合作中心2013级数学科测试题二十一(含答案)
-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案
-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案2012—2013学年第一学期《高等数学(2-1)》期中试卷（工科）专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年11月25日页号一二三四五六总分本页满分32 18 10 16 16 8本页得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；B ．(0)f 是()f x 的极小值；C ．(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点；D ．(0)f 是()f x 的极大值.3. 当x →∞时，若21ax bx c++与11x +为等价无穷小，则,,a b c 之值为（ B ）． A ．0,1,1a b c ===； B ．0,1a b ==,c 为任意常数；C ．0a =，,b c 为任意常数； D. ,,a b c 均为任意常数.4.设220()(),0x x f x x g x x ⎧>=≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在 0x =处（ D ）. A ．极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导. 5. 设()f x 在0x 可导且01()2f x '=，则0x ∆→时，0|x x dy =是x ∆的（ C ）.A ．等价无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶但非等价无穷小；D 低阶无穷小.三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分）1.求极限0x →解：（方法一）200sin 12lim lim 11cos 2x x x xx x→→==-；（方法二）001lim 11cos x x x →→==-； （方法三）洛比达法则001sin 11cos cos sin lim 1sin 2cos 21sin x x x x x x x x x x xx x →→→+-+-===+. 2. 设函数()y y x =由方程sin()(0,)xy y xe x x y ππ=>-<<确定，求其在1x =处的切线方程.解：两边取对数得：sin()(1)ln xy y x =-，两边对x 求导，有1cos()()ln y xy y xy y x x-''+=+， 又由于1x =时，sin 0y =，y ππ-<<，可得0y =，代入得(1)1y '=-，故在1x =处的切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=.3. 设3arctan 6x t t y t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，求221d y t dx =. 解：222363(1)111dy dy t dt t dx dx dt t +===+++； 22222()66(1)()1211d dy d y d dy t t t dt dx dx dx dx dx t dt t +====+++，故 2241d y t dx ==.本页满分10分本页得分4. 求极限21)(cos lim x x x →. 解：（方法一）2211cos 1cos 100lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x x x --→→=+- 20cos 11lim 2x x x e e →--==； （方法二）22222111sin 1222sin 2200lim(cos )lim (cos )lim(1sin )xx x x xx x x x x x e ---→→∞→==-=； （方法三）洛比达法则sin 2cos 220111ln(cos )lim 200lim(cos )lim x x x x x x x x x x e e e -→-→→===.四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）1. 已知()sin 2ln(1),0()1,0ax a b x x x x f x e x ++-⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处可导，试求出a 与b .解：由于()f x 在0x =处可导，必连续，故(0)(0)(0)0f f f -+===，又000()sin 2ln(1)()sin 2ln(1)(0)lim lim lim 2x x x a b x x a b x x f a b x x x++++→→→++-+-==+=+-，可得20a b +-=，即2a b +=；又由于()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -+''=，又 01(0)lim ax x e f a x--→-'==， 本页满分16分 本页得分2200200()sin 2ln(1)sin ln(1)(0)lim 2lim 1cos 11lim lim [sin ]1(1)x x x x a b x x x x f x x x x x x x +++++→→→→++-+-'==--==--=--， 故1,3a b =-=.2. 有一底半径为R cm ，高为h cm 的圆锥容器，今以253cm /s 自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速率.解：设t 时刻，水的体积，水面半径及水的深度分别为,,V r x ，由于2211()33V R h r h x ππ=--， 又从相似三角形可知：r h x R h -=，即h x r R h-=， 可得3222332211()1[()]333h x R V R h R h h x hh πππ-=-=--，两边对t 求导，得 222()dV R dx h x dt dt hπ=-， 由已知条件25dV dt =，2h x =，代入得2100dx dt R π=，即水面上升的速率为2100cm/s Rπ. 3. 试讨论方程)0(,ln >=a ax x 有几个实根.解：令()ln ,(0,)f x x ax x =-∈+∞，则 1()f x a x '=-，令()0f x '=，解得驻点1x a =，列表如下： x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' + 0 — 本页满分16分本页得分()f x 最大值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，()f x 的最大值为1(ln 1)f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，讨论如下： （1） 当1a e =时，10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，方程ln x ax =有唯一的实根； （2） 当10a e <<时，10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又由于 00lim ()lim (ln )x x f x x ax ++→→=-=-∞； ln lim ()lim ()x x x f x x a x→+∞→+∞=-=-∞， 故方程ln x ax =有两实根，分别位于10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内； 当1a e >时，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，方程ln x ax =没有实根. 五、证明题（共2小题，每小题8分，共16分）1．设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且(0)0f =，0)2(=f ，证明：存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.证明：令()()x F x e f x -=，则()F x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且由于(0)0f =，0)2(=f ，易得(0)(2)0F F ==，根据罗尔定理，至少存在(0,2)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0e f e f ξξξξ--'-+=，又0e ξ-≠，可得()()f f ξξ'=.本页满分8分本页2．证明：当0>x 时，x x x x <+<+)1ln(1. 证明：（方法一）设t t f ln )(=，则)(t f 在[1,1]x +上连续，在(1,1)x +内可导，由 Lagrange 中值定理，得ln(1)ln11x x ξ+-=，11x ξ<<+，故1111x ξ<<+，即1ln(1)11x x x +<<+，整理得，x x xx <+<+)1ln(1. （方法二）：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理.（方法三）：利用函数的单调性. 得分。
2013高考数学(新课标卷)试题及答案
2013年全国卷新课标——数学理科（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古） 本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 10【解析】选D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 【解析】选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案.3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P【解析】选C.经计算， 221,21 z i z i i ==--=-+.4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21 B.32 C.43 D.54 【解析】选C.画图易得,21F PF △是底角为30的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以34c e a ==. 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-【解析】选D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数 【解析】选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【解析】选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，113932V =⨯⨯=.8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 8【解析】选C.易知点(4,-在222x y a -=上，得24a =，24a =. 9. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(【解析】选A. 由322,22442Z k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Z k k k ω+≤≤+∈， 15024ωω>∴≤≤ .10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为【解析】选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号.11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 【解析】选A.易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为11312O ABC V -==，26S ABC O ABC V V --== 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+【解析】选B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称，只需求曲线12x y e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 到直线y x =距离d =.令()12x f x e x=-，则()112xf x e '=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1l n 2-.