【鲁教版】九年级数学上期中模拟试题(含答案)

一、选择题
1．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转80°，得到DEC ，若3120B A ∠=∠=︒，则α∠的度数是（ ）
A ．60︒
B ．50︒
C ．40︒
D ．30
2．已知等边△ABC 的边长为8，点P 是边BC 上的动点，将△ABP 绕A 逆时针转60°得到△ACQ ，点D 是AC 边的中点，连接DQ ，则DQ 的最小值是 ( )
A ．2
B ．23
C ．4
D ．不能确定
3．下列命题的逆命题是真命题的是( ) A ．等边三角形是等腰三角形 B ．若22ac bc >，则a b > C ．成中心对称的两个图形全等 D ．有两边相等的三角形是等腰三角形
4．在平面直角坐标系中，点()3,5P --关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．()3,5-
B ．()3,5-
C ．()3,5
D ．()3,5--
5．如图所示的图形中,是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，△ABC 的顶点在网格中，现将△ABC 绕格点O 顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），使旋转后所得三角形的顶点也在格点上，则当旋转前后的图形形成轴对称图形
时，符合条件的α角的度有（ ）
A ．1个
B ．3个
C ．6个
D ．8个
7．函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋a ，在第一象限内y 随x 的减小而减小，则它们在同一直角坐标系中的图象大致位置是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知()()()112233,,,,,x y x y x y 是抛物线245y x x =--+图像上的任意三点，在以下哪个取值范围中，分别以1y 、2y 、3y 为长的三条线段不一定能围成一个三角形的是（ ） A ．5122
x -
<< B ．71
22
x -
<<- C ．30x -<< D ．41x -<<-
9．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc <；②420a b c ++>；③b a c <+；④230c b -<；⑤2(1)a b an bn n +>+≠，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一
个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）
A ．
13
米 B ．
12
米 C ．
25
米 D ．
35
米 11．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片
ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，
折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AM AF =，表示
方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）
A ．线段BM
B ．线段AM
C ．线段AE
D ．线段EM 12．一元二次方程2610x x +-=配方后可变形为（ ）
A ．()2
310x += B ．()2
38x += C ．()2
310x -= D ．()2
38x -= 13．已知一元二次方程x 2﹣6x+c ＝0有一个根为2，则另一根及c 的值分别为（ ） A ．2，8 B ．3，4 C ．4，3
D ．4，8 14．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ）
A ．x ＝5
B ．x ＝1
C ．x 1＝5，x 2＝﹣5
D ．x 1＝1，x 2＝5
二、填空题
15．公园广场前有一喷水池，喷水头位于水池中央，从喷头喷出水珠的路径可近似看作抛
物线．如图是根据实际情境抽象出的图象，水珠在空中划出的曲线恰好是抛物线
26y x x =-+（单位：m ）的一部分，则水珠落地点（点P ）到喷水口（点O ）的距离为
________m ．
16．若抛物线256y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_______________．
17．2251=-+-y x x 的图象不经过__________象限；
18．若关于x 的一元二次方程()2
3x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)
19．当m ______时，关于x 的一元二次方程2350mx x -+=有两个不相等的实数根． 20．已知a 、b 是方程2320190x x +-=的两根，则24a a b ++的值为________．
三、解答题
21．如图1，AC ⊥CH 于点C ，点B 是射线CH 上一动点，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE （点D 对应点C ）．
（1）延长ED 交CH 于点F ，求证：FA 平分∠CFE ；
（2）如图2，当∠CAB ＞60°时，点M 为AB 的中点，连接DM ，请判断DM 与DA 、DE 的数量关系，并证明．
22．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一点，连结AE ．
（1）画出△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后的图形（点E 的对应点为F ）； （2）若AB =3，则四边形AECF 的面积为 ．
23．某水果店批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售将减少20千克．
（1）现要保证每天盈利5520元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）要使每天获利不少于6000元，求涨价x 的范围．
