高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学案 苏教版选修2-1(2021年整

2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1 双曲线的标准方程学案苏教版选修2-1
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2。

3.1 双曲线的标准方程
1．了解双曲线标准方程的推导过程．（难点）
2．理解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．（重点、难点）3．椭圆与双曲线标准方程的区别与联系．(易混点)
[基础·初探］
教材整理双曲线的标准方程
阅读教材P39～P40例1以上部分,完成下列问题。

标准
方程
错误!－错误!＝1(a〉
0,b〉0)
错误!－错误!＝1(a〉0，
b>0)
焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上
图形
焦点
坐标
F
1
(－c，0)，
F
2
（c，0）
F
1
（0，－c）,
F
2
(0，c）a，b,c之间的关系c2＝a2＋b2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”）
（1)在双曲线标准方程错误!－错误!＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.( ）(2)在双曲线标准方程中，a，b和焦点F2（c，0)满足a2＝b2＋c2.（) (3）双曲线y2－x2＝1的焦点坐标在y轴上．（)
（4)在双曲线错误!－错误!＝1中，焦点坐标为（±5，0）．（ )
【解析】 （1)方程错误!－错误!＝1中,a >0，b 〉0.
a ＝
b 时也是双曲线，故不正确；
（2)在双曲线标准方程中，都有a 2
＋b 2
＝c 2。

故不正确． (3）根据标准方程特点，正确．
（4)在错误!－错误!＝1中，c ＝错误!＝错误!，所以焦点坐标为(0，±错误!)． 【答案】 (1)× （2)× (3)√ (4）×
［质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑: 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
求双曲线标准方程
(1）经过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3154，Q 错误!；
(2)c ＝错误!，经过点（－5,2),焦点在x 轴上．
【精彩点拨】 解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b ，c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2
＋ny 2
＝1(mn <0)的形式，将两点代入,简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．
【自主解答】 （1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为错误!－错误!＝1（a 〉0，
b >0)，
∴点P 错误!和Q 错误!在双曲线上，
∴错误!
解得错误!（舍去)
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为
错误!－错误!＝1(a〉0，b>0），
将P，Q两点坐标代入可得错误!
解得错误!
∴双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1。

法二：设双曲线方程为错误!＋错误!＝1(mn〈0)．
∵P，Q两点在双曲线上，
∴错误!
解得错误!
∴所求双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1。

(2)法一：依题意可设双曲线方程为错误!－错误!＝1（a〉0，b>0)．依题设有错误!解得错误!
∴所求双曲线的标准方程为x2
5
－y2＝1.
法二:∵焦点在x轴上，c＝错误!，
∴设所求双曲线方程为错误!－错误!＝1(其中0〈λ〈6)．∵双曲线经过点（－5,2），
∴错误!－错误!＝1,
∴λ＝5或λ＝30（舍去）．
∴所求双曲线的标准方程是错误!－y2＝1。

1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
2．求双曲线标准方程的两个关注点
（1)定位:“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量:“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
［再练一题］
1．已知双曲线与椭圆错误!＋错误!＝1有共同的焦点，且过点(错误!,4)，求双曲线的方程. 【导学号：09390030】
【解】椭圆错误!＋错误!＝1的焦点坐标为F1(0，－3），F2(0,3），故可设双曲线的方程为错误!－错误!＝1。

