上海市十二校高三12月联考数学(文)试题 Word版含答案

上海市十二校2015届高三12月联考数学（文）试题
学校：上海市朱家角中学
学校：三林中学 南汇一中 2014年12月
一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）
1．设集合21
{|2},{1}2
A x x
B x x =-<<=≤，则A B =_______.
2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a .
3．在行列式3
5
41113
a --中，元素a 的代数余子式值为 ．
4．如果函数⎩⎨
⎧<>-=)0(
)()0( 32　x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f ．
5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则
x = ．
6．一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为___________．
7. 方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________. 8.
已
知
数
列
{}
n a 满足
⎩⎨⎧-=为奇数为偶数n n n a n n
2
12，且
1222321)(--+++++=n n a a a a a n f ,()
*∈N n ,则()()34f f -的值为 .
9．函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
π在区间2π03⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 .
10
2， 与的夹角为
3
π
，则+在上的投影为 . 11. 数列{}n a 的通项公式)(2,)1(1
1,1*∈⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+==N n n n n n a n ，前n 项和为n S ， 则n n S ∞
→lim = .
12. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，
则ABC ∆的周长为 . 13
．已知函数())(0)3f x x π
ωω=+
>，若()(3)g x f x =在(0 )3
π
，上是增函数，则ω的最大值 ．
14. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对
任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 .
二、选择题（本大题满分20分，每题5分）
15. 设,p q 是两个命题，1
:0,:|21|1,x p q x p q x
+≤+<则是（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
16. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A .2
)(x x f = B .x
x x f =
)(
C .x
x x
x e e e e x f --+-=)( D .x x f =)(
17.已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对应的函数解析式为（ ）
A .)2
12(-=x f y B .)12(-=x f y
C .)12(
-=x f y D .)2
12(-=x f y 18. 关于函数31
)2
1
2()(x x f x x
⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）
A.若n m <<-3，则)()(n f m f <
B.若0<<n m ，则)()(n f m f <
C.若)()(n f m f <，则22n m <
D.若)()(n f m f <，则33n m <
三、简答题 (本大题满分74分)
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分.
如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ， AB=3，SA=4
（1）求异面直线SC 与AD 所成角； （2）求点B 到平面SCD 的距离
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．
在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知向量)2
3sin ,23(cos
A
A =，
)2
sin ,2(cos
A
A =3+ （1）求角A 的大小； （2）若A C
B sin 3sin sin =
+，求证ABC ∆是直角三角形。

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．
某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都比上一年支出增加6万元，若每年年收入为63万元。

（1）问第几年开始总收入超过总支出？ （2）若干年后，有两种处理方案：
方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；（盈利=收入—支出） 方案二：年平均盈利最大时，以30万元出售该套流水线。

问那种方案合算？
22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分，第3小题
满分6分．
已知函数b
a
x f x x ++-=+133)(
（1）当1==b a 时，求满足x
x f 3)(≥的x 的 取值范围； （2）若)(x f y =是定义域为R 的奇函数，求)(x f y =的解析式， （3）若)(x f y =的定义域为R ，判断其在R 上的单调性并加以证明。

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分． 已知数列{}n a ，如果数列{}n b 满足),2(,111*-∈≥+==N n n a a b a b n n n ，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“生成数列”。

（1）若数列{}n a 的通项为数列n a n =，写出数列{}n a 的“生成数列”{}n b 的通项公式 （2）若数列{}n d 的通项为数列n d n n +=2，求数列{}n d 的“生成数列”{}n p 的前n 项和为
n T 。