24．如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，点
P 是抛物线上一动点，连接PB ，PC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图1，当点P 在直线BC 上方时，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ．若2PE ED =，求PBC 的面积；
②抛物线上是否存在一点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
25．已知关于x 的方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0． （1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个根x 1，x 2，且x 12+x 22＝8，求k 的值． 26．用配方法解方程：22450x x +-=．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据旋转的性质找到对应点、对应角、对应线段作答． 【详解】
解：∵3120B A ∠=∠=︒ ∴120B ∠=︒，40A ∠=︒
∵△ABC 绕点C 逆时针旋转80°得到△DEC ，
∴∠D=∠A=40°，∠DEC=∠B=120°，
∴∠DCE=180°-40°-120°=20°，
∵∠DCA=80°
∴∠α=∠DCA-∠DCE=80°-20°=60°．
故选：A．
【点睛】
本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
2．B
解析：B
【分析】
根据旋转的性质，即可得到∠ACQ=∠60
B=°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
【详解】
解:由旋转可得∠ACQ=∠60
B=°．
因为点D是AC的中点，所以CD=4．
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时∠CDQ＝30︒．
所以
1
2
2
CQ CD
==，
DQ==
所以DQ的最小值是
故选B．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
3．D
解析：D
【分析】
先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、不等式的性质、中心对称的性质等进行判断．
【详解】
A、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误；
B、逆命题是：如果a＞b，则ac2＞bc2，是假命题，故本选项错误；
C、逆命题为：全等的两个图形成中心对称，是假命题，故本选项错误；
D、逆命题为：等腰三角形是有两边相等的三角形，故本选项正确；
故选：D
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，并熟悉
课本中的性质定理．
4．C
解析：C
【解析】
分析：根据关于原点对称的点的坐标特点解答．
详解：点P（-3，-5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选C．
点睛：本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．5．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6．B
解析：B
【分析】
画出图形，利用图象法解决问题即可．
【详解】
观察图象可知，满足条件的α的值为90°或180°或270°，
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转变换，轴对称的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．B
解析：B
先根据二次函数y ＝ax 2的增减性确定出 a >0，然后判断出二次函数的开口方向，再根据一次函数的性质确定出一次函数图象经过的象限与 y 轴的交点，然后判断即可． 【详解】
解：∵函数y ＝ax 2在第一象限内y 随x 的减小而减小， ∴a ＞0，
∴y ＝ax 2的图象经过原点且开口方向向上，y ＝ax ＋a 经过第一三象限，且与y 轴的正半轴相交．
A ． 二次函数开口向上，一次函数与y 轴的负半轴相交，不符合题意
B ．二次函数开口向上，一次函数与y 轴的正半轴相交，符合题意
C ．二次函数开口向下，一次函数与y 轴的负半轴相交，不符合题意
D ．二次函数开口向下，一次函数与y 轴的正半轴相交，不符合题意 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，是基础题，根据二次函数的增减性确定出 a 是正数是解题的关键．
8．A
解析：A 【分析】
先将二次函数解析式化为顶点式，分别根据自变量x 的取值范围确定y 的范围，再根据任意两边之和是否大于第三边即可判断． 【详解】 解：
245y x x =--+=()2
29x -++，
∴抛物线的对称轴为直线2x =-且抛物线开口向下，
A 选项，当51
22x -
<<时，1194
y <≤，当12y y ，取3，3y 取9时，123y y y +<，两边之和小于第三边，不能构成三角形，故符合题意；
B 选项，当71
22x -
<<-时，2794y <≤，2727+944
>，所以以1y 、2y 、3y 为长的三条线段能围成一个三角形，故不符合题意；
C 选项，当30x -<<时，59y <≤，同理三条线段能围成一个三角形，故不符合题意；
D 选项，当41x -<<-时，59y <≤，同理三条线段能围成一个三角形，故不符合题意． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及三角形成立的条件，解题的关键是确定y 的取值范围，再根据任意两边之和是否大于第三边判断．
9．D
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、以及不等式的性质进行判断即可． 【详解】
抛物线开口向下，因此a ＜0，对称轴为x ＝−b
