动载荷
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1.5 2 MPa M dmax 3 2120
dmaxW 0 .132
二、杆AB下端固定，在C点受到以匀速 沿
水平运动的重物Q冲击。设AB杆的E、I及W均为已 知。试求杆内的最大冲击应力。
解：水平冲击无势能变化
1Qv2 2g
1 2
Pdd
Pd KdQ，
d Kdj
j Q3a/3E，I
v2
gst
v2
Kd 1 gst
说明：由结果可知，欲使 Kd ，除
外，还可采取 st 的
v
措施，如在吊索与重物间安置一缓冲弹簧。
等截面刚架的抗弯刚度为 EI,抗弯截面系数为W,重物P自由 下落时,求刚架内的最大正应力（不计轴力）.
P
h
a
a
解：
st
4Pa3 3EI
V1 V
Fd F
d st
d st
kd
1 F(hd)2Fdd
d22s td2sh t 0
d st1
12hst
自由落体冲击的动荷因数
kd 1
12hst
1、利用动荷因数可计算动响应
d Kdst Fd KdFst
gst W
起吊重物时的冲击
已知：起重吊索下端挂一重物等速下降，当
吊索长度为 l 时，突然刹车，A、E、 V、P
求： F d 、 d
l
冲击前 U12 1P gv2Pdst2 1Pst
P
(重物的动能、势能、杆应变能)
Pd
冲击后
U2
1 2
Fd
（杆应变能）
d
d st1
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分 析，放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题 （Impact load） ，即在若干假设的基础上，根据能量守恒定 律对受冲击构件的应力与变形进行偏于安全的简化计算。
动响应 (Dynamic response) 构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力,应
变,位移等）,称为动响应（dynamic response）.
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过 比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数 （Dynamic factor）
已知：钢索起吊重物，F、A， 求：钢索
d
解：钢索具有a，不为平衡状 态，不能用平衡方程求内力。
FNd
动静法，附加一惯性力 = –ma，a
在实际力与惯性力的共同作用下， 钢索平衡。
FNd
F1
a g
F
F
Fa / g
钢索应力
dFA NdFA(1ga)s(t1ga)
(1
a g
)
反映相应静荷载 基础上动载荷的效应，
kd
动荷系数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论:只要将静载下的应力,变形,乘以动荷系数Kd 即得动载下的应力与变形.
1.
物体离开地面，静止地由索吊挂
kd
(1 a ) g
2. 物体匀速地向上提升 3. 物体以加速度a向上提升
kd
在冲击过程中,运动中的物体称为冲击物 （impacting body） 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物 （Impacted Body）
TV Vε
T,V 是 冲击物 在冲击过程中所 减少的 动能和势能. Vε是被冲击物所增加的应变能.
假设： ①冲击物为刚体，即不考虑冲击物 的变形能，冲击后冲击物和被冲击 物附着在一起运动，不反弹； ②不考虑被冲击物（杆件）的质量， 冲击引起的应力和变形在冲击瞬间 遍及被冲击物；
B
冲击前（小球动能）
C
U1
1m 2
v2 1Pv2 2g
冲击后（杆应变能）
1
V2 2 Fd d
A
d
st
B
B
C
Fd
PC
A
A
由能量守恒
1 2
Pv2 g
12PKd2st
动荷系数 Kd
v2 g st
静荷载
(st)maxW MW Pa
动荷载
(d )maxkdst
v2 Pa
P
pa pa
2h
3E Ih
K d11st112P a3
1
a
d ma x K dsm t a x (113 2E P a Ih 3)W P a