由题意,知错误!
解得错误!
故双曲线的方程为y2
4
－错误!＝1。

双曲线标准方程的讨论
(1）如果方程
2
m＋2
＋错误!＝1表示双曲线,则实数m的取值范围是________．
（2) “ab〈0"是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线"的________条件（填“必要不充分"、“充分不必要”、“充要"和“既不充分也不必要”）．
(3）若方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的双曲线,求实数m的取值范围．
【精彩点拨】根据双曲线标准方程的特征常列不等式组求解．
【自主解答】（1)由题意知（2＋m)(1＋m）＜0，解得－2＜m＜－1.故m的取值范围是(－2，－1）．
（2）若ax2＋by2＝c表示双曲线，即错误!＋错误!＝1表示双曲线，则错误!〈0，这就是说“ab<0"是必要条件，然而若ab<0，c等于0时不表示双曲线，即“ab〈0"不是充分条件．【答案】(1)(－2,－1) （2）必要不充分
（3）由方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得错误!解得m>5.
所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
1．对于方程错误!＋错误!＝1，当mn＜0时表示双曲线．进一步,当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线．
2．对于方程x2
m
－错误!＝1，则当mn＞0时表示双曲线．且当m＞0，n＞0时表示焦点在x
轴上的双曲线;当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线．
3．已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式（组)求解参数的取值范围．
［再练一题]
2．讨论错误!＋错误!＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征?
【解】由于k≠9,k≠25,则k的取值范围为k〈9,9<k<25,k〉25，分别进行讨论．
（1）当k〈9时，25－k>0，9－k>0,所给方程表示椭圆，此时，a2＝25－k,b2＝9－k，a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4，0），（4，0)．
(2)当9<k<25时,25－k>0，9－k<0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k,b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），(4，0)．
（3）当k〉25时,所给方程没有轨迹．
[探究共研型］
双曲线中的焦点三角形
探究1 12
MF 1，MF 2,F 1F 2为三角形的三边，在焦点三角形中,常用的关系式有哪些？
【提示】 焦点三角形中,常用的关系式有: （1)MF 1－MF 2＝±2a ；
(2)S △F 1MF 2＝错误!MF 1·MF 2·sin∠F 1MF 2；
（3)F 1F 错误!＝MF 错误!＋MF 错误!－2MF 1·MF 2·cos∠F 1MF 2。

探究2 在双曲线的焦点三角形中，如何确定它的面积?随着∠F 1PF 2的变化，△F 1PF 2的面积将怎样变化?
【提示】 由公式S △PF 1F 2
＝错误!PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2,
cos ∠F 1PF 2 ＝错误! ＝错误! ＝错误! ＝错误! ＝错误!＋1， ∴PF 1·PF 2＝错误!。

从而得S △PF 1F 2
＝错误!(θ＝∠F 1PF 2)．
∵0<θ〈π，∴0<
θ2<π
2
，
在错误!内，错误!是单调递减的, ∴当θ增大时，S △F 1
MF 2
＝错误!减小．
设F 1，F 2为双曲线错误!－错误!＝1的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，
求△F 1PF 2的周长及△F 1PF 2的面积．
【精彩点拨】 由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF 1与PF 2的长，或利用整体代入法先求PF 1＋PF 2与PF 1·PF 2,再求周长与面积．
【自主解答】 法一：∵点P 在双曲线错误!－错误!＝1上, ∴｜PF 1－PF 2|＝4，F 1F 2＝4错误!。

又∵∠F 1PF 2＝90°，∴△F 1PF 2为直角三角形, ∴PF 错误!＋PF 错误!＝F 1F 错误!＝32。

列方程组错误! 解得错误!或错误!
∴△F 1PF 2的周长为PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝43＋4错误!,
△F1PF2的面积为1
2
PF
1
·PF2＝错误!(2错误!＋2)（2错误!－2)＝4.
法二：同解法一得
｜PF1－PF2|＝4，F1F2＝4错误!，PF错误!＋PF错误!＝32.
∴(|PF1－PF2）2＝PF21＋PF2，2－2PF1·PF2，
即16＝32－2PF1·PF2，∴PF1·PF2＝8。

∴（PF1＋PF2）2＝PF21＋PF错误!＋2PF1·PF2＝32＋16＝48,
∴PF1＋PF2＝4错误!.
∴△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4错误!＋4错误!，
△F1PF2的面积为错误!PF1·PF2＝错误!×8＝4.
在双曲线的焦点三角形中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合MF1－MF2＝±2a,运用平方的方法，建立它与MF1·MF2的联系，体现了数学中的一种整体思想。