（3）若数列{}n c 的通项公式为B An c n +=，（A,B 是常数），试问数列{}n c 的“生成数列”{}n l 是否是等差数列，请说明理由。

2014学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷
学校：上海市朱家角中学
学校：三林中学 南汇一中 2014年12月
7. 方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是__⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧65,6ππ_____________. 8. 已知数列
{}
n a 满
足
⎩⎨⎧-=为奇数为偶数n n n a n n
2
12，且
1222321)(--+++++=n n a a a a a n f ,()
*∈N n ,则()()34f f -的值为 139 .
9．函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
π在区间2π03⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围是 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧65,6ππ .
10
2， 与的夹角为
3
π
，则+在上的投影为 3 . 11. 数列{}n a 的通项公式)(2,)1(1
1,1*∈⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+==N n n n n n a n ，前n 项和为n S ， 则n n S ∞
→lim =
2
. 12. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，
则ABC ∆
13．已知函数())(0)3f x x π
ωω=+
>，若()(3)g x f x =在(0 )3
π
，上是增函数，则ω的最大值
6
． 14. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对
任意*n N ∈都有
5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为
[]18,22-- .
二、选择题（本大题满分20分，每题5分）
15. 设,p q 是两个命题，1
:0,:|21|1,x p q x p q x
+≤+<则是（ B ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
16. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ C ）
A .2
)(x x f = B .x
x x f =
)(
C .x
x x
x e e e e x f --+-=)( D .x x f =)(
17.已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对应的函数解析式为（ B ）
A .)2
12(-=x f y B .)12(-=x f y C .)12(
-=x f y D .)2
12(-=x f y 18. 关于函数31
)2
1
2()(x x f x x
⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ C ）
A.若n m <<-3，则)()(n f m f <
B.若0<<n m ，则)()(n f m f <
C.若)()(n f m f <，则22n m <
D.若)()(n f m f <，则33n m <
三、简答题 (本大题满分74分)
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分.
如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ，AB=3，SA=4
（1）求异面直线SC 与AD 所成角； （2）求点B 到平面SCD 的距离
（1）AD BC //
SCB ∠∴就是异面直线SC 与AD 所成的角（2分） BC SA ⊥ 又AB BC ⊥
SAB BC 平面⊥∴
SB BC ⊥∴ （3分） 在SAB Rt ∆中，5=SB
∴在SBC Rt ∆中，3
5=
∠SCB ∴3
5
arctan =∠SCB （5分）
∴异面直线SC 与AD 所成的角3
5
arctan （6分）
（2）连结BD ，设是B 到平面BCD 的距离为h
SCD V BCD V B s -=-∴ （8分）
h S SA S SCD BCD ⋅⋅=⋅⋅∴∆∆31
31 h ⨯=⨯∴215429 5
12
=∴h （11分）
∴点B 到平面BCD 的距离为5
12
（12分）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）． 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知向量)2
3sin ,23(cos
A
A =，
)2
sin ,2(cos
A
A =3+ （1）求角A 的大小； （2）若A C
B sin 3sin sin =
+，求证ABC ∆是直角三角形。

解（11 （1分） 2
sin 23sin 2cos 23cos
A A A A n m +=⋅ A A A cos 223cos =⎪⎭⎫
⎝
⎛-= （2分）
3=+
33=⋅+ （4分）
21
cos ,cos 211=
++A A 又),0(π∈A 3
π
=
∴A （7分）
（另外的解法可以参照给分） （2）π=++C B A
∴3sin 3)33sin(
sin π
π=-+B B （9分） 2
3
sin 32cos cos 32sin sin =-+B B B ππ
2
3cos 21sin 23=+B B 23
cos 21sin 23=
+B B （ 11分） 2
3
)6
sin(=
+π
B ∴3
6
π
π
=
+
B 或3
26
π
π
=
+
B 6
π
=
B 或2
π
=
B （13分）
6
sin π
=
B
2
π
π=
-=B A C
∴ABC ∆是直角三角形 （14分）
（另外的解法可以参照给分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．
某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都比上一年支出增加6万元，若每年年收入为63万元。

（1）问第几年开始总收入超过总支出？ （2）若干年后，有两种处理方案：
方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；（盈利=收入—支出） 方案二：年平均盈利最大时，以30万元出售该套流水线。

