集合的关系(省重点)
集合间的基本关系课件
集合间的基本关系课件一、集合的基本概念集合是指由若干个元素组成的整体，元素可以是具体事物，也可以是抽象概念。
集合是数学中的基本概念之一。
二、集合的表示方法1. 列举法：将集合的所有元素逐个列举出来，用花括号{}括起来。
2. 描述法：用条件语句描述集合中的元素的共同特征，用大括号{}括起来。
三、集合间的关系集合之间可以存在不同的关系，常见的集合关系有以下几种：1. 包含关系：一个集合的所有元素都属于另一个集合，则称前一个集合包含于后一个集合。
表示方法：A ⊆ B2. 相等关系：两个集合的所有元素完全相同，则称这两个集合相等。
表示方法：A = B3. 子集关系：一个集合的所有元素都属于另一个集合，且两个集合不相等，则称前一个集合是后一个集合的真子集。
表示方法：A ⊂ B4. 空集关系：一个集合没有任何元素，则称这个集合为空集。
表示方法：∅5. 并集关系：将两个集合的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
表示方法：A ∪ B6. 交集关系：两个集合中共同的元素构成一个新的集合。
表示方法：A ∩ B7. 差集关系：一个集合中排除另一个集合中的相同元素后的剩余元素构成的集合。
表示方法：A - B四、集合间关系的运算律集合间的关系满足以下运算律：1. 交换律：A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A2. 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩(B ∩ C)3. 分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)，A ∩ (B ∪ C) =(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)4. 幂等律：A ∪ A = A，A ∩ A = A5. 吸收律：A ∪ (A ∩ B) = A，A ∩ (A ∪ B) = A6. 补集律：A ∪ A' = U，A ∩ A' = ∅以上是关于集合间基本关系的课件内容。
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高一数学集合的基本关系
高一数学中，集合的基本关系有以下几种：
1. 相等关系：两个集合A和B相等，记作A = B，当且仅当A中的元素与B中的元素完全相同。
即A包含的元素和B包含的元素一一对应，并且A中没有其他元素。
2. 包含关系：一个集合A包含于另一个集合B，记作
A ⊆B，当且仅当A中的所有元素都属于B。
即B中包含了A中的所有元素，可能还包含其他元素。
3. 真包含关系：一个集合A真包含于另一个集合B，记作A ⊂B，当且仅当A ⊆ B 且 A ≠B。
即A包含在B中，并且B中还存在其他元素。
4. 相交关系：两个集合A和B相交，当且仅当它们存在共同的元素。
即A与B至少有一个公共元素。
5. 并集关系：两个集合A和B的并集，记作A ∪B，是由A和B中所有的元素组成的集合。
即A ∪B包含了A和B中的所有元素，不重复计算。
6. 交集关系：两个集合A和B的交集，记作A ∩B，是同时属于A和B的元素组成的集合。
即A ∩B中的元素既属于A又属于B。
7. 差集关系：一个集合A减去另一个集合B的差集，记作A - B，是由属于A但不属于B的元素组成的集合。
即A - B中的元素只属于A，不属于B。
这些基本关系在高一数学中是非常重要的概念，对于集合运算和集合性质的研究起到了基础和指导作用。
深入理解和掌握这些关系，有助于学生在后续的数学学习中更好地应用和拓展。
集合间的基本关系
注意辨析两大关系：元素与集合的关系；集合与集合的关系．若集合A⊆B，但x∈B，且x∉A，则A B(或BA)(读作“A真包含于B”或“B真包含A”)A B首先要满足子集的性质B，B C，则A C.．判断(正确的打“√”，错误的打“×”解析：集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．答案：D3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D 正确．答案：D4．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是( )解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.答案：B类型一集合间关系的判断例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2 C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解析】(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.方法二由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.【答案】(1)B (2)见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断。
集合的关系ppt课件
子集
定义：如果集合A中的每一个元素都是集合B中 的元素，则称集合A为集合B的子集。
符号表示：A ⊆ B
例子：集合{1, 2, 3}是集合{1, 2, 3, 4}的子集， 但{1, 2, 3, 4}不是{1, 2, 3}，并且集合A和集合 B不相等，则称集合A为集合B的真子集。
集合的表示方法
列举法
将集合中的所有元素一一列举出来， 用逗号分隔。
描述法
通过描述集合中元素所具有的共同特 征，来表达集合。
集合的元素
元素是构成集合的基本单位。
元素具有无序性，即元素的排 列顺序不影响集合的性质。
元素具有可替代性，即在一个 集合中，任何一个元素都可以 被另一个相同的元素所替代。
02 集合之间的关系
集合的关系
目录
• 集合的基本概念 • 集合之间的关系 • 集合的运算性质 • 集合的特殊关系 • 集合的应用
01 集合的基本概念
集合的定义
1
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。
2
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有重复 的元素。
3
集合中的元素具有确定性，即集合中的元素是明 确的，不会存在模糊不清的情况。
集合的分配律是指一个集合与另外两 个集合的交集或并集进行运算时，可 以将该集合分别与两个集合进行运算 后再进行合并或交集运算。
详细描述
在集合运算中，如果一个集合M与另 外两个集合N和P进行运算，可以使用 分配律将M与N和P分别进行运算后再 进行合并或交集运算。例如， M∪(N∩P)等于(M∪N)∩(M∪P)。
符号表示：A ⫋ B
例子：集合{1, 2, 3}是集合{1, 2, 3, 4}的真子集，但{1, 2, 3, 4}不是{1, 2, 3}的真子集。
高一学期中考试数章节复习要点：集合间的基本关系
高一学期中考试数章节复习要点：集合间的基本关系数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
精品小编准备了高一学期中考试数章节复习要点，具体请看以下内容。
集合间的基本关系1.包含关系子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.相等关系(55，且55，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}元素相同结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。
AA②真子集:如果AB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作A交B)，即AB={x|xA，且xB}.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。
记作：AB(读作A并B)，即AB={x|xA，或xB}.3、交集与并集的性质：AA=A,A=B=BA，AA=A,A=A,AB=BA.4、全集与补集(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作：CSA即CSA={x|x?S且x?A}SCsAA(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
(3)性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)⑶(CUA)A=U二、函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
高考数学专项： 集合间的基本关系(讲义)解析版
1.2集合间的基本关系1.子集一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集，记作 A B B A 或.读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”).2.真子集如果集合B A ,但存在元素A x B x 且,,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作BA或A B，读作“A 真含于B 或（B 真包含A ）”3.集合相等如果集合A 是集合B 的子集 B A ,且集合B 是集合A 的子集 A B ,此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等,记作A =B .4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5.集合中元素个数与子集，真子集的关系集合中元素个数子集个数真子集个数1234n例1．已知集合 |05,A x x 且 N x ，则集合A 的子集的个数为（）A ．15B ．16C ．31D ．32【答案】D【分析】先求出集合A 中元素的个数，再利用含有n 个元素的集合的子集个数为2n ，即可求出结果.【详解】因为 |05,A x x 且 N 0,1,2,3,4x ，可知，集合A 中含有5个元素，所以集合A 的子集个数为5232 .故选：D.变式1-1．集合 1，3，7的真子集的个数是（）A ．8B ．7C ．3D ．5【答案】B【分析】根据公式，直接求真子集个数.【详解】集合 1,3,7中有3个元素，所以集合的真子集个数为3217 个.故选：B变式1-2．已知集合 0,1,2,3A ，则含有元素0的A 的子集个数是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】列出含有元素0的A 的子集，求出答案.【详解】含有元素0的A 的子集有 0， 0,1， 0,2， 0,3， 0,1,2， 0,1,3， 0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A 的子集个数为8.故选：D.变式1-3．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B例2．符合 ,a b A ,,,a b c d 的集合的个数为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.【详解】由 ,a b A ,,,a b c d ，设 ,A a b B ，B ,c d ，故B 有3个.故选：A.变式2-1．已知集合M 满足 2,31,2,3,4,5M ，那么这样的集合M 的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C.【详解】因为 2,31,2,3,4,5M ，所以集合M 可以为： 2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，故选：C.变式2-2．满足条件 1,2,3,41,2,3,4,5,6M 的集合M 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】所求集合M 的个数即为{}5,6的子集个数，求解即可.【详解】因为 1,2,3,41,2,3,4,5,6M ，所以集合M 的个数即为{}5,6的子集个数.因为集合{}5,6的子集个数为224 ，所以满足条件的集合M 的个数是4.故选:D.例3．写出集合 3,5,8的所有子集和它的真子集.【答案】答案见解析.【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.【详解】集合 3,5,8的所有子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8,3,5,8 ；集合 3,5,8的所有真子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8 .变式3-1．写出下列集合的所有子集：(1) 1；(2) 1,2；(3) 1,2,3．