[再练一题]
3．已知F1，F2为双曲线C:x2－y2＝2的左、右焦点,点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝________.
【解析】由双曲线方程得a＝错误!，b＝错误!，则c＝错误!＝2.因为PF1－PF2＝2错误!,且PF1＝2PF2，所以PF1＝4错误!，PF2＝2错误!，而F1F2＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠
F 1PF
2
＝错误!＝错误!。

【答案】错误!
[构建·体系］
1．若k∈R,方程
x2
k＋3
＋错误!＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
【解析】据题意知(k＋3)(k＋2)＜0,
解得－3＜k＜－2。

【答案】（－3，－2）
2．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2（5，0)，动点P满足|PF1－PF2｜＝6，则动点P的轨迹方程是________．
【解析】由条件可知,双曲线焦点在x轴上，且a＝3，c＝5,则b2＝c2－a2＝16，∴动点
P的轨迹方程为x2
9
－错误!＝1。

【答案】错误!－错误!＝1
3．已知椭圆错误!＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点,则实数a＝________。

【导学号：09390031】【解析】由条件可得4－a2＝a＋2，解得a＝1。

【答案】1
4．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3),则实数k的值为________．
【解析】方程可化为错误!－错误!＝1.由条件可知－错误!－错误!＝9,解得k＝－1.
【答案】－1
5．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）以椭圆错误!＋错误!＝1的焦点为顶点，顶点为焦点;
(2)与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，且经过点(3错误!，2)．
【解】(1）依题意，双曲线的焦点在x轴上且a＝3，c＝2错误!,∴b2＝c2－a2＝5。

∴双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1。

(2）法一：∵c2＝16＋4＝20，∴c＝2错误!，
∴F（±2错误!，0），
∴2a＝｜错误!－错误!｜
＝43，∴a2＝12，
∴b2＝c2－a2＝8,∴双曲线方程为错误!－错误!＝1。

法二：设所求双曲线方程为错误!－错误!＝1(－4<λ〈16)．
∵双曲线过点(3错误!，2),
∴错误!－错误!＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线方程为错误!－错误!＝1。

我还有这些不足：
(1)
（2）
我的课下提升方案：
（1）
（2)
学业分层测评
（建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．（2016·徐州高二检测)双曲线错误!－错误!＝1上一点P到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是________．
【解析】据题意知｜PF1－PF2|＝|PF1－10|＝8,∴PF1＝18或2.
【答案】18或2
2．双曲线错误!－错误!＝1的焦距是________．
【解析】由题意，得c＝m2＋12＋4－m2＝4，∴焦距为2c＝8。

【答案】8
3．已知双曲线错误!－错误!＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N,M为线段PF的中点，O为坐标原点，则｜MN｜－|MO|＝________.
【解析】设F′是双曲线的右焦点，连接PF′（图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以｜MO|＝错误!|PF′|.
又|FN|＝｜OF｜2－|ON|2＝5，且由双曲线的定义知｜PF｜－｜PF′|＝8，故|MN｜－|MO｜＝｜MF｜－|FN｜－错误!|PF′|＝错误!(|PF|－|PF′｜)－|FN|＝错误!×8－5＝－1。

【答案】－1
4．焦点分别是（0，－2),(0，2），且经过点P(－3,2）的双曲线的标准方程是________．【解析】由题意，焦点在y轴上，且c＝2,可设双曲线方程为错误!－错误!＝1(0<m<4)，将P（－3，2）代入，解得m＝1。

因此所求双曲线标准方程为y2－错误!＝1。

【答案】y2－错误!＝1
5．已知双曲线x2－y2＝1,点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2,则PF
＋PF2的值为________．
1
【解析】不妨设P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以（2错误!)2＝PF错误!＋PF错误!,又因为|PF1－PF2｜＝2，所以(PF1－PF2）2＝4,可得2PF1·PF2＝4，则（PF1＋PF2)2＝PF2，1＋PF错误!＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝23。

