直线与圆基础知识点+思维导图练习

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直线与圆知识点及经典例题(含答案)

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载直线与圆知识点及经典例题(含答案)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程将圆的标准方程,展开可得。

可见，任何一个圆的方程都可以写成 :问题：形如的方程的曲线是不是圆？将方程左边配方得：（1）当＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程表示以为圆心，以为半径的圆。

,（3）当＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当＞0时，方程称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（1）和的系数相同，不等于零；（2）没有xy这样的二次项。

（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。

2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。

代数方法主要步骤：（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切；当Δ>0时，直线与圆相交。

初中数学《点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系》单元教学设计以及思维导图

(1) 根据观察，请你摆出⊙O1 和⊙O2 的几种不同的位置关系；
(2) 你能否根据两圆公共点的个数类比直线和圆的位置关
系定义，给出两圆位置关系的定义？
所需教学环境和教学资源
1、教师把准备好的靶子挂在黑板上，手拿竹签.问学生：如果把手中的竹签
当作飞镖的话，往靶子上投掷飞镖，会有哪些情况出现？
2、课件展示让学生观察一轮红日从海平面升起的过程和用钢锯切割钢管的
在本次活动中，教师应重点关注： (1) 学生能否准确地观察出圆相对于直线运动的过程中，有几种位置关系； (2) 学生能否根据直线和圆的公共点个数，画出三种不同的位置关系. 【活动 3】请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？学生动手操作、观察、发现、归纳出直线和圆的公共点个数的变化情况. 教师演示直线和圆动态的变化过程，帮助学生用语言描述直线和圆的三种位置关系，明确概念. 本次活动，教师应重点关注：学生能否根据操作，观察直线和圆的位置关系，作出相应的图形来．
主题单元半径（半径和或差）之间的数量关系来判断点与圆、直线与圆、
问题设计圆和圆的位置关系？
3、能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆、圆和圆的
位置关系．
专题一：了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系
（1 课时）
专题二：根据圆心到点、圆心到直线、圆心到圆心的距离与圆的
专题划分半径（半径和或差）之间的数量关系揭示点与圆、直线与圆、圆
本单元分为 3 个专题，重点是理解和掌握点和圆、直线和圆、圆和圆的三种位置关系。难点是能用不同的方法判断点和圆的位置关系，掌握识别直线和圆的位置关系的方法，两圆圆心距与两圆半径的数量关系并会运用．

第24章《圆》思维导图

圆圆的有关性质圆的对称性弧、弦、圆心角与圆有关的计算正多边形和圆与圆有关的位置关系圆的定义有关概念弦：连接圆上任意两点的线段直径：过圆心的弦轴对称性中心对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴垂径定理(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等(2)在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦相等(3)在同圆或等圆中，相等的两条弦对的圆心角相等，所对的弧相等周长和面积弧长相关概念相关计算画法正多边形的中心正多边形的半径中心角的度数内角、外角利用同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等点和圆直线和圆相离相切相交点在圆内点在圆上动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的的图形叫做圆静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

弧：圆上任意两点之间的部分弦心距：弦到圆心的距离垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧圆是中心对称图形，绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合，即有旋转不变性圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径定义定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角圆和圆点在圆外没有公共点，（d>r)只有一个公共点，（d=r)有两个公共点，（d<r)切线判定定理切线性质定理切线长三角形内切圆过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于过切点的半径经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角与三角形各边都相切的圆三角形的外接圆不在同一直线上的三个点确定一个圆经过三角形三个顶点的圆，叫三角形的外接圆相离相交相切正多边形外接圆的圆心正多边形外接圆的半径中心角正多边形每一边所对的圆心角边心距中心到正多边形的边的距离周长、面积、边心距扇形圆锥。

第三章对圆的进一步认识【知识梳理】

第三章《对圆的进一步认识》（知识梳理）【思维导图】⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的有关概念轴对称性，垂径定理圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系有关概念及性质圆的有关性质圆心角定理旋转不变性圆周角定理圆内接四边形点和圆的位置关系点和圆的位置关系过不在同直线上的三点作圆三角形的外接圆相离\相交切线的性质直线和圆的位置关系切线的判定相切切线长及切线长定理三角形的内切圆圆正多边正多边形和圆2222ππ11802ππ360ππR n C R n l R S lR R n S R n S R S rl S S S r ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎫⎫︒⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩=⎬︒⎧⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎭=⎫⎪=+⎬=⎪⎭扇形扇形侧全侧底底形的定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算正多边形及有关计算半径为的圆中，的圆心角圆的周长所对的弧长为=半径为的圆中，圆心角为圆中的有关计算圆的面积的扇形面积为圆锥的侧面积圆锥的全面积圆锥的底面积S ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎩⎩实际应用【知识清单】知识点一:圆的定义（一）描述性定义：在平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫作圆。

固定的端点O 叫作圆心，线段OA 叫作半径。

以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．A（二）集合性定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

（三）圆的特征1.圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；2.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

点拨（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。

2024年新高二数学提升精品讲义直线与圆的位置关系(思维导图+3知识点+8考点+过关检测)(解析版)

