自校正控制

y(k ) a1 y( k - 1) an y( k - n) b0 u( k - m ) b1u( k - m - 1) bn u( k - m - n) e(k ) c1e( k - 1) cne(k - n)
(1)
引入向后滞后算子 (q -1 ) , 即 y( k - 1) (q -1 ) y( k ) , 上式可简化为: A(q -1 ) y(k ) B(q -1 )u(k - m ) C (q -1 )e(k )
(4.6)
4. 最小方差预报误差 (比较(4.5)式和(4.6)式):
~( k m k ) y(k m ) - y( k m k ) D(q -1 )e(k m ) ˆ y
最小预报误差的方差:
~(k m k )2 ] E{[ D(q -1 )e(k m )]2 } E[ y E{[(1 d1q -1 d m -1q - ( m -1) )e(k m )]2 } E{[e(k m ) d1e(k m - 1) d m -1e(k 1)] }
-1 C (q -1 ) ) -1 - m E (q D(q ) q A(q -1 ) A(q -1 )
(4.3)
把(4.3)式代入(4.2)式:
C ( q -1 ) y( k m ) e( k m ) -1 A(q )
(4.2)
E (q -1 ) y( k m ) [ D(q -1 ) q - m ]e(k m ) -1 A(q ) E ( q -1 ) D(q -1 )e( k m ) e( k ) (4.4) -1 A(q )
二 最小方差预报律 (1) 最小方差预报律的提法
被预测的过程模型:
C ( q -1 ) y( k m ) e( k m ) -1 A(q )
(4.2)
预报问题的最优判据为: J E{[ y( k m ) - y( k m k )]2 } ˆ 允许预报律是线性且物理上可实现的。即 : y(k+m|k)应是观测向量 Yk={y(k),y(k-1),…y(0),u(k-1),…,u(0)} 的 线 性 函数
一 被控对象的数学描述
y(k ) a1 y(k - 1) an y(k - n) b0 u (k - m ) b1u (k - m - 1) bn u (k - m - n) e(k ) c1e(k - 1) cne(k - n)
— y(k)、u(k)：输入、输出序列

每个采样周期，忽略参数估计的误差，视辨识器 输出的参数估计和状态估计就是系统的真实信息


依此使用最优设计方法设计调节器
循环往复，若参数估计逐渐收敛，自适应调节器必 将收敛于最优调节器, 即:
ˆ 如果 x(k ) x(k ), (k ) (k ) , 必有 u(k ) u* (k ) ˆ
C (q -1 ) E ( q -1 ) D(q -1 ) q - m A(q -1 ) A(q -1 )
(4.3)
C (q ) A(q ) D(q ) q E (q )
-1
(4.3)
1 1.5q -1 0.9q -2 (1 d1q -1 )(1 - 1.7q -1 0.7q -2 ) q -2 (e0 e1q -1 ) 1 (d1 - 1.7)q -1 (0.7 - 1.7d1 e0 )q -2 (0.7d1 e1 )q -3
此例中，
5.64 - 2.24q y(k 2) (1 3.2q )e(k 2) q e ( k 2) -1 -2 1 1.7q 0.7q
-1 -2 -1
5.64 - 2.24q -1 e(k 2) 3.2e(k 1) e( k ) -1 -2 1 1.7q 0.7q
自适应控制实现最优调节的关键是对象的
在线辨识能否收敛。
二 确定等价原则
分离性:
一个随机控制系统, 若使J极小的控制形式为:
ˆ u(k ) u[ x(k )]
ˆ x(k ) 是状态x(k)的估计，则称此随机控制问题是可
分离的。 即 u(k) 的确定只依靠
ˆ x( k ) , 与估计的误差
的有关信息无关。
A(q )
-1
(4.3)
D(q -1 ) 1 d1q -1 d m -1q - ( m -1)
E (q -1 ) e0 e1q -1 en-1q - ( n-1)
例:
C ( q -1 ) y ( k 2) e ( k 2) -1 A(q )
A(q -1 ) 1 - 1.7q -1 0.7q -2 C (q -1 ) 1 1.5q -1 0.9q -2

