江苏镇江一中2024届高三上学期1月学情检测调研数学试题+答案

2024届高三年级1月学情检测调研试题数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合(){}3
log 21A
x x =−≤，(]0,3B =，则()R
A B = （ ）
A.[]1,0−
B.[]()1,03,−+∞
C.()(),23,−∞+∞
D.[]1,3− 2.已知复数z 满足()1234i z i +=−，z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 3.函数(
))
cos ln
f x x x =⋅的图象大致为（ ）
A. B.
C.
D.
4.若()10
2x −展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A B C ++=（ ） A.4095 B.4097 C.4095− D.4097−
5.已知底面半径为2的圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，则圆锥的母线长为（ ） A.2 B.2 C.22 D.4
6.19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b 进制随机数据中，以n 开头的数出现的概率为
()1log b b n P n n
+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来
检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若()20
2210
2log 21log 31log 5n k P n =−=+∑（*
k N ∈，20k ≤），则k 的值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
7.已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ  =++><  
为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论不正确的是（ ） A.π6ϕ=
B.若()g x 的最小正周期为3π，则23
ω=
C.若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33
D.若π4g =
ω的最小值为2 8.已知n T 为数列{}n a 的前n 项积，若12
1n n
a T +=，则数列{}n T 的前n 项和n S =（ ） A.22n n + B.22n n −+ C.22n n − D.22n n −−
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分。

9.已知0,0a b >>，若21a b +=，则（ ）
A.ab 的最大值为18
B.22a b +的最小值为1
C.21a b
+的最小值为8 D.24a b +的最小值为10.已知两个不等的平面向量,a b
满足()()1,,1,2a b λλ==− ，
其中λ是常数，则下列说法正确的是（ ） A.若//a b ，则1λ=−或2λ= B.若a b ⊥ ，则a b -在a b + 上的投影向量的坐标是17,55 −−
C.当2a b + 取得最小值时，若,a b 的夹角为锐角，则λ的取值范围为1,3 +∞
11.已知双曲线()0,01:22
22>>=−b a b
y a x C 的左、
右焦点分别为21,F F ，过2F 的直线与双曲线交于B A ,两点，A 在第一象限，若1ABF ∆为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ） A.双曲线C 的离心率为3 B.21F AF ∆的面积为2
32a C.21F AF ∆内切圆半径为(
)
a 13− D.21F BF ∆的内心在直线a x ±=上
12.如图，在三棱锥D ABC −中，平面ABC ⊥平面ABD ，3AB AC BC BD ====，2AD =，则（ ）
A.三棱锥D ABC −
B.点C 到直线AD
C.二面角B AD C −−
D.三棱锥D ABC −外接球的球心到平面ABD
三、填空题：共4小题，每题5分，共20分。

13.某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有________种. 14.已知
1cos sin 4sin 1cos θθ
θθ
−+=+，则tan θ=________.
15.过双曲线124
22
=−y x 的右支上一点P ，
分别向⊙()45:221=++y x C 和⊙()15:22
2=+−y x C 作切线，切点分别为N M ,，则2
2
PN PM
−的最小值为________.
16.若存在正数x ，使得不等式()ln x
e ax a <有解，则实数a 的取值范围是________.
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余题目为12分，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知5c =，2cos 2b C a c =−. （1）求角B 的大小；
（2）若ABC ∆
的面积D 是BC 的中点，求sin sin BAD CAD
∠∠的值.
18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2
*421n n n a S a n N =−−∈.数列{}n b 满足1
1n n n b a a +=
⋅，n
T 为数
列{}n b 的前n 项和.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ；
（3）若对任意的*n N ∈，不等式()81n
n T n λ<+⋅−恒成立，求实数λ的取值范围；
19.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）：
（1）完成上表；对于以上数据，采用小概率值0.01
α=的独立性检验，能否认为我市市民网购与性别有关联？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取20人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差.
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
a b c d a c b d
χ
−
=
++++
.常用的小概率值和对应的临界值如下表：
20.如图，在三棱柱111ABC A B C 中，直线1C B ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⊥平面11BB C C . （1）求证：1AC BB ⊥；
（2）若12AC BC BC ===，在棱11A B 上是否存在一点P ，使二面角1
P BC C −−
在，求111
B P A B 的值；若不存在，请说明理由.
