2021-2022学年江西省赣州市大余县八年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年江西省赣州市大余县八年级（上）期末数学试卷
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算中，结果正确的是( )
A. x3⋅x3=x6
B. 3x2+2x2=5x4
C. (x2)3=x5
D. (x+y)2=x2+y2
3.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3，4，8
B. 5，6，11
C. 1，2，3
D. 5，6，10
4.若分式x2−1
的值为0，则x的取值为( )
x+1
A. x=1
B. x=−1
C. x=±1
D. 无法确定
5.如图，已知∠ADB=∠ADC.添加条件后，可得△ABD≌△ACD，
则在下列条件中，不能添加的是( )
A. ∠BAD=∠CAD
B. ∠B=∠C
C. BD=CD
D. AB=AC
6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC
的平分线．∠BAC=50°，∠ABC=60°.则∠DAE+∠ACD等于( )
A. 75°
B. 80°
C. 85°
D. 90°
7.计算：(−2
)2021×1.52022=______．
3
8.若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是．
9.某工厂现在平均每天比原计划多生产60台机器，现生产800台机器所需时间与原计划生产650台所需时间相同．设原计划每天生产x台，根据题意，可列方程为：______．
10.钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为0.0008平方公里．请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为______ 平方公里．
11.已知(m−n)2=16，(m+n)2=24，m2+n2=______．
12.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，
现以OC为一边作等边△OCD，连接AC，AD.当△AOD是等腰三角
形时，则α的度数为______．
13.因式分解：
(1)a3b−ab3；
(2)2a3+12a2+18a．
14.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD.求证：
(1)BC=AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
15.化简：(x
x−1−1
x2−x
)÷x2+2x+1
x2
，并从−1，0，1，2中选择一个合适的数求代数式的值．
16.在平面直角坐标系中A(−1,5)，B(−3,0)，C(−4,3)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(2)求△ABC的面积．
17.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
18.如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)当∠AEB=50°，求∠EBC的度数．
19.已知多项式A=(x+2)2+(1−x)(2+x)−3．
(1)化简多项式A；
(2)若(x+1)2=36，求A的值．
20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AB上，且AC=AE．
(1)求证：△ACD≌△AED；
(2)求证：AB=AC+CD．
21.随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
(1)A型自行车去年每辆售价多少元？
(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
22.等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．
(1)若AD=2，求AF的长；
(2)求当AD取何值时，DE=EF．
23.阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程
a
x−4
=1的解
为正数，求a的取值范围？
经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路如下：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a+4.由题意可得a+4>0，所以a>−4，问题解决．
小聪说：你考虑的不全面．还必须保证a≠0才行．
请回答：______的说法是正确的，并说明正确的理由是：______．完成下列问题：
(1)已知关于x的方程m
x−3−x
3−x
=2的解为非负数，求m的取值范围；
(2)若关于x的分式方程3−2x
x−3+nx−2
x−3
=−1无解．直接写出n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：A、x3⋅x3=x6，本选项正确；
B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；
C、(x2)3=x6，本选项错误；
D、(x+y)2=x2+2xy+y2，本选项错误，
故选：A．
A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+4=7<8，不能组成三角形；
B中，5+6=11，不能组成三角形；
C中，1+2=3，不能够组成三角形；
D中，5+6=11>10，能组成三角形．
故选：D．
根据三角形的三边关系进行分析判断．
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
4.【答案】A
【解析】解：∵分式x 2−1
x+1
的值为0，
∴x2−1=0且x+1≠0，
解得x=1，
∴x的取值为1．
故选A．
根据分式的值为0的条件得到x2−1=0且x+1≠0，解x2−1=0得x=±1，而x≠−1，则x=1．本题考查了分式的值为0的条件：分式的分子为0且分母不0时，分式的值为0．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵∠BAD=∠CAD，
∴{∠BAD=∠CAD AD=AD
∠ADB=∠ADC
，
∴△ABD≌△ACD(ASA)；故此选项正确；
B、∵∠B=∠C，
∴{∠B=∠C
∠ADB=∠ADC AD=AD
，
∴△ABD≌△ACD(AAS)；故此选项正确；
C、∵BD=CD，
∴{BD=CD
∠ADB=∠ADC AD=AD
，
∴△ABD≌△ACD(SAS)；故此选项正确；
D、AB=AC与∠ADB=∠ADC、AD=AD组成了SSA不能由此判定三角形全等，故此选项错误．故选：D．