设计一个最优控制器, 使系统达到某个最优性能指标。 如： J E{[ y( k ) - yr ( k )]2 } — 最小方差控制

其理论基础是随机过程和最优控制
(2)对象参数未知的在线辨识问题 考虑对象参数部分未知或参数随时间变化 其理论基础是系统辩识

(3) 自适应控制问题（在线辩识与最优控制结合）
ˆ J E{[ y( k m ) - y( k m k )]2 } 把(4.5)代入J里： -1
-1
E (q ) ˆ J E{[ D(q )e( k m ) y( k ) - y( k m k )]2 } -1 C (q )
E ( q -1 ) ˆ E {[ D(q -1 )e( k m )]2 } E {[ y( k ) - y( k m k )]2 } -1 C (q ) E ( q -1 ) ˆ 2 E { D(q -1 )e( k m ) [ y( k ) - y( k m k )]} -1 C (q )
最小方差自校正调节器设计问题:
控制指标: J E{[ y( k ) - yr ( k )] }
2
设计步骤： — 假定 A(q -1 ), B(q -1 ), C (q -1 ) 已知, 在随机环境下综合 出最小方差控制 u ( k ) — 考虑在线参数的辨识问题
*
— 结合两者的自适应控制问题
实现了希望的分解。
C ( q -1 ) y( k m ) e( k m ) (4.2) -1 A(q ) E (q -1 ) y( k m ) D(q -1 )e( k m ) e( k ) (4.4) -1 A(q )
-1 2. 假定C (q ) 为稳定多项式, 即所有零点均在单位圆内。
(4.2)式可改写为:
A(q -1 ) e( k ) y( k ) -1 C (q )
-1
代入(4.4)式:
E (q ) y( k m ) D(q )e( k m ) y( k ) -1 C (q )
-1
(4.5)
ˆ 3. 求解 y( k m k )
E ( q -1 ) y( k m ) D(q -1 )e( k m ) y( k ) -1 C (q ) (4.5)
y(k 2) - 1.7 y(k 1) 0.7 y(k ) e(k 2) 1.5e(k 1) 0.9e(k )
m 2, n 2,
D(q -1 ) 1 d1q -1 ,
E (q -1 ) e0 e1q -1
代入（4.3）式，
-1 -1 -1 -m
q - m B(q -1 )u(k ) C (q -1 )e(k )
A(q ) 1 a1q anq
-1
-1
-n
B(q -1 ) b0 b1q -1 bnq - n
(4.1)
C (q -1 ) 1 c1q -1 cnq - n
CARMA模型，被控自回归滑动平均模型。
— mT：纯滞后时间，m是采样时间k的整倍数 — n：对象阶次(An=Bn) — e ：随机干扰，下性质: E[e( k )] 0
2 i j E[e( i )e( j )] 0 i j
记为
e～N(0，σ2)
独立的正态分布
产生白噪声的程序： s1=0 for j=1 to 12 s1=s1+RND(j) next j E=0+1*(s1-6)*5 E ~ N(0,1)
最后一项的数学期望等于零(分解的用意所在)。
E (q -1 ) ˆ J E{[ D(q -1 )e( k m )]2 } E{[ y( k ) - y( k m k )]2 } 得到： -1 C (q )
求出最小方差预报律:
E ( q -1 ) ˆ y( k m k ) y( k ) -1 C (q )
确定等价原则:
一个具有可分离性的随机控制问题,如果它的控
制形式恰与x是确定时所对应的最优反馈控制律
相同, 则称此可分离性随机控制问题是确定等价
的。
对于这样复杂的控制问题(未知系统，随机干扰，最 优控制)可以分为以下几个步骤来解决。 (1)随机过程的最优控制问题 假设被控对象的结构、参数已知，处于随机干扰 的作用下
1、最优预报问题 2、最优控制问题
考虑系统的滞后问题 u(k) → y(k+m) 修改性能指标为: J E{[ y( k m ) - yr ( k m )]2 } ˆ — 在k时刻估计 y( k m k )
ˆ — 以 y( k m k ) 代替y(k+m), 设计u(k), 满足性能指标
常用思路与做法：事先规定解的求解范围 。
(2) 求解步骤
C ( q -1 ) y( k m ) e( k m ) -1 A(q )
1. 求出y(k+m)的表达式，分解成与Yk 独立和不独立的 两部分。 C (q -1 ) E ( q -1 ) -1 -m
A(q )
-1
D(q ) q
2 2 (1 d12 d m -1 ) 2
e(k ) N (0, )
2
预报误差与预报步长有关。m 越小，预报越准确。
三 最小方差控制率 (1) 最小方差控制问题的提出
1. 被控对象的数学模型(已知)描述如下:
A(q ) y(k ) q Bu(k ) C (q )e(k )
第四章 自校正控制系统
§1 引言 一 组成
r
—
w 调节器 u 过程
v y
性能指标
计算
ˆ
辨识

对象特征为: - 对象参数未知或时变
- 处于随机干扰之中
- 定值控制系统
离散系统
w r
—
v y
调节器
u
过程
性能指标
计算
ˆ
辨识

工作原理 : - 被控对象的在线参数辨识
- 最优调节器的在线参数计算
- 调节器的在线参数整定
-1
-m
-1
e(k)为白噪声序列。
2. 控制问题的最优判据是系统输与给定之间的稳态方 差最小. 即: J E{[ y(k m ) - yr (k m )]2 } 最小，yr为给定值。 3. 允许控制律应是线性且物理上可实现的，即u(k) 应是测量向量y(k)，y(k-1)...和u(k-1)，u(k-2)...的 线性函数.
w r
—
v y
调节器
u
过程
性能指标
计算
ˆ
辨识
依据确定等价原则和以上步骤设计的
调节器，就叫做自校正调节器。
三 自校正调节器
某种辨识方法 + 某种最优调节器 = 某类自校正调节器 最小方差自校正调节器 = 最小二乘估计方法 + 最小方差控制器
§2 最小方差自校正调节器
(Minimum Variance Self-tuning Regulator)
让方程两边q的相同次幂的系数相等，得到：
d 1 - 1.7 1.5 0.7 - 1.7d 1 e0 0.9 0 .7 d e 0 1 1
即：
D(q -1 ) 1 3.2q -1 E (q -1 ) 5.64 - 2.24q -1
d 1 3. 2 e0 5.64 e -2.24 1