问那种方案合算？
解：（1）设第n 年开始，盈利为y 万元，则108543108]612[6322
)
1(-+-=-⨯+-=-n n n n y n n 。

（4分）
令0>y ，得01085432<+-n n ，539539+<<-n （ 6分）
∵N n ∈，∴第3年开始盈利。

（7分）
（2）方案一：∵135)9(310854322+--=-+-=n n n y ，∴当9=n 时，135max =y ，此时出售
设备可获利共为1383135=+万元； （9分）
方案二：平均盈利为
183654)(35436=-≤+
-=n
n
y n ，当且仅当n
n 36=
，即6=n 时，平
均盈利最大。

可获利共13830618=+⨯万元。

(12分)
两种方案获利相同，由于方案一所需时间长，所以方案二合算。

(14分)
22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分，第3小题
满分6分．
已知函数b
a
x f x x ++-=+133)(
（1）当1==b a 时，求满足x
x f 3)(≥的x 的 取值范围； （2）若)(x f y =是定义域为R 的奇函数，求)(x f y =的解析式， （3）若)(x f y =的定义域为R ，判断其在R 上的单调性并加以证明。

解：（1）由题意，x x x 31
31
31≥++-+，
（1分） 化简得0132)3(32
≤-⋅+⋅x
x （3分）
解得3
1
31≤
≤-x （5分） 所以1-≤x （6分） （2）已知定义域为R ，所以1031)0(=⇒=++-=
a b
a
f ，
（7分） 又30)1()1(=⇒=-+b f f ，（9分）
经验证3
331)(1+-=+x x x f 是奇函数； （10分）
（3）0,≥∴∈b R x （11分）
对任意2121,,x x R x x <∈可知)
3)(3(33)3()()(112121
1
2b b b a x f x f x x x x ++-+=-++（13分）
因为033,1221>-<x x x x ，
当)()(.0321x f x f b a >>+，因此)(x f 在R 上递减；（14分）
当)()(.0321x f x f b a <>+，因此)(x f 在R 上递增； （15分）
当03=+b a ，)(x f 在R 上不具有单调性。

（16分）
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分．
已知数列{}n a ，如果数列{}n b 满足),2(,111*-∈≥+==N n n a a b a b n n n ，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“生成数列”。

（1）若数列{}n a 的通项为数列n a n =，写出数列{}n a 的“生成数列”{}n b 的通项公式
（2）若数列{}n d 的通项为数列n d n n +=2，求数列{}n d 的“生成数列”{}n p 的前n 项和为n T 。

（3）若数列{}n c 的通项公式为B An c n +=，（A,B 是常数），试问数列{}n c 的“生成数列”{}n l 是否是等差数列，请说明理由。

（1）解：由题意可知：当1=n 时，111==a b （1分）
当2≥n 时，121-=+=-n a a b n n n (3分)
)(,12*∈-=∴N n n b n （4分）
（2）当1=n 时，311==d p
当2≥n 时，12211-+++=+=--n n d d p n n n n n
12231-+⋅=-n n
⎩⎨⎧≥-+⋅==∴-2
122313n n n p n n （6分） 当1=n 时，311==p T （7分）
当2≥n 时，n n p p p p T ++++= 321
)12(235233233121-+⋅+++⋅++⋅+=-n n
2
)22)(1(21)21(3+-+--⋅=n n n 13232-+-⋅=n n
4232-+⋅=n n （9分）
*∈-+⋅=∴N n n T n n ,4232 （10分）
（3） ⎩
⎨⎧≥-+=+=2221n A B An n B A l n （12分） 当B ＝0时，l n ＝2An －A ，由于l n ＋1－l n ＝2A ，所以此时数列{c n }的“生成数列”{l n }是等差数列． （14分）
当B ≠0时，由于l 1＝c 1＝A+B ，q 2＝3A ＋2B ，l 3＝5A ＋2B ，此时l 2－l 1≠l 3－l 2，所以数
列{c n }的“生成数列”{l n }不是等差数列．（17分）
综上，当B ＝0时，{q n }是等差数列；
当B ≠0时，{q n }不是等差数列． （18分）。