【答案】(1),{1} ；(2),{1},{2},{1,2} ；(3),{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}.【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可；（2）根据所给集合列出相应子集即可；（3）根据所给集合列出相应子集即可.（1）解：由题得所有子集有,{1} ..（2）解：由题得所有子集有,{1},{2},{1,2}. （3）解：由题得所有子集有,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}. 变式3-2．设集合 N|22A x x ，列出集合A 的子集.【答案】A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 【分析】先由条件确定集合A 的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.【详解】由 N|22A x x 化简可得 0,1,2A ，所以A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 变式3-3．求集合2{|20}A x x x 的子集和真子集.【答案】子集是 1212 ，，，，，真子集是12 ，，【分析】根据二次方程的解法可得 1,2A ，根据子集和真子集的定义求解即可【详解】集合2|201,2A x x x ，集合 12A ，的子集是 1212 ，，，，，共4个；集合 12A ，的真子集是 12 ，，，共3个.例4．已知集合21,21A a a a ，且2A ；(1)求实数a ；(2)写出A 的所有真子集.【答案】(1)3a (2) ，{2} ，{2}【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可；（2）根据真子集的定义写出A 的所有真子集即可.【详解】（1）因为2A ，所以12a 或2212a a ，当12a ，即1a 时，2212a a 不满足集合元素的互异性；当2212a a 时，解得1a （不满足集合元素互异性舍去）或3，所以当3a 时12a ，{2,2}A ，综上实数3a .（2）由（1）得{2,2}A ，所以A 的所有真子集为 ，{2} ，{2}.变式4-1．已知集合22,25A a a a ，且3A .（1）求a ；（2）写出集合A 的所有子集.【答案】（1）32a ；（2） ，72， 3 ，7,32.【解析】（1）由3A ，求得1a 或32a ，结合元素的特征，即可求解；（2）由（1）知集合7,32A，根据集合子集的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，集合22,25A a a a ，且3A ，可得32a 或2325a a ，解得1a 或32a ，当1a 时，22325a a ，集合A 不满足互异性，所以1a 舍去；当32a 时，经检验，符合题意，故32a .（2）由（1）知集合7,32A，所以集合A 的子集是 ，72， 3 ，7,32.【点睛】本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.变式4-2．已知集合23,25,0A a a a ，且3A .(1)求实数a 的取值的集合M ；(2)写出（1）中集合M 的所有子集.【答案】(1)31,2M；(2), 1, 3,2 31,2【分析】（1）利用3A 可求出a ，再验证合理性，进一步确定a 值；（2）利用子集的概念作答即可【详解】（1）因为3A ，且23,25,0A a a a ，所以33a 或2253a a ，解得=0a 或1a 或32a ，当=0a 时，2250a a ，集合中出现两个0，故舍去；当1a 时，}4,,{30A ，符合题意；当32a 时，9,3,02A，符合题意；∴实数a 的取值的集合31,2M（2）因为31,2M ，所以集合M 的子集有：, 1, 3,2 31,2例5．已知 ,,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C 求A ．【答案】 2或【分析】,A B A C ，则A B C ∩，可得集合A ．【详解】 1,2,3,5,0,2,4,8B C ，则 2B C ，则 2A 或A ．变式5-1．已知集合M 满足关系 ,,,,,a b M a b c d e ，写出所有的集合M ．【答案】答案见解析【分析】根据集合的包含关系，一一列举出符合要求的集合即可【详解】满足条件的集合M 可以是以下集合： ,a b ， ,,a b c ， ,.a b d ， ,,a b e ， ,,,a b c d ，,,,a b c e ， ,,,a b d e ， ,,,,a b c d e ，共8个例6．设22}-}320-20{|{|A x x x B x x ax ，，B A ．(1)写出集合A 的所有子集；(2)若B 为非空集合，求a 的值．【答案】(1) }1212{ ，，，，；(2)3【分析】（1）求解2320x x -即可得{1,2}A ；（2）由B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，分别将元素代入2-20x ax 解出a 即可.【详解】（1）由2320x x -解得1x 或2x ，则{1,2}A ，故集合A 的子集为： 121,2 ，，，；（2）B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，由1x 或2x 代入2-20x ax 可得3a ，故a 的值为3.变式6-1．已知2560A x x x ， 6B x ax ，若B A ，求实数a 所构成的集合C ，并写出C 的所有非空真子集．【答案】答案见解析．【分析】求出集合A ，根据包含关系确定集合B ，再由非空真子集定义写出结论．【详解】由已知{2,3}A ，0a 时，B A ，B 时，{2}B 时，26a ，3a {3} B 时，36a ，2a ，综上{0,2,3}C ，C 的所有非空真子集有{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．变式6-2．已知{|15},{|1},R A x x B x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a ，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．变式6-3．已知2560A x x x ，20B x x px q ，B A ，且B 不是空集，（1）求集合B 的所有可能情况；（2）求p 、q 的值.【答案】（1） 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）1236p q 或21p q 或56p q .【解析】（1）解出集合A ，根据B A 且B 可得出所有可能的集合B ；（2）根据（1）中集合B 所有可能的情况，结合韦达定理可求得p 、q 的值.【详解】（1）25606,1A x x x ∵，B A 且B ，则 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）若 6B ，由韦达定理可得2266p q ，解得1236p q ；若 1B ，由韦达定理可得2211p q，解得21p q ；若 6,1B ，由韦达定理可得 6161p q，解得56p q .综上所述，1236p q 或21p q 或56p q .变式6-4．已知集合 1,2,3A ．(1)若M 是A 的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M ；(2)若 30B x ax ，且B A ，求实数a 的取值集合．【答案】(1) 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；(2)30,1,,32.【分析】（1）根据集合包含关系和3M 可直接得到结果；（2）分别在0a 和0a 两种情况下，根据B A 构造方程可求得结果.（1）M A ∵，3M ， M 可能的集合为： 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；（2）当0a 时，B ，满足B A ；当0a 时，3a B；若B A ，则31a 或32a 或33a ，解得：3a 或32a或1a ；综上所述：实数a 的取值集合为30,1,,32.例7．判断下列每对集合之间的关系：(1) 2,N A x x k k ， 4,N B y y m m ；(2) 1,2,3,4C ，D ={x x 是12的约数}；(3) 32,N E x x x ， 1,2,3,4,5F .【答案】(1)B A(2)C D (3)EF【分析】（1）分析A ，B 集合中元素的关系，即得解；（2）列举法表示集合D ，即得解；（3）列举法表示集合E ，即得解(1)由题意，任取4y m B ，有2(2),2y m m N ，故y A Î且6,6A B ，故B A(2)由于D ={x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12} 故C D(3)由于 32,N E x x x {|5,}{1,2,3,4}x x x N 故EF 变式7-1．指出下列各组集合A 与B 之间的关系：1 1,1A ，Z B ；2 1,0,1A ，210B x x ；3 1,3,5,15A ， B x x 是15的正约数 ；4*N A ，B N ．【答案】 1A B Ü； 2B A Ü； 3A B ； 4A B Ü.【分析】根据集合与集合间的关系判断即可.【详解】解： 11B ，1B ，但集合B 中的某些元素不属于集合A .所以A B Ü.2由 210B x x ，可求得 1,1B .又由 1,0,1A ，可知B A Ü.3由集合 B x x 是15的正约数 ，可求得 1,3,5,15B ，由于 1,3,5,15A ，则A B .4因为集合A 表示正整数集，集合B 表示自然数集，所以A B Ü.变式7-2．如图，试说明集合A ，B ，C 之间有什么包含关系．【答案】A B C【分析】由图可得答案.【详解】由图可得AB C 故答案为：A B C变式7-3．已知集合 31,A x x m m Z ，集合 32,B x x m m Z ，试证明A B ．【答案】证明见解析【分析】证明A B 且B A ，即得证.【详解】证明：设a A ，则存在1m Z ，使得 1131312a m m ，因为1m Z ，所以11m Z ，因此 1312a m B ，故A B ．设b B ，则存在2m Z ，使得 2232311b m m ，因为2m Z ，所以21m Z ，因此 2311b m A ，故B A ．综上，A B ．变式7-4．指出下列各组中的两个集合A 与B 的关系．（1） 05,N A a a a ， 0123,,,,5,4B ；（2）102,A ，sin 30s90,co B ；（3）{|A x x 是等腰三角形}，{|B x x 是等边三角形}；（4） 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ．【答案】（1）A B ；（2）A B ；（3）B A ；（4）A B ．【分析】（1）求出集合A 与集合B 比较即可求解；（2）求出集合B 与集合A 比较即可求解；（3）根据包含关系的定义即可判断；（4）出集合A 与集合B 中的元素即可求解；【详解】（1）因为 05,N 0,1,2,3,4A a a a ， 0123,,,,5,4B ，所以A B ；（2）因为1,1s ,2in 30cos9002B A ，所以A B ；（3）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，所以B 中的元素都在A 中，A 中有元素不在B 中，所以B A ；（4）因为 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ，所以集合A 与集合B 中的元素都是全体奇数，所以A B .变式7-5．已知集合{|,}2k A x x kZ ，{|,}2B x x n n Ζ.(1)分别判断元素2 ，20212与集合A ，B 的关系；(2)判断集合A 与集合B 的关系并说明理由.【答案】(1)2A ，2B ，20212A ，20212B ；(2)B A Ü，理由见解析.【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在,Z k n 使2 ，20212属于集合A ，B 即可.（2）法一：由（1）结论，并判断x B 是否有x A ，即知A 与B 的关系；法二：A ={x |x 是2 的整数倍}，B ={x |x 是2的奇数倍}，即知A 与B 的关系；【详解】（1）法一：令22k，得4k Z ，故2A ；令22n ，得52n Z ，故2B .同理，令202122k ，得2021k Z ，故20212A ；令202122n ，得1010n Z ，故20212B .