先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中D、AB=AC与∠ADB=∠ADC、AD=AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA无法证明三角形全等．
6.【答案】A
【解析】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°−25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°−∠ABC−∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°．
故选：A．
依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°−∠ABC−∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD= 75°．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°.解决问题的关键是角平分线的定义的运用．
7.【答案】−3
2
【解析】解：(−2
3
)2021×1.52022
=(−2
3
)2021×1.52021×1.5
=(−2
3×3
2
)2021×3
2
=(−1)2021×3
2
=(−1)×3
2
=−3
2
．
故答案为：−3
2
．
逆向运算积的乘方运算法则计算即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
本题考查了积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
8.【答案】9
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的外角和.根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】
解：360°÷40°=9，即这个多边形的边数是9．
9.【答案】800
x+60=650
x
【解析】解：∵现在平均每天比原计划多生产60台机器，原计划每天生产x台，∴现在平均每天生产(x+60)台机器．
依题意得：800
x+60=650
x
．
故答案为：800
x+60=650
x
．
由现在平均每天比原计划多生产60台机器可得出现在平均每天生产(x+60)台机器，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合现生产800台机器所需时间与原计划生产650台所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】8×10−4
【解析】解：0.0008=8×10−4．
故答案为：8×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11.【答案】20
【解析】解：∵(m+n)2=24，(m−n)2=16，
∴m2+2mn+n2=24①，m2−2mn+n2=16②，
①+②得：2(m2+n2)=40，
∴m2+n2=20．
故答案为：20．
把完全平方公式展开得m2+2mn+n2=24①，m2−2mn+n2=16②，由①+②可以求出m2+n2的值．
本题主要考查了完全平方公式，考核学生的计算能力，熟悉公式的结构特点是解题的关键．
12.【答案】110°或125°或140°
【解析】解：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠OCD=60°，OC=CD，∠ADC=α，
∴三角形COD是等边△OCD，
∴∠COD=∠60°，∠CDO=60°，
∠ADO=∠ADC−∠CDO=α−60°，
∵∠AOD=360°−110°−60°−α=190°−α，
∴∠OAD=180°−(∠AOD+∠ADO)=180°−(190°−α+α−
60°)=50°；
∵△AOD为等腰三角形，
当AO=OD时，∠AOD+2∠ODA=180°，
即190°−α+2×(α−60°)=180°，
解得α=110°，
当AO=AD时，∠AOD=∠ODA，即190°−α=α−60°，
解得α=125°，
当OD=AD时，2×(190°−α)+α−60°=180°，
解得α=140°
所以当α为110°、125°、140°时，△AOD是等腰三角形；
故答案为：110°或125°或140°．
根据旋转前后图形不发生变化，得出三角形COD是等边△OCD，从而表示出∠AOD与∠ADO，进而求出∠OAD，再根据等腰三角形的性质，分别假设AO=AD，OA=OD，OD=AD，从而求出α．此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．
13.【答案】(1)解：原式=ab(a²−b²)
=ab(a+b)(a−b)；
(2)解：原式=2a(a²+6a+9)
=2a(a+3)2．
【解析】(1)先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
(2)先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
14.【答案】证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵{AB=AB
AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴BC=AD，
(2)由(1)可得Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形．
【解析】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，属于基础题．
(1)根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC=AD，
(2)根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．
15.【答案】解：原式=x2−1
x(x−1)⋅x2
(x+1)2
=(x+1)(x−1)
x(x−1)
⋅x2
(x+1)2
=x
x+1
，
当x=2时，原式=2
3
．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=2代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)如图所示，
(2)S△ABC=5×3−1
2×3×2−1
2
×1×3−1
2
×2×5
=15−3−3
2
−5
=11
2
，
答：△ABC的面积为11
2
．
【解析】(1)分别作出三个顶点关于y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
(2)用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．
本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
17.【答案】证明：设AD 、EF 的交点为K ，
∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE =DF ．
