第一节确界存在准则

第十六章 实数的完备性与极限
第一节确界存在准则
一实数的性质
定理1 有序性 任意两个实数,a b 必满足下面三个关系之一：,,a b a b a b <=>。

定理 2 任意实数,,a b c 若,a b b c a c <<⇒<。

定理3 稠密性 有理数和无理数的稠密性.
即 任意两个不同实数之间必有一个有理数，也必有一个无理数，从而任意两个不同实数之间必有无穷个有理数，也必有无限个无理数。

例1 证明 任意实数a 都存在有理数列 {}n x 使得 lim n n x a →∞
=。

这个性质表明任何实数都可以用有理数列逼近。

证明 设a 是实数，0ε> 是任意实数，则 a ε+是大于a 的一个实数，它们之间一定有一个有理数。

11,x Q ε=∃∈使得 11;a x a <<+ 21/2,x Q ε=∃∈使得 21/2;a x a <<+ …… 1/2,n x Q ε=∃∈使得 1/2;n a x a <<+……, 这样得出的有理数列 {}n x 以a 为极限。

二 确界存在性定理
定义1 设M 是一个非空实数集，若存在R a ∈，使得M x ∈∀，都有 )(a x a x ≥≤， 称a 是M 的一个上界（下界）； 若M 有上界又有下界称M 是有界的。

注意 若a 是M 的上界，则任意大于a 的实数都是M 的上界（上界不唯一）;
若b 是M 的下界，则任意小于b 的实数都是M 的下界（下界不唯一）.
规定 任意实数都是空集的上界和下界。

命题1 设R M ⊂, M 有界当且仅当 L R ∃∈使得L x ≤ M x ∈∀。

定义 2 设M 是非空数集，若a 是M 的最小上界，称a 是M 的上确界，记为 sup a M =；
若b 是M 的最大下界，称b 是M 的下确界，记为 inf b M =。

注 sup a M =有两层含义：
（1）a 是M 的一个上界， （2）它是M 的所有上界最小的一个。

inf b M =有两层含义：
（1）b 是M 的一个下界， （2）它是M 的所有下界最大的一个。

例2 若{1,2,3,4,5}M =，则 inf 1M =, sup 5M =.
例3 若[0,1]M =，则 sup 1M =, inf 0M =.
若Ｍ中有最大数，则最大数是上确界；若Ｍ中有最小数，则最小数是下确界。

例4 设 M Z =，则s u p M , inf M 均不存在，（这表明，不是任何集合都有上下确界）。

例5 设 Ｍ＝（０，１），则sup 1M =, inf 0M =，Ｍ的上（下）确界存在其最大（小）
值不必存在。

例6 设 Ｍ＝｛０，１，２，……｝，则sup M 不存在,而inf 0M =.
命题2 设M 是一个非空数集，若M 的上（下）确界存在，则上（下）确界是唯一的。

证明 设a ，b 均为M 的上确界，由定义a , b 均是M 的上界，由a 是M 的上确界，b 是M 的上界，则 b a ≤。

又b 是M 的上确界，a 是M 的上界则a b ≤。

所以a b =。

引理1设M 是一个非空数集，则sup a M =当且仅当
（1）a x M x ≤∈∀,； 2）0,x M ε∀>∃∈使得 x a ε>-。

引理2 设M 是一个非空数集，，则inf M b =当且仅当
（1）b x M x ≥∈∀,； （2）0,x M ε∀>∃∈使得 x b ε<-。

规定 sup ,inf ∅=-∞∅=+∞。

规定 M ≠∅，若sup M 不存在，记 sup Ｍ＝＋∞， 若inf M 不存在，inf Ｍ＝－∞。

例7 设M 是一个非空数集，sup M a =，（或inf M a =）则存在M 中数列{}n x 使得)(∞→→n a x n
证明 以上确界为例证明， 设sup M a =， 则a x M
x ≤∈∀，而0>∀ε 存在 x M ε∈
使得 ε->a x 1ε=， 1x M ∃∈使得 a x a ≤<-11;
21=ε ，2x M ∃∈ 使得a x a <<-22
1; ………… n 1=
ε，n x M ∃∈ 使得 a x n a n <<-1; ……………….
这样做出的数列{}M x n ⊂，满足a x n n =∞
→lim . 定理１ （确界存在性定理）每个有上界（下界）的非空数集一定有上（下）确界。

注 若A 是有理数集，且E 是上界，其上确界不一定是有理数，说明有理数是不完备的性。

例8 对于闭区间[,]a b 上连续函数f ，若有0点，则f 必有最大0点和最小0点。

证明 设[,]f C a b ∈, 令{|[,],()0}M x x a b f x =∈=则M ≠∅且M 既有上界b ，又有下界a 。

由确界存在定理sup M α= ， inf M β=（存在），于是存在n x M ∈ 使得 lim n n x α→∞=，存在 n y M ∈使得 lim n n y β→∞
=。

注意
b a ≤≤α a b β≤≤，
由于f 是连续的，则
0)()(lim ==∞
→αf x f n n , 0)()(lim ==∞
→βf y f n n . 于是 ,M αβ∈。

即f 的点既有最小0点，又有最大0点。

作业
1 设数集Ｓ有上界，证明 sup max .S S S ηη=∈⇔=
2 设Ａ、Ｂ为非空数集，且对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤. 证明 数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且sup inf .A B ≤
3 设Ａ、Ｂ为非空有界数集，S A B =⋃，证明 （１）{}sup max sup ,sup S A B =；（２）{}inf min inf ,inf S A B =。

4 设,M N 有上界的非空数集，而{|,}M N m n m M n N +=+∈∈，证明s u p s u p s u p (M N M N
+=+。

5对于任意的R α∈,存在严格单调增加的有理数列{}n p 和严格单调减少的数列{}n q 使得lim lim n n n n p q α→∞→∞== (有理数的稠密性质)。