法二：由题意得：{|,}2k A x x kZ ，(21){|,}2n B x x n Ζ又422，故2A ，2B ；20212A ，(210101)2B .（2）法一：由（1）得：2A ，2B ，故A B ；又x B ，00(21)22n x n，由0n Z ，得021k n Z ，故x A ，所以x B ，都有x A ，即B A ，又A B ，所以B A.法二：由题意得{|,}2k A x x kZ ={x |x 是2 的整数倍}，(21){|,}2n B x x n Ζ={x |x 是2的奇数倍}，因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B 是集合A 的真子集，即B A.例8．已知集合240A x x ax ， 1,4B ，且A B ，求实数a 的取值范围．【答案】{44aa ∣或5}a 【分析】根据题意分A 和A 讨论，在A 时分集合A 为单元素集和双元素集两种讨论即可.【详解】由题意知A B ∵，若A ，则2440a ，解得44a ，若A ，2160a ，解得4a 或4 ，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，此时{2}A ，不合题意，舍去，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，{2}A ，不合题意，舍去，当0 ，即2160a ，解得4a 或4a <-，则由题意知{1,4}A ，则1,4为方程240x ax 两根，根据韦达定理得145a ，综上所述a 的范围是{44aa ∣或5}a .变式8-1．已知集合 2|260,|20M x x x N x ax ，且N M ，求实数a 的值.【答案】40,,13【分析】根据题意分0a 与0a ，结合N M ，分别讨论计算，即可得到结果.【详解】因为N M ，当0a 时，N ，符合题意；当0a 时，2N a，而 23|260,22M x x x ，所以232a 或22a ，解得43a 或1a .所以a 的取值为40,,13变式8-2．已知集合22|10,|20A x x B x x ax b ，若B ，且A B ，求实数,a b 的值．【答案】11a b 或11a b 或01a b 【分析】先求得集合A ，然后根据A B 进行分类讨论，由此求得,a b 的值.【详解】210x -=，解得1x 或=1x ，所以 1,1A ，依题意B ，且A B ，22440,a b a b .①当 1B 时，1(1)21(1)a b ，∴11a b；②当 1B 时，11211a b ，∴11a b；③当 1,1B 时，11211a b ，∴01a b．综合得11a b 或11a b 或01a b ．变式8-3．若集合 2|60A x x x ，{|10}B x mx ，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m 或12m 或0m 【分析】分0m 和0m 两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】2|603,2A x x x ，当0m 时，B A ，当0m 时，1{|10}B x mx m，因为B A ，所以13m 或12m，所以13m 或12，综上所述，13m 或12m 或0m .变式8-4．已知集合 2|560A x x x ，2|50B x x x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】6a 或254a .【分析】由题意，求得 2,3A ，再根据B A ，结合韦达定理分B 和B 两种情况讨论即可求出答案．【详解】由2|560A x x x ，则 2,3A .2|50B x x x a ∵，B 为方程250x x a 的解集.①若B ，则B A ，2B 或 3B 或 2,3B ，当 2B 时250x x a 有两个相等实根，即12122,45x x x x 不合题意，同理3B ，当 2,3B 时，235,236,a 符合题意；②若,B 则Δ2540a ，即254a ，综上所述，实数a 的取值范围为6a 或25.4a变式8-5．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a ，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .变式8-6．已知m 为实数，210A x x m x m ， 10B x mx ．(1)当A B 时，求m 的取值集合；(2)当B A 时，求m 的取值集合.【答案】(1)1(2)0,1 【分析】（1）分1m 、1m 两种情况讨论，求出集合A ，根据A B 可得出关于m 的等式，即可求得实数m 的值；（2）分1m 、0m 、1m 且0m 三种情况，求出集合A 、B ，根据BA 可得出关于m的等式，即可解得实数m 的值.【详解】（1）解：因为 211x m x m x x m ，所以当1m 时， 1A ，当1m 时， 1,A m ．又A B ，所以1m ，此时 1B ，满足A B ．所以当A B 时，m 的取值集合为 1．（2）解：当1m 时， 1A B ，BA 不成立；当0m 时， 1,0A ，B ，B A 成立；当1m 且0m 时，1B m ， 1,A m ，由B A ，得1 m m，所以1m ．综上，m 的取值集合为 0,1 ．变式8-7．已知集合2320A x x x ，集合 10B x mx .(1)求A ；(2)若B A ，求实数m 的取值集合.【答案】(1)1,2A (2)10,,12【分析】（1）解A 中的一元二次方程即可；（2）分B 和B ，即分0m 和0m 讨论即可.【详解】（1）2320x x ，解得1x 或2，故 1,2A .（2）①当B 时，0m 符合；②当B 即0m 时，则1B m，由B A 可得11m 或2，解得12m 或1综上m 的取值集合为10,,12.变式8-8．设集合2{|320}A x x x ， 2{|10}B x x m x m .(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A 求实数m 的值.【答案】(1)1(2)m ＝1或m ＝2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2.【详解】（1）解法一：因为 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，又B 中只有一个元素，故1m .解法二：B 中有且只有一个元素，所以方程 2 10x m x m 有唯一实根，从而22(1)4(1)0m m m ，所以m ＝1.（2）由2320x x ，解得=1x 或2x ，由 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{﹣1}，满足B ⊆A ，当m ＝2时，B ＝{﹣1，﹣2}同样满足B ⊆A ，故m ＝1或m ＝2.例9．已知集合 22A x x ， 21C x a x a ，若C A ，求a 的取值范围．【分析】分C 和C 两种情况讨论，当C 时，利用数轴列出不等式组即可.【详解】当C 时，21a a ，解得1a ，当C 时，因为C A ，则212212a a a a，解得11a ，综上1a .变式9-1．已知R,{|17},{|23}U A x x B x a x a ，若B A ，求满足条件的a 的取值范围．【答案】,31,2 【分析】对B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.【详解】当B 时，满足B A ，此时，有23a a ，解得：3a ；当B 时，要使B A ，只需231237a a a a，解得：12a .所以实数a 的取值范围为 ,31,2 .变式9-2．已知集合24}|A x x｛，{|23}B x a x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】4,3【分析】利用集合间的包含关系，列出不等式即可求解.【详解】因为B A ，所以分B 和B 两种情况：①当B 时，则23a a ，解得：1a ，②当B 时，则232234a a a a ，解得：413a ，综上，实数a 的取值范围为4,3．变式9-3．设集合 116,11A x x B x m x m .(1)当x Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B A ，求m 的取值范围.(2)1,4 【分析】（1）由题得 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 即可解决.（2）根据B A 得，1512m m 即可解决.【详解】（1）由题知， 25A x x ，当x Z 时， 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 共8个元素，A 的非空真子集的个数为822254 个；（2）由题知， 116,11A x x B x m x m 显然11m m ，因为B A ，所以1512m m，解得14m ，所以实数m 的取值范围是 1,4 .变式9-4．已知集合 |4228A x k k ， |B x k x k ，(1)若A B ，求实数k 的取值范围；(2)若B A ，求实数k 的取值范围.【答案】(1)4k (2)8k 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.【详解】（1）因为A B ，①当A 时：4228k k ，即3k 符合题意；②当A 时，42282842k k k k k k，34k ，综上所述：4k .（2）因为B A ，①当B 时，A ，4228k k k k ，解得0 3k k，无解，②当B 时，2842k k k k k k 或2842k k k k k k，888k k k 或，，综上所述：8k .变式9-5．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}．(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(,3](2)[3,4](3)m【分析】（1）根据B ⊆A 分B 或 两种情况进行解答即可；（2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m 的范围；（2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m 的范围．（1）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，由B ⊆A 得21512121m m m m或B ，即21512121m m m m或m +1＞2m ﹣1，解得2≤m ≤3或m ＜2，所以实数m 的取值范围是(,3] ；（2）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ⊆B 得62215621m m m m，解得3≤m ≤4，所以实数m 的取值范围是[3，4]；（3）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ＝B 得62215m m ，无解，所以实数m ．变式9-6．设全集U R ，集合 |15A x x ，集合 |212B x a x a ，其中a R ．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围【答案】(1) 2,a ；(2) ,1a ．【分析】（1）根据A B .（2）根据B A ，分B 与B 进行讨论，列出不等式，即可得到结果.（1）因为A B ，所以21121252a a a a a，即a 的取值范围是 2,a ；（2）因为B A ，若B ，则11223a a a ；若B ，则125212111312213a aa a aa a a，综上所述： ,1a ．。
集合的四种基本关系
集合的四种基本关系集合的四种基本关系集合是数学中的一个重要概念，它可以用来描述一组具有某种特定属性的对象。
在集合论中，有四种基本关系，分别是包含关系、相等关系、交集和并集。
下面将对这四种关系进行详细介绍。
一、包含关系包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。
如果A和B是两个集合，且A中的每个元素都同时属于B，则称A是B的子集，或者说B是A的超集。
用符号表示为：A⊆B或者B⊇A。
例如，假设有两个集合A={1,2,3}和B={1,2,3,4}，则可以得出：- A⊆B- B⊇A二、相等关系相等关系是指两个集合具有完全相同的元素。
如果两个集合A和B互相包含，则它们就相等。
用符号表示为：A=B。
例如，假设有两个集合C={a,b,c}和D={c,b,a}，则可以得出：- C=D三、交集交集是指两个或多个集合共同拥有的元素构成的新的一个集合。
用符号表示为：A∩B或者AB。
例如，假设有两个集合E={1,2,3,4}和F={3,4,5,6}，则可以得出：- E∩F={3,4}四、并集并集是指两个或多个集合中所有元素的总和构成的一个新的集合。
