甘肃省天水市2021届新高考数学第二次押题试卷含解析

甘肃省天水市2021届新高考数学第二次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数
，若，则（）
A．且
B．且
C．且
D．且
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，，
∴，，
∵，∴，∴，
∴若：，，∴，
若：，，∴，若：，，∴，
综上可知，同理可知，故选A.
考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.
2．二项式
7
3
2
x
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
展开式中，
1
x
项的系数为（）
A．
945
16
-B．
189
32
-C．
21
64
-D．
2835
8
【答案】D
【解析】 【分析】
写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可. 【详解】
二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217
731(3)22r
r r
r r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
,令721r -=-,得4r =,
故1x 项的系数为74
447
12835
(3)28
C -⎛⎫-=
⎪⎝⎭
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.
3．复数的()
12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】C 【解析】
所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.
【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.
4．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．8
【答案】A 【解析】 【分析】
先将除A ，B 以外的两人先排，再将A ，B 在3个空位置里进行插空，再相乘得答案. 【详解】
先将除A ，B 以外的两人先排，有222A =种；再将A ，B 在3个空位置里进行插空，有2
3326A =⨯=种，
所以共有2612⨯=种. 故选：A 【点睛】
本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.
5．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，
12b =，则输出的n =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【解析】
分析：根据流程图中的2a a a =+
可知，每次循环a 的值应是一个等比数列，公比为3
2
；根据流程图中的2b b =可知，每次循环b 的值应是一个等比数列，公比为2，根据每次循环得到的,a b 的值的大小决定循
环的次数即可.
详解： 记执行第n 次循环时，a 的值记为有n a ，则有3322n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
；
记执行第n 次循环时，b 的值记为有n b ，则有122n
n b =⨯.
令3321222n n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，则有3348
n
⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故 4n ≥，故选B.
点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前n 和、前n 项积等）.
6．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．
(
)
3,+∞
C ．(,3-∞-
D ．(),3-∞-
【答案】D 【解析】 【分析】
因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +，
)(0)
t>，将其代入双曲线可解得．【详解】
因为双曲线分左右支，所以0
a<，
根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t+
)(0) t>，
将其代入双曲线方程得：22
(1))1
t a
++=，
即
2
1
1
3
t
a
-
=
+
，由0
t>得3
a<-．
故选：D．
【点睛】
本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
7．设点(,0)
A t，P为曲线x
y e
=上动点，若点A，P
，则实数t的值为（）
A
B．
5
2
C．
ln2
2
2
+D．
ln3
2
2
+
【答案】C
【解析】
【分析】
设(,)x
P x e，求2
AP，作为x的函数，其最小值是6，利用导数知识求2
AP的最小值．
【详解】
设(,)x
P x e，则222
()x
AP x t e
=-+，记22
()()
x
g x e x t
=+-，
2
()22()
x
g x e x t
'=+-，易知2
()22()
x
g x e x t
'=+-是增函数，且()
g x
'的值域是R，
∴()0
g x
'=的唯一解
x，且
x x
<时，()0
g x
'<，
x x
>时，()0
g x
'>，即
min0
()()
g x g x
=，
由题意022
00
()()6
x
g x e x t
=+-=，而02
00
()22()0
x
g x e x t
'=+-=，02
x
x t e
-=-，
∴00
246
x x
e e
+=，解得022
x
e=，0
ln2
2
x=．
∴02
ln2
2
2
x
t e x
=+=+．
故选：C．
【点睛】
本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对
x和t的关系的处理是解题关键．
8．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知440
3
S =，43231030a a a -+=，则4a =（ ） A ．9 B ．27
C ．81
D ．83
【答案】A 【解析】 【分析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得4a 的值. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q.
由43231030a a a -+=，得2
31030q q -+=，解得3q =或13
q =
. 因为40S >.且数列{}n a 递增，所以3q =. 又()414134013
3
a S -==-，解得1
13a =，
故3
41393
a =
⨯=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33
z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
由共轭复数的定义得到z ，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解 【详解】 由题意得22sin
cos 33
z i ππ
=--，
因为2sin
3π-=<，21cos 032π-=>， 所以z 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B 【点睛】
本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于
基础题.
10．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒
∠=∠=，则异面直线1AB 与1
BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．
3
3
B ．
66
C ．
34
D 3【答案】B 【解析】 【分析】
设1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v
，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v
，即可得所求角的余弦值.