2024年新高二数学提升精品讲义直线与圆的位置关系（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解直线与圆的三种基本位置关系：相离、相切、相交，并能准确描述每种关系的特征；2．掌握判断直线与圆位置关系的方法，包括利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断；3．能够运用所学知识解决实际问题，如计算切点坐标、交点坐标等.知识点1直线与圆的位置关系1、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有共同点．2、判断直线与圆位置关系的方法（1）几何法判断直线与圆的位置关系：直线0++=Ax By C 与圆()()222-+-=x a y b r ，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=．>⇔d r 直线与圆相离⇔无交点；=⇔d r 直线与圆相切⇔只有一个交点；<⇔d r 直线与圆相交⇔有两个交点．（2）代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax ，通过解的个数来判断：当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离．知识点2直线与圆相交弦长1、几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l r d ，整理出弦长公式为：22=-l r d 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．3、弦长公式法：设直线:=+l y kx b 与圆的交点为()11,x y ，()22,x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长()()222121212114⎡⎤=+-=++-⎣⎦l kx k x x x x 知识点3直线与圆相切1、圆的切线的条数（1）过圆外一点，可以作圆的两条切线；（2）过圆上一点，可以作圆的一条切线；（3）过圆内一点，不能作圆的切线．2、过圆上一点()00,x y 的切线方程法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程0=y y ；若0=k，则结课图形可直接写出切线方程0=x x ；若k 存在且0≠k，则由垂直关系知切线的斜率为1-k，由点斜式写出切线方程．法二：若k 不存在，验证是否成立；若k 存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可．3、过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程法一：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程．法二：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0=∆，求得k ，切线方程即可求出．4、与圆的切线相关的结论（1）过圆222+=x y r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为200+=xx yy r ．（2）过()()222-+-=x a y b r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为()()()()200--+--=x a x a y b y b r（3）过()()222-+-=x a y b r 外一点()00,P x y 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为：()()()()200--+--=x a x a y b y b r ．（4）过圆外一点()00,P x y 引圆()()222-+-=x a y b r 的两条切线，则过圆外一点()00,P x y 的切线长为=d考点一：直线与圆的位置关系判断例1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线240x y ++=与圆22240x y y +--=的位置关系为（）A ．相交且过圆心B ．相交且不过圆心C ．相切D ．相离【答案】C【解析】圆22240x y y +--=，即()2215x y +-=，其圆心坐标为()0,1，半径为r =，圆心到直线240x y ++=的距离d r ===，直线与圆的位置关系为相切.故选：C【变式1-1】（23-24高二下·安徽芜湖·月考）直线l ：20ax y +-=与圆C ：()()22121x y -+-=的公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】C【解析】由直线:20l ax y +-=，可得直线l 过定点()0,2，又由圆C ：()()22121x y -+-=，可得点()0,2在圆C 上，因为直线l 的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C.【变式1-2】（23-24高二上·福建福州·期中）设R m ∈，则直线l ：210mx y m +--=与圆225x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交或相切D ．相交【答案】C【解析】直线l 可化为()210m x y -+-=，由2010x y -=⎧⎨-=⎩可得，21x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过点()2,1A .又22215+=，即点A 在圆225x y +=上，所以，过点A 的直线l 与圆相交或相切.故选：C.【变式1-3】（22-23高二上·上海宝山·期中）已知点()00,x y 在圆C ：224x y ＋＝外，则直线004x x y y ＋＝与圆C 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】由点00P x y （,）在圆22:4C x y +=外，可得22004x y +>，求得圆心00C （，）到直线00:4l x x y y +=的距离422d <=，故直线和圆C 相交，故选:A.考点二：根据直线与圆的位置关系求参数例2.（23-24高二下·河南·月考）若直线20x y ++=与圆()()()222:80M x a y a a a -+-=>相切，则圆M 的半径为（）A ．2B ．4C ．D ．8【答案】C=，解得1a =（负值舍），所以圆M 的半径为故选:C.【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线3y kx =-与圆()2224x y -+=相交，则实数k 的取值范围是（）A ．5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．5,12∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．5,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径2r =，因为直线3y kx =-与圆()2224x y -+=相交，所以圆心()2,0到直线3y kx =-的距离d r <，2<，解得512k >，所以实数k 的取值范围是5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式2-2】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤【答案】A【解析】由题意可知圆C 的圆心坐标为()0,m ，半径为1.因为直线l 与圆C 有公共点，所以直线l 与圆C 相切或相交，所以圆心()0,C m 到直线l 的距离1d =≤，解得112m -≤≤.其必要不充分条件是把m 的取值范围扩大，所以选项中只有11m -≤≤是112m -≤≤的必要不充分条件.故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线l 过点()0,A a ，斜率为1，圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为（）A ．B ．±C ．2±D ．【答案】D【解析】由题意知，:0l x y a -+=，又圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以圆心到直线的距离等于半径减去1，则圆心(0,0)到直线l 21=-，解得a =故选：D.考点三：求圆的切线方程例3.（23-24高二上·河北承德·月考）过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，其方程是（）A ．2x =B ．12590x y -+=C ．2x =或3y =D ．3x =或2y =【答案】C【解析】根据题意，圆222440x y x y +--+=，即()()22121x y -+-=，其圆心为()1,2，半径1r =；过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，若切线的斜率不存在，切线的方程为2x =，符合题意；若切线的斜率存在，设其斜率为k ，则有()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，1=，解得0k =，此时切线的方程为()302y x -=-，即3y =．综上：切线的方程为2x =和3y =．故选：C ．【变式3-1】（22-23高二下·河南安阳·开学考试）已知圆22:42110C x y x y +++-=，过点()2,1作圆C 的切线m ，则m 的方程为（）A ．2x =B ．34100x y +-=C ．34100x y +-=或2x =D ．34100x y +-=或3420x y --=【答案】C【解析】将圆22:42110C x y x y +++-=化为标准方程()()222116x y +++=，则圆心()2,1C --，4r =，当切线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为2x =，当切线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为()12y k x -=-，即120kx y k -+-=，由题意知，4=.解得34k =-.此时切线l 的方程为34100x y +-=.综上，切线l 的方程为2x =或34100x y +-=.故选：C.【变式3-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点()40，的直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，则直线l 的方程为（）A ．34120x y +-=或0y =B ．34120x y +-=或4x =C ．43120x y +-=或0y =D ．43120x y +-=或4x =【答案】B【解析】圆2248160x y x y +--+=化为标准方程为22(2)(4)4x y -+-=，得圆心()2,4，半径为2，当直线l 的斜率不存在时，直线4l x =：，此时直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()4y k x =-，即40kx y k --=，圆心()2,4到直线l 的距离为d =由相切得2d r ==，2=，平方化简得34k =-，求得直线方程为34120x y +-=，综上，直线l 的方程为34120x y +-=或4x =．故选：B【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则=a （）A ．2B ．3-C ．12-D ．12【答案】B【解析】已知过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切，将点()2,3P 代入圆()22110x y -+=恒成立，则点P 在圆上．即过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切的切线只有一条，令过点()2,3P 的切线的方程为3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=，由此切线与10x ay -+=平行，两直线的斜率相等且y 轴截距不等，可得1k a=且123k a -+≠；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径22023101k k r k --+==+，13k =-，即3a =-.