2014-2015高考理科数学《双曲线》练习题

2014-2015高考理科数学《双曲线》练习题
[A 组 基础演练·能力提升]
一、选择题
1．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 28－y 2
24＝1 B.
x 212
－
y 214
＝1
C.
x 224
－y 2
8
＝1 D.x 24－y 2
12
＝1 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2
－y 2
3
＝λ(λ≠0)，
即 x 2λ－y 2
3λ＝1，则a 2＝λ，b 2＝3λ.∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为x 24－y 2
12
＝1.
答案：D
2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－52，0 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－62，0 D.()－3，0
解析：双曲线方程可化为x 2
－y 2
12＝1，∴a 2＝1，b 2＝1
2，
∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62，∴左焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－62，0.
答案：C
3．(2013年高考北京卷)若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±1
2
x
D ．y ＝±
22
x 解析：由离心率为3，可知c a
＝3，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝2a ，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ＝±2x ，故选B.
4．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2
m
＝1的离心率是( )
A.
3
2
B. 5
C.
3
2
或 5 D.
3
2
或
5
2
解析：因为m是2和8的等比中项，所以m2＝16，所以m＝±4，当m＝4时，圆锥曲线为椭圆x2
＋y2
4
＝1，离心率为
3
2
，当m＝－4时，圆锥曲线为双曲线x2－
y2
4
＝1，离心率为 5.
答案：C
5．已知双曲线
x2
m
－
y2
n
＝1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y＝
1
12
x2的焦点相同，那么双曲线
的渐近线方程为( )
A．22x±y＝0 B．x±22y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：由抛物线方程x2＝12y知焦点为F(0,3)，∵双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，∴双曲线的焦点在y轴上，∴n<0，m<0，
∴渐近线方程为y＝±n
m
x，又知e＝3，∴1＋
－m
－n
＝9，∴
n
m
＝
1
8
，∴渐近线方程为y＝±
x
22
，
故选B.
答案：B
6．F1，F2分别是双曲线x2
a2
－
y2
b2
＝1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于
A、B两点．若△ABF
2
是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B.7
C.13
D.15
解析：由双曲线的性质可知|F1F2|＝2c，|BF1|－|BF2|＝2a，即|BA|＋|AF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，因为△ABF2为等边三角形，所以|AF2|＝|BF2|，∠BAF2＝60°，所以|AF2|＝|AB|＝4a，|AF1|
＝2a，故在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠F1AF2＝|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2 2|AF1||AF2|
＝4a2＋16a2－4c2
2×2a×4a
＝
5a2－c2
4a2
＝－
1
2
，
即c2
a2
＝7，所以双曲线的离心率e＝7.
二、填空题
7．(2013年高考陕西卷)双曲线x 2
16－y 2m ＝1的离心率为5
4，则m 等于________．
解析：由题意知m >0，则e 2
＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 16＝25
16
，解得m ＝9.
答案：9
8．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 2
16＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦
点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.
解析：与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 24－y 2
16＝λ，即x 24λ－y 2
16λ＝1.由题
意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5∴λ＝1
4
，∴a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.
答案：1 2
9．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，左、右顶点分别为A 1和A 2，过焦点
F 2与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若|PA 1→|是|F 1F 2→|和|A 1F 2→
|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意可知|PA 1→
|2＝|F 1F 2→
|×|A 1F 2→
|，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2
a 2＋(a ＋c )2＝2c (a ＋c )，化简可得a 2＝
b 2
，则e
＝c a ＝c 2
a 2＝a 2＋
b 2
a 2
＝ 2. 答案： 2 三、解答题
10．求适合下列条件的双曲线方程．
(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
94，5.
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)．
解析：(1)设所求双曲线方程为my 2－nx 2＝1(m >0，n >0)，则因为点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
94，5在双曲线
上，
所以点的坐标满足方程，
由此得⎩
⎨⎧
32m －9n ＝1，
25m －81
16n ＝1.
解方程组得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝1
16
，n ＝19.
故所求双曲线方程为
y 216
－x 2
9
＝1.
(2)由双曲线的渐近线方程y ＝±2
3x ，
可设双曲线方程为x 29－y 2
4＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点P (6，2)， ∴69－44＝λ，λ＝－13
， 故所求双曲线方程为34y 2－13
x 2
＝1.
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点
M (3，m )在双曲线上．
(1)求双曲线方程； (2)求证：MF 1→
·MF 2→
＝0； (3)求△F 1MF 2面积．
解析：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.
∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.
(2)证明：∵MF 1→＝(－3－23，－m )， ∴MF 2→
＝(23－3，－m )．
∴MF 1→
·MF 2→
＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→
·MF 2→＝0.
(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.
12．(能力提升)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲
线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为1
5
.
(1)求双曲线的离心率．
(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →
，求λ的值．
解析：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20
b 2＝1.
由题意有y 0x 0－a ·y 0
x 0＋a ＝1
5
，
可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305
. (2)联立⎩⎨
⎧
x 2
－5y 2
＝5b 2
，
y ＝x －c ，
得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1
＋x 2
＝5c
2
，x 1x 2
＝35b
2
4.
①
设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →
， 即⎩⎨
⎧
x 3＝λx 1＋x 2，
y 3＝λy 1＋y 2.
又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2
化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②
又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，
所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.
由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2
＋4λ＝0， 解得λ＝0或λ＝－4.
[B 组 因材施教·备选练习]
1．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近
A. 3
B. 5
C.10
D.13
解析：由题知A 点坐标为(a,0)，
∴过A 且斜率为－1的直线方程为y ＝－x ＋a ，
由⎩⎨⎧ y ＝－x ＋a ，y ＝b a x
得C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
a ＋
b ，ab a ＋b ， 由⎩
⎨⎧
y ＝－x ＋a ，y ＝－b
a x
得B ⎝
⎛⎭
⎪⎫a 2
a －
b ，－ab a －b . ∵A 、B 、C 三点横坐标成等比数列，
∴
a 4
a －b
2
＝
a 3a ＋b
，
即b ＝3a ，∴e ＝1＋b 2
a
2＝10，故选C. 答案：C
2．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是5
4，且PF 1→·PF 2
→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．
解析：设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则由△PF 1F 2面积为9及PF 1⊥PF 2可得xy ＝18，x 2＋y 2＝4c 2，故(x －y )2
＝4c 2
－36＝4a 2
，又e ＝5
4
，得c ＝5，a ＝4，
∴b ＝3，∴a ＋b ＝7. 答案：7
3．(2014年南昌模拟)已知双曲线C ：x 24－y 2
5＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于两点A 、B ，
|AB |＝5，则满足条件的直线l 的条数为________．
解析：(1)若A 、B 两点都在右支上，当AB 垂直于x 轴时， ∵a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9，
∴F (3,0)，∴直线AB 的方程为x ＝3.
由⎩⎨⎧
x ＝3，x 2
4－y 2
5＝1
得y ＝±5
2
.∴|AB |＝5，满足题意．
∴两顶点间的距离为2a＝4<5.
∴满足|AB|＝5的直线有两条，且关于x轴对称．综上，满足题意的直线有3条．
答案：3。