所以d=1x e x -=，min d =所以)min min ||21ln 2PQ d ==-.二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .【解析】由已知得，()22222244||-=-=-a b a b a a b +b 2244cos 45=- a a b +b2410=-=+b，解得=b14. 设yx,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-31yxyxyx则yxZ2-=的取值范围为.【解析】[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y=-经过点()1,2时，Z取最小值3-；当直线2Z x y=-经过点()3,0时，Z取最大值3.故2Z x y=-的取值范围为[]3,3-.15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.【解析】38.由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16. 数列}{na满足12)1(1-=-++naannn，则}{na的前60项和为.【解析】1830.由1(1)21nn na a n++-=-得，22143k ka a k--=-……①21241k ka a k+-=-……②,再由②-①得,21212k ka a+-+=……③由①得, ()()()214365S S a a a a a a-=-+-+-+奇偶…()6059a a+-159=+++ (117)+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++21530=⨯=所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0s i n 3c o s =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .解：(Ⅰ)法一:由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C > ,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =，由余弦定理可得 222cos 2a b c C ab +-=.再由cos sin 0a C C b c --=可得，222sin 02a b c a A b c ab+-⋅+--=，即2222sin 220a b c A b bc +-+--=，2222sin 220a b c A b bc +-+--=22212b c a A bc +--+=cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 0A π<< ，5666A πππ∴-<-<， 66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △，1sin 24bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=. 解得2b c ==.18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由. 解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.XX 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1(Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥ ，1DC DC D = ，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠= ，AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=- ，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n = . 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =.设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos 2n n n n θ⋅===, 30θ∴= . 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为AF k ==.直线m的方程为02x +=. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由x y p '==, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为0x =.所以坐标原点到m ，n3=.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值 解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔< 所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔,所以当x =, ()u x 取最大值2e u =.故当12a b +==时, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明：(Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CF BD ∴ 且 =CF BD ，又∵D 为AB 的中点，CF AD ∴ 且 =CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠ BCD GBD ∴△∽△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围. 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++- ()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++-- 2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集； (Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.(Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]3,0-.。
四川省2013年“联测促改”数理及答案
四川省2013年“联测促改”活动数学（理工类）测试题答案及评分参考一、选择题：本题考查基本概念和基本运算. 每小题5分，满分50分.(1) B (2) D (3) D (4) A (5) A(6) D (7) A (8) C (9) C (10)B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算. 每小题5分，满分25分.(11) (12) (13) (14) 16 (15) 12三、解答题16. (Ⅰ)当时，，当时,.综上. 5分(Ⅱ)由得.所以,,即是等比数列.所以数列的前项和.12分17．(Ⅰ)由已知得,又，所以.4分(Ⅱ)因为，由正弦定理得.所以==.12分18. (Ⅰ)的取值为0，1，2．所以的分布列为012P故7分(Ⅱ)由题设可知，即乙厂生产的产品数量为35件．易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品率为故乙厂生产有大约（件）优等品．12分19. 解法一：(Ⅰ)直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B⊥AB,BC⊥AB,又B1B BC=B，∴AB⊥平面BB1C1C.又Ｎ、Ｆ分别为A1 C1、B1 C1的中点∴AB∥A1B1∥NF.∴NF⊥平面BB1C1C.因为FC平面BB1C1C.所以NF⊥FC.取BC中点G，有BG=GF=GC.∴BF⊥FC，又NF F B=F，∴FC⊥平面NFB. 5分(Ⅱ)∵平面ABC⊥平面ACC1A1, 平面ABC∩平面ACC1A1=AC.过B作BH⊥AC于H, 则BH⊥平面ACC1A1. 所以BH⊥N C.过H作HE⊥NC于E, 连结BE, 所以NC⊥平面BEH，所以NC⊥BE.则∠BE H是二面角B-NC-A的平面角.在Rt△ABC中, BH·AC=AB·B C.不妨设AB=a，则BH==a.∵BF=CF,∴在△BNC中NC=BN=a, BE·CN=BC·NG.又∵在Rt△BNG中，NG=.∴BE= =a.∴在Rt△BEH中sin∠BEH==，则cos∠BEH=.∴二面角B-NC-A的余弦值为. 12分解法二：(Ⅰ)以B1为坐标原点，B1B，B1C1，B1A1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角系.不妨设AB=a，则B1(0,0,0), B(a,0,0), F(0,a,0) , A1(0,0,a),C1(0,2a,0)，N(0,a,) , C(a,2a,0).∴=(-a,a,0) , =(0,0, ).=(-a,-a,0).·=a2-a2=0 ,·=0·(-a)+ 0·(-a)+ 0·=0.∴CF⊥BF, CF⊥FN, 又BF FN=F，∴CF⊥平面NFB. 5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得=(-a,0,0),=(0,2a,-a),=(0,2a,0),= (-a,a,).设平面ACC1A1的一个法向量为=（x1,y1,z1）,则有∴取y1=1, z1=2,则=（0,1,2）.设平面BNC的一个法向量=（x2,y2,z2）,则∴取x2=1 , z2=2.∴=(1,0,2).设所求二面角的大小为,则cos===.∴二面角B-NC-A的余弦值为．12分20. (Ⅰ)设动点M的坐标为(x,y)．当或时，直线AM或BM的斜率不存在．当且时，由题意得，化简得，.所以轨迹C的方程为（其中，且）．4分(Ⅱ)设直线l的方程为，联立直线方程与椭圆方程得化简得．，解得（，且）．（当m=0时，点R在直线l上）设、，则，，所以．点R到直线PQ的距离为，所以S△PQR＝（当m=时，等号成立）．故△PQR的最大面积为．13分21．(Ⅰ) 当时，必有.当时，设函数，则.所以函数在区间上是单调递增的.又因为，所以当时，，即.综上，当时，成立.3分(Ⅱ)，令，则.由(Ⅰ)得到：当时，有，即在区间(0,1)上单调递增.而=0，所以在区间(0,1)上函数成立.因此，在区间(0,1)上函数是单调递增的.又因为，，所以，在区间[0, 1]上函数的值域. 8分(Ⅲ)由(Ⅱ)可得，，则当时，；当时，；当时，。
2013数学题-答案
2013年数学能力知识竞赛试题答案1、答案：2元2、答案：503、答案：20只4、答案：每个月都有28天5、答案：1961年6、答案：4个7、答案：12支8、答案：对顶角9、答案：倒数10、答案：分数11、答案：5分钟 12、答案：在铁轨上 13、答案：4分钟14、答案：11 15、答案：照片上的人分别为爷爷、爸爸、儿子16、答案：28张 17、答案：5个 18、答案：B19、答案：B 20、答案：D 21、答案：D 22、答案：一样轻23、答案： B 24、答案：9 25、答案：5个 26、答案：5只27、答案：算错时 28、答案：鸡跑错了方向 29、答案：6 30、答案：带走的那个人叫“麻将” 31、答案：9只32、答案：全等 33、答案：直线 34、答案：一样长35、答案：横竖对角线三数之和都是15 36、答案：B37答案：A 38、答案：C 39、答案：交换律40、答案：能 41、答案：丢三落四 42、答案：A43、答案：七上八下 44、答案：角 45、答案：数学46、答案：几何 47、答案：图形 48、答案：C49、答案：余角 50、答案：相等 51、答案：兔12只，雉22只。
52、答案：日租金360元。
53、答案：d=9,a=1,b=0,c=8 1089*9=9801 54、答案：第二种方案要比第一种方案好得多55、答案： 3由已知3n+1是一个完全平方数所以我们就设3n+1=a^2，显然a^2不是3的倍数，于是a=3k±1，从而3n+1=a^2=9k^2±6k+1,n=3k^2±2k即n+1=2k^2+(k±1)^2，所以k的最小值是3.56、答案：边长为6、8、10、或者5、12、1357、答案：（1）田，南，中（2） O M D（3）8,3,058、答案：增加的部分就是原来的：3/5+10% 所以原来要做：280/（3/5+10%）=400件59、答案：31（岁） 60、答案：24 61、答案： 90元。
2013年三大联盟自主招生数学试题及答案
ak al am an
a1 k 1 d a1 l 1 d a1 m 1 d a1 n 1 d k l mn k l mn ≥ mn 2 2 因此命题得证，
b2013 0 ，进而易得 a1 a2
b2013 mx m 2013 x m 2x 2013 ．
a2013 0 ．