用符号表示为：A∪B或者A+B。
例如，假设有两个集合G={1,2,3}和H={4,5,6}，则可以得出：- G∪H={1,2,3,4,5,6}总结以上就是集合的四种基本关系。
包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素；相等关系是指两个集合具有完全相同的元素；交集是指两个或多个集合共同拥有的元素构成的新的一个集合；并集是指两个或多个集合中所有元素的总和构成的一个新的集合。
在实际应用中，这些基本关系经常被用来描述数据之间的联系。
1.3 集合的基本运算知识点总结与例题讲解
集合的基本运算知识点总结与例题讲解本节知识点: （1）并集. （2）交集. （3）全集与补集. （4）德·摩根定律. 知识点一 并集自然语言 一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A与集合B 的并集,记作B A ,读作“A 并B ”.符号语言 {}B x A x x B A ∈∈=或, .图形语言（用Venn 图表示并集） 图中阴影部分表示两个集合的并集.（1）A 与B 有公共元素,相互不包含 （2）A 与B 没有公共部分（3）B A ≠⊂ （4）A B ≠⊂（5）B A =对并集的理解（1）求两个集合的并集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A 或集合B 的元素组成的.（2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可.符号语言“B x A x ∈∈或,”分为三种情况:①A x ∈,但B x ∉; ②A x ∉,但B x ∈; ③A x ∈,且B x ∈.（3）根据集合元素的互异性,在求两个集合的并集时,两个集合中的公共元素在并集中只能出现一次.并集的性质求并集的方法（1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.（2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.知识点二 交集自然语言 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B 的交集,记作B A ,读作“A 交B ”.符号语言 {}B x A x x B A ∈∈=且, .图形语言（用Venn 图表示交集） 图中阴影部分表示两个集合的并集.如下页图所示.（1）A 与B 有部分公共元素 （2）A 与B 无公共元素,∅=B A（3）若A B ≠⊂,则B B A = （4）若B A ≠⊂,则A B A = （5）B A B A ==对交集的理解（1）求两个集合的交集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,及两个集合的公共元素所组成的集合. （2）交集概念中的“所有”二字不能省略,否则会漏掉一些元素,一定要将两个集合中的相同元素（公共元素）全部找出来.（3）当集合A 与集合B 没有公共元素时,不能说集合A 与集合B 没有交集,而是交集为空集,.交集的性质AA B BA B求交集的方法（1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.（2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的交集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.知识点三 全集与补集全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U .补集 对于一个集合A ,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集,简称集合A 的补集,记作C U A ,即C U A {}A x U x x ∉∈=且,.用Venn 图表示为:对补集的理解（1）补集是相对于全集而言的,求一个集合的补集,结果因全集的不同而不同.所以求补集前,要先明确全集.（2）补集既是集合间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算. （3）符号“C U A ”有三层意思: ① C U A {}A x U x x ∉∈=且,;② C U A 是U 的一个子集,及(C U A )U ⊆; ③ C U A 表示一个集合.补集的性质①(C U A )U A = ; ②(C U A )∅=A ; ③ C U (C U A )A =; ④ C U U ∅=; ⑤ C U U =∅.U4321B A 知识点四 德·摩根定律知识点五 重要结论如图所示,集合A , B 将全集U 分成了四部分,这四部分用集合表示如下: （1）①表示B A ; （2）②表示 A (C U B ); （3）③表示 B (C U A ); （4）④表示(C U A ) (C U B ).知识点六 集合中元素的个数若集合A 为有限集,则用card(A )表示集合A 中元素的个数. 如果集合A 中含有m 个元素,那么有card(A )m =. （1）一般地,对于任意两个有限集合A , B ,有 card ()=B A card(A )+card(B )－card ()B A . （2）一般地,对于任意三个有限集合A , B , C ,有card ()=C B A card(A )+card(B )－card ()B A －card ()C A －card ()C B ＋ card ()C B A .例题讲解题型一 并集运算一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的并集,记作B A ,读作“A 并B ”.即{}B x A x x B A ∈∈=或, .求并集的方法（1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.（2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.例1. 已知集合{}31≤≤∈=x N x A ,{}5,4,3,2=B ,则=B A 【 】 （A ）{}2 （B ）{}3,2（C ）{}5,4,3,2 （D ）{}5,4,3,2,1 分析:将一个用描述法表示的集合转化为用列举法表示时,一定要弄清代表元素的含义或特征.求两个集合的并集运算时,可以按照并集的定义进行,也可以用Venn 图求解或借助于数轴求解.解:∵{}{}3,2,131=≤≤∈=x N x A1∴=B A {}{}{}5,4,3,2,15,4,3,23,2,1= . 选择【 D 】.例2. 已知集合{}1≥=x x A ,{}0322<--=x x x B ,则=B A ____________. 分析:先解一元二次不等式0322<--x x ,求出集合B ,然后把集合A 、B 在数轴上画出来,它们对应图形所覆盖的全部范围即为B A . 解:∵{}{}310322<<-=<--=x x x x x B ∴=B A {}{}{}1311->=<<-≥x x x x x x .例3. 已知集合{}m A ,3,1=,{}m B ,1=,若A B A = ,则m 等于【 】 （A ）0或3 （B ）0或3 （C ）1或3 （D ）1或3分析:{}m B ,1=,由集合元素的互异性,得1≠m ,排除C 、D 选项. 因为A B A = ,根据并集的性质,所以A B ⊆,这样就将两个集合的并集运算转化为了这两个集合之间的关系,从而可以确定参数的值或取值范围. 解:∵A B A = ,∴3=m 或m m =当m m =时,解之得:0=m （1=m 不符合题意,舍去） 综上,3=m 或0=m .例 4. 已知集合{}012≤-=x x P ,{}a M =,若P M P = ,则实数a 的取值范围是__________.分析:∵P M P = ,∴P M ⊆. 解:{}{}11012≤≤-=≤-=x x x x P ∵P M P = ,∴P M ⊆,∴P a ∈ ∴实数a 的取值范围是{}11≤≤-a a .例5. 已知集合{}x A ,3,2,1=,{}2,3x B =,且{}x B A ,3,2,1= ,求x 的值.分析:由题意可知:A B A = ,所以A B ⊆,从而A x ∈2,且32≠x . 解:分为三种情况:①当12=x 时,解之得:1-=x （1=x 不符合题意,舍去）; ②当22=x 时,解之得:2±=x ; ③当x x =2时,解之得:0=x . 综上所述,x 的值为0或2±或1-.注意:在求参数的值时,参数的值要满足集合元素的互异性.例6. 已知集合{}32>-=x x A ,{}a x x x B ->-=332,求B A . 分析:对于含参集合参与的集合运算,要注意分类讨论.解:{}{}532>=>-=x x x x A ,{}{}3332-<=->-=a x x a x x x B . 当3-a ≤5,即a ≤8时,{}53>-<=x a x x B A 或 ; 当53>-a 时,即8>a 时,=B A R .a例7.（易错题）已知集合{}1,1-=A ,{}1==mx x B ,且A B A = ,求由m 的取值构成的集合.分析:因为A B A = ,所以A B ⊆.由于集合B 是一个含参集合,所以要对集合B 分∅=B 和∅≠B 两种情况进行讨论. 解:∵A B A = ,∴A B ⊆. 当0=m 时,∅=B ,满足A B ⊆;当0≠m 时,{}11-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==m x x B 或{}1=B :①若{}1-=B ,则11-=m,解之得:1-=m ;②若{}1=B ,则11=m,解之得:1=m . 综上所述,m 的取值构成的集合为{}1,0,1-.例8. 设集合{}52<<-=x x M ,{}122+<<-=t x t x N ,若M N M = ,则实数t 的取值范围是__________.分析:先将并集运算的结果M N M = 转化为两个集合M , N 之间的关系M N ⊆,从而列出关于参数t 的不等式（组）求解.注意含参集合的分类讨论. 解:∵M N M = ,∴M N ⊆. 分为两种情况:①当∅=N 时,有t -2≥12+t ,解之得:t ≤31;②当∅≠N 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-51222122t t t t ,解之得:t <31≤2.综上所述,实数t 的取值范围是{}2≤t t .警示:在解决本题时,任意忽略∅=N 的情况,另外要注意端点值能否取到.例9. 已知集合{}2,1-=A ,{}01>+=mx x B ,若B B A = ,求实数m 的取值范围. 分析:注意本题与例7的区别. 解:∵B B A = ,∴B A ⊆. 分为三种情况:①当0=m 时,01>恒成立,∴{}=>+=01mx x B R ,满足B A ⊆;②当0>m 时,{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧->=>+=m x x mx x B 101,有11-<-m ,解之得:1<m∴10<<m ;③当0<m 时,{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<=>+=m x x mx x B 101,有21>-m ,解之得:21->m∴021<<-m .综上所述,实数m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-121m m .题型二 交集运算一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的交集,记作B A ,读作“A 交B ”.{}B x A x x B A ∈∈=且, .求交集的方法（1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.（或可借助于Venn 图）（2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的解集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.例10. 设集合{}01>+∈=x Z x A ,集合{}02≤-=x x B ,则=B A 【 】 （A ）{}21<<-x x （B ）{}21≤<-x x （C ）{}2,1- （D ）{}2,1,0分析:在进行集合的运算之前,要先弄清楚各个集合的本质.本题中集合A 的代表元素x 为整数,所以集合A 为1->x 范围内的整数集.解:∵{}{}101->∈=>+∈=x Z x x Z x A ,{}{}202≤=≤-=x x x x B ∴=B A {}{}2,1,021=≤<-∈x Z x . 选择【 D 】.例11. 设集合{}21<≤-=x x A ,{}a x x B <=,若∅≠B A ,则实数a 的取值范围是__________.