综上可得，n ＞1时[a n ]=2．
【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等， 考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）设D 点坐标为)q q ，由已知得C 是以(0,0)O 因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线OD 与直线+2=0x y +的斜率相同，34
π
θ=，故D 点的直角坐标
为(1,1)-，极坐标为3)4
p ． （Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(22
2
≥=+y y x 相切时
21|22|2
=+-k
k
0142=+-∴k k 32-=∴k ，32+=k （舍去）
设点)0,2(-B ，则2
AB
k =
=-故直线l 的斜率的取值范围为]22,3-. 24．【答案】
【解析】解：（1）由A ⊆B 知：
，
得m ≤﹣2，即实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （2）由A ∩B=∅，得：
①若2m ≥1﹣m 即m ≥时，B=∅，符合题意； ②若2m ＜1﹣m 即m ＜
时，需
或
，
得0≤m＜或∅，即0≤m＜，
综上知m≥0．
即实数m的取值范围为[0，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答（2）题时要分类讨论，以防错解或漏解．。