（理科第 9 题，文科第 9 题） 对任意 ，求 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2 的值． 【解析】 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2
1 2 【解析】 B．
AB BC CA 的模等于（ A BC
）
A．
B． 1
C． 3
D．不能确定
A B C A B C
A B C A B C
3 AB AC BA BC C A CB
AB BC CA AB BC CA
（理科第 7 题，文科第 8 题） 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论． 【解析】 至多可以找到 4 个，如 1, 3 , 7 , 9 ． 下面证明不能找到 5 个符合题意的正整数． 考虑它们模 3 的余数，设余数为 0 、 1 、 2 的分别有 a 、 b 、 c 个，则 1° 若 a 、 b 、 c 均不为零，则存在三个数，它们的和为 3 的倍数，一定不是质数； 2° 若 a 、 b 、 c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同． 此时它们的和为 3 的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到 5 个符合题意的正整数． （理科第 8 题，文科第 10 题） 实数 a1 , a2 ,
浙江省十一校联合体2013届第一次联考数学(理科)试题及答案
浙江省十一校联合体2013届第一次联考数学（理科）本试卷共4页，共22题，分值150分。
考试用时150分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方块涂黑。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷、草稿纸上无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号答在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。
考生应该根据直接的选做的题目准确填涂题号，不得多选,答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（C ）113cm（D ）2323cm 3. 已知,,l m n 为互不重合的三条直线，平面α⊥平面β ，l αβ=，,m n αβ⊂⊂，那么m n ⊥是m β⊥的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4. 如图是用二分法求方程0)(=x f 近似解的程序框图， 其中()()0f a f b <．判断框内可以填写的内容有如1正视图 侧视图下四个选择：①()()0f a f m <；②()()0f a f m >； ③()()0f b f m <；④()()0f b f m >. 其中正确的是A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④5. 点(,)P x y 为不等式组2211010x y x y x y ⎧+≤⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域上一点，则2x y +取值范围为（A）⎡⎣ （B）⎡-⎣（C ）[]1,2- （D ）[]2,2-6. 已知b a ,都是正实数，且满足ab b a 24log )2(log =+，则2a b +的最小值为（A ）12 （B) 10 （C ）8 （D ）6 (第4题) 7. 下列四个图中，哪个可能是函数10ln 1x y x +=的图象（A ）（B ） （C ） （D ）8. 与直线04=++y x 相切，与曲线xy 4=(0>x )有公共点且面积最小的圆的方程为A.822=+y x B ．18)1()1(22=-+-y xC ．422=+y xD ．2)1()1(22=+++y x9. 给定有限单调递增数列{}n x （至少有两项），其中0(1)i x i n ≠≤≤，定义集合*{(,)1,,,}i j A x x i j n i j =≤≤∈N 且．若对任意的点A A ∈1，存在点A A ∈2使得21OA OA ⊥（O 为坐标原点），则称数列}{n x 具有性质P ．例如数列}{n x ：22，-具有性质P ．以下对于数列}{n x 的判断：①数列}{n x ：2-，1-，1，3具有性质P ；②若数列}{n x 满足⎩⎨⎧≤≤=-=-,20142,2,1,11n n x n n 则该数列具有性质P ；③若数列}{n x 具有性质P ，则数列}{n x 中一定存在两项j i x x ,，使得0=+j i x x ；其中正确的是A.①②③B.②③C. ①②D.③10. 已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的两条渐近线为12,l l ，过右焦点F 作垂直1l 的直线交12,l l 于,A B 两点.若,,OA AB OB 成等差数列，则双曲线的离心率为 （A（B（C（D1二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．11. 锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边．若b B a 3sin 2=，5b c +=， 6bc =，则a = .12. 若函数1,0,()(021,0xxa x f x ab x ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=>⎨⎝⎭⎪-<⎩且2a ≠，0b >且1)b ≠的图象关于y 轴对称，则13. 14. ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若tan tan tan C A B=+，且22cos ab C c =，则m 的值为 ．15. 已知数列{}{},n n a b 满足112,1a b ==，11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩*(2,)n n N ≥∈，则3344()()a b a b +∙-的值为 ． 16. 已知O 为ABC ∆的外心，4,2,120AB AC BAC ==∠=.若12AO AB AC λλ=+, 则12λλ+= ．17. 若函数21()lg 1x ax f x x x ++=⋅-的值域为()0,+∞，则实数a 的最小值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且112,3a b ==，3556a b +=，5326a b +=．（Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若22321nb x x n -+≤+对任意*n ∈N 恒成立，求实数x 的取值范围.19.已知函数22()sin cos 3cos (f x x x x x m m =+++∈R )．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程； （Ⅱ）当]3π,0[∈x 时，()f x 的最大值为9，求实数m 的值．20. 如图已知圆锥SO 的底面半径为4，母线长为8，三角形SAB 是圆锥的一个轴截面,D是SA 上的一点，且338=SD ．动点M 从点B 出发沿着圆锥的侧面运动到达点D ，当其运动路程最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面SAB 绕着轴SO 逆时针旋转 (0)θθ<<π后，母线1SB 与曲线Γ相交于点P ． （Ⅰ）若2π=θ，证明：平面11A B P ⊥平面ABP ； （Ⅱ）若3π2=θ，求二面角P AB B --1的余弦值．A 1BOS AθB 1 D ∙∙21. 已知曲线1C ：22144x y λ+=，曲线2C ：2221(01)44x y λλλ+=<<.曲线2C 的左顶点恰为曲线1C 的左焦点.(Ⅰ)求λ的值；(Ⅱ)设00(,)P x y 为曲线2C 上一点，过点P 作 直线交曲线1C 于,A C 两点. 直线OP 交 曲线1C 于,B D 两点. 若P 为AC 中点， ① 求证：直线AC 的方程为 0022x x y y +=；② 求四边形ABCD 的面积.22. 设函数2()(2)x f x x e =-． （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）是否存在[],()a b a b <，使得()f x 在该区间上的值域为44[,]e a e b ？若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由.高三数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1） A （2） C （3）B （4） C （5） B （6） C （7） C （8）A （9） D （10）B二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．（11（12）8 （13）π4或π2 （14）2（15）78（16）136 （17）-2三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（18）解：（Ⅰ）由题意，411211256426a db q a d b q ⎧++⋅=⎨++⋅=⎩，2分代入得422235624326d q d q ⎧++⋅=⎨++⋅=⎩，消d 得422280q q --=， 22(27)(4)0q q +-=，{}n b 是各项都为正数的等比数列，2q ∴=进而3d =，131,32n n n a n b -∴=-=⋅6分 （Ⅱ）记13221n n c n -⋅=+ 1121320(21)(23)n n n n c c n n -+--=⋅⋅>++ 10分n c 最小值为11c =，12分 232x x -+≤， 2,x ≥或1x ≤14分（19）解（Ⅰ）22()sin cos 3cos f x x x x x m =+++1cos 21cos 22322x xx m -+=+⨯+………………………3分2cos 22x x m =+++2sin(2) 2.6x m π=+++………………………5分由222,262k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，………………………6分 得,36k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ． ∴函数()f x 的单调增区间为[,](36k k k ππ-+π+π∈Z)．………………………7分由2,62x k k ππ+=+π∈Z 得,62k x k ππ=+∈Z ， ∴函数()f x 的对称轴方程是,62k x k ππ=+∈Z .………………………8分 （Ⅱ）∵当[0,]3x π∈时，2666x ππ5π≤+≤，………………………9分∴1sin(2)126x π≤+≤，………………………11分 ∴32sin(2)246m x m m π+≤+++≤+，……………………12分∴49m +=，解得5m =．∴实数m 的值为5.…………………………………………13分 （由2666x ππ5π≤+≤得出sin(2)6x π+的最大值为1，得2分；正确推出()f x 的最大值为4m +，再得1分；正确求出m 的值得1分）（21）解法一：（Ⅰ）证明：∵2πθ=，∴11AB A B ⊥．…………………………………1分∵1SO B AB ⊥平面,∴SO AB ⊥ ……………2分 又∵11SO A B O =I ，∴AB ⊥平面11SA B ，…4分 又∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面11SA B ，……………………6分 又∵P ∈平面11SA B ，∴平面PAB ⊥平面11PA B ．………………………………7分 （Ⅱ）以O 为原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，OS 所在直线为z 轴建立如图（1）所示的空间直角坐标系， (8)则(4,0,0)A -，(4,0,0)B ，将圆锥半侧面图展开，如图（2）所示， 由已知可求2ASB π∠=． ……………………9分图（1）又23θπ=Q ，16ASB π∴∠=．8SD SB ==Q ，3SDP π∴∠=． 2SPD π∴∠=，∴在Rt SPD ∆中，sin 43SP SD π==．∴点P 为1SB 的中点．……………………10分 如图（1）SO ⊥面1AB B ，∴面11SA B ⊥面1AB B过P 作1PQ OB ⊥交1OB 于Q ，则PQ ⊥面1AB B ，1//2PQ SO PQ SO ∴∴===1122OQ OB ==(P ∴-．……………………11分AP ∴=uu u r ，(8,0,0)AB ∴=uu u r．设平面ABP 的法向量为1(,,)x y z =n，则30,80,x x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得：1(0,2,1)=-n ……………………12分取平面1B AB 的法向量为2(0,0,1)=n ……………………13分12cos(,)∴==n n ∴所求的二面角1B AB P --.