分析:∅≠B A 说明集合A 、B 有公共元素,在数轴上集合A 、B 所对应的图形覆盖的区域有公共部分. 解:{}1->a a .1例12. 设集合{}52<<-=x x M ,{}122+<<-=t x t x N ,若N N M = ,求实数t 的取值范围.分析:若N N M = ,则由交集的性质知M N ⊆,在得到这两个集合之间的关系后借助于数轴就可以列出不等式（组）进行求解了. 解:∵N N M = ,∴M N ⊆. 分为两种情况:①当∅=N 时,满足M N ⊆,有t -2≥12+t ,解之得:t ≤31;②当∅≠N 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-51222122t t t t ,解之得:t <31≤2.综上所述,实数t 的取值范围是{}2≤t t .★例13.（易错题）设集合{}R x x y y A ∈+==,12,{}R x x y y B ∈+==,1,则B A 等于【 】（A ）{}1≥y y （B ）{}2,1 （C ）()(){}2,1,1,0 （D ）∅错解:解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得:⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x ,故选【 C 】.错因分析:这里好多学生认为是求抛物线12+=x y 和直线1+=x y 的交点坐标所构成的集合,根源在于没有搞清楚集合A , B 的本质,没有弄清楚集合的代表元素的特征.分析:本题中的两个集合都是由函数值构成的,它们的代表元素是函数值y .B A 表示函数12+=x y 和函数1+=x y 的函数值的交集. 解:∵{}{}1,12≥=∈+==y y R x x y y A ,{}=∈+==R x x y y B ,1R .∴{} 1≥=y y B A R {}1≥=y y . 选择【 A 】.变式: 设集合(){}1,2+==x y y x A ,(){}1,+==x y y x B ,则B A 等于【 】 （A ）{}1≥y y （B ）{}2,1 （C ）()(){}2,1,1,0 （D ）∅例14. 已知集合(){}1,22=+=y x y x A ,集合(){}x y y x B ==,,则B A 中元素的个数为【 】（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0解:解方程组⎩⎨⎧==+xy y x 122得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2222y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2222y x ∴B A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22,22,22,共有2个元素.选择【 B 】. 方法二:由后面的学习可以知道,方程122=+y x 是单位圆的方程（以原点为圆心,以1为半径的圆）.集合A 是由圆122=+y x 上的所有点构成的,集合B 是由直线x y =上的所有点构成的,所以B A 就是由单位圆与直线的交点构成的,如图所示,交点有两个,故B A 中元素的个数为2.例15.（2018沈阳重点高中）设集合{}52≤≤-=x x A ,{}121-≤≤+=m x m x B . （1）若{}52≤≤-∈=x Z x A ,求A 的非空真子集的个数; （2）若B B A = ,求实数m 的取值范围. 分析:（1）子集、真子集个数的确定 若集合A 含有n 个元素,则集合A : （1）含有n 2个子集; （2）含有12-n 个非空子集; （3）含有12-n 个真子集; （4）含有22-n 个非空真子集.（2）若B B A = ,则A B ⊆,注意分类讨论. 解:（1）{}{}5,4,3,2,1,0,1,2-52-=≤≤-∈=x Z x A ∵集合A 中含有8个元素∴集合A 的非空真子集的个数为2542-28=; （2）∵B B A = ,∴A B ⊆. 分为两种情况:①当∅=B 时,满足A B ⊆,有121->+m m ,解之得:2<m ; ②当∅≠B 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m ,解之得:2≤m ≤3. 综上所述,实数m 的取值范围是{}3≤m m .例16. 设{}042=+=x x x A ,(){}011222=-+++=a x a x x B ,其中∈x R ,如果B B A = ,求实数a 的取值范围. 解:{}{}4,0042-==+=x x x A ∵B B A = ,∴A B ⊆ 分为两种情况:①当∅=B 时,满足B B A =∴()[]()0141222<--+=∆a a ,解之得:1-<a ;②当∅≠B 时,{}0=B 或{}4-=B 或{}4,0-=B .若{}0=B 或{}4-=B ,则有()[]()0141222=--+=∆a a ,解之得:1-=a经检验,此时{}0=B ;若{}4,0-=B ,则由根与系数的关系定理可得:()⎩⎨⎧=--=+-014122a a ,解之得:1=a . 综上所述,实数a 的取值范围是{}11-≤=a a a 或.例17. 设集合{}3+≤≤=a x a x A ,{}51>-<=x x x B 或,若∅=B A ,求实数a 的取值范围.分析:对于任意实数a ,都有3+<a a ,所以本题中集合A 不会是空集. 解:∵3+<a a ,∴∅≠A . ∵∅=B A∴⎩⎨⎧≤+-≥531a a ,解之得:1-≤a ≤2.∴实数a 的取值范围是{}21≤≤-a a .★★例18.（综合性强）已知集合()(){}011222>++++-=a a y a a y y A ,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==30,25212x x x y y B ,若∅=B A :（1）求实数a 的取值范围;（2）当ax x ≥+12恒成立时,求a 的最小值.分析:（1）求集合A 时要解含参一元二次不等式,可借助于因式分解:()()()()()()()()()[]11111122222222+--=-+--=++-+-=++++-a y a y a y a a y y a a ay a y y a a y a a y对于集合B ,代表元素是y ,所以集合B 是函数值的集合,通过配方得:()2121252122+-=+-=x x x y ∵0≤x ≤3,∴2≤y ≤4,∴{}42≤≤=y y B ;（2）这是与二次函数有关的恒成立问题,使用数形结合方法.解:（1）()(){}()()[]{}010112222>+--=>++++-=a y a y y a a y a a y y A∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+a a a （这里作差比较12+a 与a 的大小）∴a a >+12∴{}12+><=a y a y y A 或.{}4230,25212≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==y y x x x y y B∵∅=B A∴⎩⎨⎧≥+≤4122a a ,解之得:a ≤3-或3≤a ≤2. ∴实数a 的取值范围是{}233≤≤-≤a a a 或; （2）∵ax x ≥+12恒成立,即12+-ax x ≥0恒成立. ∴()42--=∆a ≤0,解之得:2-≤a ≤2.∴a 的最小值为2-.题型三 补集运算全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U .补集 对于一个集合A ,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集,简称集合A 的补集,记作C U A ,即C U A {}A x U x x ∉∈=且,.补集的性质①(C U A )U A = ; ②(C U A )∅=A ; ③ C U (C U A )A =; ④ C U U ∅=; ⑤ C U U =∅.例19. 已知全集{}60<<=x x U ,集合{}a x x A <<=1,若C U A U ≠,则实数a 的取值范围是__________.分析: C U A U ≠说明∅≠A ,且U A ⊆. 解:∵C U A U ≠,∴∅≠A ,且U A ⊆. ∴实数a 的取值范围是{}61≤<a a .例20. 已知全集{}5,4,3,2,1=U ,集合{}042=++=px x x A ,求C U A . 分析:集合A 是由方程042=++px x 的解构成的,而方程042=++px x 可能无解、有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根,需要分类讨论. 解:由题意可知:U A ⊆. 分为两种情况:①当∅=A 时,方程无实数根,∴0162<-=∆p ,解之得:44<<-p ∴C U A =C U ∅{}5,4,3,2,1==U ;②当∅≠A 时,则有162-=∆p ≥0,解之得:p ≤4-或p ≥4. 设方程042=++px x 的两个实数根分别为21,x x 由根与系数的关系定理可得:421=x x :若4,121==x x ,则5-=p ,符合题意,此时{}4,1=A ,C U A {}5,3,2=; 若221==x x ,则4-=p ,符合题意,此时{}2=A ,C U A {}5,4,3,1=. 综上所述,当44<<-p 时,C U A ={}5,4,3,2,1;当5-=p 时,C U A {}5,3,2=;当4-=p 时,C U A {}5,4,3,1=.例21. 已知{}31≤<-=x x A ,{}m x m x B 31+<≤=. （1）当1=m 时,求B A ;（2）若⊆B C R A ,求实数m 的取值范围.分析:（1）求两个连续型实数集合的并集时,借助于数轴进行求解能将抽象的问题直观化,但要特别注意端点的实心和空心以及端点值的取舍;（2）求连续型实数集合的补集也是借助于数轴进行.解:（1）当1=m 时,{}{}4131<≤=+<≤=x x m x m x B ∴{}{}{}414131<<-=<≤≤<-=x x x x x x B A ; （2）∵{}31≤<-=x x A ,∴C R A {}31>-≤=x x x 或 ∵⊆B C R A ,∴分为两种情况:①当∅=B 时,有m ≥m 31+,解之得:m ≤21-; ②当∅≠B 时,则有:⎩⎨⎧-≤++<13131m m m 或⎩⎨⎧>+<331m mm解之得:无解或3>m .综上,实数m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-≤321m m m 或.★例22. 设全集(){}R y R x y x I ∈∈=,,,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=123,x y y x A ,(){}1,+==x y y x B ,求C I A B .解:()(){}2,1,123,≠+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=x x y y x x y y x A ∴集合A 是由直线1+=x y 上除点()3,2外的所有点构成的集合 ∴C I A =(){}3,2 ∵(){}1,+==x y y x B∴集合B 是由直线1+=x y 上所有的点构成的集合 ∴C I A =B (){}3,2. 附:函数123=--x y ,即1+=x y ()2≠x 的图象如图所示.。
集合的基本关系
核心素养：1.通过对子集、真子集概念的学习培养数学抽象素养.2.通 过根据集合之间的关系求参数的值或取值范围培养逻辑推理素养和数学运 算素养.
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PART ONE
核心概念掌握
知识点一 子集 一般地，如果集合 A 的任意一个元素 01 __都__是__集合 B 的元素，那么集 合 A 称为集合 B 的 02 __子__集____，记作 03 __A__⊆_B___ (或 04 __B_⊇__A___)，读作 “ 05 __A__包__含__于__B__”(或“ 06 ___B_包__含__A____”)． 对应地，如果 A 不是 B 的子集，则记作 07 _A____B___ (或 08 __B___A___)， 读作“ 09 ____A_不__包__含__于__B_____”(或“ 10 ____B_不__包__含__A____”)． 规定： 11 __空__集__是任意一个集合 A 的子集，即∅⊆A.
(3)集合 B＝{x|x<5}，用数轴表示集合 A，B 如图所示，由图可知 A B.
(4)解法一：两个集合都表示一些正奇数组成的集合，但由于 n∈N＋， 因此集合 A 含有元素“1”，而集合 B 不含元素“1”，故 B A.
解法二：由列举法知 A＝{1,3,5,7，…}，B＝{3,5,7,9，…}，所以 B A.