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴∠AED =∠AFD =90°，
在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，{AD =AD DE =DF
， ∴Rt △ADE≌Rt △ADF(HL)，
∴AE =AF ．
∵AD 是△ABC 的角平分线
∴AD 是线段EF 的垂直平分线．
【解析】根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
找到Rt △AED 和Rt △ADF ，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．
18.【答案】(1)证明：在△ABE 和△DCE 中，
{∠A =∠D ∠AEB =∠DEC AB =DC
，
∴△ABE≌△DCE(AAS)；
(2)解：∵△ABE≌△DCE ，
∴BE =EC ，
∴∠EBC =∠ECB ，
∵∠EBC +∠ECB =∠AEB =2∠EBC =50°，
∴∠EBC =25°．
【解析】(1)根据AAS 即可推出△ABE 和△DCE 全等；
(2)根据三角形全等得出EB =EC ，推出∠EBC =∠ECB ，根据三角形的外角性质得出∠AEB =2∠EBC ，代入求出即可．
本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
19.【答案】解：(1)A=(x+2)2+(1−x)(2+x)−3
=x2+4x+4+2+x−2x−x2−3
=3x+3．
(2)∵(x+1)2=36
∴x+1=±6，
∴A=3x+3=3(x+1)
=±18．
【解析】(1)根据整式的加减运算法则以及完全平方公式即可求出答案．
(2)先求出x+1=±6，然后将x+1的值代入A中即可求出答案．
本题考查完全平方公式以及多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及多项式乘多项式，本题属于基础题型．
20.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD
在△ACB和△AED中，
{AC=AE
∠CAD=∠EAD AD=AD
，
∴△ACD≌△AED(SAS)；
(2)证明：∵BC=AC，∠C=90°，
∴∠B=∠CAB=45°，
由(1)知△ACD≌△AED，
∴∠AED=∠C=90°，CD=DE，
∴∠EDB=∠B=45°，
∴BE=DE=CD，
∴AB=AE+EB
=AC+CD．
【解析】(1)由AC=AE，∠CAD=∠EAD，AD=AD，利用“SAS”即可证明△ACD≌△AED；(2)由△ACD≌△AED即可证明CD=DE，结合等腰直角三角形的性质得出BE=DE=CD，进而即
可得出AB=AC+CD．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为(x−200)元，由题意，得
80000 x =80000(1−10%)
x−200
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60−a)辆，获利y元，由题意，得
y=(1800−1500)a+(2400−1800)(60−a)，
y=−300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60−a≤2a，
∴a≥20．
∵y=−300a+36000，
∴k=−300<0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y有最大值
∴B型车的数量为：60−20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【解析】(1)设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为(x−200)元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60−a)辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y的最大值．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
22.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA=8，∠B=∠C=60°，
∵AB=8，AD=2，
∴BD=AB−AD=6，
在Rt△BDE中，∠BDE=90°−∠B=30°，
∴BE=1
2
BD=3，
∴CE=BC−BE=5，
在Rt△CFE中，∠CEF=90°−∠C=30°，
∴CF=1
2CE=5
2
，
∴AF=AC−FC=11
2
；
(2)在△BDE和△CEF中，
{∠BED=∠CFE=90°∠B=∠C
DE=EF
，
∴△BDE≌△CEF(AAS)，∴BE=CF，
∴BE=CF=1
2
EC，
∴BE=1
3BC=8
3
，
∴BD=2BE=16
3
，
∴AD=AB−BD=8
3
，
∴当AD=8
3
时，DE=EF．
【解析】本题考查的是等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质等知识．
(1)因为AB=8，AD=2，所以BD=AB−AD=6，又因为在Rt△BDE中，∠BDE=90°−∠B=
30°，根据直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半可得BE=
1
2
BD=3，所以CE=BC−BE=5，同理可知，在Rt△CFE中∠CEF=90°−∠C=30°，CF=
1 2CE=5
2
，则可根据AF=AC−FC求得结果；
(2)因为∠BED=∠CFE=90°，∠B=∠C，DE=EF，所以△BDE≌△CEF，则有BE=CF=1
2
EC，
BE=1
3BC=8
3
，BD=2BE=16
3
，则有AD=AB−BD=8
3
时，DE=EF．
23.【答案】小聪分式的分母不为0，故x≠4，从而a≠0
(1)去分母得：m+x=2x−6，
解得：x=m+6，
由分式方程的解为非负数，得到m+6≥0，且m+6≠3，
解得：m≥−6且m≠−3．
(2)n=1或n=5
3
．
【解析】解：小聪的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0；
故答案为：小聪；分式的分母不为0，故x≠4，从而a≠0；
(1)见答案．
(2)分式方程去分母得：3−2x+nx−2=−x+3，即(n−1)x=2，
当n−1=0时，整式方程无解，此时n=1，
由分式方程有增根时，得到x−3=0，即x=3，
代入整式方程得：n=5
3
；
综上，n=1或n=5
3
．
根据分式方程解为正数，且分母不为0判断即可；
(1)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，确定出n的范围即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．。