〖2021年整理〗《《解三角形的综合应用》讲义》优秀教案

解三角形的综合应用
一、【知识结构】
⎧⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩距离问题
高度问题应用举例角度问题面积问题实际应用题
二、【知识梳理】
1解斜三角形的常见类型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个除三角外才能求解，常见类型及其解法如表所示
2测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 3实际问题中的常用角 1仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角如图①
2方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等
3方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α如图②
4坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数
三、【范例导航】
例1：如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处错误!－1处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间
分析1分清已知条件和未知条件待求
2将问题集中到一个三角形中，如△ABC和△BCD
3利用正弦定理或余弦定理求解
解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获在D点走私船，则CD＝10错误!t海里，BD＝10t海里，
在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC co A
＝错误!－12＋22－2错误!－1·2·co 120216
∴BC＝错误!海里
又∵错误!＝错误!，
∴in∠ABC＝错误!＝错误!＝错误!，
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝12021
在△BCD中，由正弦定理，得错误!＝错误!，
∴in∠BCD＝错误!＝错误!＝错误!
∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶
又在△BCD中，∠CBD＝12021∠BCD＝30°，
∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝错误!
∴t ＝错误!小时≈15分钟
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟
点评：1由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题
2本题的易错点是，不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解 解斜三角形应用题的一般步骤为：
第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； 第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 变式训练：某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使
|AB |最短并求其最短距离
2
2
2
αα
αsin 10）（α-︒45sin 10αsin 10）（α-︒45sin 10）（αα-︒⋅45sin sin 100
）
（αααsin 2
2
cos 22sin 100-）（αα2cos 14
2
2sin 42100--2452sin 2400
-︒+）（α22400
-α
2
222400-+）（2
0322sin 10
'
︒）（222+210
）
（222+ km 240米6千米060060的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？ 解：轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时2021， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB ，设EB=x ，则 则BC=4x ，由已知得0030,150BAE EAC ∠=∠= 在△AEC 中，由正弦定理得：
sin sin sin sin EC AE AE EAC C EAC C EC ⋅∠=∴=∠05sin1501
52x x
==
在△ABC 中，由正弦定理得：
0sin120sin BC AB C =0
1
4sin 2sin120
3
x BC C
x AB ⋅
⋅∴==433=在△ABE 中，由余弦定理得：22202cos30BE AB AE AB AE =+-⋅⋅
164333131
2525,333
BE =+
-⨯==
故 所以船速31
3933BE
v t
=== 93m/h
四、【解法小结】
1在△ABC 中，∵ABC =π， ∴in
2B A +=co 2C ，co 2B A +=in 2C ，tan 2B A +=cot 2
C
2千米30 m 4如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°， 沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测 得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 为________ m
的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的
A 北偏东10°
B 北偏西10°
C 南偏东10°
D 南偏西10°
答案: °
错误!＋1。