注意：(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之 间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．
(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝ {1,3}，因为 2∈A，但 2 B，所以 A 不是 B 的子集；同理，因为 3∈B，但 3 A，所以 B 也不是 A 的子集．
专题01集合、集合间的关系、集合的运算(重难点突破)
专题一集合、集合间的关系、集合的运算一、学法指导与考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号2.集合间的基本关系3.集合之间的基本运算【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域.5. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B ．二、重难点题型突破考点1 集合的概念及其表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 例1.（1）（集合的确定性）下列各组对象中不能形成集合的是( ) A ．高一数学课本中较难的题 B ．高二（2）班学生家长全体 C ．高三年级开设的所有课程D ．高一(12)班个子高于1.7m 的学生【思路分析】集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【答案】解：高一数学课本中较难的题不满足确定性，故不是集合；故选：A ．【点睛】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题． （2）．（2020·全国高一）（集合的互异性）已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m =______.【解析】依题意11m +=或()211m -=，解得0m =或2m =；由集合中元素的互异性可知当0m =时，集合的两个元素相等，不合题意；所以2m =.故答案为：2.【变式训练1】（集合的确定性）考察下列每组对象，能构成集合的是( ) ①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． A ．③④ B ．②③④ C ．②③ D ．②④【解析】①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B. 考点2 元素与集合的关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . (3)常见的数集及表示符号归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题．例2．（2020·河北省河北正中实验中学高一期末）（整数集合元素个数）已知集合{}|21,A x x x Z =-<≤∈，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】{}{}|21,1,0,1A x x x Z =-<≤∈=-，所以集合A 中元素的个数为3.故选：D. 例3.（单元素集合）若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值． 【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.【变式训练1】设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围； （3）求：A 中各元素之和． 【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1， ∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-； 当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素． 考点3 集合间的基本关系 1.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个． (3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤; ∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.【变式训练1】．（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.考点4 集合的基本运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。
专题16 集合间的基本关系(教师版含详细解析)
专题16集合间的基本关系学习目标1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解空集的含义3.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用知识精讲高中必备知识点1：Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．高中必备知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念[知识点拨](1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A⊆B，且A≠B，则AÜB．高中必备知识点3：空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．高中必备知识点4：集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．(3)若A⊆B，A≠B，则AÜB．典例剖析高中必会题型1：确定集合的子集、真子集1．（1）已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．（2）已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．【答案】（1）{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}；（2）{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．（1）因为{1，2}⊆M，所以1∈M，2∈M，又因为M⊆{1，2，3，4，5}，所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集，故M的所有可能情况是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．（2）若M只含1个元素，则M={3}；若M只含2个元素，则M={1，5}，{2，4}；若M只含3个元素，则M={1，3，5}，{2，3，4}；若M只含4个元素，则M={1，2，4，5}；若M 含5个元素，则M ={1，2，3，4，5}．所以M 可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．2．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.【答案】见解析集合{0,1,2}的所有子集为∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.真子集为∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.3．已知{},,A a b c =，则求：（1）集合A 的子集的个数，并判断∅与集合A 的关系（2）请写出集合A 的所有非空真子集【答案】（1）8，∅A （2）{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c （1）{},,A a b c =的子集有∅，{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c ，{,,}a b c 共8个，其中∅A .（2）集合A 的所有非空真子集有{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c .4．（1）写出集合{a ，b ，c ，d }的所有子集；（2）若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？【答案】（1）见解析；（2）有2n 个子集，21n -个真子集.（1）集合{},,,a b c d 的所有子集有：∅、{}a 、{}b 、{}c 、{}d 、{},a b 、{},a c 、{},a d 、{},b c 、{},b d 、{},c d 、{},,a b c 、{},,a b d 、{},,a c d 、{},,b c d 、{},,,a b c d ；（2）若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有2n 个子集，21n -个真子集.5．举出下列各集合的一个子集：（1）A ={|x x 是立德中学的学生}；（2）B ={|x x 是三角形}；（3）{0}C =；（4）{|330}D x Z x =∈<<.【答案】（1）{|x x是立德中学的女生}（2）{|x x是直角三角形}（3）{0}（4）{4,5,6}（1）{|x x是立德中学的女生}（2）{|x x是直角三角形}（3）{0}（4）{4,5,6}高中必会题型2：集合间关系的判断1．判断下列集合间的关系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．【答案】(1)A B(2)B A.(1)∵A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥5 2}，∴利用数轴判断A、B的关系．如图所示，A B.(2)∵A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A，∴B＝{0,1,2}，∴B A. 2．判断下列各组中集合之间的关系：（1）A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；（2）A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；（3）A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <5}.【答案】（1）A B ；（2）D B A C ；（3）A B .（1）因为若x 是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB .（2）由图形的特点可画出Venn 图如图所示，从而D B AC .（3）易知A 中的元素都是B 中的元素，但存在元素，如－2∈B ，但－2∉A ，故AB .3．指出下列集合之间的关系：{(,)|1,}A x y y x x ==-∈N ，{(,)|1,}B x y y x x ==-∈R ．【答案】A B集合{(,)|1,}A x y y x x ==-∈N 表示的是直线1y x =-上的一些孤立的点的集合，而集合{(,)|1,}B x y y x x ==-∈R 表示的是直线1y x =-上所有的点的集合，因此A B .4．写出下列每对集合之间的关系：（1）{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5}B =；（2）2{|1}C x x ==，{|||1}D x x ==；（3）(,3)E =-∞，(1,2]F =-；（4）{|G x x =是对角线相等且互相平分的四边形}，{|H x x =是有一个内角为直角的平行四边形}．【答案】（1）B A ；（2）C D =；（3）F E ；（4）G H =．（1）因为B 的每个元素都属于A ，而4A ∈且4B ∉，所以BA ．（2）不难看出，C 和D 包含的元素都是1和1-，所以C D =．（3）在数轴上表示出区间E 和F ，如图所示．由图可知F E ．（4）如果x G ∈，则x 是对角线相等且互相平分的四边形，所以x 是矩形，从而可知x 是有一个内角为直角的平行四边形，所以x H ∈，因此G H ⊆．反之，如果x H ∈，则x 是有一个内角为直角的平行四边形，所以x 是矩形，从而可知是x 对角线相等且互相平分的四边形，所以x G ∈，因此H G ⊆．综上可知，G H =．5．已知集合{|}A p p a R ==-∈，集合{|||2,}B p p p R =∈，试判断A 与B 之间的关系，并说明理由．【答案】A 是B 的真子集.，理由见解析因为p ==-则p 的几何意义是x 轴上的点(,0)P a 到定点13,22A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭与点13,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的距离之差．即p PA PB =-．∵三角形两边之差的绝对值小于第三边，∴||PA PB AB -<且P ，A ，B 三点不共线，即||1p <．∴11p -<<．即{|11}A p p =-<<；又{|||2,}{|22}B p p p R p p =∈=-≤，∴A 是B 的真子集.高中必会题型3：由集合间的关系求参数问题1．设集合{}12,A x a x a a =-<<∈R ，不等式2280x x --<的解集为B .（1）当0a =时，求集合A ，B .（2）当A B ⊆时，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}10A x x =-<<，{}24B x x =-<<；（2）}{2a a ≤.（1）解：当0a =时，{}10A x x =-<<，解不等式2280x x --<得：24x -<<，即{}24B x x =-<<.（2）解：若A B ⊆，则有：①A =∅，即21a a ≤-，即1a ≤-，符合题意，②A ≠∅，有211224a a a a >-⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，解得：12a -<≤.综合①②得：}{2a a ≤.2．设集合{}2=40A x R x x ∈+=，{}22=2(1)10,B x R x a x a a R ∈+++-=∈，若B A ⊆，求实数a 的值．【答案】a ≤－1或a ＝1.∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1.(2)当B A ≠时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1；当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B =∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.3．