……………………14分 解法二：（I ）同解法一；（Ⅱ）与解法一同,得：PQ =2OQ =．…………11分 过Q 作QC AB ⊥交AB 于C ，连结CP ，∵1PQ B AB ⊥平面, ∴PQ AB ⊥, 又∵PQ QC Q =I∴AB PQC ⊥平面，∴PC AB ⊥.则PCQ ∠为二面角1B AB P --的平面角. ……………13分S DQBCAA 1ASBDPB 1 图（2）Rt PQC ∆中，cos CQ PCQ PC ∠=== ∴所求的二面角1B AB P --．…………………………………………14分（21）12λ= 5分 （Ⅱ）①可得0000),(,)B D7分由2212OP ACb k k a ⋅=-=-0000:()()2x AC y y k x x x x y -=-=-- 即0022x x y y +=000,y x ==，:AC l x =0022x x y y += 9分 ② 解法一：联立方程000221224x y x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩220022200022(1)402x x x x y y y +-+-= 即220024480x x x y -+-=11分A C AC x =-==,B D 到AC距离12d d ==13分121()2S AC d d =⋅+=414分 当00y =时ABCD 面积也为415分② 解法二：联立方程000221224x y x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩220022200022(1)402x x x x y y y +-+-= 即220024480x x x y -+-=11分A C AC x =-== ， O 到AC距离d =4ABCD AOC S ∆==14分 当00y =时ABCD 面积也为415分②解法三：000000(,),),(,)P x y B DBD =11(,)A x y ，00:0BD l y x x y -=A 到BD的距离为d =11分又22220101001122,22,24x x y y x y x y +=+=+=， 2222222222220011011001012220101010101018(2)(2)224(2)2()42()x y x y x x y x y x y y x x y y x y y x x y y x =++=+++=++-=+-则0101y x x y - 13分 又P 为AC 中点，则1242S d BD =⋅⋅⋅==. 15分 （22）（Ⅰ）'()(2)xf x x x e =- ()f x 在(,0),(2,)-∞+∞上单调递增，(0,2)上单调递减.(0)4,(2)0y f y f ====极大极小6分 （Ⅱ）()0f x ≥,0a ∴≥8分若0a = 则2b ≥,故有24(2)b b e e b -=构造2(2)()(2)bb g b e b b -=> ,2224(2)'()0b b b g b e bb ⎡⎤--=+>⎢⎥⎣⎦4b =为唯一解.10分若0a >,则[]2,a b ∉即2b a >>或02a b <<<①2b a >>时 2424()(2)()(2)a b f a a e e af b b e e b⎧=-=⎨=-=⎩ 前面已证至多一解,不存在满足条件的,a b ; 12分②02a b <<<时,2424(2)(2)a b a e e b b e e a⎧-=⎨-=⎩,相除得22(2)(2)a b a a e b b e -=- 记 2()(2)(02)x h x x x e x =-<<,则 322'()(44)(4)(1)x x h x x x x e x x e =--+=--，()h x 在(0,1)递增,(1,2)递减,由()()h a h b =01,12a b ∴<<<< 此时24(2)4a a e e e b -<< 矛盾.综上所述,满足条件的,a b 为0,4a b ==14分。
2013年秋季九年级期考数学科参考答案
2013年秋季九年级期考数学科参考答案一、选择题（每小题3分，共21分）1.A ；2.A ；3. D ；4.A ；5.B ；6.C ；7.C. 二、填空题（每小题4分，共40分）8.6；9.1x =0，2x =1；10.6；11.25；12.略 ；13.92；14.9:16； 15. (-2,-1)；16.322；17. （1）2012，2013 （2）2 . 三、解答题（89分）18.原式＝3-4（8分）＝-1 （9分）19.写出求根公式 （4分） 32±=x （9分） 20. ∵ DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴ ∠ADE ＝∠B ＝∠EFC ， 3分 ∴ ∠AED ＝∠C ， 6分∴ △ADE ∽△EFC 9分21. 在Rt △AED 中，∵ AE ＝DE ×tan40°≈8.39 4分∴ AB=AE+EB (6分) ≈9.6（米） 8分 答：旗杆AB 的长度约为9.6米． 9分22.(1) 用列表或画树状图表示 6分 (2) P(能被2整除)= 1/3. 9分 23.（1）画出△ABC （画出A 、B 、C 各1分） 4分 （2）画出△A ′BC ′（画出A ′、C ′各1分 7分） A ′（-3，0） C ′（3，-3） 9分 24.（1）20－x ，100＋10x ； 4分（2）根据题意，得 (20－x )(100＋10x )＝2160． 6分整理，得x 2－10x ＋16＝0， 8分解这个方程得x 1＝2 x 2＝8， 9分 答：每件商品应降价2元或8元．25. （1）（6,2） 3分（2）由题意知： P （t ，t ） Q （2t ，0） ① S=t 24分 ∴t =±1∴当t =1时，△OPQ 的面积等于1 5分② PQ 2=2t 2BQ 2=(6-2t )2+4 PB 2=(2-t )2+(6-t )2△PQB 为直角三角形,只能∠PQB=90°或 ∠PBQ=90° 6分 当∠PQB=90°时 PB 2=PQ 2+BQ 24t 2-8t =0t =2 或 t =0（舍去） 7分当∠PBQ=90°时 PQ 2=BQ 2 +PB 2t 2-10t +20=0t =5±5 8分∴当t =2，t =5±5时 △PQB 为直角三角形 （3）过D 作DK ⊥OC ，垂足为K AD=DK=2 DC=DE=20又∠NDE=∠MDC ∴△NDE ≌△MDC 若△DNE 为等腰三角形， 则△DMC 为等腰三角形 9分 设M(a ，0)DM=MC （6-a ）2=22+（a -2）2a =27 M(27，0) 10分 DM=MC M 与C 关于K 点对称 M(-2，0) 11分 DC=MC M(6-25，0) 或 M(6+25，0) 13分26.（1）=a 4 3分（2）连结OP ，B(0，4) 设P(x ，y )四边形BOAP 面积 =△BPO 的面积+△APO 的面积 4分 =21×2y +21×4x =422++-x x 5分 =5)1(2+--x 6分 -1<0 抛物线开口向下当x =1时，四边形BOAP 面积的最大值是5 7分 此时点P 的坐标P(1，3) 8分 （3）kx y = 42+-=x y 04=-+kx x2162+±-=k k x 9分过M 作MM ′⊥OQ ，垂足为M ′过N 作NN ′⊥OQ ，垂足为N ′ 当 ∠MQO=∠NQO 时tan ∠MQO=tan ∠NQO 10分 设M （1x ，1y ） N （2x ，2y ）11y m x --=22y m x - 11分m x x =+-421 12分 21x x =-4 ∴m =8 13分N'M'Q NMBO xyA。
2013年普通高等学校招生统一考试数学试题、参考答案(江苏)
数学Ⅰ试题参考公式:样本数据x 1,x 2, ,x n 的方差s 2=1n ∑n i =1x i -x ()-2,其中x -=1n ∑n i =1x i .棱锥的体积公式:V =13Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 为高.棱柱的体积公式:V =Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 为高.(第5题)一㊁填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答㊃题卡相应位置上∙∙∙∙∙∙∙.1.函数y =3sin(2x +π4)的最小正周期为 ▲ .2.设z =(2-i)2(i 为虚数单位),则复数z 的模为 ▲ .3.双曲线x 216-y 29=1的两条渐近线的方程为 ▲ .4.集合{-1,0,1}共有 ▲ 个子集.5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 ▲ .6.抽样统计甲㊁乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ .7.现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为 ▲ . (第8题)8.如图,在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点.设三棱锥F -ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2= ▲ .9.抛物线y =x 2在x =1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点P (x ,y )是区域D 内的任意一点,则x +2y 的取值范围是 ▲ .10.设D ,E 分别是ΔABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC.若→DE =λ1→AB +λ2→AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 ▲ .11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 ▲ .12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2.若d 2=6d 1,则椭圆C 的离心率为 ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点A (a ,a ),P 是函数y =1x (x >0)图象上一动点.若点P ,A 之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ .14.在正项等比数列{a n }中,a 5=12,a 6+a 7=3.则满足a 1+a 2+ +a n >a 1a 2 a n 的最大正整数n 的值为 ▲ .二㊁解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答㊃题卡指定区域∙∙∙∙∙∙内作答,解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π.(1)若a -b =2,求证:a ⊥b;(第16题)(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值.16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥S -ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB ⊥BC ,AS =AB.过A 作AF ⊥SB ,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC ;(2)BC ⊥SA.17.(本小题满分14分)(第17题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,3),直线l :y =2x -4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y =x -1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MA =2MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18.(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C.现有甲㊁乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m/min .在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min (第18题)后,再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC 长为1260m,经测量,cos A =1213,cos C =35.(1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?19.