a
二、不计重力的轴向冲击： mg
冲击前后能量守恒，且
Pd Kd Pj (Pj m g) d Kdj 12mv2m2gKd2j
等加速度运动 构件的应力计算 冲击载荷下构件的应力和变形计算 疲劳破坏和疲劳强度计算
静荷载（static load） ：荷载由零缓慢增长至最终值，然 后保持不变，应力不随时间的改变而变化。构件内各质 点加速度很小,可略去不计。
动荷载(dynamic load) ：载荷随时间急剧变化且使构件的 速度有显著变化（系统产生惯性力），或其本身不稳定 （包括大小、方向），构件内各质点加速度较大。
内力图
（2）计算杆件的伸长
NDxW g2llxx22
dx 段的伸长为：
d xN D E x A d xW g lE A 2 lxx 2 2 d x
杆件的伸长为：
lD 0 l d x W g lE A 20 l lxx 2 2 d x W 3 g l2 E A 2
qd
D 2
d
由∑F=0 得
FNd
FNd
0qdRdsin2FNd ( b )
d
FNdR22v2
Ag
g
与A无关。
强度条件为： d
d
2
g
[ ] g
极限速度
从强度条件可知，若要旋转圆环不因强度不足 而破坏，则应限制圆环的速度。
j
1 1 0 6 0 0 .3 2
0.70 17 5 0 m
Kd110.72 0 1 170 5 533
抗震设计
• 古老的木结构建筑在地震中有什么优势呢？木结构 的优势在于它的韧性大，且因木结构别墅的箱式结 构将力均分，自身结构轻，又有很强的弹性回复性， 对于瞬间冲击荷载和周期性疲劳破坏有很强的抵抗 能力，所以在大地震中吸收的地震力小，结构在基 础发生位移时可由自身的弹性复位而不至于发生倒 塌。在日本神户和美国洛杉矶的大地震中，木结构 别墅或是稍微变形而决不倒塌。即使在强大的地震 力下，木结构别墅被整体推前了数米或地震力使其 抛离了基础，仍完好无散架。由此证明了木结构别 墅在各种极端的负荷条件下，其结构的抗地震稳定 性能和结构的完整性。
kd 1
12hst
d Kdst
2、静位移是指冲击物作为静载荷施加在结构时， 冲击点沿冲击方向的位移
3、为降低 K d 可增大静位移。例如在发生冲击
的物体间放置一弹簧（ 缓冲弹簧）。
4、减小冲击物自由下落的高度。当 h0即重物骤然 加在杆件上，kd 2 ，表明骤然载荷引起的动应力是将
(1a) g源自4. 物体匀速地向上提升中改为以加速度a匀减速
5. 物体以匀速向下中改为以加速度a匀减速
求这5种情况下的索应力
动载荷下的强度条件：
dKd st
• 一个小球放在旋转盘子中间， 停不住，要向边缘走
• 手握绳子旋转一个石块，会 感觉到绳子有拉力
an
匀速转动
匀速直线，没有动载（没有加速度）；但是匀速转 动则不然，存在向心加速度，如圆环、圆盘受动载
冲击前：
动能 T1 mv 2 / 2 势能 V1 0 变形能 U 1 0
冲击后：
动能 T2 0 势能 V2 0 变形能 U 2 Pd d /2
动荷系数 K d
2 g j
一、轴上装一钢制圆盘，盘上有一圆孔。若轴与
圆盘以匀角速度 4(0 1/s)旋转。试求轴内的最大正
一根杆以等角速度绕铅直轴在水平面内转动，已知杆长 l ， 杆的横截面面积为 A ，重量为 W 。
（1）计算杆内最大应力； （2）计算杆件的伸长。
解：（1）计算杆内最大应力
例1图
a. 离 A 端为 x 处取一微段， 该微段的惯性力为：
dP Dxdm anW gldxlx2
取脱离体图（见图），x 处的内力为：
Qa
jmax W
K v2
d
gj
3EI2v gQ3 a
K 3EI2Q v dmax d jmax ga2W
三、直径d=30cm，长度L=1m的圆木桩，下端固 定，材料E=10GPa。重为Q=5KN的重锤从离木桩顶 为h=1m的高度自由落下。求下列两种情况下的动荷
系数：① 木桩顶放置直径 d1 15cm,厚度 的橡皮垫，橡皮E=8MPa.② 无橡皮垫。
重物缓慢作用引起 的静应力的2倍。
5、若已知冲击开始瞬间冲击物与被 冲击物接触时的速度为v,则
Kd 1
12h
st
1
1 v2
g st
若物体有初速度呢？
h1
v2 2g
h v2 2g
2H Kd11s t1
12(hh1) s t
水平冲击
求：杆在危险点处的 动应力
解：