故选：B ．考点四：与切线长有关的问题例4.（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=引的切线长是（）A ．3B 5C 10D ．5【答案】A【解析】圆2246120x y x y +--+=即圆()()22231x y -+-=的圆心半径分别为()2,3,1r =，点(1,4)P -到圆心()2,3的距离为()()22124310d =--+-所以点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=1013-=.故选：A.【变式4-1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）过点()0,2与圆22410x y x ++-=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A ．14B ．154C ．154-D ．14-【答案】A【解析】因为2202421110++⨯-=>，所以点()0,2在圆外，设圆心为C ，点()0,2为点D ，切点为,A B ，圆22410x y x ++-=化为标准方程得()2225x y ++=，则圆心()2,0C -，半径5r =，在Rt ACD △中，22,5CD AC ==853AD =-=故35cos 2222ADC ADC ∠=∠由圆的切线的性质可得ADC BDC ∠=∠，所以351cos cos cos 2884ADB ADC α=∠=∠=-=.故选：A.【变式4-2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知点(),P x y 是直线23y x =+上一动点，PM 与PN 是圆C ：()2211x y -+=的两条切线，M 、N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为（）A ．4B ．25C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意知，圆C ：()2211x y -+=的圆心()1,0C ,半径1r =，因为PM 与PN 是圆C ：()2211x y -+=的两条切线，所以PM PN =，22221PMPC MC PC =-=-,则21PM PC =-当PC 最小时，PM 也最小,又点(),P x y 是直线23y x =+上一动点，故圆心()1,0C 到直线23y x =+的距离2355d +=PC 的最小值，此时min2PM=，则此时四边形PMCN 的面积S PM MC PM ==也最小，最小值为2S =.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆O 的半径为2，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，那么PA PB的最小值为（）A ．1642-+B ．1242-+C ．1282-+D ．1682-+【答案】C 【解析】如图，设PO d =，则24PA PB d ==-，因为2sin APO d ∠=，所以2228cos 121APB d d ⎛⎫∠=-=- ⎪⎝⎭，所以()2222832411223212212PA PB d d dd ⎛⎫⋅=--=+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2232d d=，即2424d =>时，等号成立，故PA PB ⋅的最小值为8212，故选：C.考点五：切点弦及其方程应用例5.（23-24高三上·云南曲靖·月考）过点()0,2P 作圆22:430C x x y -++=的两条切线，设切点为A ，B ，则切点弦AB 的长度为（）A 14B ．142C ．144D ．147【答案】B【解析】圆22:430C x x y -++=，即()2221x y -+=，易知22PC =C 的半径1r =，所以切线长7PA PB ==．所以四边形PACB 的面积为127172PACB S =⨯=．所以根据等面积法知：172PACB S PC AB ==⨯⨯，所以142AB =．故选：B ．【变式5-1】（23-24高二上·河北·期中）过点)3,0M作圆C ：()2211x y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为．30x y -=【解析】由图可知，其中一条切线为x 轴，切点为坐标原点．因为AB CM ⊥,303CM k ==-，则3AB k =所以直线AB 30x y -=．30x y -=.【变式5-2】（22-23高三上·广东·开学考试）过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为．【答案】2+-x y 0=【解析】方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即20x y +-=；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：20x y +-=【变式5-3】（23-24高二上·江西上饶·期末）P 是直线4x y +=上的一个动点，,A B 是圆224x y +=上的两点，若,PA PB 均与圆O 相切，则弦长AB 的最小值为．【答案】【解析】因为12AB PO OA PA ⋅=⋅，所以AB ==当PO 的长最小时，弦长AB 最小，而PO 的最小值为圆心（即原点）到直线4x y +=的距离，所以min PO =min AB ==故答案为：考点六：直线与圆相交弦问题例6.（23-24高二上·江西上饶·期末）直线30x y -+=被圆22240x y x y ++-=所截得的弦长为（）A ．2BC．D ．10【答案】C【解析】圆22240x y x y ++-=即()()22125x y ++-=，故圆心为()1,2-，显然圆心在直线30x y -+=上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为故选：C ．【变式6-1】（23-24高二下·山西运城·开学考试）直线10x y --=将圆()()22238x y -+-=分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：5D ．3：5【答案】A【解析】设直线与圆的两个交点为,A B ，圆心为C ，过点C 作CD AB ⊥交于D ,如图所示设()0πACD αα∠=<<，所以圆心到直线的距离为d CD ===在Rt ACD △中，1cos 2CD AC α===因为0πα<<，所以π3α=，由圆的性质知，2π23ACB α∠==，所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比，等于2π2π:2π1:233⎛⎫-= ⎪⎝⎭．故选：A.【变式6-2】（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆()()22:124C x y -+-=截得的弦长为l 的一个方程．【答案】0x =或340x y -=（写出一个即可）【解析】由题意，圆心()1,2到直线l 的距离1d ==，当直线l 的斜率不存在时，方程为0x =满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，即0kx y -=1=，即()2221k k -=+，解得34k =，此时直线l 的方程为340x y -=.故答案为：0x =或340x y -=（写出一个即可）【变式6-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）设圆222210x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若AB =，则l 直线方程为．【答案】0x =或34120x y +-=【解析】圆22(1)(1)3x y -+-=的圆心(1,1)C ，半径r =，圆心(1,1)C 到直线0x =的距离为1，满足||AB ==，直线0x =符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=，圆心(1,1)C 到直线l=34k =-，此时直线l ：34120x y +-=，所以直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=考点七：过定点直线的最短弦长例7.（23-24高二下·四川成都·月考）直线()():211850l m x m y m +++--=，被圆22:(2)(1)25C x y -+-=截得最短弦的长为（）A ．B ．C ．D 【答案】C【解析】直线()():211850l m x m y m +++--=，即()2850x y m x y +-++-=，由28050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,2x y ==，设()3,2D ，由于()()223221225-+-=<，所以D 在圆C 内，圆22:(2)(1)25C x y -+-=的圆心为()2,1C ，半径=5r ，如图：当CD AB ⊥时，AB 最短，22112CD +=所以弦长AB 的最小值为()22252223-=故选：C【变式7-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）当圆22:450C x x y -+-=截直线:30l x my m -+-=所得的弦长最短时，实数m =（）A 2B ．1-C ．2-D ．1【答案】B【解析】由22:450C x y x +--=得22(2)9x y -+=，圆心坐标是()2,0C ，半径是3,直线l ：30x my m -+-=过定点()3,1P ，且在圆内，∴当l PC ⊥时，直线l 被圆22450x y x +--=截得的弦长最短，由110132m -⋅=--解得1m =-.故选:B.【变式7-2】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知过点()1,1P a b ++的直线l 与圆22:()()4M x a y b -+-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．23B 3C 2D ．22【答案】D【解析】因为22(1)(1)4a a b b +-++-<，所以点P 在圆M 内．且圆22:()()4M x a y b -+-=的圆心为(),M a b ，半径为2，则2MP =，当MP l ⊥时，AB 取得最小值，且最小值为24||22MP -=D【变式7-3】（23-24高二上·四川凉山·期末）过点(3,1)的直线与圆22:410C x y x +--=交于A ，B 两点，则当AB 弦长最短时ABC 的面积为（）A 6B ．22C ．23D ．26【答案】A【解析】圆22:(2)5C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径r =，记(3,1)为点P ，||PC 即点(3,1)P 在圆C 内，则当AB CP ⊥时，弦AB 长最短，此时||AB ===所以ABC 的面积11||||22ABC S AB PC =⋅=⨯= 故选：A 考点八：直线与半圆的相交问题例8.（23-24高二下·上海·月考）已如直线y x m =+和曲线1y =只有一个公共点，则实数m的取值范围.【答案】{|02x m <≤或1m =【解析】因为曲线1y =，所以21,011y x ≤≤-≤，解得01,11y x ≤≤-≤≤，曲线可化为1y -=两边同时平方有，()2211y x -=-，即()2211x y +-=，所以曲线是以()0,1为圆心，1为半径的圆的一部分，而直线y x m =+，所以直线的斜率为1，画图象如下：由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过()1,1-时，即11m =-+，解得2m =，当直线过()1,1时，即11m =+，解得0m =，由图象可知02m <≤，1=，解得1m =1m =而m 即为y x m =+在y 轴上的截距，由图象可知1m =，综上：02m <≤或1m =故答案为：{|02x m <≤或1m =.【变式8-1】（23-24高二下·重庆·月考）直线:130l x my m ---=与曲线:2C x =+m 的取值范围是（）A ．3,44⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意得，直线:130l x my m ---=过定点(1,3)P -，曲线:2C x =+(2,0)M 为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线C 的下端点为(2,1)N -.