【答案】23
6．已知双曲线错误!－错误!＝1上一点M的横坐标为5,则点M到左焦点的距离是________. 【导学号:09390032】
【解析】由于双曲线错误!－错误!＝1的右焦点为F（5,0），将x M＝5代入双曲线可得|y M|＝错误!,即双曲线上一点M到右焦点的距离为错误!,故利用双曲线的定义可求得点M到左焦点的
距离为2a＋|y M|＝6＋错误!＝错误!.
【答案】错误!
7．(2016·江西九江模拟）已知F1，F2是双曲线错误!－错误!＝1的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，M是PF1的中点，若OM＝1,则PF1的值为________．
【解析】因为M是PF1的中点，所以PF2＝2OM＝2，又由双曲线的定义知：PF1－PF2＝2a ＝8，所以PF1＝10.
【答案】10
8．(2016·云南玉溪模拟）若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A,B都在双曲线上,且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为________. 【导学号：09390033】
【解析】解方程组错误!得错误!或错误!
∵圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,
∴A(0，－3)，B(0,3），且a＝3，2c＝18，
∴b2＝错误!2－32＝72，
∴双曲线方程为y2
9
－错误!＝1。

【答案】错误!－错误!＝1
二、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1）a＝4，经过点A错误!；
(2)经过点（3，0),(－6,－3)．
【解】(1）当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为x2
16
－
y2
b2
＝1（b＞0),
把A点的坐标代入，得b2＝－错误!×错误!＜0,不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为错误!－错误!＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，
∴所求双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1。

（2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0），
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴错误!解得错误!
∴所求双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1.
10．已知F1,F2是双曲线错误!－错误!＝1的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32,试求△F1PF2的面积．
【解】双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1，可知a＝3，b＝4，c＝错误!＝5。

由双曲线的定义,
得｜PF2－PF1|＝2a＝6,将此式两边平方，得PF错误!＋PF错误!－2PF1·PF2＝36，
∴PF错误!＋PF错误!＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100。

在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝错误!＝错误!＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝错误!PF1·PF2＝错误!×32＝16.
［能力提升］
1．设F1，F2是双曲线x2－错误!＝1的两个焦点，P是双曲线上一点,且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积为________．
【解析】由题意知PF1－PF2＝2a＝2,
∴错误!PF2－PF2＝2，
∴PF2＝6，PF1＝8。

又F1F2＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，
∴S△PF1F2＝错误!×6×8＝24。

【答案】24
2．设椭圆C1的离心率为
5
13
，焦点在x轴上且长轴长为26。

若曲线C2上的点到椭圆C1的两
个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为_____．【解析】对于椭圆C1，∵长轴长2a1＝26，∴a1＝13，
又离心率e1＝错误!＝错误!，∴c1＝5.
由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1共焦点，
∴c2＝5.
又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝错误!＝3,又焦点在x轴上,
故曲线C2的标准方程为错误!－错误!＝1.
【答案】错误!－错误!＝1
3．已知双曲线的两个焦点F1(－错误!，0），F2(错误!，0），P是双曲线上一点，且错误!·错误!＝0，PF1·PF2＝2,则双曲线的标准方程为________．
【解析】由题意可设双曲线方程为错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0)．
由错误!·错误!＝0，得PF1⊥PF2。

根据勾股定理得
PF错误!＋PF错误!＝（2c）2，即PF错误!＋PF错误!＝20。

根据双曲线定义,有PF1－PF2＝±2a。

两边平方并代入PF1·PF2＝2，得
20－2×2＝4a2,解得a2＝4,从而b2＝5－4＝1.
故双曲线的标准方程是错误!－y2＝1.
【答案】错误!－y2＝1
4．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图2­3。

1所示的P处空降了一批救灾药品,今要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去,已知PA＝100 km,PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
图2­3­1
【解】矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近．依题意,界线是第三类点的轨迹．设M为界线上的任一点，则PA＋MA＝PB＋MB,MA－MB＝PB－PA＝50（定值），
∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．
如图，以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为错误!－错误!＝1(a>0,b〉0）,∵a＝25,2c＝|AB|
＝错误!＝50错误!,
∴c＝25错误!，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1.
注意到点C的坐标为(257,60)，故y的最大值为60，此时x＝35，故界线的曲线方程为错误!－错误!＝1（25≤x≤35，y>0）．。