4.振动问题（Vibration problem） ： 求解方法很多。
等加速度运动构件的应力计算
方法原理：D’Alembert’s principle ( 动静法 ）
达朗伯原理认为：处于不平衡状态的物体，存在惯性力 （Inertia force） ，惯性力的方向与加速度方向相反，惯性力 的数值等于加速度与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力， 就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就 是动静法(method of dynamic equilibrium)。
动响应 Kd 静响应
对于一个结构，动 荷因数只有一个
分类：
1.简单动应力：等加速度运动构件的应力计算，加速度可 以确定，采用“动静法”求解。 2.冲击载荷（Impact load）：冲击载荷下构件速度在 极短暂时间内有急剧改变，加速度不能确定，采用“
能量法”求解；
3.交变应力（Alternate stress）：应力随时间作周期性变化 ，属疲劳问题。疲劳破坏是指在反复载荷作用下，结构中 裂纹形成、扩展乃至断裂的过程。
• 日本政府在神户大地震后明令所有的民用住宅必 需采用北美的木结构别墅。同时在日本国实施了 JAS的建筑标准。所以在所有结构中木结构建筑具 最佳抗震性。，用现代的建筑材料对木结构的别 墅进行内外装修，对别墅的木结构实行完善的保 护（例如用呼吸纸包裹木结构的外表面，使结构 中的湿气能顺利排出，又避免外界的雨水不能侵 入内部结构。外露的木结构进行必要的防腐处理 等）已使木结构别墅的保用寿命达到70年以上。 木结构的别墅有结构轻，抗沉降，抗老化，完全 接受地球磁场。在使用和维护的得当的前提下， 木结构中的木材是稳定的，寿命长，耐久性强的 主结构材料。像大家熟知的北京故宫等皇家木结 构建筑，亦经历数百年。所以，在地震带生活在 木结构的房屋里，会给您一种不怕天摇地动的安 全感。
NDx0xdPDx0xW gl l x2dx
NDx
W2
gl
lx
x2 2
脱离体图
b. 绘内力图。确定内力最大的截面，并计算最大应力。
当 x=l 时， N D m a x W 2 g 2 l, D m a xN D A m a x W 2 g A 2 l
应力。
解：圆盘结构上的不对称性是引起轴内弯曲正应 力的原因。引起轴弯曲的惯性力：
P d 4 0 .3 2 0 .0 7 3 .4 9 . 6 8 13 0 0 .4 42 0 1.5 0 K 8N
M d m a 1 2 x 1 .5 0 0 . 8 4 2 .1 K 2 m N
解：①
j Q1/E h1A 1Q/E LA
5 0 .0 4 2
5 1 4
8 13 0 0 .125 1 1 060 0 .3 2
7.5 115 0 m
K d 112 7 .1 5 1 0 1 .0 5 0 25.4 3
②
Q /E L A 5 1 4
③不计冲击过程中的塑性变形能、 声、光、热等能量损耗（能量守 恒），全部机械能转化为构件的变 形能；(保守计算)
④冲击过程为线弹性变形过程，满 足胡克定律。
A
A
自
F
由
落
体
冲
击
B
Fd
d
B
解：设最低位置势能为0。
A
F
st
B
冲击前的势能 冲击后的变形能
V1F(hd)
V2 V 12Fdd
达朗伯原理：有一个向与心向心加加速速度度相反方向
的惯性力 惯性力大m小an ＝mr 2
已知：薄壁圆环等速转动，ω、A、材料比重γ、R
求： d
y
qd
D 2
d
qd
R d d
D
FNd
FNd
(a)
(b)
解：截取圆环上半部分进行受力分析
单位长度上的惯性力
qd
A
g
R 2
qd
y
R d d
dmaxW 0 .132
二、杆AB下端固定，在C点受到以匀速 沿
水平运动的重物Q冲击。设AB杆的E、I及W均为已 知。试求杆内的最大冲击应力。
解：水平冲击无势能变化
1Qv2 2g
1 2
Pdd
Pd KdQ，
d Kdj
j Q3a/3E，I
v2
gst
v2
Kd 1 gst
说明：由结果可知，欲使 Kd ，除
外，还可采取 st 的
v
措施，如在吊索与重物间安置一缓冲弹簧。
等截面刚架的抗弯刚度为 EI,抗弯截面系数为W,重物P自由 下落时,求刚架内的最大正应力（不计轴力）.