要使直线l 与曲线C 有两个交点，则直线l 应位于直线PN 和切线PQ 之间（可以与PN 重合），此时直线l 的斜率存在，且PQ l PN k k k <≤，即0PN l k k ≥>且圆心(2,0)M 到直线l 的距离小于半径.由1(3)12021PN k m ---==≥>-得12m ≥1<得304m <<，所以1324m ≤<.故选：B.【变式8-2】（23-24高二上·河南许昌·月考）直线y x b =+与曲线y =b 取值范围为（）A ．(B ．(C ．⎡⎣D ．(【答案】C【解析】由曲线y =()2210x y y +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的半圆，当直线y x b =+与半圆y =1=，则b =，此时直线为y x =+；当直线y x b =+过点()0,1时，1b =，此时直线为1y x =+，要使直线y x b =+与曲线21y x =-有两个交点，则b 取值范围为)1,2⎡⎣.故选：C.【变式8-3】（23-24高二上·四川南充·月考）若直线:(1)4l y k x =+-与曲线214x y =--有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．3(,)4+∞B ．3[,1]4C ．[3,)+∞D ．(0,3]【答案】C【解析】由已知直线:(1)4l y k x =+-过定点(1,4)P --，曲线214x y =--是以(1,0)M 为圆心，2为半径的圆的左半部分弧 ACB，(1,2)B ，作出它们的图形，如图，直线PB 的斜率为2(4)31(1)PB k --==--，当直线l 斜率不存在时，它与该半圆相切，由图可知，它们有两个交点时，3k ≥，故选：C ．一、单选题1．（23-24高二上·天津滨海新·月考）直线l ：2y x =+与圆C ：()2215x y +-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】圆C ：()2215x y +-=的圆心(0,1)C ，半径5r =，故圆心到直线的距离220122521(1)d -+==<+-所以直线与圆相交，故选：A2．（23-24高二上·河南焦作·月考）直线10x ky -+=与圆222x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切【答案】A【解析】方法一：直线10x ky -+=恒过定点(1,0)-，而()212-<，所以点(1,0)-在圆222x y +=内，故直线与圆相交.选A.方法二：因为圆心到直线的距离221d r k=<=+，所以直线与圆相交.故选A.方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x 并整理，得2210(2)1k y ky +--=，则()222441840k k k ∆=++=+>，所以直线与圆相交.故选A.故选：A.3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线:2l x y +=，圆22:2220C x y x y +---=．则直线l 被圆C 所截得的弦长为（）A ．2B ．4C ．D【答案】B【解析】圆C 的标准方程为()()22114x y -+-=,直线l 过圆心()1,1C ,所以直线l 被圆C 所截得的弦长等于直径长度4.故选:B ．4．（23-24高二下·广东茂名·月考）已知圆22:(3)(4)9C x y -+-=，直线()():320l m x m y m +-++=.则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A B ．C D ．【答案】D【解析】直线()()():321320l m x m y m m x y x y +-++=-++-=.恒过定点()2,3P ，圆C 的圆心为()3,4C ，半径为3r =，且()()22233429-+-=<，即P 在圆内，当CP l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大为d CP ==此时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为=故选：D.5．（22-23高二上·重庆北碚·月考）过点()2,3A 作圆22:1M x y +=的一条切线，切点为B ，则AB =（）A ．3B ．C D【答案】B【解析】因为圆22:1M x y +=，所以圆M 的圆心为(0,0)M ，半径为1r =，因为AB 与圆M 相切，切点为B ，所以AB BM ⊥，则222AB r AM +=，因为AM =，所以AB ==故选：B.6．（23-34高二上·广东珠海·期末）曲线y =与直线()24y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意画出图形，如图所示:由题意可得，曲线y =的图象为以()0,0为圆心，2为半径的半圆，直线l 恒过()2,4A ，由图当直线l 与半圆相切时，圆心到直线l 的距离d r =2=，解得34k =；当直线l 过()2,0B -点时，直线l 的斜率()40122k -==--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为3,14⎛⎤⎥⎝⎦.故选:C.二、多选题7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线20kx y k -+=与圆()()22124x y -+-=有公共点，则实数k 的取值可能是（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】直线20kx y k -+=恒过定点()2,0-，圆()()22124x y -+-=的圆心为()1,2，半径为2，显然点()2,0-在圆外，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离2d =≤，解得1205k ≤≤.故选：AB 8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点(32),的直线l 和圆C ：2242110x y x y +---=，则（）A ．直线l 与圆C 相交B ．直线l 被圆C 截得最短弦长为C ．直线l 与被圆C 截得的弦长为l 的方程为2y =D ．不存在这样的直线l ，使得圆C 上有3个点到直线l 的距离为2【答案】ABD【解析】因为圆C ：2242110x y x y +---=，所以圆C 的圆心为()2,1，半径为4.选项A ：因为2232432211140+-⨯-⨯-=-<，所以点(32),在圆内，故直线与圆相交，选项A 正确；选项B ：设圆心到直线的距离为d ，弦长为m ，则22162m d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为圆心到直线的最长距离()()2232212d =-+-=所以2min max 216214m d =-=B 正确；选项C ：直线l 与被圆C 截得的弦长为21516151-=，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为3x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=，2213211k k k --+=+，解得0k =，故直线方程为2y =，综上满足题意的直线方程为3x =或2y =，故选项C 不正确；选项D ：当直线经过圆心时，圆上到直线的距离为2的点有4个；当直线不经过圆心时，直线将圆分成优弧与劣弧两个部分，由于半径为4，在优弧上一定存在两个点到直线l 的距离为2，那么此时，在劣弧上有且只有一个点到直线的距离为2.2时，此时圆心到直线的距离最大，又因为半径为4，且422->，所以此时劣弧上有两个点到直线的距离为2，所以不存在，所以选项D 正确.故选：ABD.三、填空题9．（23-24高二下·上海静安·期末）圆2225x y +=在点()3,4M -处的切线方程为．【答案】34250x y -+=【解析】由题意可知：圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，因为()223425-+=，可知点()3,4M -在圆上，又因为404303OM k -==---，可知切线方程的斜率34k =，所以切线方程为()3434y x -=+，即34250x y -+=.故答案为：34250x y -+=.10．（21-22高二上·福建宁德·期中）过圆221x y +=外一点(2,1)P -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．【答案】210x y --=【解析】设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，因为点,A B 在圆221x y +=上，所以以,A B 为切点的切线方程分别为：11221,1x x y y x x y y +=+=，而点()2,1P -在两条切线上，所以112221,21x y x y -=-=，即点P 满足直线21210x y x y -=⇒--=.故答案为：210x y --=.11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线10x my -+=与22:(1)4C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 的m 的一个值.,33-中任意一个皆可以，答案不唯一）【解析】22:(1)4C x y -+= 的圆心为()1,0C ，半径2r =，设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得AB =所以12ABC S d =⨯⨯=△，解得1d =或d =由d =1=m =3m =±．四、解答题12．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点()A 3,5且与圆22:2410O x y x y +--+=相切的直线方程；(2)求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为.【答案】(1)3x =或512450x y -+=；(2)222610x x y y ++++=或222610x x y y -+-+=【解析】（1）据点()A 3,5可设直线方程为()()()()sin 3cos 50t x t y ---=.圆O 的方程可化为()()22124x y -+-=，故点()1,2到所求直线的距离为22=.所以222242sin 3cos 9cos 4sin 12sin cos 45cos 12sin cos t t t t t t t t t =-+=+-=+-，得()cos 5cos 12sin 0t t t -=.这就说明cos 0t =或5tan 12t =，所以所求直线的方程为3x =或512450x y -+=.（2）设所求圆的圆心坐标为(),3P t t ，由于该圆与x 轴相切，故该圆的半径为3t ，所以该圆的方程是()()22239x t y t t -+-=，即222260x tx y ty t -+-+=.而该圆被直线0x y -=截得的弦长为故该圆圆心到直线0x y -=的距离为d ==1t =±.故所求的圆的方程为222610x x y y ++++=或222610x x y y -+-+=.13．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知圆22:270C x y y +--=及内部一点0(1,3)P -，过点0P 作倾斜角为α的直线，与圆C 交于A B ，两点.(1)当135α= 时，求弦AB 长；(2)当弦AB 的长度最小时，求直线AB 的方程.【答案】(2)270x y -+=【解析】（1）因为135α= ，则tan1351AB k ==- ，所以直线AB 的方程为3(1)y x -=-+，即20x y +-=，圆C 的标准方程为22270x y y +--=，即22(1)8x y +-=，可得圆C 的圆心(0,1)C ，半径为r =所以圆心(0,1)C 到直线20x y +-=的距离为2d =，可得弦长为AB ===（2）由圆的弦长公式，可得AB =当圆心(0,1)C 到直线AB 的距离d 最大时，此时弦AB 的长度最小，即0CP AB ⊥时，弦AB 的长度最小，因为031210CP k -==---，所以12AB k =，所以AB 的方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=.。