设集合A ={x |﹣x 2+3x +10≥0}，B ={x |x 2﹣3ax +2a 2＜0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围【答案】[﹣1，52]∵集合A ={x |﹣x 2+3x +10≥0}={x |﹣2≤x ≤5}，B ={x |x 2﹣3ax +2a 2＜0}={x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0}，B ⊆A ，∴当a =0时，B =∅，成立；当a ＜0时，B ={x |2a ＜x ＜a }，由B ⊆A ，得225a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得﹣1≤a ＜0，当a ＞0时，B ={x |a ＜x ＜2a }，由B ⊆A ，得225a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得0＜a 52≤，综上，实数a 的取值范围是[﹣1，52].4．已知集合A ＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |﹣m ＜x ＜m }，若B ⊆A ，求m 的取值范围．【答案】m ≤1．∵B ⊆A ，若B ＝∅，则m ≤0，满足B ⊆A ，若B ≠∅，则m ＞0，由B ⊆A ，得m ≤1，解得，0＜m ≤1．综上所述：实数m 的取值范围为m ≤1．5．设A ={﹣3，4}，B ={x |x 2﹣2ax +b =0}，B ≠∅且B ⊆A ，求a ，b .【答案】答案见解析因为B ≠∅，B ⊆A ，所以B ={﹣3}或{4}或{﹣3，4}.当B ={﹣3}时，2960440a b a b ++=⎧⎨∆=-=⎩，解得a =﹣3，b =9；当B ={4}时，21680440a b a b -+=⎧⎨∆=-=⎩，解得a =4，b =16；当B ={﹣3，4}时，29601680440a b a b a b ++=⎧⎪-+=⎨⎪∆=->⎩，解得a =12，b =﹣12.对点精练1．若集合A ={1，3，x }，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解析由B ⊆A ，知x 2=3或x 2=x ，解得x ，或x =0，或x =1，当x =1时，集合A ，B 都不满足元素的互异性，故x =1舍去.故选：C2．以下四个关系：∅∈{0}，0∈∅，{∅}⊆{0}，∅≠⊂{0}，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A集合与集合间的关系是⊆，因此∅∈{0}错误；{∅}表示只含有一个元素(此元素是∅)的集合，所以{∅}⊆{0}错误；空集不含有任何元素，因此0∈∅错误；∅≠⊂{0}正确．因此正确的只有1个．故选：A.3．设集合A ={1，x 2}，B ={x }，且B ⊆A ，则实数x 为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或-1【答案】A因为B ⊆A ，所以x ∈A ，所以x =1或x =x 2，x 2≠1，解得x =0．故选：A.4．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（）A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】A因为A B =，所以集合B 为双元素集，即()(){}{}{}|10,1,1,2B x x x a a R a =--=∈==所以2a =.故选：A.5．下列集合与集合{}2,3A =相等的是（）A ．(){}2,3B ．(){},2,3x y x y ==C ．{}2560x x x -+=D ．{}2,3x y ==【答案】C集合A 表示数字2和3的集合.对于A ：集合中的元素代表点()2,3，与集合A 不同，A 错误；对于B ：集合中的元素代表点()2,3，与集合A 不同，B 错误；对于C ：由2560x x -+=得：2x =或3x =，与集合A 元素相同，C 正确；对于D ：表示两个代数式的集合，与集合A 不同，D 错误.故选：C.6．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（）A ．16B ．8C ．7D ．4【答案】C解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个．故选：C ．7．设A ＝{1，4，x }，B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x 等于（）A ．0B ．﹣2C ．0或﹣2D ．0或±2【答案】D因为A ＝{1，4，x }，B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x 2＝4或x 2＝x ，解得x ＝2或﹣2或1或0．①当x ＝0，集合A ＝{1，4，0}，B ＝{1，0}，满足B ⊆A ．②当x ＝1，集合A ＝{1，4，1}不满足元素的互异性．③当x ＝2，集合A ＝{1，4，2}，B ＝{1，4}，满足B ⊆A ．④当x ＝﹣2，集合A ＝{1，4，﹣2}，B ＝{1，4}，满足B ⊆A ．综上，x ＝2或﹣2或0．故选：D ．8．设集合M ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝4n ±2，n ∈Z }，则（）A ．M ⫋NB ．M ⫌NC ．M ＝ND ．以上都不正确【答案】B 集合M ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，故集合M 中的元素是2与整数的乘积的集合，N ＝{x |x ＝4n ±2，n ∈Z }＝{x |x ＝2（2n ±1），n ∈Z }，故集合N 的元素是2与奇数的乘积的集合，故N ⫋M ，故选：B ．9．对于两个非空数集A 、B ，定义点集如下：A ×B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈B }，若A ＝{1，3}，B ＝{2，4}，则点集A ×B 的非空真子集的个数是（）个.A ．14B ．12C ．13D ．11【答案】A∵A ×B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈B }，且A ＝{1，3}，B ＝{2，4}，所以A ×B ＝{（1，2），（1，4），（3，2），（3，4）}，共有四个元素，则点集A ×B 的非空真子集的个数是：24﹣2＝14.故选：A.10．设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，若A ⊆B ，则a 的取值范围是（）A ．}{2a a ≥B ．}{1a a ≤C ．}{1a a ≥D ．}{2a a ≤【答案】A }{12A x x =<< ，}{B x x a =<，由数轴表示集合，作图如下：由图可知2a ≥，即a 的取值范围是}{2a a ≥故选：A11．已知集合{}2|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（）①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C因为2{|10}A x x =-=，{1A ∴=-，1}，对于①，1A ∈显然正确；对于②，{1}A -∈，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；对于③，A ∅⊆，根据空集是任何集合的子集知正确；对于④，{1，1}A -⊆．根据子集的定义知正确．故选：C ．12．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a 等于A ．1B ．0C ．－2D ．－3【答案】C【解析】由题意得31,2a a +==-，选C.13．当集合{}1,0,1,,1a c b ⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭时，a =___________，b =___________，c =___________.【答案】11-0详解：由已知{}1,0,1,,1a c b ⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭，所以10,,1c b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，∴0c =，，从而11b =-，即1b =-，∴1a =．故答案为1，－1，0．14．已知A =(,]m -∞，B =(1,2]，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为___．【答案】[2,)+∞∵A =(,]m -∞，B =(1,2]，B ⊆A ，∴m ≥2，∴实数m 的取值范围为[2,)+∞．故答案为：[2,)+∞．15．已知集合A ={x |ax 2+2x +a =0，a ∈R }，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是________.【答案】0或±1因为A 有且仅有两个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2+2x +a =0仅有一根，当a =0时，方程化为2x =0，A ={0}，符合题意；当a ≠0时，Δ=4-4a 2=0，解得a =±1.此时A ={-1}或{1}，符合题意.综上所述a =0或a =±1.故答案为：0或±1.16．已知集合2={320}A x ax x -+=，若A ≠∅，则实数a 的取值范围为___．【答案】9(,]8-∞．当0a =时，方程2320ax x -+=化为320x -+=，解得23x =，此时2{}3A =≠∅，满足题意，当0a ≠时，要使A ≠∅，则2(3)420a ∆=--⨯≥，解得98a ≤且0a ≠，所以使A ≠∅的实数a 的取值范围为9(,]8-∞．故答案为：9(,8-∞．17．已知集合{,,2}A a b =，2{2,,2}B b a =，若A B =，求实数a ，b 的值.【答案】01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.解：由已知A B =，得22a a b b =⎧⎨=⎩（1）或22a b b a⎧=⎨=⎩.（2）解（1）得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩，解（2）得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又由集合中元素的互异性得1ab=⎧⎨=⎩或1412ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.18．已知A＝{1，1+a，1+2a}，B＝{1，b，b2}，若A＝B，求a，b．【答案】a＝34-，b＝12-因为A＝B，则b＝1+a，b2＝1+2a，或b＝1+2a，b2＝1+a ①若b＝1+a，b2＝1+2a，∴（1+a）2＝1+2a，∴a＝0.此时A中三个都是1，不符合集合元素的互异性.②若b＝1+2a，b2＝1+a，∴（1+2a）2＝1+a，∴4a2+3a＝0，由①知a＝0不成立，∴a＝34-，b＝1+2a＝12-．19．已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值．【答案】a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．因为B={x|x2﹣ax+b＝0}，且B⊆A，①当B中有一个元素时，B＝{1}或B＝{﹣1}当B＝{1}时，2()4010a ba b⎧∆=--=⎨-+=⎩，解得a＝2，b＝1；当B＝{﹣1}时，2()4010a ba b⎧∆=--=⎨++=⎩，解得a＝﹣2，b＝1；②当B中有两个元素时，B＝A，即B＝{﹣1，1}，1+1=1(1)11ab-⎧--⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得a＝0，b＝﹣1；③当B=∅时，只需满足a2﹣4b＜0，综上所述，a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．20．已知P ＝{x |2≤x ≤6}，Q ＝{x |a ≤x ≤a +1}若Q ⊆P ，求a 的范围.【答案】[2，5]因为P ＝{x |2≤x ≤6}，Q ＝{x |a ≤x ≤a +1}，且Q ⊆P ，所以216a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得2≤a ≤5所以a 的取值范围是[2，5]21．已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈，且C B ⊆,求a 的取值范围.【答案】()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦若A=∅，则a ＜-2，故B=C=∅，满足C ⊆B ；若A ≠∅，即a ≥-2，由23y x =+在[]2,a -上是增函数，得123y a -≤≤+，即{}123B y y a =-≤≤+①当20a -≤≤时，函数2z x =在[]2,a -上单调递减，则24a z ≤≤，即{}24C z a z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需234a +≥，解得12a ≥，这与20a -≤<矛盾；②当02a ≤≤时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则04z ≤≤，即{}04C z z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需23402a a +≥⎧⎨≤≤⎩，解得122a ≤≤；③当2a >时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则20z a ≤≤，即{}20C z z a =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需2232a a a ⎧≤+⎨>⎩，解得23a <≤；综上所述，a 的取值范围是()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦.22．已知集合{}21,A x x a a ==+∈R ，{}245,B y y a a a ==-+∈R ，判断这两个集合之间的关系.【答案】A B=因为21x a =+，a ∈R ，所以1≥x .因为()224521y a a a =-+=-+，a ∈R ，所以1y ≥.故{}1A x x =≥，{}1B y y =≥，所以A B =.。
(完整版)集合间的基本关系知识点
集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，（2）A 与B 是 同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆
/B 或B ⊇
/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。
A ⊆A
②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)
③如果 A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C
④ 如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
已知集合
A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.。