21.已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为2
1
，焦距为2.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线()R m k m kx y l ∈+=,:与椭圆C 相交于B A ,两点，且4
3
−=⋅OB OA k k . ①求证：AOB ∆的面积为定值；
②椭圆C 上是否存在一点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出点P 横坐标的取值范围；若不存在，说明理由.
22.已知函数()()()
=−−+−∈.
f x x a x x a a R
ln3
a=，求()x f的极小值；
（1）若0
f′的单调性；
（2）讨论函数()x
（3）当2
a=时，证明：()x f有且只有2个零点.
参考答案
1．A 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．D 8．A 9．ACD 10．BC 11．BD 12．ACD 13．240 14. 4
3
−
15.17 16．(e,)+∞ 17．解:（1）∵2cos 2b C a c =−，∴由正弦定理得，2sin cos 2sin sin B C A C =
−， 即()2sin cos
2sin sin B C B C C π=−−−，即()2sin cos 2sin sin B C B C C =+−， 即2sin cos 2sin cos 2cos sin sin B C B C B C C =+−，即2cos sin sin B C C =，
()0,C π∈ ，sin 0C ∴≠，1
cos 2B ∴=，()0,B π∈ ，3
B π∴=；
（2
）11csin 5822a B a a =⇒⋅⋅⇒=，
7b =.
在ABD △中，由正弦定理得，
sin sin sin sin AB BD BD BDA
BAD BDA BAD AB
∠∠∠∠⋅=⇒=， 在ACD 中，由正弦定理得，
sin sin sin sin AC CD CD CDA
CAD CDA CAD AC
∠∠∠∠⋅=⇒=，
BD CD = ，sin sin BDA CDA ∠=∠，∴
sin 7
sin 5
BAD AC b CAD AB c ∠∠===.
18．解：（1）当1n =时，11a =；
当2n ≥时，因为0n a >，2421n n n a S a =−−，所以2
111421n n n a S a −−−=−−，
两式相减得()22
1114222n n n n n n n a a a a a a a −−−−=−+=+，
所以12n n a a −−=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n
a n =−． （2）由题意和（1）得：()()11
1111212122121n n n b a a n n n n + ===− ⋅−⋅+−+
，
所以数列{}n b 前n 项和11111111112335212122121
n n
T n n n n =
−+−+⋅⋅⋅+−=−= −+++ ． （3）①当n 为偶数时，要使不等式()81n
n T n λ<+⋅−恒成立，即不等式281
n n n λ+⋅
<+恒成立，即需不等式8217n n λ<++恒成立．∵8
28n n
+
≥，等号在2n =时取得．∴此时λ需满足25λ<． ②当n 为奇数时，要使不等式()81n
n T n λ<+⋅−恒成立，即不等式281
n n
n λ+⋅
<−恒成立，即需不等式8215n n λ<−−恒成立．∵82n n
−是随n 的增大而增大，∴1n =时，82n n
−取得最小值6−． ∴此时λ需满足21λ<−．综合①、②可得λ的取值范围是21λ<−．
19．解：（1）完善列联表如下表所示（单位：人）：
经常网购 偶尔或不用网购 合计
男性 45
55
100
女性 65
35
100 合计
110 90
200
零假设0:H 性别与网购之间无关联，
由列联表得，()2
2
0.01200453565558008.081 6.6351109010010099
x χ××−×==≈>=
×××， 根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为我市市民网购与性别有关联. （2）①由题意可知，所抽取的20名女市民中，经常网购的有65
2013100
×=人， 偶尔或不用网购的有35
207100
×
=人， 所以，选取的3人中至少有2人经常网购的概率为20828521313713
320
C C C C P +==；
②由22×列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为
11011
20020
=， 将频率视为概率，所以，从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为
1120
， 由题意可知，11~20,20X B
，所以，()11201120E X =×
=，()1199920202020D X =××=. 20．证明：（1）在三棱柱111ABC A B C 中，由1C B ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，得11,C B BC C B AC ⊥⊥，在平面11BB C C 内过B 作1BO CC ⊥于O ，由平面11AA C C ⊥平面11BB C C ，平面11AA C C 平面111BB C C CC =， 得BO ⊥平面11AAC C ，而AC ⊂平面11AAC C ，则有BO AC ⊥，
显然11,,BO C B B BO C B =
⊂ 平面11BB C C ，因此AC ⊥平面11BB C C ，又
1BB ⊂平面11BB C C ， 所以1AC BB ⊥.