人教版小学六年级上册数学精品讲义第5讲圆(思维导图知识梳理例题精讲易错专练)(含答案)

第5讲圆（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：圆的认识1.圆心、半径、直径用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。

在任意一个圆中都可以画出无数条半径和无数条直径。

2.同圆或等圆中半径、之间的关系在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，直径是半径的2倍；圆心相同，半径不同的圆叫做同心圆；圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。

3.用圆规画圆用圆规画圆的方法：先定好两脚之间的距离，再把带有针尖的脚固定在一点上，最后把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。

知识点二：圆的周长1.意义：围成圆的曲线的长叫做圆的周长，周长一般用字母C来表示。

2.测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。

3.圆周率：圆的周长总是它的直径的3倍多一些，这个固定的比值叫做圆周率，用字母Π来表示，Π是一个无线不循环小数。

C=Πd或2Πr。

已知圆的半径，求周长时，用C=2Πr进行计算；已知圆的直径，求周长时，用C=Πd进行计算。

知识点三：圆的面积1.意义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，圆的面积一般用S表示。

2.已知圆的半径为r，S=Πr2已知直径或周长求面积时，都要先求出半径，再求出面积。

3.圆环：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。

S=ΠR2-Πr23.圆与正方形组合的面积问题的应用（1）“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。

如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。

（2）“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。

如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。

知识点四：扇形1.意义：圆上两点之间的部分叫做弧；一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

注意：扇形的大小由圆心角的度数和半径的长短决定。

直线与圆的基本知识点总结 (1)

x -x B 2 22人教 A 版高中数学必修二第三、四章直线与圆部分基础知识1. 两个基本量倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定 α= 0. 易见直线倾斜角的取值范围是：[0,π) 斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率。

