湖北省黄冈市2020-2021学年高二下学期期末数学试题

湖北省黄冈市2020-2021学年高二下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{}260A x
x x =+-<∣，{}lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ） A ．{31}x x -<<∣ B ．{21}x
x -<<∣ C ．{2}x
x <∣ D ．{3}x
x <∣ 2．已知i 是虚数单位，z 是复数，若()12i 13i z +=-，则复数z 的模为（ ）
A B ．C ．2
D ．1
3．已知2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.30.2c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c <<
D ．c a b <<
4．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线过点()2,3，则双曲线离心率为（ ）
A B C D 5．已知()2
ln ln f x x x =+，则()0f '=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．1
6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，经过
t 分钟后物体的温度C θ︒可由公式()010kt e θθθθ-=+-求得.其中k 是一个随着物体与空
气的接触状况而定的大于0的常数.现有100C ︒的物体，放在10C ︒的空气中冷却，5分钟以后物体的温度是40C ︒，则k 约等于（参考数据：3 1.099ln ≈）（ ） A ．0.22
B ．0.27
C ．0.36
D ．0.55
7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()20f x f x ++=，当()0,1x ∈时()22x f x =-，
则18log 125f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
716
B ．716-
C ．34
D ．34
-
8．若曲线1x y xe ax =-+与直线10x y -+=相切.则实数a 的值为（ ） A ．e B ．0或1- C ．0 D ．1-
二、多选题
9．下列命题为真命题的有（ ） A ．若a b >，则33a b > B ．若||a b >，则22a b > C ．若0ab ≠，则2b a
a b
+≥
D ．若a b e >>，则
ln ln a b
a b
> 10．任何一个复数i z a b =+（其中a ，b R ∈，i 为虛数单位）都可以表示成
()cos s i in x r θθ=+（其中0r ≥，R θ∈）的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数
学家棣莫弗发现：()()cos sin cos si i n i n
n r r n n θθθθ⎡⎤⎣+⎦
=+(*)n N ∈.我们称这个结论为棣莫弗定理.则下列判断正确的是（ ）
A
．复数1z =的三角形式为i 2cos sin 33z ππ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
B ．1r =，3
π
θ=时，31z =-
C ．1r =，2
π
θ=时，232021i z z z z ++++=
D ．1r =，4
π
θ=
，“n 为偶数”是“n z 为纯虚数”的必要不充分条件
11．直线():2l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于A ，B 两点（A 在B 的上方），F 为抛物线的焦点，行O 为坐标原点，AFO 的面积是BFO 面积的2倍，以AB 为直径的圆与直线x t =()0t <相切，切点为P .则下列说法正确的是（ ）
A
．
6
AF =
B ．AOB
的面积为C ．t 的值为2- D
．PF =12．对于函数() y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点
()()0
,x f x --为函数()f x 一对“和谐点”.已知函数()2
ln 2,0
22,0x x x f x ax
x x -->⎧=⎨--+≤⎩
.则下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 可能有三对“和谐点”
B ．若1a =，则()f x 有一对“和谐点”
C ．若01a <<，则()f x 有两对“和谐点”
D ．若0a <，对10x ∀>，总20x ∃≤，使()()12 0f x f x +=
三、填空题
13．函数()f x __________． 14．已知x ，0y >且21x y +=，则12x
x y
+的最小值为__________．
15．写出一个定义域为R 值域为(]0,2的偶函数_____．（答案不唯一）
16．A ，B 为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上的两点，1F ，2F 为其左右焦点，且满足
112AF F B =，当123
F AF π
∠=时，椭圆的离心率为_________．
四、解答题
17．已知条件p ：“方程
2
2131
x
y m m +=-+表示焦点在y 轴上的椭圆”.条件q ：“方程22
1(2)(4)
x y m t m t -=-+-+表示双曲线”，其中m ，t R ∈.
（1）若条件p 成立，求m 的取值范围；
（2）若p 是q 的充分不必要条件，求t 的取值范围.
18．已知函数()3
3f x x x a =-+，()sin g x x x =-.
（1）求()y f x =的单调区间；
（2）若对1 0x ∀≥，20x ≥，()()12f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
19．已知()22
3)3(f x ax a x a =+--.
（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|1x x >或3}x <-，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式()0f x x a ++<的解集中恰有2个整数，求正整数a 的值.
