第二讲纳什均衡

上次的作业
• 画出田忌赛马的得益矩阵 • 画出猜硬币博弈的得益矩阵 • 画出石头、剪子、布的得益矩阵 • 能否用我们今天的几种方法得到均衡解？ • 你觉得它们的最佳应对策略是什么？
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严格竞争博弈和混合策略的引进
一、猜硬币博弈
盖 正面 硬 币 反面 方
猜硬币方
正面
反面
博弈方1的混合策略
博 弈A 方B 1
p A 3 p B 1 p A 2 p B 5
博弈方2
C
D
2， 3 5， 2
3， 1 1， 5
博弈方2的混合策略
p C 2 p D 5 p C 3 p D 1
pA+pB=1;
pC+pD=1
策略
得益
博弈方1 （0.8，0.2） 2.6
博弈方2 （0.8，0.2） 2.6
– 如果能，则从所分析的策略组合对应的得益数组引一箭头，到改 变策略后策略组合对应的得益数组
– 最后，只有指向，没有离开的策略组合为均衡解－－稳定－－没有 人愿意单独改变
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箭头法
1， 0 0， 4
1， 3 0， 2
0， 1 2， 0
囚
徒
-3,-3
0， -6
情 侣
困
-6， 0
– 反之，不具有一致预测性的博弈结果，则难以避免预测和行为之间的矛盾， 甚至是自我否定的。
•只有纳什均衡才具有一致预测的性质 •一致预测性是纳什均衡的本质属性 •一致预测并不意味着一定能准确预测，因为有多重均衡，预测不一致的可能
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寻找纳什均衡
C1
C2
C3
R1
100，100 0，0
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纳什均衡的一致预测性质
•一致预测： – 如果所有博弈方都预测一个特定博弈结果会出现，所有博弈方都不会利用 该预测或者这种预测能力，选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博 弈方有偏离这个预测结果的愿望，因此预测结果会成为博弈的最终结果
– 稳定的和自我强制的，所以是真正可预测的
发”，他就要被撤职查办， 不受贿一方得8 • 画出得益矩阵
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博弈论故事之五－－高薪养廉
• 我们把数据改变一下，变成薪水只有2， 两个串谋，同时受贿还是得9；一方受贿， 一方不受贿，则分别为2，3。
• 得益矩阵？
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高薪养廉的得益矩阵
乙
受贿
• 但是，许多博弈根本不不存在确定性的结果，划线法失效，比如猜硬币－－没有 一个策略组合是双方同时愿意接受的，这样的博弈根本不可能有可以预言的博弈 结果
• 也有时：情侣博弈中，用划线法有两个策略组合同时下面划线，这意味着两个策略组 合中的双方策略都是对对方策略的最佳对策－－都具有内在的稳定性－－但具体那一 个会出现，无法确定。
• 上策均衡不是普遍存在的，所以该方法失效
• 失效原因：
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囚 坦白 徒
1 不坦白
囚徒 2
坦白
不坦白
-3， -3
0， -6
-6， 0
-1， -1
两个罪犯的得益矩阵
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严格下策反复消去法
• 严格下策：不管其它博弈方的策略如何变化，给一个博弈方带来的收益总是比另一种策略给 他带来的收益小的策略
划线法
• 思路：
– 以策略之间的相对优劣关系，而不是绝对优劣关系为基础
– 先找出自己针对其他博弈方每种策略或策略组合（多人博弈）的最佳对策， 然后在此 基础上，通过对其他博弈方策略选择的判断， 预测可能的结果和确定自己的最优策略
• 只有，两方均被划线的策略组合，才是稳定的策略－－表明给定一方采用该 策略组合中的策略，则另一方也愿意采用该策略组合中的策略，该策略组合 具有稳定性。
50，101
R2
50，0 1，1
60，0
R3
0，300 0，0 200，200
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纳什均衡：举例
• 广告博弈
企业2
战略
做广告 不做广告
企业1
做 广 告 4， 4 15， 1 不 做 广 告 1， 15 10， 10
• 纳什均衡：（做广告，做广告）
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“混pi合策(p略i1,” ，pi其k)中随机在其对0个 可pkij 选1策都略成j中立1,选 ，,择k且的“策略”，称为一个
pi1 pik1
• 混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间（概率分布空间）
的选择看作一个博弈，就是原博弈的“混合策略扩展博弈）
• 混合策略纳什均衡：包含混合策略的策略组合，构成纳什均衡—任
• 假设行走顺利，每人获益为1，相撞，则获益为－1，
• 画出得益矩阵
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交通博弈
乙
靠左行
靠右行
靠左行 甲
靠右行
1，1 -1，-1
-1，-1 1，1
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经典博弈故事之三－－智猪博弈