斜率常用小写字母 k 表示，也就是k = tanα = y 1-y 21 2 = -A = f ’(x 0). 特别的，（1）当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = t an 0°=0；（2）当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.2. 几个常见角及其取值范围：（1）直线的倾斜角α 的取值范围是[0,π)；（2）两条直线的夹角α 的取值范围是[0, π]；（3）两个平面的夹角α 的取值范围是[0, π]；（4）两个半平面所成角（二面角）的平面角α 的取值范围是[0,π] （5）直线与平面所成的角α 的取值范围是[0, π] （6）两个向量的夹角α 的取值范围是[0,π]π（7）两异面直线所成角α 的取值范围是[0,2) 3. 直线的五种方程（1）点斜式：y - y 1 = k (x - x 1) (直线l 过点 P 1 (x 1, y 1 ) ，且斜率为k )．不能表示斜率不存在的直线.（2）斜截式： y = kx + b (b 为直线l 在 y 轴上的截距).不能表示斜率不存在的直线.（3）两点式：y - y 1 = x - x 1 (两定点坐标分别是： P (x , y ) 、 P (x , y ) (其中 x ≠ x 且 y ≠ y )). y - y x - x1 1 12 2 2 1 2 1 2 2121不能表示平行于坐标轴的直线.（4）截距式：原点的直线.（5）一般式：x + y= 1( a 、b 分别为直线的横、纵截距， a 、b ≠ 0 )不能表示平行于坐标轴和过坐标 a bAx + By + C = 0 (其中 A 、B 不同时为 0).4. 两条不同直线的平行和垂直(1)若l 1 : y = k 1x + b 1 ， l 2 : y = k 2x + b 2 ，则① l 1 || l 2 ⇔ k 1 = k 2 ,b 1 ≠ b 2 ;② l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1k 2 = -1 . (2)若l 1 : A 1x + B 1 y + C 1 = 0 , l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ,且 A 1、A 2、B 1、B 2 都不为零, 则：① l || l ⇔A 1 =B 1 ≠C 1或 A 1B 2-A 2B 1=0 且 A 1C 2≠A 2C 1；② l ⊥ l⇔ A A + B B= 0； A 2 B 2 C 2121 21 25. 夹角公式（现已不做要求）(1) tan α =| k 2 - k 1 | .( l : y = k x + b ， l : y = k x + b , kk ≠ -1)1+ k 2 k 11 1 12 2 2 1 212⎩ π π (2) tan α =|A 1B 2 - A 2 B 1| .(其中l : A x + B y + C = 0 , l : A x + B y + C = 0 , A A + B B ≠ 0 ).A A +B B 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 21 2 1 2特别的，直线l ⊥ l 时，直线 l 1 与 l 2 的夹角是，不适用以上公式. 1226. 到角公式（现已不做要求）若直线l 1 到直线l 2 的角（有方向性）为α，则：(1) tan α = k 2 - k 1.(其中l: y = k x + b ，l: y = k x + b , kk ≠ -1)， 1+ k 2k 11 1 12 2 21 2(2) tan α =A 1B 2 - A 2 B 1 .(其中l : A x + B y +C = 0 , l: A x + B y + C = 0 , A A + B B≠ 0 ).A A +B B1 1 1 12 2 2 2 1 2 1 21 21 2特别的，直线l ⊥ l 时，直线 l 1 到 l 2 的角是，不适用上面结论. 1227. 四种常用的直线系方程(1) 定点直线系方程：经过定点 P 0 (x 0 , y 0 ) 的直线系方程为 y - y 0 = k (x - x 0 ) (除直线 x = x 0 ),其中k 是待定系数; 经过定点 P 0 (x 0, y 0 ) 的直线系方程也可写为： A (x - x 0 ) + B ( y - y 0 ) = 0 ,其中 A , B 是待定系数．(2) 共点直线系方程：经过两直线l 1 : A 1x + B 1y + C 1 = 0 , l 2 : A 2x + B 2 y + C 2 = 0 的交点的直线系方程为 ( A 1x + B 1y + C 1) + λ(A 2x + B 2 y + C 2 ) = 0 (除l 2 )，其中 λ 是待定的系数．(3) 平行直线系方程：直线 y = kx + b 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程．另外，与直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程是 Ax + By + λ = 0 ( λ ≠ 0 )，λ 是参变量．(4) 垂直直线系方程：与直线 Ax +By +C =0 (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是 Bx - Ay + λ = 0 ,λ 是参变量．8. 点到直线的距离： d =(点 P (x 0 , y 0 ) ,直线l ： Ax + By + C = 0 ).两条平行直线 Ax +By +C =0 与 Ax +By +C =0 之间的距离是： d = 129. 圆的四种方程（1）圆的标准方程：(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 .（r >0）（2）圆的一般方程： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ( D 2 + E 2 - 4F ＞0).更一般的，方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 表示圆的充要条件是：①A =C ≠0②B =0③D 2+E 2－4AF >0；⎧x = a + r cos θ（3）圆的参数方程：（4）圆的直径方程：⎨y = b + r sin θ . (x - x 1)(x - x 2 ) + ( y - y 1)( y - y 2 ) = 0 (圆的直径端点是 A (x 1, y 1) 、 B (x 2, y 2 ) ).C 1 - C 2A 2 +B 21 1 12 2 2 10. 圆系方程(1) 过两点 A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2 ) 的圆系方程是(x - x 1 )(x - x 2 ) + ( y - y 1)( y - y 2 ) + λ[(x - x 1)( y 1 - y 2 ) - ( y - y 1)(x 1 - x 2 )] = 0 ⇔ (x - x 1)(x - x 2 ) + ( y - y 1)( y - y 2 ) + λ(ax + by + c ) = 0 ,其中 ax +by +c =0 是直线 AB 的方程,λ是待定系数．(2) 过直线l : Ax + By + C = 0 与圆C : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的交点的圆系方程是x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ(Ax + By + C ) = 0 ,λ 是待定系数．(3) 过圆C : x2+ y 2 + D x + E y + F = 0 与圆C : x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 的交点的圆系方程是11112 2 2 2x 2 + y 2 + D x + E y + F + λ(x 2 + y 2+ D x + E y + F ) = 0 ,λ 是待定系数．特别的，如果圆C : x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 与圆C : x 2 + y 2 + D x + E y + F= 0 相交，则两圆的11112222公共弦所在的直线方程是： (D 1 - D 2 )x +(E 1 - E 2 ) y +(F 1 - F 2 ) = 0.（两圆方程直接相减即得） 11. 点与圆的位置关系点 P (x 0, y 0 ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系有三种：若 d12. 直线与圆的位置关系d > r ⇔点 P 在圆外; d = r ⇔点 P 在圆上; d < r ⇔点 P 在圆内.直线Ax + By + C = 0 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系有三种:（其中d =）d > r ⇔ 相离 ⇔ ∆ < 0;d = r ⇔ 相切⇔ ∆ = 0;d < r ⇔ 相交⇔ ∆ > 0.13. 圆与圆的位置关系设两圆圆心分别为 O 1，O 2，半径分别为 r 1，r 2， O 1O 2 d > r 1 + r 2 ⇔ 外离 ⇔ 4条公切线; d = r 1 + r 2 ⇔ 外切⇔ 3条公切线;= d ，r 1 - r 2 < d < r 1 + r 2 ⇔ 相交⇔ 2条公切线;d = r 1 - r 2 ⇔ 内切 ⇔ 1条公切线;0 ≤ d < r 1 - r 2 ⇔内含⇔ 无公切线.14. 圆的切线方程(1) 已知圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ．①若已知切点(x , y ) 在圆上，则切线只有一条，其方程是： x x + y y +D (x 0 + x ) +E ( y 0 + y )+ F = 0 . 02 2当(x , y ) 在圆外时, 该方程 x x + y y +D (x 0 + x ) +E ( y 0 + y )+ F = 0 表示过两个切点的切点弦方程．0 0 02 2②过圆外一点的切线方程可设为 y - y 0 = k (x - x 0 ) ，再利用相切条件求 k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线．③斜率为 k 的切线方程可设为 y = kx + b ，再利用相切条件求 b ，必有两条切线．(2) 已知圆 x 2 + y 2 = r 2 ．则①过圆上的 P (x , y ) 点的切线方程为 x x + y y = r 2;②斜率为k 的圆的切线方程为 y = kx ± . 15. 圆中的几个重要定理和结论（1）相交弦定理：P 是圆内任一点，过 P 作圆的两条弦 AB 和 CD ，则 PA ·PB =PC ·PD .（2）（切）割线定理：P 是圆外任意一点，过 P 任作圆的两条割(切)线 P AB ，PCD ，则 P A ·PB =PC ·PD . （3）圆幂定理：P 是圆 O 所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点 P 任作一直线交圆 O 于 A ，B 两点（A ，B 两点可以重合，也可以之一和 P 点重合），圆 O 的半径为 r ，则：P A ·PB =|PO 2-r 2|.当 P 点在圆内的时候，PO 2-r 2<0，此时圆幂定理即为相交弦定理；当 P 点在圆上的时候，PO 2-r 2=0，此时圆幂定理即为直径所对圆周角为直角；当 P 点在圆外的时候，PO 2-r 2>0，此时圆幂定理为切割线定理，割线定理或切线长定理.（4）从平面上任一点 A 作一圆周的任一割线，从 A 起到和圆周相交为止的两线段之积，称为 A 点对于这个圆周的幂。