2a
＝1＞0，a 、b 异号，因此b ＞0，且2a ＋b ＝0，
抛物线与y 轴的交点在正半轴，因此c ＞0， 所以：abc ＜0，因此①正确；
当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＞0，因此②正确；
当x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＜0，即，a ＋c ＜b ，因此③不正确； ∵a−b ＋c ＜0，2a ＋b ＝0， ∴−
1
2
b−b ＋c ＜0，即2c−3b ＜0，因此④正确； 当x ＝1时，y 最大值＝a ＋b ＋c ，当x ＝n （n≠1）时，y ＝an 2＋bn ＋c ＜y 最大值，即：a ＋b
＋c ＞an 2＋b ＋c ，也就是2
a+b an +bn(n 1)>≠，因此⑤正确，
正确的结论有：①②④⑤， 故选：D ． 【点睛】
考查二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
10．C
解析：C 【分析】
根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值． 【详解】
解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)， 设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则2b
a
-＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．
将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ． ∴y ＝ax 2－a ．
∵OH ＝2×15×1
2
＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）． ∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96a EF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．
又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a ∴1＋0.96a ＝－0.64a ．
解得a ＝58
-． ∴y ＝58-x 2＋
58
． ∴EF ＝（58
-）×（-0.6）２＋58＝25
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．
11．B
解析：B 【分析】
设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】
解：设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ， 则BE ＝EF ＝
12，AE ＝x+12
， 在Rt △ABE 中， ∴AE 2＝AB 2+BE 2， ∴（x +
12）2＝1+（1
2
）2， ∴x 2+x -1＝0，
∴AM 的长为x 2+x -1＝0的一个正根， 故选：B ． 【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型．
12．A
解析：A
【分析】
方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方即可得到结果．
【详解】
解：∵x2+6x-1=0，
∴x2+6x=1，
∴x2+6x+9=10，
∴(x+3)²=10，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
13．D
解析：D
【分析】
设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到t+2＝6，2t＝c，然后先求出t，再计算c 的值．
【详解】
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得t+2＝6，2t＝c，
解得t＝4，c＝8．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
x1+x2=-b
a
，x1x2=
c
a
．
14．D
解析：D
【分析】
利用直接开平方法求解即可．
【详解】
解：∵（x﹣3）2﹣4＝0，
∴（x﹣3）2＝4，
则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x1＝5，x2＝1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.
二、填空题
15．6【分析】根据题意可以得到水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离就是OP的长度利用配方法或公式法求得其顶点坐标的横坐标的2倍即为本题的答案【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+6x∴
解析：6
【分析】
根据题意可以得到水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离就是OP的长度，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的横坐标的2倍即为本题的答案．
【详解】
解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+6x，
∴y=-x2+6x=-（x-3）2+9，
∴顶点坐标为：（3，9），
∴水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离为OP=3×2=6（米），
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
16．7【分析】根据抛物线y=x2-5x-6与x轴分别交于AB两点可以令y=0求得点AB的坐标从而可以求得AB的长【详解】解：∵y=x2-5x-6∴y=0时x2-5x-6=0解得x1=-1x2=6∵抛物线
解析：7
【分析】
根据抛物线y=x2-5x-6与x轴分别交于A、B两点，可以令y=0求得点A、B的坐标，从而可以求得AB的长．