(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ,公差为d 的等差数列(d ≠0),S n 是其前n 项的和.记b n =nS n n 2+c ,n ∈N *,其中c 为实数.(1)若c =0,且b 1,b 2,b 4成等比数列,证明:S nk =n 2S k (k ,n ∈N *);(2)若{b n }是等差数列,证明:c =0.20.(本小题满分16分)设函数f (x )=ln x -ax ,g (x )=e x -ax ,其中a 为实数.(1)若f (x )在(1,+¥)上是单调减函数,且g (x )在(1,+¥)上有最小值,求a 的取值范围;(2)若g (x )在(-1,+¥)上是单调增函数,试求f (x )的零点个数,并证明你的结论.数学Ⅰ试题参考答案一㊁填空题:本题考查基础知识㊁基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.1.π 2.5 3.y =±34x 4.8 5.3 6.2 7.2063 8.1∶24 9.[-2,12]10.12 11.(-5,0)∪(5,+¥) 12.33 13.-1,10 14.12二㊁解答题15.本小题主要考查平面向量的加法㊁减法㊁数量积㊁三角函数的基本关系式㊁诱导公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分14分.解:(1)由题意得a -b 2=2,即(a -b )2=a 2-2a ㊃b +b 2=2.又因为a 2=b 2=a 2=b 2=1,所以2-2a ㊃b =2,即a ㊃b =0,故a ⊥b .(2)因为a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以cos α+cos β=0,sin α+sin β=1{,由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得,sin α=sin β=12,而α>β,所以α=5π6,β=π6.16.本小题主要考查直线与直线㊁直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.(第16题)证明:(1)因为AS =AB ,AF ⊥SB ,垂足为F ,所以F 是SB 的中点.又因为E 是SA 的中点,所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG =E ,所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ,且交线为SB ,又AF ⊂平面SAB ,AF ⊥SB ,所以AF ⊥平面SBC ,因为BC ⊂平面SBC ,所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC ,AF ∩AB =A ,AF ,AB ⊂平面SAB ,所以BC ⊥平面SAB.因为SA ⊂平面SAB ,所以BC ⊥SA.17.本小题主要考查直线与圆的方程,考查直线与直线㊁直线与圆㊁圆与圆的位置关系等基础知识,考查运用数形结合㊁待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.满分14分.(第17题)解:(1)由题设,圆心C 是直线y =2x -4和y =x -1的交点,解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在.设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y =kx +3,由题意,3k +1k 2+1=1,解得k =0或-34,故所求切线方程为y =3或3x +4y -12=0.(2)因为圆心在直线y =2x -4上,所以圆C 的方程为(x -a )2+[y -2(a -2)]2=1.设点M (x ,y ),因为MA =2MO ,所以x 2+(y -3)2=2x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y -3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点M 在以D (0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M (x ,y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则2-1≤CD ≤2+1,即1≤a 2+(2a -3)2≤3.由5a 2-12a +8≥0,得a ∈R ;由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为0,12éëêêùûúú5.18.本小题主要考查正余弦定理㊁二次函数的最值以及三角函数的基本关系㊁两角和的正弦等基础知识,考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.满分16分.解:(1)在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =35,所以(第18题)sin A =513,sin C =45.从而sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365.由正弦定理AB sin C =AC sin B ,得AB =AC sin B ×sin C =12606365×45=1040(m).所以索道AB 的长为1040m .(2)假设乙出发t 分钟后,甲㊁乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t )m,乙距离A 处130t m,所以由余弦定理得d 2=(100+50t )2+(130t )2-2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2-70t +50),因0≤t ≤1040130,即0≤t ≤8,故当t =3537(min)时,甲㊁乙两游客距离最短.(3)由正弦定理BC sin A =AC sin B ,得BC =AC sin B ×sin A =12606365×513=500(m).乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m 才能到达C.设乙步行的速度为v m /min,由题意得-3≤500v -71050≤3,解得125043≤v ≤62514,所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在125043,625éëêêùûúú14(单位:m /min)范围内.19.本小题主要考查等差㊁等比数列的定义㊁通项㊁求和等基础知识,考查分析转化能力及推理论证能力.满分16分.解:由题设,S n =na +n (n -1)2 d.(1)由c =0,得b n =S n n =a +n -12d.又因为b 1,b 2,b 4成等比数列,所以b 22=b 1b 4,即(a +d 2)2=a (a +32d ),化简得d 2-2ad =0.因为d ≠0,所以d =2a.因此,对于所有的m ∈N *,有S m =m 2a.从而对于所有的k ,n ∈N *,有S nk =(nk )2a =n 2k 2a =n 2S k .(2)设数列b {}n 的公差是d 1,则b n =b 1+(n -1)d 1,即nS n n 2+c =b 1+(n -1)d 1,n ∈N *,代入S n 的表达式,整理得,对于所有的n ∈N *,有(d 1-12d )n 3+(b 1-d 1-a +12d )n 2+cd 1n =c (d 1-b 1).令A =d 1-12d ,B =b 1-d 1-a +12d ,D =c (d 1-b 1),则对于所有的n ∈N *,有An 3+Bn 2+cd 1n =D. (*)在(*)式中分别取n =1,2,3,4,得A +B +cd 1=8A +4B +2cd 1=27A +9B +3cd 1=64A +16B +4cd 1,从而有7A +3B +cd 1=0, ①19A +5B +cd 1=0,②21A +5B +cd 1=0,{③由②,③得A =0,cd 1=-5B ,代入方程①,得B =0,从而cd 1=0.即d 1-12d =0,b 1-d 1-a +12d =0,cd 1=0.若d 1=0,则由d 1-12d =0,得d =0,与题设矛盾,所以d 1≠0.又因为cd 1=0,所以c =0.20.本小题主要考查导数的运算及利用导数研究函数的性质,考查函数㊁方程及不等式的相互转化,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.满分16分.解:(1)令f ′(x )=1x -a =1-ax x <0,考虑到f (x )的定义域为(0,+¥),故a >0,进而解得x >a -1,即f (x )在(a -1,+¥)上是单调减函数.同理,f (x )在(0,a -1)上是单调增函数.由于f (x )在(1,+¥)上是单调减函数,故(1,+¥)⊆(a -1,+¥),从而a -1≤1,即a ≥1.令g′(x )=e x -a =0,得x =ln a.当x <ln a 时,g′(x )<0;当x >ln a 时,g′(x )>0.又g (x )在(1,+¥)上有最小值,所以ln a >1,即a >e .综上,有a ∈(e,+¥).(2)当a ≤0时,g (x )必为单调增函数;当a >0时,令g′(x )=e x -a >0,解得a <e x ,即x >ln a ,因为g (x )在(-1,+¥)上是单调增函数,类似(1)有ln a ≤-1,即0<a ≤e -1.结合上述两种情况,有a ≤e -1.(ⅰ)当a =0时,由f (1)=0以及f ′(x )=1x >0,得f (x )存在唯一的零点;(ⅱ)当a <0时,由于f e ()a =a -a e a =a (1-e a )<0,f ()1=-a >0,且函数f (x )在e a ,[]1上的图象不间断,所以f (x )在(e a ,1)上存在零点.另外,当x >0时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,+¥)上是单调增函数,所以f (x )只有一个零点.(ⅲ)当0<a ≤e -1时,令f ′(x )=1x -a =0,解得x =a -1.当0<x <a -1时,f ′(x )>0,当x >a -1时,f ′(x )<0,所以,x =a -1是f (x )的最大值点,且最大值为f a ()-1=-ln a -1.①当-ln a -1=0,即a =e -1时,f (x )有一个零点x =e .②当-ln a -1>0,即0<a <e -1时,f (x )有两个零点.实际上,对于0<a <e -1,由于f e ()-1=-1-a e -1<0,f a ()-1>0,且函数f (x )在[e -1,a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(e -1,a -1)上存在零点.另外,当x ∈(0,a -1)时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,a -1)上是单调增函数,所以f (x )在(0,a -1)上只有一个零点.下面考虑f (x )在(a -1,+¥)上的情况.先证f (e a -1)=a (a -2-e a -1)<0.为此,我们要证明:当x >e 时,e x >x 2.设h (x )=e x -x 2,则h′(x )=e x -2x ,再设l (x )=h′(x )=e x -2x ,则l′(x )=e x -2.当x >1时,l′(x )=e x -2>e-2>0,所以l (x )=h′(x )在(1,+¥)上是单调增函数.故当x >2时,h′(x )=e x -2x >h′(2)=e 2-4>0,从而h (x )在(2,+¥)上是单调增函数,进而当x >e 时,h (x )=e x -x 2>h (e)=e e -e 2>0.即当x >e 时,e x >x 2.当0<a <e -1,即a -1>e 时,f (e a -1)=a -1-a e a -1=a (a -2-e a -1)<0,又f (a -1)>0,且函数f (x )在[a -1,e a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(a -1,e a -1)上存在零点.又当x >a -1时,f ′(x )=1x -a <0,故f (x )在(a -1,+¥)上是单调减函数,所以f (x )在(a -1,+¥)上只有一个零点.综合(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),当a ≤0或a =e -1时,f (x )的零点个数为1,当0<a <e -1时,f (x )的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A ㊁B ㊁C ㊁D 四小题,请㊃选定其中两小题∙∙∙∙∙∙∙,并㊃在相应的答题区域内作答∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.