P
h
a
a
解：
st
4Pa3 3EI
V1 V
Fd F
d st
d st
kd
1 F(hd)2Fdd
d22s td2sh t 0
d st1
12hst
自由落体冲击的动荷因数
kd 1
12hst
1、利用动荷因数可计算动响应
d Kdst Fd KdFst
gst W
起吊重物时的冲击
已知：起重吊索下端挂一重物等速下降，当
吊索长度为 l 时，突然刹车，A、E、 V、P
求： F d 、 d
l
冲击前 U12 1P gv2Pdst2 1Pst
P
(重物的动能、势能、杆应变能)
Pd
冲击后
U2
1 2
Fd
（杆应变能）
d
d st1
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分 析，放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题 （Impact load） ，即在若干假设的基础上，根据能量守恒定 律对受冲击构件的应力与变形进行偏于安全的简化计算。
动响应 (Dynamic response) 构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力,应
变,位移等）,称为动响应（dynamic response）.
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过 比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数 （Dynamic factor）
已知：钢索起吊重物，F、A， 求：钢索
d
解：钢索具有a，不为平衡状 态，不能用平衡方程求内力。
FNd
动静法，附加一惯性力 = –ma，a
在实际力与惯性力的共同作用下， 钢索平衡。
FNd
F1
a g
F
F
Fa / g
钢索应力
dFA NdFA(1ga)s(t1ga)
(1
a g
)
反映相应静荷载 基础上动载荷的效应，
kd
动荷系数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论:只要将静载下的应力,变形,乘以动荷系数Kd 即得动载下的应力与变形.
1.
物体离开地面，静止地由索吊挂
kd
(1 a ) g
2. 物体匀速地向上提升 3. 物体以加速度a向上提升
kd
在冲击过程中,运动中的物体称为冲击物 （impacting body） 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物 （Impacted Body）
TV Vε
T,V 是 冲击物 在冲击过程中所 减少的 动能和势能. Vε是被冲击物所增加的应变能.
假设： ①冲击物为刚体，即不考虑冲击物 的变形能，冲击后冲击物和被冲击 物附着在一起运动，不反弹； ②不考虑被冲击物（杆件）的质量， 冲击引起的应力和变形在冲击瞬间 遍及被冲击物；
B
冲击前（小球动能）
C
U1
1m 2
v2 1Pv2 2g
冲击后（杆应变能）
1
V2 2 Fd d
A
d
st
B
B
C
Fd
PC
A
A
由能量守恒
1 2
Pv2 g
12PKd2st
动荷系数 Kd
v2 g st
静荷载
(st)maxW MW Pa
动荷载
(d )maxkdst
v2 Pa
P
pa pa
2h
3E Ih
K d11st112P a3
1
a
d ma x K dsm t a x (113 2E P a Ih 3)W P a
a
二、不计重力的轴向冲击： mg
冲击前后能量守恒，且
Pd Kd Pj (Pj m g) d Kdj 12mv2m2gKd2j
等加速度运动 构件的应力计算 冲击载荷下构件的应力和变形计算 疲劳破坏和疲劳强度计算