20．已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()x
f x
g x e x +=+.
（1）求()f x 和()g x 的解析式；
（2）若函数()()1()2y g x ag x a =++∈R 的最小值为1-，求a 的值.
21．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的焦距为(P 在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为⎭
，APB ∠的平分线交x 轴于点M ，求证PM x ⊥轴. 22．已知函数()1
n )l (f x x a x a x
=--∈R
（1）若函数()f x 在(2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；
（2）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，12x x >不等式()12f x mx <恒成立，求实数m 的取值范围.
参考答案
1．C 【分析】
先求出集合,A B ，再求并集. 【详解】
由260x x +-<解得32x -<<，所以{}{}26032A x x x x x =+-<=-<<∣∣ {}{}lg(1)1B x y x x x ==-=<
所以{}2A B x x ⋃=< 故选：C 2．A 【分析】 由题意13i
12i
z -=+，根据复数的除法运算，先求出复数z ，从而求出其模长. 【详解】
由()12i 13i z +=-，可得13i
12i
z -=
+ 则()()()()13i 12i 13i 55i
1i 12i 12i 12i 5
z -----=
===--++-
所以z
故选：A 3．A 【分析】
根据对数函数的单调性可得0,1a b <>，由指数函数的性质和单调性可得01c <<，从而得出答案. 【详解】
由对数函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，可得22log 0.3log 10a =<= 由对数函数0.3log y x =在()0,∞+上单调递减， 0.30.3log 0.2log 0.31b =>= 由指数函数0.2x y =在R 上单调递减. 0.3000.20.21c <=<= 所以a c b <<
故选：A 4．B 【分析】
由双曲线方程得渐近线方程为b
y x a =±
，由题可知点()2,3在直线b y x a
=上，将点坐标代入方程可得,a b 的关系，从而可求出离心率 【详解】
解：双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线方程为b y x a =±，
由题意可知点()2,3在直线b
y x a
=上，
所以23b a =
，即32
b a =，
所以离心率为c
e a ==
故选：B 5．B 【分析】
求出函数()f x 的解析式，进而可求得()0f '的值. 【详解】
对于()2ln ln f x x x =+，令ln t x =，则t x e =，可得()2t
f t e t =+， 所以，()2x
f x e x =+，故()221x f x e '=+，因此，()03f '=.
故选：B. 6．A 【分析】
列方程，根据对数的运算性质计算即可 【详解】
解：由题意得，()5401010010k
e -=+-，
513
k e -=
， 两边取自然对数得，1
5ln ln 33
k -==-，
所以ln 3 1.099
0.2255
k =
≈≈， 故选：A 7．C 【分析】
先求出18
log 125的范围，根据条件可得()()1228log 125log 5log 52f f f ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭
，再由函数为偶函数可得2
245log log 54f f ⎛
⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由给出的表达式可得出答案. 【详解】
331228
log 125log 5log 5=-=-,又222
2log 4log 5log 83=<<=
由条件可得()()2=-+f x f x
()()12222845log 125log 5log 52log log 54f f f f f
⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-=--+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
又2
5
0log 14
<< 所以25
log 42553log 222444f ⎛
⎫=-=-=- ⎪⎝
⎭
所以183
log 1254
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
故选：C 8．C 【分析】
设出切点()00,x y ，根据切点坐标可得0000011x
x e ax x y -+=+=，即00x =或01x a e =-，
再根据导数的几何意义可建立方程，求出答案. 【详解】
设曲线1x y xe ax =-+与直线10x y -+=相切于点()00,x y
则0000011x
x e ax x y -+=+=，即()
0010x x e a --=
所以00x =或01x a e =-
由1x y xe ax =-+，则()1x
y x e a '=+-
所以()000|11x
x x y x e a ='=+-=
当00x =时，由()0011x
x e a +-=，得0a =
当01x a e =-时，由()0011x x e a +-=可得()000111x x x e e +-+=，即000x
x e =
此时00x =，则0a = 故选：C 9．AB 【分析】
选项A. 由函数3y x =在R 上单调递增，可判断；选项B. 由函数2y
x 在[)0,+∞上单调递
增,可判断；选项C. 当0ab <时，0b a a b
+<可判断；选项D. 设函数()ln x
f x x =，由()f x 得
单调性可判断. 【详解】
选项A. 由函数3y x =在R 上单调递增，由a b >，则33a b > ，故选项A 正确. 选项B. 由函数2y
x 在[)0,+∞上单调递增,由||a b >，则22a b >，故选项B 正确.
