陕西省榆林市一中2019届高考模拟考试理科数学 (含解析)

陕西省榆林市一中2019届高考模拟考试理科数
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·乐山调研]若i
i
a b +(),a b ∈R 与()21i -互为共轭复数，则a b -的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．3- D ．3
【答案】A 【解析】∵()()2
i i i i i i a b a b b a +-+==--，()2
1i 2i -=-， 又
i i
a b +与()2
1i -互为共轭复数，∴0b =，2a =-，则2a b -=-．故选A ． 2．[2019·济南外国语]已知集合{}
2A x x =<，{}
220x B x x =-->，则A B =（ ）
A ．{}
2x x << B ．{}
12x x -<<
C ．{}
1x x <- D ．{}12x x -<<
【答案】C
【解析】∵集合{}
2A x x =<，{}
220x B x x =-->，
∴{}
2A x x =<，{}12B x x x =<->或，∴{}
21A
x x B =-<<-．故选C ．
3．[2019·九江一模]()2ln cos πx f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的部分图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】()()f x f x -=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ，
()πln πcos πln π10f =-=+>，排除C ，故选B ．
4．[2019·榆林一模]已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，6+=a b -=a b （ ） A ．2
B 2
C 3
D 5
【答案】A
【解析】根据题意得，()2
222-=+-⋅a b a b a b ，
又()2
2221426+=+⋅+=++⋅=a b a a b b a b ，∴21⋅=a b ， ∴()21414-=+-=a b ，∴2-=a b ．故选A ．
5．[2019·湘潭一模]以双曲线22
145x y -=的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）
A ．221x y -=
B ．22
19x y -= C ．22193x y -= D ．22199
x y -=
【答案】D
【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为()3,0±， 又∵双曲线的渐近线互相垂直，
∴3a b ==，则该双曲线的方程为22
199
x y -=．故选D ．
6．[2019·武邑中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b 45B =︒，则角A =（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒ D ．60︒或120︒
【答案】A
【解析】∵1a =，2b 45B =︒，∴由正弦定理可得2
1sin 12sin 22
a B
A b
=
==，
∵12a b =<=045A ︒<<︒，∴解得30A =︒．故选A ．
7．[2019·新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（ ）
上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（ ）
A ．6i <；i s s a =+
B ．6i ≤；i s a =
C ．6i ≤；i s s a =+
D ．6i >；12i s a a a =++
+
【答案】C
【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数， ∴该程序框图要算出126s a a a =++
+所得到的和，
①当1i =时，1s a =，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此i 变成2，进入下一步； ②当2i =时，用前一个s 加上2a ，得12s a a =+，
仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成3，进入下一步； ③当3i =时，用前一个s 加上3a ，得123s a a a =++，
仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成4，进入下一步； ④当4i =时，用前一个s 加上4a ，得1234s a a a a =+++，
仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成5，进入下一步； ⑤当5i =时，用前一个s 加上5a ，得12345s a a a a a =++++，
仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成6，进入下一步； ⑥当6i =时，用前一个s 加上6a ，得123456s a a a a a a =+++++， 刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的s 值， 由以上的分析，可得图中判断框应填“6i ≤”，执行框应填“i s s a =+”． 故选C ．
8．[2019·优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ） A ．19
B ．
318
C ．
29
D ．
518
【答案】C
【解析】∵随机模拟产生18组随机数，
由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有021，001，031，130共4个基本事件， 根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为
42
189
=，故选C ． 9．[2019·成都一诊]在各棱长均相等的四面体A BCD -中，已知M 是棱AD 的中点，则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为（ ）
A B 2C 3 D 2 【答案】C
【解析】设各棱长均相等的四面体A BCD -中棱长为2，取CD 中点N ，连结MN ，BN ，
∴M 是棱AD 的中点，∴MN AC ∥，
∴BMN ∠是异面直线BM 与AC 所成角（或所成角的补角）， 413BM BN =-1MN =，
∴2223
cos 2231BM MN BN BMN BM MN +-∠===⨯⨯⨯⨯，
∴异面直线BM 与AC 3
，故选C ． 10．[2019·长沙一模]已知()1,2P 是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．设BPC θ∠=，若3
tan 24
θ
=，则()f x 的图象对称中心可以是（ ） A ．()0,0 B ．()1,0
C ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】结合题意，绘图
又1
32tan 244BC θ==，6BC =，∴周期2π6T ω==，解得π
3
ω=，
∴πsin 13ϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，πππ2π2π236k k ϕ=+-=+，
令0k =，得到π6ϕ=，∴π
π2sin 3
6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
令