(第21-A 题)A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且BC =2OC.求证:AC =2AD.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A =-10éëêùûú02,B =12éëêùûú06,求矩阵A -1B.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为x =t +1,y =2{t (t 为参数),曲线C 的参数方程为x =2tan 2θ,y =2tan {θ(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b >0,求证:2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b.【必做题】第22题㊁第23题,每题10分,共计20分.请在答㊃题卡指定区域∙∙∙∙∙∙内作答,解答时应(第22题)写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,AB ⊥AC ,AB =AC =2,A 1A =4,点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值;(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.23.(本小题满分10分)设数列{a n }:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4, ,(-1)k -1k , ,(-1)k -1ìîíïïïïïïïïk k 个, ,即当(k -1)k 2<n ≤k (k +1)2(k ∈N *)时,a n =(-1)k -1k.记S n =a 1+a 2+ +a n (n ∈N *).对于l ∈N *,定义集合P l ={n S n 是a n 的整数倍,n ∈N *,且1≤n ≤l }.(1)求集合P 11中元素的个数;(2)求集合P 2000中元素的个数.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A.[选修4-1:几何证明选讲]本小题主要考查圆的切线性质㊁相似三角形判定与性质,考查推理论证能力.满分10分.证明:连结OD.因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C,(第21-A 题)所以∠ADO =∠ACB =90°.又因为∠A =∠A ,所以Rt ΔADO ∽Rt ΔACB.所以BC OD =AC AD .又BC =2OC =2OD ,故AC =2AD.B.[选修4-2:矩阵与变换]本小题主要考查逆矩阵㊁矩阵的乘法,考查运算求解能力.满分10分.解:设矩阵A 的逆矩阵为a b éëêùûúc d ,则-10éëêùûúa b éëêùûúc d =10éëêùûú,即-a -b éëêùûúd =10éëêùûú,故a =-1,b =0,c =0,d =12,从而A 的逆矩阵为A -1=-100éëêêêùûúúú12,所以A -1B =-100éëêêêùûúúú1212éëêùûú06=-1-2éëêùûú03.C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查转化问题的能力.满分10分.解:因为直线l 的参数方程为x =t +1,y =2{t (t 为参数),由x =t +1得t =x -1,代入y =2t ,得到直线l 的普通方程为2x -y -2=0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2=2x.联立方程组y =2(x -1),y 2=2x {,解得公共点的坐标为(2,2),(12,-1).D.[选修4-5:不等式选讲]本小题主要考查利用比较法证明不等式,考查推理论证能力.满分10分.证明:2a 3-b 3-(2ab 2-a 2b )=2a (a 2-b 2)+b (a 2-b 2)=(a 2-b 2)(2a +b )=(a -b )(a +b )(2a +b ).因为a ≥b >0,所以a -b ≥0,a +b >0,2a +b >0,从而(a -b )(a +b )(2a +b )≥0,即2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b.22.【必做题】本小题主要考查异面直线㊁二面角㊁空间向量等基础知识以及基本运算,考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.(第22题)解:(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0),D (1,1,0),A 1(0,0,4),C 1(0,2,4),所以A 1→B =(2,0,-4),C 1→D =(1,-1,-4).因为cos〈A 1→B ,C 1→D 〉=A 1→B ㊃C 1→D A 1→B C 1→D =1820×18=31010,所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1=(x ,y ,z ),因为→AD =(1,1,0),AC →1=(0,2,4),所以n 1㊃→AD =0,n 1㊃AC →1=0,即x +y =0且y +2z =0,取z =1,得x =2,y =-2,所以,n 1=(2,-2,1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2=(0,1,0),设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由cos θ=n 1㊃n 2n 1n 2=29×1=23,得sin θ=53.因此,平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.23.【必做题】本小题主要考查集合㊁数列的概念和运算㊁计数原理等基础知识,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.解:(1)由数列a {}n 的定义得a 1=1,a 2=-2,a 3=-2,a 4=3,a 5=3,a 6=3,a 7=-4,a 8=-4,a 9=-4,a 10=-4,a 11=5,所以S 1=1,S 2=-1,S 3=-3,S 4=0,S 5=3,S 6=6,S 7=2,S 8=-2,S 9=-6,S 10=-10,S 11=-5,从而S 1=a 1,S 4=0×a 4,S 5=a 5,S 6=2a 6,S 11=-a 11,所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证:S i (2i +1)=-i (2i +1)(i ∈N *).事实上,①当i =1时,S i (2i +1)=S 3=-3,-i (2i +1)=-3,故原等式成立;。
2013年下半年真题及答案解析(初中数学)
2013年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（初级中学）注意事项：1．考试时间为120分钟，满分为150分。
2．请按规定在答题卡上填涂、作答。
在试卷上作答无效，不予评分。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．极限的值是( )。
A. -1B. OC. l D ．正无穷 2．设f(x)是R 上的函数，则下列叙述正确的是( )。
A. f(x)f(-x)是奇函数B. f(x)| f(x)|是奇函数C. f(x)-f(-x)是偶函数D. f(x)+f(-x)是偶函数 3．定积分∫2dx 3−2的值是( )。
A. 254π B. 252πC. 256π D. 94π4．函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，x 0=l ，则( )。
A.x 0不是驻点B.x 0是驻点，但不是极值点C.x 0是极小值点D.x 0是极大值点5．经过圆x 2+2x+y 2=0的圆心，与直线x+y=0垂直的直线方程是( )。
A.x+y+l=0 B.x-y-l=0 C.x+y-l=0 D.x-y+l=0 6．下列矩阵所对应的线性变换不是旋转变换的是( )。
A ．(1101) B ．(1001)C ．√202−442) D ．(cos θsin θ−sin θcos θ) 7．下列内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》第三学段“数与式”的是( )。
①有理数②方程③实数④代数式⑤整式与分式A ．①②③④B ．①②④⑤ C.①③④⑤ D ．①②③⑤ 8．下面哪位不是数学家？( )A ．祖冲之B ．秦九韶C ．孙思邈D ．杨辉二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9．设a 、b 为实数，O<a<b ，证明在开区间(a ，b)中存在有理数（提示取1n <b −a ）。
10．已知矩阵M=，求曲线在矩阵M -1对应的线性变换作用下得到的曲线方程。
11．射手向区间[0,1]射击一次，落点服从均匀分布，若射中[0，12]区间，则观众甲中奖；若射中[x,35]区间，则观众乙中奖。
2013年十月份九年级数学两校联考数学试题及答案
2013年十月份两校联考数学试题答题卡（满分120分时间120分钟）一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案二、填空题（共7小题，每题3分，共21分）9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题（共8小题，共75分）X Kb1 .C om16. （5分）计算327 ÷32＋ ( 2 －1 )219.（8分)17.（8分) 解方程（1）)12(3)12(2+=+x x （2）2316x x -=18.（8分)20.（8分)21.（12分）23. （14分）_ G_ B_ F_ C_ A(甲)新 课 标 第 一 网、22.（12分） yxCDBO2013年十月份两校联考数学试卷时间：120分 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．估算324+的值 （ ）A ．在5和6之间B ．在6和7之间C ．在7和8之间D ．在8和9之间 2．下列二次根式4、12、50、21其中与2是同类二次根式的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图，下列图形经过旋转后，与图（1）相同的是（ ）第3题图（1）ABC D 4．下列各式正确的是（ ） A ．5323222=+=+B ．32)53(3523++=+C ．94)9()4(⨯=-⨯-D ． 212214= 5．代数式24-+x x 中，x 的取值范围是（ ）A. 4-≥xB. 2>x C . 24≠-≥x x 且 D. 24≠->x x 且6．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP /重合，如果AP=3，那么PP /的长等于（ ）A ．33B ．23C ．42D ．327．如图，将半径为8的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为 （ ）A ．215B ．415C ．8D ．108．已知直角三角形y x ,两边的长满足|42-x |+652+-y y =0，则第三边长为（ ）A ．22或13B ．5或22C ．13或5 D ．13、22或5二、填空题（每空3分，共21分）9．点P （2，3）绕着原点逆时针方向旋转90o 与点P /重合，则P /的坐标为 ． 10．比较大小6-57-6 ．（填“＞”或“＜”＝）11．已知24n 是整数，则正整数n 的最小值是 ．12．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D E 、，量出半径5cm OC =，弦8c m DE =，则直尺的宽度 ．（第12题）13．已知方程2520x x --=的两根分别为2,1x x ，则211248x x x -++= ．14．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x ，则所列方程应为 ．15．如图，在△ABC 中，AB ＝5cm ，∠A ＝45°，∠C ＝30°，⊙O 为△ABC 的外接圆，P 为 ⌒BC 上 任一点，则四边形OABP 的周长的最大值是 cm ．三、解答题（共75分） 16．（5分）计算327 ÷32＋ ( 2 －1 )217．（8分）解方程（1）)12(3)12(2+=+x x （2）2316x x -=OPCBA（第15题）CD OB A （第7题图）（第6题）18．（8分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数．X k B 1 . c o m19．（8分）关于x的一元二次方程：kx2+(k+1)x+ k=0有两个不相等的实数根．①求k的取值范围．