选项C. 当0ab <时，0b a
a b
+<，故选项C 不正确.
选项D. 设函数()ln x f x x =
，则()2
1ln x
f x x -'=
当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在(),e +∞上单调递减. 当a b e >>时，()()f a f b <，即ln ln a b
a b
<，故选项D 不正确. 故选：AB 10．BCD 【分析】
根据复数的三角形式和棣莫弗定理求解判断． 【详解】
虽然有2cos isin 2cos i 2sin 13333z ππππ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，但2cos sin 33z i ππ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭不是三角
形式，A 错； 1r =，3
π
θ=
时，cos
sin
3
3
z i π
π
=+，3
3(cos
isin )cos isin 133
z π
π
ππ=+=+=-，B 正确；
1r =，2
π
θ=
时，cos
isin
i 2
2
z π
π
=+=，414243440k k k k z z z z +++++++=，k Z ∈，
所以232021i z z z z z ++++==，C 正确；
1r =，4
π
θ=
，cos
isin
4
4
z π
π
=+，cos
isin 44
n
n n z ππ=+， 若n z 为纯虚数，则cos 04
sin 0
4n n ππ⎧
=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，42n k πππ=+，42n k =+，k Z ∈，42,n k k Z =+∈是偶数，但偶数还有4n k =形式的数，D 正确． 故选：BCD ． 11．ACD 【分析】
根据题意可知直线经过抛物线的焦点，将直线与抛物线联立求出交点A 、B ，再由抛物线的焦半径公式逐一判断即可求解. 【详解】
由题意可得()2,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 且10y >，20y >，2AFO
BFO
S S
=，
1211
222
OF y OF y ∴
=⨯，即122y y =-， 联立()228y k x y x
⎧=-⎨=⎩，整理可得2208k y y k --=，
128
y y k
∴+=
，1216y y =-， 122y y =-
，解得1y =
2y =-
128
y y k
∴+=
=
k =
即(4,A
，(1,B -， 14262
p
AF x =+
=+=∴，故A 正确；
12y y -=
121
2
AOB
S
OF y y ∴=
-=B 错误；
线段AB 的中点为52⎛ ⎝，直径12549x x AB p ++=+==，
∴半径为92，圆为(2
2
981
24
x y ⎛⎫-+=
⎪⎝
⎭， 所以95222t ⎛⎫
=--=- ⎪⎝⎭，故C 正确；
(
P -
，PF =
=D 正确.
故选：ACD 12．BCD 【分析】
把“和谐点”的定义转化为()y f x =与()y f x =--图象交点，结合选项和函数图象逐个进行判断. 【详解】
由题意可知，一对“和谐点”就是函数图象上关于原点对称的两个点，可作()f x 关于原点对称的函数图象与自身交点的个数即为“和谐点”的对数； 当0x >时，()ln 2f x x x =--，11()1x f x x x
-='-=
， 所以()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数；所以()f x 有最大值(1)3f =-；
若1a =，当0x ≤时，2()22f x x x =--+，对称轴为1x =-，最大值为(1)3f -=；
如图，图中实线为函数()y f x =的图象，虚线为()y f x =--的图象，所以()f x 有一对“和谐点”，B 正确.
若01a <<，当0x ≤时，2()22f x ax x =--+的对称轴为1
x a =-，最大值为11()23f a a
-=+>，
图象类似如下：
由图可知，()f x 有两对“和谐点”，C 正确.
若0a <，当0x ≤时，2()22f x ax x =--+的对称轴为1
0x a
=->，()f x 在(,0]-∞单调递减，值域为[2,)+∞；
而0x >时，()ln 2f x x x =--的值域为(,3]-∞-，所以对10x ∀>，总20x ∃≤，使
()()12 0f x f x +=，D 正确.
结合以上分析可知()f x 不可能有三对“和谐点”，A 不正确. 故选：BCD. 13．(](0,1)1,3
【分析】
根据260ln 0x x x ⎧+-≥⎨≠⎩
，解出两个不等式，最后求交集即可.