静荷载（static load） ：荷载由零缓慢增长至最终值，然 后保持不变，应力不随时间的改变而变化。构件内各质 点加速度很小,可略去不计。
动荷载(dynamic load) ：载荷随时间急剧变化且使构件的 速度有显著变化（系统产生惯性力），或其本身不稳定 （包括大小、方向），构件内各质点加速度较大。
内力图
（2）计算杆件的伸长
NDxW g2llxx22
dx 段的伸长为：
d xN D E x A d xW g lE A 2 lxx 2 2 d x
杆件的伸长为：
lD 0 l d x W g lE A 20 l lxx 2 2 d x W 3 g l2 E A 2
qd
D 2
d
由∑F=0 得
FNd
FNd
0qdRdsin2FNd ( b )
d
FNdR22v2
Ag
g
与A无关。
强度条件为： d
d
2
g
[ ] g
极限速度
从强度条件可知，若要旋转圆环不因强度不足 而破坏，则应限制圆环的速度。
j
1 1 0 6 0 0 .3 2
0.70 17 5 0 m
Kd110.72 0 1 170 5 533
抗震设计
• 古老的木结构建筑在地震中有什么优势呢？木结构 的优势在于它的韧性大，且因木结构别墅的箱式结 构将力均分，自身结构轻，又有很强的弹性回复性， 对于瞬间冲击荷载和周期性疲劳破坏有很强的抵抗 能力，所以在大地震中吸收的地震力小，结构在基 础发生位移时可由自身的弹性复位而不至于发生倒 塌。在日本神户和美国洛杉矶的大地震中，木结构 别墅或是稍微变形而决不倒塌。即使在强大的地震 力下，木结构别墅被整体推前了数米或地震力使其 抛离了基础，仍完好无散架。由此证明了木结构别 墅在各种极端的负荷条件下，其结构的抗地震稳定 性能和结构的完整性。
kd 1
12hst
d Kdst
2、静位移是指冲击物作为静载荷施加在结构时， 冲击点沿冲击方向的位移
3、为降低 K d 可增大静位移。例如在发生冲击
的物体间放置一弹簧（ 缓冲弹簧）。
4、减小冲击物自由下落的高度。当 h0即重物骤然 加在杆件上，kd 2 ，表明骤然载荷引起的动应力是将
(1a) g源自4. 物体匀速地向上提升中改为以加速度a匀减速
5. 物体以匀速向下中改为以加速度a匀减速
求这5种情况下的索应力
动载荷下的强度条件：
dKd st
• 一个小球放在旋转盘子中间， 停不住，要向边缘走
• 手握绳子旋转一个石块，会 感觉到绳子有拉力
an
匀速转动
匀速直线，没有动载（没有加速度）；但是匀速转 动则不然，存在向心加速度，如圆环、圆盘受动载
冲击前：
动能 T1 mv 2 / 2 势能 V1 0 变形能 U 1 0
冲击后：
动能 T2 0 势能 V2 0 变形能 U 2 Pd d /2
动荷系数 K d
2 g j
一、轴上装一钢制圆盘，盘上有一圆孔。若轴与
圆盘以匀角速度 4(0 1/s)旋转。试求轴内的最大正
一根杆以等角速度绕铅直轴在水平面内转动，已知杆长 l ， 杆的横截面面积为 A ，重量为 W 。
（1）计算杆内最大应力； （2）计算杆件的伸长。
解：（1）计算杆内最大应力
例1图
a. 离 A 端为 x 处取一微段， 该微段的惯性力为：
dP Dxdm anW gldxlx2
取脱离体图（见图），x 处的内力为：
Qa
jmax W
K v2
d
gj
3EI2v gQ3 a
K 3EI2Q v dmax d jmax ga2W
三、直径d=30cm，长度L=1m的圆木桩，下端固 定，材料E=10GPa。重为Q=5KN的重锤从离木桩顶 为h=1m的高度自由落下。求下列两种情况下的动荷
系数：① 木桩顶放置直径 d1 15cm,厚度 的橡皮垫，橡皮E=8MPa.② 无橡皮垫。
重物缓慢作用引起 的静应力的2倍。
5、若已知冲击开始瞬间冲击物与被 冲击物接触时的速度为v,则
Kd 1
12h
st
1
1 v2
g st
若物体有初速度呢？
h1
v2 2g