【详解】
解：∵y=x2-5x-6，
∴y=0时，x2-5x-6=0，
解得，x1=-1，x2=6．
∵抛物线y=x2-5x-6与x轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(6，0)，
∴AB的长为：6-(-1)=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x 轴相交时，y=0．
17．第二【分析】可得知该函数的图象开口向下再分别求出该函数的对称轴和与y轴的交点利用函数的增减性即可做出判断【详解】解：对于∵a=﹣2﹤
0b=5∴该函数的图象开口向下对称轴为直线x=∴当x﹤时函数y随x
【分析】
可得知该函数的图象开口向下，再分别求出该函数的对称轴和与y 轴的交点，利用函数的增减性即可做出判断．
【详解】
解：对于2251=-+-y x x ，
∵a=﹣2﹤0，b=5，
∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线x=54
， ∴当x ﹤
54
时，函数y 随x 的增大而增大， 又∵当x=0时，y=﹣1，
∴当x ﹤0时，y ﹤﹣1，即y ﹤0，
∴函数图象不经过第二象限，
故答案为：第二．
【点睛】 本题考查二次函数的图象与性质，属于二次函数的基础题，解答的关键是掌握二次函数的性质，利用二次函数的增减性解决问题．
18．1（答案不唯一）【分析】根据非负数的性质可得于是只要使c 的值非负即可【详解】解：若关于的一元二次方程有实根则所以的值可以是1（答案不唯
一）故答案为：1（答案不唯一）【点睛】本题考查了一元二次方程的解 解析：1（答案不唯一）
【分析】
根据非负数的性质可得0c ≥，于是只要使c 的值非负即可．
【详解】
解：若关于x 的一元二次方程()2
3x c -=有实根，
则0c ≥，所以c 的值可以是1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键． 19．m ＜且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0且△=（-3）2-4m×5=9-20m ＞0解不等式组确定m 的取值范围【详解】解：∵关于x 的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相
解析：m ＜
920
且m≠0． 【分析】
根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m ＞0，解不等式组，确定m 的取值范围．
解：∵关于x 的一元二次方程mx 2-3x+5=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m ＞0，
解得m ＜
920且m≠0， 故当m ＜920
且m≠0时，关于x 的一元二次方程mx 2-3x+5=0有两个不相等的实数根． 故答案是：m ＜
920且m≠0． 【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
20．2016【分析】将x=a 代入可得然后由根与系数之间的关系得到整理即可得到答案【详解】解：由题意可知【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系熟练掌握基础知识是解题的关键
解析：2016
【分析】
将x=a 代入2320190x x +-=，可得2320190a a +-=，然后由根与系数之间的关系得到3a b +=-，整理即可得到答案．
【详解】
解：由题意可知，2320190a a +-=，3a b +=-，
232019a a ∴+=，
24a a b ∴++23()a a a b =+++20193=-2016=．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）2DM ＝DE ，证明见解析．
【分析】
（1）根据直角三角形全等判定，得到对应角相等，根据角分线定义证明．
（2）延长AD 交BC 于F ，连接CD ；利用旋转的到特殊值三角形，运用三角形的中位线定理，将DE 解转化到CB 决问题即可．
【详解】
（1）如图1中，
∵△ADE 由△ABC 旋转得到，
∴AC ＝AD ，∠ACF ＝∠ADE ＝∠ADF ＝90°，AF=AF
∴
ACF ADF ≌(HL)，
AFC AFD ∴∠=∠， FA 平分∠CFE ； （2）结论：23DM AD DE +=，
理由如下：如图2中，延长AD 交BC 于F ，连接CD ，
∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，
∴△ACD 为等边三角形，
∴AD ＝CD ＝AC ，
∵∠ACF ＝90°，∠CAF ＝60°，
∴∠AFC ＝30°，
∴AD ＝AC ＝
12AF ， ∴AD ＝DF ，
∴D 为AF 的中点，
又∵M 为AB 的中点，
∴DM ＝12
FB ，即FB=2DM 在Rt △AFC 中，FC 33AD ，
DE CB FB FC ==+，
23FB FC DM ∴+=
∴23DM DE =．
【点睛】
本题考查图形旋转、30°直角三角形性质及三角形中位线定理，综合运用所学知识，将DE 解转化为CB 是解题关键．
22．（1）见解析；（2）9
【分析】
（1）根据旋转的性质即可画出△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后的图形（点E 的对应点为F ）；
（2）根据AB=3和旋转的性质可得四边形AECF 的面积即为正方形ABCD 的面积．
【详解】
（1）如图，△ADF 即为△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后的图形；
（2）根据旋转可知：
四边形AECF 的面积=正方形ABCD 的面积=AB 2=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换、正方形的性质、旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
23．（1）每千克水果应涨价2元；（2）510x ≤≤
【分析】
（1）设每千克应涨价x 元，由题意列出方程，解方程即可求解；