【详解】
由题意：()260ln 00,1130x x x x x ⎧+-≥⎪
≠⇒∈⋃
⎨⎪⎩
（，］＞ 故答案为：()0,1(1,3]⋃. 14．5
【分析】
首先变形()21212112
4y x x y x y x y
-+
=+=+-，再利用“1”的变形，根据基本不等式求最小值. 【详解】
()21212112
4y x x y x y x y
-+=+=+-，
()1212222559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当
22y x x y =，即1
3
x y ==时，等号成立， 所以12945x x y +≥-=，即12x
x y +的最小值为5. 故答案为：5 15．2
2
()1f x x =+ 【分析】
这样的函数可以为2
2
()1f x x =+，再利用奇偶性的定义以及单调性进行验证. 【详解】
这样的函数可以为2
2
()1f x x =+ 验证：2
2
=1()()f x
x f x +-=
，即函数()f x 为偶函数 当0x ≥时，容易得到函数2
2
()1f x x =
+为减函数，max ()(0)2f x f == x →+∞时，()0f x →，结合奇偶性可得出()f x 的值域为(]0,2
故答案为：2
2
()1f x x =+
16【分析】
设1F B m =（0m ≠），则12AF m =，由椭圆的定义可得2222,2AF a m BF a m =-=-，然后
在12F AF 和2ABF 中分别利用余弦定理可得两个式子，两式相结合可求得22
727
c a =
，从而可求出离心率 【详解】
解：设1F B m =（0m ≠），则12AF m =，122F F c =，123
F AF π
∠=
所以由椭圆的定义可得2222,2AF a m BF a m =-=-，
在12F AF 中由余弦定理得，1222
12121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-，
即222
44(22)22(22)cos
3
c m a m m a m π
=+--⋅⋅-，
化简得22233c a m am =+-，
在2ABF 中，由余弦定理得，2
2
2
22222cos BF AB AF AB AF BAF =+-∠,
即222
(2)9(22)23(22)cos
3
a m m a m m a m π
-=+--⋅⋅- ，
化简得2950m am -=，因为0m ≠，所以5
9
m a =，
所以22
2255
33819
c a a a a =+⨯
-⋅，得22727c a =，
所以
c a =
17．（1）()1,3；（2）(][),31,-∞-+∞.
【分析】
（1）条件p :曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，所以10m +>，30m ->，且13m m +>-，，从而可求出m 的取值范围；
（2）由条件q ：可得(2)(4)0m t m t ---->，从而求出m 的取值范围，再由p 是q 的必要不充分条件，可得()1,3 (),2(4,)t t -∞+⋃++∞，从而可求出t 的取值范围. 【详解】
解：（1）若方程22131x y m m +=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，
则10m +>，30m ->，且13m m +>-，解得13m <<， 所以m 的取值范围为()1,3
（2）若方程
22
1(2)(4)
x y m t m t -=-+-+表示双曲线， 则(2)(4)0m t m t ---->，解得4m t >+或+2m t <.
若p 是q 的充分不必要条件，则()1,3 (),2(4,)t t -∞+⋃++∞
所以23t +≥或41t +≤， 解得1t ≥或3t
，所以t 的取值范围为(]
[),31,-∞-+∞
18．（1）递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，递减区间为()1,1-；（2）[)2,+∞. 【分析】
(1)求出()'f x ，令()0f x '>，()0f x '<解出不等式，即可得到函数的单调区间.
（2）依题意有()()()min max f x g x ≥, 利用导数分别求出函数()(),f x g x 的单调区间，得出对应的最值，从而得出答案. 【详解】
（1）2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-
令()0f x '>，解得1x >或1x <-，()0f x '<，解得11x -<<
由上表知()f x 的递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，递减区间为()1,1-. （2）依题意有()()()min max f x g x ≥， 由（1）知当0x ≥时min (())(1) 2.f x f a ==- 而()cos 10g x x '=-≤，()g x 在[)0,+∞上为减函数， 所以当0x ≥时max (())(0)0.g x g == 20, 2.a a ∴-≥≥
故a 的取值范围为[)2,+∞. 19．（1）1-；（2）1或2. 【分析】
（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，结合韦达定理可得； （2）根据a 是正数，求得不等式的解，然后考虑正整数解的情况可得a 的值．
解：22()(3)3(3)()f x ax a x a ax x a =+--=-+
（1）若不等式()0f x <的解集为()(),31,-∞-⋃+∞，则0,a < 3
1,
3a a
-==-， 1a ∴=-.