【详解】
设棱长为1，1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v
由题意得：12a b ⋅=
v
v ，12b c ⋅=v v ，1
2
a c ⋅=v v 1AB a c =+u u u v v v Q ，11BC BC BB
b a
c =+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v
()()
221111
11122
AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v v v v v v v v v v v v v v
又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=u u u v v v v v v v
(
)
2
22212222BC b a c
b a
c a b b c a c =
-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u v
v v v v v v v v v v v v
111111
6
cos ,66AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅u u u v u u u u v
u u u v u u u u v u u u v u u u u v
即异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：66
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
11． “1
cos 22α=-
”是“3
k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出满足1
cos 22
α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 由1cos 22α=-
得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1
cos 22α=-”是“3
k παπ=+，
k Z ∈”的必要不充分条件．
故选：B ． 【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．
12．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）
A ．2493π+
B ．4893π+
C ．483π+
D ．144183π+
【答案】C 【解析】 【分析】
由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为22633(
)2
r =+,圆锥的高
22(35)3h =-截去的底面劣弧的圆心角为
23π
，底面剩余部分的面积为221412sin
2323
S r r ππ=⋅+,利用锥体的体积公式即可求得. 【详解】
由已知中的三视图知圆锥底面半径为6r ==，圆锥的高6h ==，圆锥母线
l =120°
，底面剩余部分的面积为
2222212212sin 66sin 24323323S r r ππ
πππ=+=⨯+⨯⨯=+11
(2464833
V Sh ππ==⨯+⨯=+故选C. 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．4(1)(1)x x -+展开式中，含2x 项的系数为______. 【答案】2 【解析】 【分析】
变换得到444
(1)(1)(1)(1)x x x x x =--+++，展开式的通项为414r r r T C x -+=，计算得到答案.
【详解】
444(1)(1)(1)(1)x x x x x =--+++，4(1)x +的展开式的通项为：414r r r T C x -+=. 含2x 项的系数为：23
442C C -=.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
14．若向量()
()2
21a x b x ==r r ，
，，满足3a b ⋅<r r ，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1- 【解析】 【分析】
根据题意计算223a b x x ⋅=+<r r
，解得答案. 【详解】
()
()2
21a x b x ==r r ，，，，故223a b x x ⋅=+<r r ，解得31x -<<.
故答案为：()3,1-. 【点睛】
本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.
15．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60︒，侧面积为47，则该棱锥的体积为__________． 【答案】463
【解析】 【分析】
如图所示，正四棱锥P ABCD -，O 为底面的中心，点M 为AB 的中点，则60PAO ∠=o ，设AB a =，根据正四棱锥的侧面积求出a 的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案. 【详解】
如图所示，正四棱锥P ABCD -，O 为底面的中心，点M 为AB 的中点， 则60PAO ∠=o ，设AB a =，
∴2
2
OA a =
，∴2PA a =，∴2272PM PA AM a =-=， ∴174()47222
a a a ⨯⋅⋅=⇒=，
∴22
7644a a PO a =-=， ∴21463V a PO =⨯⨯=. 故答案为：
46
.
【点睛】
本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力. 16．已知数列{}n a 满足13n n a a +=,且2469a a a ++=,则()15793
log a a a ++=______.
【答案】5- 【解析】
【分析】
数列{}n a 满足13n n a a +=知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得
15793
log ()a a a ++的值即可.
【详解】 13n n a a +=Q ，
∴数列{}n a 是以3为公比的等比数列，
又2469a a a ++=，
35579933a a a ∴++=⨯=，
5157933
log ()35a a a log ∴++=-=-．
故答案为：5-． 【点睛】
本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设2()x f x xe ax =-，2
ln ()1(0)e
g x x x a a
x =+-+-> （1）求()g x 的单调区间；
（2）设()()()0h x f x ag x =-≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞；（2）0a e <≤ 【解析】 【分析】 （1）'
(21)(1)()x x g x x
-+-=
，令()'0g x >，()'
0g x <解不等式即可；
（2）'(1)()(1)(1)()x
x a x a h x x e x e x x
+=+-
=+-，令()0h x '=得0x ，即00x
a e x =，且()h x 的最小值为
()00000ln x h x x e a x ax a e =---+，令()00h x ≥，结合00
x
a
e x =
即可解决. 【详解】 （1）'
1(21)(1)()12x x g x x x x
-+-=+
-=，(0,)x ∈+∞ 当()0,1x ∈时，()'
0g x >，()g x 递增， 当(1,)x ∈+∞时，()'
0g x <，()g x 递减.
故()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞.。