πππ36x m +=，m ∈Z ，得对称中心13,02m ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
， 令1m =，得到对称中心坐标为5,02⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选D ．
11．[2019·湖北联考]已知偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，现给出下列命题：①函数()f x 是以2为周期的周期函数；②函数()f x 是以4为周期的周期函数；③函数()1f x -为奇函数；④函数()3f x -为偶函数，则其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=， 即有()()()2f x f x f x -==--，
即为()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x +=-+=， 可得()f x 的最小正周期为4，故①错误；②正确； 由()()2f x f x +=-，可得()()11f x f x +=--，
又()()11f x f x --=+，即有()()11f x f x --=--，故()1f x -为奇函数，故③正确； 由()()33f x f x --=+，若()3f x -为偶函数，即有()()33f x f x --=-，
可得()()33f x f x +=-，即()()6f x f x +=，可得6为()f x 的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误． 故选B ．
12．[2019·宜昌调研]已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>上存在A 、B 两点恰好关于直线l ：10x y --=对称，且
直线AB 与直线l 的交点的横坐标为2，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．1
3
B 3
C 2
D ．
12
【答案】C
【解析】由题意可得直线AB 与直线l 的交点()2,1P ，1AB K =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，122y y +=，
∵A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=上的点，∴2211221x y a b +=①，2222221x y a b +=②，
①﹣②得：()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()1212
22
2x x y y a b --=-，
∴21221221AB y y b K x x a -==-=--，∴22
2a b =，∴2221c b a a =-，故选C ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．[2019·泉州质检]若函数()ln f x x x a =+的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,2，则a =______． 【答案】1
【解析】函数()ln f x x x a =+，可得()ln 1f x x '=+，∴()11f '=，
又()1f a =，∴切线方程为1y x a =-+，切线经过()2,2，∴221a =-+，解得1a =． 故答案为1．
14．[2019·湖北联考]设x ，y 满足约束条件230
101x y x y y -+≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则34z x y =-+的最大值为____．
【答案】5
【解析】作出x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，所示的平面区域，如图：
作直线340x y -+=，然后把直线L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由23010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩
可得()1,2A ，此时5z =．故答案为5．
15．[2019·镇江期末]若π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则sin 2α=_______．
【答案】7
8
-
【解析】由π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得ππ2sin 2sin 24αα⎛⎫⎛⎫
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即πππ4sin cos sin 444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
又πsin 04α⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，解得π1cos 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，
∴2ππ7sin 2cos 22cos 1248ααα⎛⎫⎛⎫
=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
16．[2019·遵义联考]已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】52π
【解析】取SB 的中点O ，连结OA 、OC ，
∵SA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，
∴SA AB ⊥，可得Rt ASB △中，中线1
2
OA SB =，
由4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，可知AC BC ⊥，
又∵SA BC ⊥，SA 、AB 是平面SAB 内的相交直线，∴BC ⊥平面SAC ，可得BC SC ⊥，
因此Rt BSC △中，中线1
2
OC SB =，∴O 是三棱锥S ABC -的外接球心，
∵Rt SBA △中，4AB =，6SA =，∴213SB =，可得外接球半径1
132
r SB ==
因此，外接球的表面积24π52πS r ==， 故答案为52π．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·潍坊期末]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）数列{}n b 满足21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列的1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前n 项和n T ．
【答案】（1）2n n a =；（2）
21
n
n +． 【解析】（1）∵2，n a ，n S 成等差数列，∴22n n a S =+， 当1n =时，1122a a =+，∴12a =， 当2n ≥时，22n n S a =-，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=-，∴
1
2n
n a a -=， ∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴2n n a =．
（2）()212221log log log 122
n n n n b a a a n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，