（2）不等式()0f x x a ++<即22(2)20ax a x a +--<有两整数解， (2)()0ax x a -+<，又a 为正整数，2a x a
-<<
则解集必含0，两整数解为1-，0或0，1. 当2a >时，整数解为2-，1-，0，不符合； 1a
或 2.a =
20．（1）e e 2e e (),()22
x x x x
x f x g x ---++==
；（2）-3. 【分析】
（1）由奇偶函数的定义建立方程组求解即可；
（2）由（1）得22e e e e 122x x x x y a --++=++，
令x x
e e t -+=，则22211()()2228a a y t at t =+=+-，然后结合二次函数的性质求解即可 【详解】 （1）
()()e x f x g x x +=+， ①
()()e x f x g x x -∴-+-=-，即()()e x f x g x x --+=-，② 联立①②得e e 2e e (),()22
x x x x
x f x g x ---++==
. （2）由（1）知22e e e e 122x x x x
y a --++=
++，令x x e e t -+=，2222x x e e t -+=-，2t ≥. 2
2211()()2228
a a y t at t =+=+-，2t ≥.
当22a
-≤即4a ≥-时，2min 1(22)12y a =+=-，
3a ∴=-. 当22
a
->即4a
时，2
min
18
a y =-=-，
a ∴=±.
21．（1）22
1164
x y +=；（2）证明见解析.
【分析】
（1
）利用焦距为222a c b -= ，即可得到椭圆方程。

（2）已知中点，利用点差法得出直线AB 斜率，即可得到方程，要证PM x ⊥轴，结合对称性，证明0PA PB k k += 即可， 【详解】
（1
）依题意有c =
(
2
2
2
2
1a b +=，22
12a b -=
解得2
16a =，2
4b =，故椭圆方程为22
1.164
x y +=
（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22111164x y +=，2222
1164
x y +=.
两式相减得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，又AB
中点为，
12x x ∴+=
12y y +=121212y y x x -=-，即1
2
AB k =. 所以AB
的直线方程1
2
y x =
221
{2
416.y x x y =
+= 消去y 得
240x ∴--=
.
12x x ∴+=124x x =-
.
1211PA PB
x x k k --∴+=+=
0==.
PM x ∴⊥轴.
解法二：同上240x --=，
1x ∴
2x =
1y ∴=
2y =
即A
，B
，PA k =
，PB k =. PM x ∴⊥轴.
22．（1）5,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[)0,+∞.
【分析】
（1）由题意得出21()10a f x x x '=+
-≥对2x >恒成立，即1
a x x
≤+对2x >恒成立，求出1x x +的最大值，得出a 的取值范围；
（2）根据一元二次方程根的分布求出2a >，11
1
a x x =+
，结合()12f x mx <得出22111(1)ln 1m x x x >-+-，构造函数22()(1)ln 1,1g x x x x x =-+->，利用导数得出
()(1)0g x g <=，从而得出实数m 的取值范围.
【详解】 解（1）21()10a f x x x '=+
-≥对2x >恒成立，即1a x x
≤+对2x >恒成立， 令1
(),2h x x x x =+>，2(1)(1)()0x x h x x -+'=
>，即()h x 在2,上递增，
15
222
a ∴≤+
=， 故a 的取值范围为5,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦；
（2）22
21(1
)1a f x x x x ax x '=-+=
+- 若()f x 有两极值点，即210x ax -+=在0,上有两根1x ，2x ，12x x >，
则2121240
01a x x a x x ⎧∆=->⎪
+=>⎨⎪=⎩. 2a ∴>，11
1a x x =+
， 12x x >，11x ∴>，201x <<，12()f x mx <，
22211111111()ln 1(1)ln 1m x f x x ax x x x x ∴>=--=-+-， 令22()(1)ln 1,1g x x x x x =-+->，1()2ln g x x x x x
'=--
，
令1
()2ln h x x x x x
=--，21()2ln 1h x x x '=--，
1x >，2
1
10x ∴
-<，()0h x '∴<， ()(1)0h x h ∴<=，即()0,g x '<()g x ∴在1,递减，()(1)0g x g <=，0m ∴≥，
故m 的取值范围为[)0,+∞.。