（4分）②是否存在实数k，使方程的两实数根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．（4分）20．（8分）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪音影响．已知有两台相距60米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为18千米/时，那么这两台拖拉机沿ON方向行驶时将给小学带来噪音影响的时间为多少秒？21．（12分）大别山旅行社为了吸引村民组团去麻城龟山风景区旅游，推出了如下收费标准：现某单位组织员工去龟山风景区旅游．(1)若该单位有18名员工去旅游，需支付给大别山旅行社旅游费用多少元?（3分）(2)若该单位有28名员工去旅游，需支付给大别山旅行社旅游费用多少元?（3分）(3)若该单位共支付给大别山旅行社旅游费用27000元,请问该单位共有多少员工去龟山风景区旅游？（6分）22．（12分）如图，以直角梯形OBDC的下底OB所在的直线为x轴,以垂直于底边的腰OC所在的直线为y轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系,CD和OB的长是方程2540x x-+=的两个根.(1)试求S△OCD: S△ODB的值;(4分)(2)若2.OD CD OB=,试求直线DB的解析式;（4分）(3)在(2)的条件下,线段OD上是否存在一点P,过P做PM∥x轴交y轴于M,交DB于N,过N作NQ∥y轴交x轴于Q,则四边形MNQO的面积等于梯形OBDC面积的一半,若存在,请说明理由,并求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.（4分）新课标第一网23．（14分）如图,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2, ∠BAC=600,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得△A′B′C，A B分别与A′C,A′B′相交于D、E,如图(乙)所示.①. 试判断△A′CF的形状，并说明理由. （3分）②. △ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C ?说明理由. （3分）③.求A′D的长. （3分）④.求△ACB与△A′B′C的重叠部分(即四边形CDEF)的面积. （5分）41yxC DBO_G_B_F_C_A(甲)如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元参考答案一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C B D B D二、填空题（共7小题，每题3分，共21分）9.(-3,2) 10. ＞ 11. 6 12.3cm13.15 14.100[1+(1+x)+(1+x)2]=800 15.15+25w W w .x K b 1.c o M三、解答题（75分）16．3+2717．(1)-1/2,1 (2)123 13x=+，223 13x=-.18.解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D=180°．………………..2分∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC=∠B．又由题意可知∠AOC=2∠D．………………..4分X|k |B| 1 . c|O |m∴可求∠D=60°．………………..5分连结OD，可得AO=OD，CO=OD．∴∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC．………………..7分∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D=60°．………………..8分19.k＞-1/2且k不等于0，不存在20.36秒21.（1）18000 （2）263200 （3）30 22．（1）S△OCD：S△ODB= 1/4（2）直线DB的解析式为y= （—3/3）x+ 43/3．（3）点P坐标为（1/2，3/2）或（5/6，35/6）23．解：（1）△A′CF是等边三角形理由：∵ACFG是正方形，A'B′经过点F，∴A′C=CF．又∵∠A′=60°，∴△A′CF是等边三角形（2）∵∠A′CF=60°，X k B 1 . c o m∴∠ACA′=90°-60°=30°．∴△ABC至少旋转30°才能得到△A′CB′．（3分)（3）A′D=2-3（4）6—35/2。
2013数学答案
2013数学答案1【答案】A 。
【考点】交集的运算。
【解析】∵{}{}{}{}22S x x 2x=0x R ,T=x x 2x=0x R =0,22,0+∈--∈== ，，，∴S T=0 。
故选A 。
2【答案】C 。
【考点】函数的定义域，对数和分式有意义的条件。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据对数和分式有意义的条件，要使()lg x 1x 1+-在实数范围内有意义，必须()()x 1>0x >1111x 10x 1+-⎧⎧⇒⇒-+∞⎨⎨-≠≠⎩⎩，，。
故选C 。
3【答案】D 。
【考点】复数模的计算。
【解析】∵()i x yi =34i x y R ++∈，，，∴()34i i 34i 3i 4x yi====43i i i i 1+⋅+-+-⋅-。
∴复数x yi +。
故选D 。
4【答案】B 。
【考点】三角诱导公式的应用。
【解析】∵51sin =25πα⎛⎫+⎪⎝⎭，∴1cos =5α-，即1cos =5α-。
故选B 。
5【答案】C 。
【考点】程序框图。
【解析】由已知中的程序框图及已知输入n=3，可得：进入循环的条件为i 3£，即i =1，2，3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的s 值：当i 1,s 1==时，s s (i 1)1(11)1=+-=+-=； 当i 2,s 1==时，s s (i 1)1(21)2=+-=+-=；当i 3,s 2==时，s s (i 1)2(31)4=+-=+-=；当i 4,s 3==时，不满足条件i 3£，退出循环，则输出的s 4=。
故选C 。
6【答案】B 。
【考点】由三视图判断几何体，三棱锥的体积公式。
【解析】由三视图可知，该三棱锥的底两直角边长是1×1的等腰直角，。
高是2， ∴该三棱锥的体积是1111V SH 1123323==⨯⨯⨯⨯=。
故选B 。
7【答案】B 。
【考点】圆的切线方程，数形结合思想的应用，待定系数法的应用。
2013年试卷及答案
数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．9的算术平方根是A ．9B ．C ．3D ． 2．如下书写的四个汉字,其中为轴对称图形的是A ．B ．C 。
D.3．一副扑克牌,去掉大小王，从中任抽一张，恰好抽到的牌是8的概率是 A ．154B ．113C ．152D ．144．把代数式269ab ab a -+分解因式,下列结果中正确的是A ．2(3)a b +B ．(3)(3)a b b +-C ．2(4)a b -D ．2(3)a b - 5．函数y kx k =-与ky x=(0k ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是6．如图，AE BD ∥，1120240∠=∠=°，°，则C ∠的度数是Ａ．Ｂ．20°Ｃ．30°Ｄ．40°7．若22a a -=-,则的取值范围是A ．2a >B ．0a >C ．2a ≤D ．0a ≤ 8．右图中是左面正方体的展开图的是二、填空题（本题共16分，每小题4分) 9．函数23xy x -=-中，自变量的取值范围是 .10．甲、乙两个旅游景点今年5月上旬每天接待游客的人数如图所示，甲、乙两景点日接待游客A ．B ．C ．D ．人数的方差大小关系为：2S 甲2S 乙．11．若把代数式257x x ++化为2()x m k -+的形式，其中、为常数,则k m -= .12．正方形111A B C O ， 2221A B C C ,，3332A B C C ， …按如图所示的方式放置．点 ，，，…和点，,…分别在直线(0)y kx b k =+>和轴上，已知点1(1,1)B ,2(3,2)B ，则点的坐标是 ， 点的坐标是 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）132013tan 30()2)2-︒+-．14．解方程:21133x x x-+=--。
15．已知220x x +-=,求代数式2(2)(3)(3)(1)x x x x x -++--+的值．16．已知：如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，MN 是过点的一条直线，AM MN ⊥于，BN MN ⊥于。
2013级数学综合试题(含答案)
2013级数学综合试题一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卷中相应的位置上.1．－38的相反数是（ B ）A ．83B ．38C ．－38D ．－832．计算(－x)2·x 3的值是（ D ） A ．x 6 B ．－x 6 C ．－x 5 D ．x 53．函数y=12x －3中，自变量x 的取值范围为（ C ） A ．x ＞32 B ．x≠32 且x≠0 C ．x≠32 D ．x≠324．下列图形中是既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ B ）5．如图，AB ∥ED ， ∠ECF=70○，则∠BAF 的度数为（ A ）A ．110○B ．130○C ．70○D ．20○ 6．下列调查中，适合用普查方式的是（ D ）A ．了解美制“毒剂”导弹的杀伤半径B ．了解我国民众对“中日钓鱼岛争端”的看法C ．了解嘉陵江的水质情况D ．了解某班学生对“鸟叔”的知晓率。
7．如图，点B 、C 在⊙O 上，且OB=BC ，则∠BAC=（ C ）A ．60○B ． 50○C ．30○D ．40○8．若方程3（x －2）=2－x 的解与关于x 的方程6－2k=2(x ＋3)的解相同，则k 的值为（ C ） A ．2 B ．12 C ．－2 D ．－129．如图，正方形纸片ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，将AB 、AD 分别沿AE 、AF 折叠，点B 、D 恰好都落在点G 处，已知BE=1，则EF 的长为（ A ） A ．52B ．32C ．94D ．310．下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，A B CD OCBAA B C DEF5题图第7题图……图①图②图③图④A BCED15题图第②个图形中一共有11个矩形，……，按此规律，第⑥个图形中矩形的个数为（ D ）A ．30B ．25C ． 28D ．3111．一水池有甲、乙、丙三个水管，其中甲、丙两管为进水管，乙管为出水管．单位时间内，甲管水流量最大，丙管水流量最小．先开甲、乙两管，一段时间后，关闭乙管开丙管，又经过一段时间，关闭甲管开乙管．则能正确反映水池蓄水量y （立方米）随时间t （小时）变化的图象是（ D ）A ．B ．C ．D ．12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(－2，0 )、（x 1，0），且1<x 1<2，与y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方，在原点的上方．下列结论： ①4a －2b+c=0；②2a －b ＜0；③2a －b ＞－1；④2a ＋c ＜0；⑤b ＞a 其中正确结论的个数是( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将答案填在答题卷相应位置的横线上．13．用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×10-5秒到达另一座山峰，已知光速为3×108米/秒，则两座山峰之间的距离用科学记数法表示为 1.2×104米。
2013年高考数学新大纲必考题及答案二