（2）过点C 作1//Cz C B ，由11,C B BC C B AC ⊥⊥，得,Cz CA Cz CB ⊥⊥， 由（1）知AC ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，则CA CB ⊥，即直线,,CA CB Cz 两两垂直，
以点C 为原点，直线,,CA CB Cz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
由1
2AC BC BC ===，得11(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,4,2)A B C B ，(0,2,0),(2,2,0)CB BA ==− ， 假定在棱11A B 上存在一点P ，使二面角1P BC C −−
令111(2,2,0),01B P B A BA λλλλλ===−<< ，则(2,42,2)P λλ−，(2,42,2)CP λλ=− ，
设平面PBC 的一个法向量(,,)n x y z = ，则2(42)2020
n CP x y z n CB y λλ ⋅=+−+= ⋅== ， 令1x =，得(1,0,)n λ=− ，显然平面1BCC 的一个法向量(1,0,0)m = ，
依题意，cos ,m n 〈〉= 13λ=，即11113B P A B λ==， 所以在棱11A B 上存在一点P ，使二面角1P BC C −−
11113B P A B =. 21．解：（1）由题意知，焦距22c =，故1c =，又12c e
a ==，故2a =， 所以2223
b a
c =−=，故椭圆C 的方程为22
143
x y +=． （2）①由22
143x y y kx m
+= =+ 消去y ，化简得：()2223484120k x kmx m +++−=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则
222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=−+−=−+>， 122834km x x k +=−+
，12x x = 故()()()22
22
121212122
31234m k y y kx m kx m k x x km x x m k −=++=+++=+， 因为121234OA OB y y k k x x ⋅==−，所以22234m k =+，
坐标原点到直线l
的距离为d 所以AOB
的面积为
111222S AB d =⋅===， 故AOB 的面积为定值．
②假设存在椭圆上的点P ，使得OAPB 为平行四边形，则OP OA OB =+
，
设00(,)P x y ，则0122
0122834634km x x x k m y y y k =+=− + =+= +
， 又因为2200143x y +=，即()()
2222222161213434k m m k k +=++，得22434m k =+， 与22234m k =+矛盾，
故椭圆上不存在点P ，使得OAPB 为平行四边形．
22．解：（1）当0a =时，()ln 3,()f x x x x f x =
−−的定义域为(0,)+∞，()ln 11ln f x x x ′=+−=， 在区间(0,1),()0,()f x f x <′递减；
在区间(1,),()0,()f x f x +∞>′递增．所以当1x =时，()f x 取得极小值(1)4f =−． （2）()()ln 3f x x a x x a =−−+−的定义域为(0,)+∞，()ln 1ln x a a f x x x x x
−−=′=+−． 令221()ln (0),()a a x a h x x x h x x x x x
′+=−>=+=， 当0a ≥时，()0h x ′>恒成立，所以()h x 即()f x ′在(0,)+∞上递增． 当0a <时，()h x 在区间(0,),()0,()a h x h x −<′即()f x ′递减；
在区间(,),()0,()a h x h x −+∞>′即()f x ′递增．
（3）当2a =时，2()(2)ln 1,()ln f x x x x f x x x
=−−−=−′， 由（2）知，()f x ′在(0,)+∞上递增，2(2)
ln 210,(3)ln 303
f f ′′=−<=−>， 所以存在0(2,3)x ∈使得()00f x ′=，即002ln x x =． ()f x 在区间()00,x ，()0,()′<f x f x 递减；在区间()0,,()0,()x f x f x >′+∞递增． 所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x =−−−=−×−−=−+ ，
由于0044x x +>=，所以()00f x <． 11111122ln 12110e e e e e e
e f =−⋅−−=−−−−=−+> ， ()()2222222e e 2ln e e 12e 4e 1e 50f −⋅−−−−−−>，
根据零点存在性定理可知()f x 在区间()00,x 和()0,x +∞，()f x 各有1个零点， 所以()f x 有
2个零点．。