2021届高中数学新人教版高中数学第一册集合间的基本关系含解析
1.1.2 集合间的基本关系（新人教版）课标要点课标要点学考要求高考要求1.子集、真子集的概念b b 2.空集的概念 b b 3.Venn 图aa知识导图,学法指导,1.注意辨析两大关系： (1)元素与集合的关系； (2)集合与集合的关系．2．本节的学习重点是子集、真子集、空集的概念；难点是集合之间关系的应用．3．学习中要注意集合之间的关系的几种表述方法：自然语言、符号语言、图形语言.知识点一 子集文字语言 符号语言 图形语言对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的子集 对任意元素x ∈A ，必有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )，读作A 包含于B 或B 包含A“A 是B 的子集”的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，即任意x ∈A 都能推出x ∈B.符号语言的子集，若集合A⊆B，但x∈B，且x∉A，则A B(或B A)(读作“A真包含于B”或“B真包含A”)A B首先要满足子集的性质A⊆B，B⊆C，则A⊆C；A B，B C，则A C.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B.()(4)空集是任何集合的真子集．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2.集合{0,1}的子集有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．答案：D3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D 正确．答案：D4．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是()解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.答案：B类型一集合间关系的判断例1(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解析】(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.方法二由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.【答案】(1)B(2)见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练1(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M 与T的关系是()A．M T B．M T C．M＝T D．M T(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以M T.(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图答案：(1)A(2)见解析学习完知识点后，我们可以得到B⊆A，C⊆A，D⊆A，D⊆B，D⊆C.类型二子集、真子集的个数问题例2(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A C B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为()A．－2 B．4 C．0 D．以上答案都不是【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.【答案】(1)B (2)C(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A C B确定集合C.(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．方法归纳求集合子集、真子集个数的三个步骤跟踪训练2(1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝()．2 C ．A {1,2,3}根据题意，集合≤x ≤m 用数轴表示如图所示：与1之间．当1aB A .B ≠∅a ＝15. ⎬⎫,[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是()A．1B．－1C．1或－1 D．0,1或－1解析：由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.答案：D2．已知集合M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是()A．M>N B．M NC．N M D．M⊆N解析：因为y＝(x－1)2－2≥－2，所以M＝{y|y≥－2}，所以N M.答案：C3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是() A．1 B．－1C．±1 D．0解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.答案：C4．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为()A．2 B．4C．6 D．8解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．答案：B5．设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是() A．m>3 B．m≥3C．m<3 D．m≤3解析：因为A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.分，共15分)结合数轴知A B.A B．设集合A＝{1,3．∵A＝{1,3，＋1∈在数轴上画出集合A.－3，时也满足题意，京举行，若集合A ＝{参加羽毛球锦标赛的运动员}，集合B ＝{参加羽毛球锦标赛的男运动员}，集合C ＝{参加羽毛球锦标赛的女运动员}，则下列关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆CC ．C AD ．B A解析：易知集合B ，C 是集合A 的子集，且是真子集，而B ，C 之间没有关系，因此只有D 选项正确，答案：D12．已知集合A ＝{1,3,5}，则集合A 的所有子集的元素之和为________．解析：集合A 的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A 中的每个元素出现在A 的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.答案：3613．已知集合A ＝{1,3，x 2}，B ＝{x ＋2,1}．是否存在实数x ，使得B ⊆A ？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，说明理由．解析：假设存在实数x ，使B ⊆A ，则x ＋2＝3或x ＋2＝x 2.(1)当x ＋2＝3时，x ＝1，此时A ＝{1,3,1}，不满足集合元素的互异性．故x ≠1.(2)当x ＋2＝x 2时，即x 2－x －2＝0，故x ＝－1或x ＝2.①当x ＝－1时，A ＝{1,3,1}，与集合元素的互异性矛盾，故x ≠－1.②当x ＝2时，A ＝{1,3,4}，B ＝{4,1}，显然有B ⊆A .综上所述，存在x ＝2，使A ＝{1,3,4}，B ＝{4,1}满足B ⊆A .14．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上得m ≥－1.即实数m 的取值范围为{m |m ≥－1}．。
3集合与集合之间的关系
集合与集合之间的关系学习目标:1、掌握子集、真子集的概念；2、会判定两个集合之间包含关系。
学习重点:子集、真子集的概念。
学习难点:包含和真包含的区别。
学习过程:复习导引：观察下列各组集合,A与B之间具有怎样的关系?（1） A={-1，1}，B={-1，0，1，2}；（2） A=N，B=R；（3） A={x|x为北京人}，B={x|x为中国人}。
新知识学习：问题：如何用语言来表述这种关系？1、子集问题探讨1 指出下列各组中集合A 与集合B 之间的关系。
①A={3，7}，B={3}；②A={-1，1}，B=Z 。
课内练习1 指出下列各组中集合A 与集合B 之间的关系。
①A={1，3，5}，B={3}；②A={1}，B=Z 。
问题探讨2 写出集合{a,b}的所有子集。
课内练习2 写出集合{a ，b ，c}的所有子集。
2、真子集如果B A ⊆，并且B A ≠，则集合A 称为集合B 的真子集。
记作：B A ⊂或A B ⊃，读作：A 真包含于B 或B 真包含A 。
注：换一种说法，集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，如{}{}b a a ,⊂。
性质：A ⊂φ（空集是任何非空集合的真子集）。
课内练习3判断下列表示是否正确；①{}a a ⊆； ②{}{}b a a ,∈； ③{}{}a b b a ,,⊆； ④{}{}1,0,11,1-⊂-； ⑤{}1,1-⊂φ。
课堂小结：1、子集、真子集的概念。
2、三个性质（1）空集是任何集合的子集，Aφ。
⊆（2）空集是任何非空集合的真子集，Aφ。
⊂A⊆。
（3）任何一个集合是它本身的子集，A 3、“⊆”与“⊂”的区别。
4、0，{0}，φ的区别与联系。
课外练习：。
高一数学集合间的基本关系知识点详解
高一数学集合间的基本关系知识点详解高一的学生首先接触的就是集合间的知识点，下面店铺的小编将为大家带来高一数学关于集合间的基本关系的知识点的介绍，希望能够帮助到大家。
高一数学集合间的基本关系知识点集合知识点总结知识点包括集合的概念、集合元素的特性、集合的表示方法、常见的特殊集合、集合的分类和集合间的基本关系等知识点，除了集合的表示方法中的描述法较难理解，其它的都多是好理解的知识，只需加强记忆。
一、集合有关概念1、集合的含义2、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
整数集Z (包括负整数、零和正整数) (4)有理数集Q (5)实数集R6、集合的分类： (1)有限集;(2)无限集;(3)空集。
二、集合间的基本关系1、子集2、真子集3、空集集合考法集合是学习函数的基础知识，在段考和高考中是必考内容。
在段考中多考查集合间的子集和真子集关系，在高考中也是不可少的考查内容，多以选择题和填空题的形式出现，经常出现在选择填空题的前几小题，难度不大。
主要与函数和方程、不等式联合考查的集合的表示方法和集合间的基本关系。
误区提醒2、集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
4、集合的运算注意端点的取等问题。
最好是直接代入原题检验。
5、集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征，尤其是确定性和互异性。
在解题中，要注意把握与运用，例如在解答含有参数问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误。
【典型例题】集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：1、子集概念：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB(或说A包含于B)，也可记为BA(B包含A)，此时说A是B的子集;A不是B的子集，记作AB，读作A不包含于B2、集合相等：对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B3、真子集：对于集合A与B，如果AB并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作，读作A真包含于B(B真包含A)集合间基本关系：性质1：(1)空集是任何集合的子集，即A;(2)空集是任何非空集合的真子集;(3)传递性：AB，BCAC;AB，BCAC;(4)AB，BAA=B。
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五、练习测学： 1.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集；④若 Ø A,则 A≠Ø 其中正确的有（ ）
A.0 个 B 1个 C 2个 D 3个 2.下列关系式：①｛a,b｝ ｛a,b｝;②｛b,a｝=｛b,a｝;③0 ｛0｝; ④Ø ｛0｝⑤Ø ｛0｝⑥Ø=｛0｝正确的有（ ）个
三、合作提升： 小组内合作完成训练展示，讨论后仍不能解决的问老师。 四、评价点拨： 对训练展示中的中高档题学生肯定有迷惑的地方，教师适当点拨，并 规范解题步骤。 五、总结反思：
六、课下练习: 自学丛书中的集合间的基本关系部分。
反思（心得） ：
自学质疑阶段 自学记录 学案内容
一、目标导学： 要求：请同学们认真学习“目标导学” ，明确本节课的学习内容及 要求。 二、教材自学： 自学任务一：阅读课本 P6-7，独立思考并完成以下问题： 1.子集的概念及表示方法 2.怎样利用 Venn 图表示包含关系？ 3.用子集的概念描述集合相等。 4.真子集的概念 5.空集的概念以及空集和其他集合的关系的规定 自学指导：学生要独立阅读和思考，不能讨论。 自学任务二：完成 P7 的思考题，并得出其下面的两个结论。 自学任务三：尝试解答例 3，并总结解题的方法。 三、媒体助学： 同学们做课后练习题 1-3 四、合作互学： 小组内相互交流对例题的理解和练习题的作法。
中档题：已知{1，2 } M {1，2，3，4，5}，则这样的集合 M 有多少个？ 分别写出来.
提 高 题 ： 1. 已 知 A x | 3 ≤ x ≤ 2 ， B x | m 1 ≤
3 2m
B A ，求实数
x ≤
m 的取值范围。
2.已知 A x | x 2 3x 2 0 , B x | ax 1 0 ， B A ，求 实数 a 的值。
、 、 、 、 ）填空： 3. 用适当的符号（ 、
①4
0,2,4, 6
1， 2， 3， 4
②11
4m 3, m Z
6
③ 1， 2
④ 5， 6
“ 、 、 、 ” 4.用 连接下列集合对：
①A={济南人}，B={山东人}；
②A=N，B=R；
③A={1，2，3，4}，B={0，1，2，3，4，5}；
④A={本校田径队队员}，B={本校长跑队队员}；
⑤A={11 月份的公休日}，B={11 月份的星期六或星期天}
5.若 A={ a ，b ，c },则有几个子集， 几个真子集？写出 A 所有的子集和真子集。
反思：
“研讨理解”学案 知识点（研讨目标） 集合间的包含关系 子集和真子集的概念，空集的概念 写出一个集合的子集与真子集 学生笔记 学案内容 一、疑难突破： 重点：掌握子集，真子集的概念 难点：理解空集的概念，写出一个集合的子集 二、训练展示： 基础题：已知 A x | x 3 ， B x | x a ， A B ，求实数 a 的 取值范围。 识记 理解 √ √ √ 应用
山东省枣庄二中2014级 高中数学教学案
班级 姓名 使用时间 年 月
日
编号 必修1-1 系 1.了解集合间的包含关系
审核人
目标 导学 重点 难点
2.了解子集，真子集的概念，理解空集的意义 3.能利用 Venn 图表示集合间的关系 重点：子集与空集的概念，用 Venn 图表示集合间的关系 难点：弄清元素与子集，属于与包含的区别