2013年高考数学新大纲必考题及答案二第I 卷(选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分 1.已知集合}01|{2≤-=x x M ，},4221|{1Z ∈<<=+x x N x ，则M ∩N =（ ） A.}1,0,1{- B.}0,1{- C.)1,1[- D.]0,1[-2． 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A ．），（11B ．），（11-C ．）（1,1--D ．）（1,1-3.在等差数列}{n a 中，有12876=++a a a ，则此数列的前13项之和为（ ） A ．24B ．39C ．52D ．1044.已知0a >且1a ≠，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可 能是( )A ．B ．C ．D ．5.已知实数,x y 满足220,2,1,x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则342z x y =+-的最大值为( ) A.8 B.6 C.5 D.16.正四面体ABCD 的顶点A,B,C 分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则下列命题中，错误的是（ ） A.O-ABC 是正三棱锥 B.直线O B ∥平面ACD C.直线AD 与OB 所成的夹角为045 D.二面角D-OB-A 为045 7.下列说法正确的是（ ） A.存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a B.x y tan =在其定义域内为增函数 C.)2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数D.|62|sin π+=x y 最小正周期为πOO O O x xxx yyyy1 11 111118．设()f x 为可导函数，且满足12)21()1(lim-=--→xx f f x ，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．－1C ．1D ．－29.将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为( ) A.900 B.1500 C.1800 D.1440A.5≤aB.4<aC.5<aD.4>a→→=FB FA 2,2)(→→→=⋅OB OA OB ,则双曲线的离心率为( )[]b a ,（Z b a b a ∈<,,）内，圆a b y x -=+22的面积的最小值是( )A.πB. π2C. π3D. π4第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为 .14.若直线01=+-y kx 与圆01222=+-++my x y x 交于M ,N 两点，且M ,N 关于直线x y -=对称，则||MN = .15. 已知P 为ΔABC 所在平面内一点，且满足→→→+=AB AC AP 5251，则ΔAPB 的面积与的ΔAPC 面积之比为 .16.若函数y=f(x)对定义域的每一个值x 1，都存在唯一的2x ，使1)()(21==x f x f y 成立,则 称此函数为③x y 2=是“滨湖函数”；④ x y ln =是“滨湖函数”；⑤ )(x f y =，)(x g y =都是“滨湖函数”，且定义域相同，则)()(x g x f y =是“滨湖函数” 。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a.∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直． 以O 为坐标原点，OA u u u r 的方向为x 轴的正方向，|OA u u u r |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC uuu r ＝(1,0，1BB u u u r ＝1AA u u u r ＝(－1，0)，1AC u u u r ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)． 故cos 〈n ，1AC u u u r 〉＝11A C A C⋅u u u r n n＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)． 而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝2. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF . 23． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。
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应城一中合作教育中心2013级数学科测试（二十一）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( A )A ．32B ．34C ．22D ．232．命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．33．1-=a 是直线03301)12(=++=+-+ay x y a ax 和直线垂直的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为31，则其方程是( D )A ．1442x +1282y =1B ．362x +202y =1C ．322x +362y =1D ．362x +322y =15．命题“∃0x ∈R ，02x ≤0”的否定是( D )A ．不存在0x ∈R, 02x >0B ．∀x ∈R, 2x ≤0C ．∃0x ∈R,02x ≥0 D ．∀x ∈R, 2x >06．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ B ）A ．6种B ．12种C ． 24种D ．48种7．今有命题p 、q ，若命题S 为“p q ∧” ，则“p ⌝∨q ⌝”是“s ⌝”的（ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =（ D ）A ．0B ．1C ．11D ．129．椭圆()012222>>=+b a by a x 的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（ C ）A ．253-B ． 853+C ．215-D ．815+10．若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,),a b a b ϕ-那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ C ）条件A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分，各题答案必须填写在答题卷相应位置上）11．椭圆221x my +=的离心率为2，则它的长轴长为__4或1_________. 12．动圆05352)24(222=+++-+-+m m my x m y x 的圆心的轨迹方程是)9(012>=--x y x 13．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有_20___种．14．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则32a a +＝___0___．15．已知F 1、F 2是椭圆14922=+y x 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，则点M 的轨迹方程是_)6(3622±≠=+x y x ．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知命题p ：方程115222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆； 命题q ：椭圆1522=+mx y 的离心率)1,21(∈e .若命题“p 或q”为真，求m 的取值范围。
16.解：由命题p 为真得：50<<m ，由命题q 为真得：3204150><<m m 或，∴m 的取值范围是32050><<m m 或。
17．（12分）已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使直线l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。
17.解：设直线l 方程为t x y +=，代入圆C 方程得：02221)1(22=-++++t t x t x由0>∆得233233+-<<--t 。
设),(),,(2211y x B y x A ,则2221),1(22121-+=+-=+t t x x t x x 由弦AB 为直径的圆过原点知：02121=+y y x x ， ∴0)(2))((2212121=+++=+++t x x t x x t x t x x x ∴0432=-+t t ，∴14=-=t t 或 ∴直线l 方程为14+=-=x y x y 或。
18．（12分）已知椭圆2221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，离心率e =，短轴长为2 （I ）求椭圆的标准方程；（II ）过点1F 的直线l 与该椭圆交于M N 、两点，且222F M F N +=求直线l 的方程。
18.解：（I ）由2e =，22=b 解得2,1,1===a c b ， 故椭圆的标准方程为1222=+y x 。
（II ）)0,1(),0,1(21F F -，当直线l 垂直于x 轴时，方程为1-=x ， 此时)22,1(),22,1(---N M ，)22,2(),22,2(22-=--=→→N F M F当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为)1(+=x k y ，代入1222=+y x 得：0)1(24)12(222=-+++k x k x k ，设),(),,(2211y x N y x M ,则12)1(2,12422212221+-=+-=+k k x x k k x x 由326222=+→→N F M F 得9104)()2(221221=++-+y y x x ∴9104)2()2(2212221=+++-+x x k x x ∴9104)2()2(2212221=+++-+x x k x x ∴017234024=--k k ，∴（舍）或4017122-==k k ∴1±=k故直线l 的方程为1+=x y 或1--=x y19．（12分）已知c ＞0，设p ：函数x y c =在R 上单调递减；q ：不等式2x x c +-＞1的解集为R ，如果“p 或q”为真，且“p 且q”为假，求c 的取值范围。
19.解：由命题p 为真得：10<<c ，由命题q 为真得：21>c ， 由“p 或q”为真，且“p 且q”为假知p 、q 一真一假 当p 真、q 假时，210≤<c ，当p 假、q 真时，1≥c ，∴c 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦[)1,⋃+∞20．（13分）已知直线:(2)(31)1l a y a x -=-- ①求证：无论a 为何值时，直线总过第一象限； ②为使这条直线不过第二象限，求a 的取值范围；③若21a -≤≤-且直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，记AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.19.解：①直线l 恒过点)53,51(M ，又点M 在第一象限，故直线总过第一象限。
②当2=a 时，直线l 为51=x ，满足不过第二象限， 当2≠a 时，直线l 为21213----=a x a a y ， 要直线l 不过第二象限，则应满足：02>-a 且0213≥--a a ∴2>a 故a 的取值范围是2≥a ③)21,0(),0,131(a B a A --，273121.3112+-=--=a a a a S 由21a -≤≤-知，1-=a 时S 最小为121，此时直线l 的方程为0134=+-y x21．（14分）已知椭圆的一个顶点为A （0，—1），焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3。
（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N ，当AN AM =时，求m 的取值范围.解.（1）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点F （0,12-a ） (2)分由题设322212=+-a 解得32=a故所求椭圆的方程为1322=+y x . ……………………5分 （2）设P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即 1322+<k m① …………7分13322+-=+=∴k m kx x x N M p 从而132+=+=k mm kx y p p …………8分mkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,，则kmk k m 13132-=++-即 1322+=k m ② …………………………11分把②代入①得 22m m > 解得 20<<m由②得 03122>-=m k 解得21>m . ………………13分 故所求m 的取范围是（2,21） ……………………………………14分。