（2）根据题意表示出每天的利润，然后利用每天的获利等于6000元，解出两个x 的值，然后根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】
（1）设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：
（10+x ）（500﹣20x ）＝5520，
解得：x ＝2或x ＝13，
为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价2元；
答：每千克水果应涨价2元．
（2）根据题意得，每天的获利为()()2
1050020203005000w x x x x =+-=-++ 令6000w =，
即22030050006000x x -++=，
解得125,10x x ==，
20a =-<，
∴要使每天获利不少于6000元，涨价x 的范围为510x ≤≤，
答：每千克水果涨价x 的范围是510x ≤≤．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，根据题意列出方程及二次函数是解题的关
键．
24．（1）2y x 2x 3=-++；（2）①32PBC S =△；②1P ⎝⎭，
2P ⎝⎭
．
【分析】
（1）将A （-1,0），B （3，0）代入y=-x 2+bx+c ，可求出答案；
（2）①先求出点C 的坐标，进而可求得直线BC 的函数关系式，再设
()2,23P m m m -++，进而可表示出点E 的坐标为(,3)E m m -+，再根据PD=3ED 列出方程求解即可；
②设点P 的坐标为()
2,23P m m m -++，根据PB=PC 可得PB 2=PC 2，进而可列出方程求解即可．
【详解】
（1）抛物线2y x bx c =-++经过点()1,0A -，()3,0B ， 22(1)0330b c b c ⎧---+=∴⎨-++=⎩
， 解得23b c =⎧⎨=⎩
∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++．
（2）①在2y x 2x 3=-++中，当0x =时，3y =，
()0,3C ∴
设直线BC 的解析式为y kx b =+，
则330
b k b =⎧⎨+=⎩， 31b k =⎧∴⎨=-⎩
∴直线BC 的解析式为3y x =-+，
若2PE ED =，则3PD ED =，
设()
2,23P m m m -++，则(,3)E m m -+， 2233(3)m m m ∴-++=-+，
即2560m m -+=，
解得12m =，23m =（舍）
当2m =时，()2,3P ，()2,1E ，
则1PE =， 131322PBC S ∴=⨯⨯=△， ②假设存在点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，
设点P 的坐标为()
2,23P m m m -++， ∵
PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，
∴PB=PC ，
∴PB 2=PC 2， ∵()2,23P m m m -++，B （3，0），C （0，3），
∴（m-3）2+（-m 2+2m+3）2=m 2+(-m 2+2m+3-3)2
整理得m 2-m-3=0，
解得m 1=
113+，m 2=1132-， 当m=1132+时，-m 2+2m+3=1132
+， ∴点P 的坐标为（
1132+，1132+）， 当m=113-时，-m 2+2m+3=113-， ∴点P 的坐标为（
113-，113-）， 综上所述：抛物线上存在一点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，此时点P 的坐
标为1113113,P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，2113113,P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法解题的关键．
25．（1）见解析；（2）-1或13
【分析】
（1）根据方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0计算判别式的值得到△＝（k ＋1）2≥0，即可证明结论；
（2）利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝
31k k -，x 1x 2＝()21k k -，再根据x 12+x 22＝8得出（31k k -）2﹣2•()21k k
-＝8，解此方程即可求解． 【详解】
（1）证明：关于x 的方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0中，
∵a ＝k ，b ＝﹣（3k ﹣1），c ＝2（k ﹣1），
△()()2
31421k k k ⋅⋅=-﹣- 2296188k k k k ++=--
221k k =++
2(1)k =+，
∴无论k 为任何实数，△0≥．
∴无论k 为任何实数，方程总有实数根；
（2）解：根据题意得x 1+x 2＝
31k k -，x 1x 2＝()21k k -， ∵x 12+x 22＝8，
∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝8，
∴（31k k -）2﹣2•()21k k
-＝8， 整理得3k 2+2k ﹣1＝0，解得k 1＝
13，k 2＝﹣1， 经检验k 1＝
13，k 2＝﹣1为原方程的解， ∵k ≠0，
∴k 的值为﹣1或
13
． 【点睛】 本题考查了根的判别式及根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
26．121122
x x =-+
=-- 【分析】 利用完全平方公式进行配方解一元二次方程即可得．
【详解】
22450x x +-=， 2245x x +=，
2522
x x +=
， 252112
x x ++=+， ()2712x +=，
1x +=，
12x =-±，
即121,122
x x =-+
=--． 【点睛】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．。