∴
()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， ∴1211111111122121223111n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=
++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
． 18．（12分）[2019·开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：
（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．
（i ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；
（ii ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X ，求X 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数． 参考数据：
参考公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）列联表如下：
由列联表可得()2
12505090020010018.939 6.63525010001501100
k ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，
因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．
（2）（i ）由题意得所求概率为255010050253
0.90.80.60.40.32502502502502505
P =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （ii ）设获得高校自主招生通过的人数为X ，则34,5X ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，
()44
32C 55k k
k P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，0k =，1，2，3，4，
∴X 的分布列为
估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为3
150905
⨯=．
19．（12分）[2019·湖北联考]如图，在四棱锥P A B C D -中，A B P C ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2
2
2P C B C A D C D ====2PA =．
（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；
（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PM
PD
的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见证明；（2）见解析．
【解析】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2222BC AD CD === ∴2AB AC ==，22BC =AB AC ⊥， 又∵AB PC ⊥，AC
PC C =，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ，
又∵PA ⊂平面PAC ，∴AB PA ⊥， ∵2PA AC ==，22PC =PA AC ⊥， 又∵PA AB ⊥，AB
AC A =，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
∴PA ⊥平面ABCD ．
（2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND =，则MN PA ∥，
又由（1）得PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 又∵AC ⊂平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ， 又∵MN
NO N =，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ，
又∵MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，
又∵AC NO ⊥，∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角， 设
PM
x PD
=，则()122MN x AP x =-=-，22ON xAD x ==， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒， 即22tan tan 603MN x MON ON x -∠=
==︒=423PM
x PD
==- ∴满足要求的点M 存在，且
423PM
PD
=- 方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
且由（1）知()0,0,2AP =是平面ACD 的一个法向量， 设
()0,1PM
x PD
=∈，则()122MN x AP x =-=-，2AN xAD x ==，
∴()
,22AM x =-，(
)
2,2,0AC =
，
设(),,AQ a b c =是平面ACM 的一个法向量， 则()2220
220AQ AM xb x c AQ AC a b ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，∴2a b x c =-⎧⎪⎨=⎪⎩
，
令22b x =-，则()
22,22AQ x x x =-+-，它背向二面角， 又∵平面ACD 的法向量()0,0,2AP =，它指向二面角， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒， 即()
()(
)
2
2
2
221
cos cos602
222222,AP AQ
x
AP AQ AP AQ
x x x
=
==︒=
⋅
-++-⋅+
⋅， 即4x =-
∴满足要求的点M 存在，且
423PM
PD
=- 20．（12分）[2019·河北联考]在直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与抛物线()2:20C x py p =>交于A ，B 两点，且
OA OB ⊥．
（1）求C 的方程；
（2）试问：在x 轴的正半轴上是否存在一点D ，使得ABD △的外心在C 上？若存在，求D 的坐标；若不存在，请说明理由．．
【答案】（1）24x y =；（2）在x 轴的正半轴上存在一点()
42,0D +，使得ABD △的外心在C 上． 【解析】（1）联立224
x py y x ⎧=⎨=+⎩，得2280x px p --=，则122x x p +=，128x x p =-，
从而()()()1212121244416y y x x x x x x =++=+++．
∵OA OB ⊥，∴()1212121224160OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++=， 即168160p p -++=，解得2p =，故C 的方程为24x y =． （2）设线段AB 的中点为()00,N x y ， 由（1）知，12
022
x x x +=
=，0046y x =+=， 则线段AB 的中垂线方程为()62y x -=--，即8y x =-+． 联立248
x y y x ⎧=⎨=-+⎩，得24320x x +-=，解得8x =-或4，