h v2 2g
2H Kd11s t1
12(hh1) s t
水平冲击
求：杆在危险点处的 动应力
解：
4.振动问题（Vibration problem） ： 求解方法很多。
等加速度运动构件的应力计算
方法原理：D’Alembert’s principle ( 动静法 ）
达朗伯原理认为：处于不平衡状态的物体，存在惯性力 （Inertia force） ，惯性力的方向与加速度方向相反，惯性力 的数值等于加速度与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力， 就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就 是动静法(method of dynamic equilibrium)。
动响应 Kd 静响应
对于一个结构，动 荷因数只有一个
分类：
1.简单动应力：等加速度运动构件的应力计算，加速度可 以确定，采用“动静法”求解。 2.冲击载荷（Impact load）：冲击载荷下构件速度在 极短暂时间内有急剧改变，加速度不能确定，采用“
能量法”求解；
3.交变应力（Alternate stress）：应力随时间作周期性变化 ，属疲劳问题。疲劳破坏是指在反复载荷作用下，结构中 裂纹形成、扩展乃至断裂的过程。
• 日本政府在神户大地震后明令所有的民用住宅必 需采用北美的木结构别墅。同时在日本国实施了 JAS的建筑标准。所以在所有结构中木结构建筑具 最佳抗震性。，用现代的建筑材料对木结构的别 墅进行内外装修，对别墅的木结构实行完善的保 护（例如用呼吸纸包裹木结构的外表面，使结构 中的湿气能顺利排出，又避免外界的雨水不能侵 入内部结构。外露的木结构进行必要的防腐处理 等）已使木结构别墅的保用寿命达到70年以上。 木结构的别墅有结构轻，抗沉降，抗老化，完全 接受地球磁场。在使用和维护的得当的前提下， 木结构中的木材是稳定的，寿命长，耐久性强的 主结构材料。像大家熟知的北京故宫等皇家木结 构建筑，亦经历数百年。所以，在地震带生活在 木结构的房屋里，会给您一种不怕天摇地动的安 全感。
NDx0xdPDx0xW gl l x2dx
NDx
W2
gl
lx
x2 2
脱离体图
b. 绘内力图。确定内力最大的截面，并计算最大应力。
当 x=l 时， N D m a x W 2 g 2 l, D m a xN D A m a x W 2 g A 2 l
应力。
解：圆盘结构上的不对称性是引起轴内弯曲正应 力的原因。引起轴弯曲的惯性力：
P d 4 0 .3 2 0 .0 7 3 .4 9 . 6 8 13 0 0 .4 42 0 1.5 0 K 8N
M d m a 1 2 x 1 .5 0 0 . 8 4 2 .1 K 2 m N
解：①
j Q1/E h1A 1Q/E LA
5 0 .0 4 2
5 1 4
8 13 0 0 .125 1 1 060 0 .3 2
7.5 115 0 m
K d 112 7 .1 5 1 0 1 .0 5 0 25.4 3
②
Q /E L A 5 1 4
③不计冲击过程中的塑性变形能、 声、光、热等能量损耗（能量守 恒），全部机械能转化为构件的变 形能；(保守计算)
④冲击过程为线弹性变形过程，满 足胡克定律。
A
A
自
F
由
落
体
冲
击
B
Fd
d
B
解：设最低位置势能为0。
A
F
st
B
冲击前的势能 冲击后的变形能
V1F(hd)
V2 V 12Fdd
达朗伯原理：有一个向与心向心加加速速度度相反方向
的惯性力 惯性力大m小an ＝mr 2
已知：薄壁圆环等速转动，ω、A、材料比重γ、R
求： d
y
qd
D 2
d
qd
R d d
D
FNd
FNd
(a)
(b)
解：截取圆环上半部分进行受力分析
单位长度上的惯性力
qd
A
g
R 2
qd
y
R d d