初中数学《直线和圆的位置关系》单元教学设计以及思维导图

直线和圆的位置关系
适用年级
九年级
所需时间
课内 3 课时，课外 2 课时
主题单元学习概述
此单元是北师版数学教材九年级下第三章《圆》的第五节内容。内容
包括：直线与圆的三种位置关系、直线与圆相切的判定及性质。它与
直角三角形、四边形、三角函数、圆的基础知识等有密切的关联，是建立在圆的基础知识点上的进一步的学习，此单元首先从探究直线与
1.体验切线概念、画圆切线及切线判定。 2.探索直线与圆的三种位置关系、切线判定及性质的得出过程。情感态度与价值观：
1.学会合作学习与分工负责。 2.培养学生勇于克服困难的毅力及树立辩证唯物主义的认识观
对应课标
1．掌握直线与圆的三种位置关系。
2．理解切线的定义。
3．掌握圆切线的判定、性质及应用。
1.直线与圆有几种位置关系？主题单元问题
第一课时活动 1：投影出示下图，学生根据图形，回答以下问题（1）在图中，直线分别与圆是什么关系？
（2）在图中，哪个图的直线是圆的切线？你是怎样判断的？活动 2：.动手操作：在圆上任取一点，连结过这点的半径，过此点画半径的垂线；（1）圆心到直线的距离与半径有什么关系？（2）直线位置有什么关系？根据什么？（3）你有什么发现？活动 3：在探索圆的切线的判定定理.思考：切线是怎么做出来的？它满足怎么条件？活动 4：作三角形的内切圆。例题 2. 第二课时（课外）练习巩固
1．观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置
关系是怎样的?你发现这个自然现象反映出直线和
圆的位置关系有哪几种? 专题问题设计
2.切线是如何定义的？
3、你能从 d 和 r 的关系发现直线和圆的位置关系
吗？
所需教学材料和资源

高二上数学知识点思维导图

高二上数学知识点思维导图高二上学期的数学知识点涉及多个方面，包括代数、几何、函数与应用等。

以下是针对这些知识点的思维导图：第一部分：代数1. 整式与分式- 定义- 四则运算- 合并同类项- 分式的简化与运算2. 方程与不等式- 解一元一次方程- 解一元二次方程- 利用因式分解解方程- 解一元一次不等式- 解一元二次不等式3. 绝对值与模- 定义与性质- 绝对值方程与不等式的解法4. 等比数列与等差数列- 定义- 公式与性质- 推导通项公式第二部分：几何1. 平面与空间几何- 直线、射线、线段的基本概念- 角的概念与性质- 尺规作图方法2. 三角形与四边形- 三角形的分类与性质- 内角和定理、外角和定理- 特殊四边形的性质（矩形、菱形、平行四边形、正方形）3. 圆- 圆的基本性质- 弧、弦、切线的概念与性质- 利用圆的性质解题方法4. 空间几何体- 直线、平面与空间的关系- 球与圆锥、圆台的性质与计算第三部分：函数与应用1. 函数的概念与性质- 定义与符号表示- 奇偶性与周期性- 四则运算与复合函数2. 一次函数与二次函数- 一次函数的定义与图像特征- 二次函数的定义与图像特征- 解一次和二次方程的图像求解问题3. 指数与对数函数- 指数函数与其图像特征- 对数函数与其图像特征- 指数与对数函数的运算与性质4. 应用题- 利用函数解实际问题- 利用函数解几何问题- 利用函数解经济问题以上是高二上学期的数学知识点的思维导图，这些知识点是学生在这个学期必须掌握的基本内容。