从而ABC △的外心P 的坐标为()4,4或()8,16-． 假设存在点()(),00D m m >，设P 的坐标为()4,4，
∵21664410AB =+，
∴43PA =
，则()
2
41643DP m =
-+．
∵0m >，∴442m =+． 若P 的坐标为()8,16-，则2
2
15PA PN AN
=+
415DP =
>P 的坐标不可能为()8,16-．
故在x 轴的正半轴上存在一点()
442,0D +，使得ABD △的外心在C 上． 21．（12分）[2019·泉州质检]已知函数()2
e 2
x a f x x x ax =--． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当1x ≥-时，()2
102
a f x x a +
-+≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞．
【解析】解法一：（1）()()
()1x x x f x e xe ax a e a x =+--=-+'， ①当0a ≤时，
∴()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞单调递增． ②当0a >时，()0f x '=的根为ln x a =或1x =-． 若ln 1a >-，即1
e
a >，
x
(),1-∞-
1-
()1,ln a -
ln a
()ln ,a +∞
()f x ' +
0 -
+
()f x
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴()f x 在(),1-∞-，()ln ,a +∞上单调递增，在()1,ln a -上单调递减． 若ln 1a =-，即1
e
a =，
()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．
若ln 1a <-，即10a <<
，
∴()f x 在(),ln a -∞，()1,-+∞上单调递增，在()ln ,1a -上单调递减． 综上：当0a ≤时，()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞单调递增； 当1
0e
a <<
时，()f x 在(),ln a -∞，()1,-+∞上单调递增，在()ln ,1a -上单调递减； 当1
e
a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间；
当1
e
a >时，()f x 在(),1-∞-，()ln ,a +∞上单调递增，在()1,ln a -上单调递减．
（2）∵e 10x x ax a --+≥，∴()1e 1x a x x +≤+． 当1x =-时，1
01e
≤-+恒成立．
当1x >-时，e 1
1
x x a x +≤+．
令()e 1
1x x g x x +=+，()()()
22
e 111x x x g x x ++-=+'， 设()()
2e 11x h x x x =++-，
∵()()()e 120x h x x x =++>'在()1,x ∈-+∞上恒成立， 即()()
2e 11x h x x x =++-在()1,x ∈-+∞上单调递增．
又∵()00h =，∴()e 1
1
x x g x x +=+在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，
则()()min 01g x g ==，∴1a ≤． 综上，a 的取值范围为(],1-∞． 解法二：（1）同解法一；
（2）令()()21e 12
x a
g x f x x a x ax a =+-+=--+，∴()()e e e 1x x x g x x a x a =+-=+-'，
当0a ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[)1,-+∞上单调递增， ∴()()1
110e
g x g ≥-=-+>，满足题意．
当01a <≤时，令()e e x x h x x a =+-，
∵()2e e 0x x h x x ='+>，即()e e x x h x x a =+-在[)1,-+∞上单调递增． 又∵()10h a -=-<，()010h a =-≥，
∴()e e 0x x h x x a =+-=在[]1,0-上有唯一的解，记为0x ，
x
()01,x -
0x
()0,x +∞
()g x '
-
+
()g x
↘ 极小值 ↗
()()()()
0000000000000min e 1e e e e e 1x x x x x x g x g x x ax a x x x x ==--+=-+-++
02
013e 1e 1024x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+++≥-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦，满足题意．
当1a >时，()010g a =-+<，不满足题意．
综上，a 的取值范围为(],1-∞．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·九江一模]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x
轴正半轴为极轴，建立极坐标系（0ρ>，[)0,2πθ∈），点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C ． （1）求1C ，2C 的极坐标方程；
（2）设点C 的极坐标为π2,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，求ABC △面积的最小值．
【答案】（1）12:cos C ρθ=；2co 4:s C ρθ=；（2）2．
【解析】（1）∵曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数），
∴曲线1C 的普通方程为2220x y x -+=，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 设点B 的极坐标为(),ρθ，点A 的极坐标为()00,ρθ， 则OB ρ=，0OA ρ=，002cos ρθ=，0θθ=， ∵8OA OB ⋅=，∴08ρρ⋅=，∴
8
2cos θρ
=，cos 4ρθ=，
∴2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（2）由题设知2OC =，21
2
cos cos 42cos ABC OBC OAC B A S S S OC ρθρθθ=-=⋅-=-△△△， 当0θ=时，ABC S △取得最小值为2． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·湘潭一模]设函数()1f x x x a =++-． （1）当1a =时，求关于x 的不等式()3f x ≥的解集； （2）若()4f x ≤在[]0,2上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）33,,22⎛
⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
；（2）13a ≤≤．
【解析】（1）∵()2,1112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪
=++-=-≤<⎨⎪≥⎩，
∴()3f x ≥的解集为33,,22⎛
⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
． （2）∵[]0,2x ∈，∴14x x a ++-≤，即3x a x -≤-，则332a x -≤-≤-， ∴13a ≤≤．。