通过对这些知识点的学习，学生将能够更好地应对数学考试和解决实际问题。

希望这个思维导图对你有所帮助！。

第24章圆章节知识点及习题及答案

第24章圆章节知识点及习题及答案第⼆⼗四章圆章节知识点思维导图：⼀、圆的有关性质（⼀）与圆有关的概念1、定义：在⼀个平⾯内线段OA绕它固定的⼀个端点O旋转⼀周，另⼀个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆⼼，线段OA叫做半径。

2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆⼼的弦，叫做直径。

3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。

能够互相重合的弧叫等弧。

圆的任意⼀条直径的两个端点把圆分成两条弧，每⼀条弧都叫做半圆，⼤于半圆的弧叫优弧；⼩于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫⼸形。

4、圆⼼⾓：我们把顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓。

5、圆周⾓：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的⾓叫做圆周⾓。

注意：在圆中，同⼀条弦所对的圆周⾓有⽆数个。

6、弦⼼距：从圆⼼到弦的距离叫弦⼼距。

7、同⼼圆、等圆：圆⼼相同，半径不相等的两个圆叫同⼼圆；能够重合的两个圆叫等圆。

8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。

（⼆）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何⼀条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中⼼的中⼼对称图形。

2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为⼀个圆和⼀条直线具备下⾯五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆⼼；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2：圆两条平⾏弦所夹的弧相等。

《圆》设计及思维导图

主题单元设计学习活动设计（针对该专题所选择的活动形式及过程）一、创设生活情境、导入新课。

1、欣赏，走进圆的世界。

2、借助实物画圆3、师：以往同学们在画图时都用的是尺子,今天你为什么不用尺子画圆呢?（尺子边是直的，不好画圆)二、动手操作、认识各部分名称。

1、画圆2、观察、认识圆的各部分名称。

让学生自读课本例2,了解圆的各部分名称②认识圆的圆心。

③认识圆的半径。

三、合作探究，学习特征。

1、谈话：刚才我们通过学习知道了圆的各部分名称，那么圆有什么特征呢？请同学们在纸上任意画一个圆，并将它剪下来。

画一画，量一量,折一折手中的圆形纸片,看看有什么发现？2、学生自主探究.课件出示讨论题：①在同一个圆里有多少条半径?多少条直径?②在同一个圆里半径的长度都相等吗?直径的呢?③在同一个圆里半径和直径有什么关系？④圆是轴对称图形吗?它有几条对称轴?3、合作交流:①用画、折的方法来验证半径、直径有无数条。

②用画、折的方法来验证半径、直径相等。

③通过测量和推理的方法验证直径是半径的2倍，并让学生理解用字母表示直径与半径的关系。

④通过把圆沿不同方向对折来理解圆是轴对称图形，有无数条对称轴.（四）、实践运用，反馈内化。

我们知道了圆的画法，名称,特征，请同学们运用今天的知识解决几个问题。

1、你认为下面的说法对吗?（课件展示）①圆的直径是半径的2倍。

②圆有无数条对称轴.③半径3厘米的圆比直径4厘米的圆小。

④画直径是6厘米的圆时,圆规两脚之间的距离为3厘米。

五、运用新知、解决实际问题。

圆的特征在生活中得到广泛的应用. 车轮为什么做成圆形？车轴为什么要安放在圆心？(课件展示）六、总结评价、拓展延伸。

教学评价1、让学生自主探索.在教学的各个环节始终将学生自主探索的理念贯穿其中。

例如：让学生自主尝试画圆的方法；让学生小组合作，观察、探究圆的半径和直径的特点等。

在各个探究活动中力求使学崭露出他们的个性和潜在的创新意识，使他们的创新能力在探究展露本色和活力。

初中数学圆知识点考点思维导图圆的概念与性质与圆有关的位置关系圆有关的计算正多边形与圆

１、与圆的位置关系可从形和数两方面来判断，思维单一容易致误．２、切线长定理不能与三角函数结合致误．３、两圆相交时，半径与圆心距的关系考虑不全．
点在圆内台ｄ＜ｒ点在圆上台ｄ＝ｒ
１．有切线，作过切点的半径．
２．有半径，过端点作圆的切线．
常作的
辅助线
点在圆外与ｄ＞ｒ
３．有切线长，作以切线、过切点的半径、圆心
２．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧相等．
定义顶点都在同一圆上的多边形．
顶点都在同一圆上的三角形称圆内接三角形，
圆内接三角形定义圆心称三角形外心．
２．直径所对圆周角的特征
或三角形外接圆性质外心到各顶点距离相等，是三角形各边的中垂线的交点．
（１）作辅助线，构造＂直径所对的圆周角是直角＂
初初中中数数学学圆思思维维导导图图
考点知识点快速理解记忆
超超实实用用一一看看就就明明白白极易记忆
第一节圆的概念与性质
第二节与与圆圆有关的位置关系
第三节与圆有关的计算第四节节正多边形与圆
初中数学第七章圆第一节圆的概念与性质
在平面内，线段ＯＡ绕它固定的一个端点Ｏ旋转一周，另
（１）判定方法
１定义法∶与圆只有一个交点的直线
②数量法∶与圆心的距离ｄ＝／的直线．
（２）相切判定
③判定定理．
有明确交点，连半径，证直线与半径垂直．（３）证明直
无明确的交点，过圆心作垂线段，证其等于半径．线与圆相切
已知直线满足∶①过圆心；②过切点；
③垂直于切线．可知二推出另一个．
（４）切线性质的拓展
线交点组成的正多边形叫圆外切正多边形．
性质正多边形都有一外接圆，反之，同一个圆有无数多个内接正多边形

直线与圆思维导图

考纲要求：
直线的方程:
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
两直线的位置关系:
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
圆的方程:
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程．
直线、圆的位置关系:
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．。