• 笼子里面有两只猪，一只比较大，一只比较小。笼子很长，一头有一 个按钮，另一头是饲料的出口和食槽。按一下按钮，将有相当于10个 单位的猪食进槽，但是按按钮以后跑到食槽所需要付出“劳动”，加 起来要消耗相当于2个单位的猪食。问题是按钮和食槽分置笼子的两端，按
按钮的猪付出劳动跑到食槽的时候，坐享其成的另一头猪早已吃了不少。如果
大猪先到，大猪呼啦啦吃到9个单位，小猪只能吃到1个单位；如果同时到达， 大猪吃到7个单位；小猪吃到3个单位；如果小猪先到，小猪可以吃到4个单位， 而大猪吃到6个单位。
• 画出智猪博弈的得益矩阵
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“智猪博弈”(boxed pigs)
-1， -1
博
境
弈
猜
-1， 1
硬
币
1， -1
1， -1 -1， 1
2， 1 0， 0
0， 0 1， 3
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纳什均衡的定义
•纳什均衡：所有参与人的最优策略的组合－－给定该策略中 别人的选择，没有人有积极性改变自己的选择。 •策略空间：S1,Sn
•博弈方 i的第 个j 策略： si j Si •博弈方 i的得益： u i ••各略的都博纳最成一，i弈什佳立个都：均对，策是衡G s策则略对i ：j，称{ 组其在S 也1 S成余,博即 i 的博弈Sn 某弈;G u u 个 方1i ,( s 策 策{ i * S 为u , 1 略 略,n }组 的s S i * 的n 1 合 组;,u s 一(1 i * 合,s, 个s i*i * ,u 纳1 n ,} 什中(s s.sn * 均n*i*) ，中,). 衡如，u . si( 果n*(任s )si * Gi* 由, 一, 各博s si * 个i* 弈1 1 ,对,s 博方sii* , 任 j 弈s 1i * , 的意1 方.,s策.n * 的s .).n * ) ..
• 思路：
– 任何理性的博弈方都不可能选择严格下策
– 把不可能选择的严格下策先排除掉－－排除法，从而留下较好的策略 • 做法：
– 首先找出某博弈人的严格下策，把这个严格下策剔除后，剩下的是一个不 包含已剔除劣策略的新的博弈；然后再剔除这个新的博弈中的严格下策； 继续这个过程，直到没有劣策略存在。如果剩下的策略组合是唯一的，这 个唯一的策略组合就是严格下策反复消去法的均衡
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严格下策反复消去法
左中
右
左
中
上 1，0 1，3 0，1
1，0 1，3
下 0，4 0，2 2，0
0，4 0，2
左
中
1，0 1，3
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严格下策反复消去法
• 智猪博弈
小猪
按 等待
大
按
5，1 4，4
猪
等待 9，－1 0，0
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严格下策反复消去法
• 适用面：
– 严格下策反复消去法的适用面比上策均衡要更大些
– 但也有很多博弈问题没有严格下策：田忌赛马、猜硬币、情侣博弈、交通博 弈、石头剪刀布、、、－－此时，该方法失效。
– 最大的用处：简化博弈
• 失效原因
– 不同策略之间没有绝对的优劣，而只存在相对的、有条件的优劣
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何博弈一方单独改变自己的策略，或者随机选择各个纯策略的概率分布， 都不能给自己增加任何利益
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求混合策略纳什均衡
• 思路：
– 各个博弈方选择的纯策略的概率分布，要求 满足使对方或其他博弈方采用不同策略的期 望收益相同
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一个例子
该博弈无纯策略纳什按 等待
大
按
5，1 4，4
猪
等待 9，－1 0，0
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经典博弈之四－－猎人博弈
•
设想在古代的一个地方，有两个猎人。那时候，狩猎是人们的主要生计。为了
简单起见，假设主要的猎物只有两种： 鹿，兔子。在古代，人类的狩猎手段还比较
落后，弓箭威力也有限。在这样的条件下，我们可以进一步假设，两个猎人一起去
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齐威王田忌赛马
Pa 上中下
齐 Pb 上下中
威
Pc
Pd
王 Pe
中上下 中下上
猎鹿，才能猎获一只鹿，如果一个猎人单兵作战，他只能打到4只兔子。如果他
打兔子，你去猎鹿，他可以打到4只兔子，而你一无所获，得0。
• 假设打到一只鹿，两家平分，每家管10天；打到4只兔子，只能供一家 吃4天。
• 画出得益矩阵
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猎人博弈得益矩阵
乙
猎鹿
打兔
10
4
甲 猎鹿 10
0
0
4
打兔 4
4
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博弈论故事之五－－高薪养廉
• “高薪养廉”是公务员制度方面的一种理论，我们分析一下“高 薪”为什么能养廉？
• 假设甲乙为一家单位的主任和书记关系密切的国家公务员，7代 表现在政府给他们的高薪。如果两人受贿，因为串谋而 一时不被人发现，他们可以达到9的位置；而一旦“东窗事
C1
C2
C3
R1
0，4 4，0 5，3
R2 4，0 0，4 5，3
R3 3，5 3，5 6，6
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箭头法
• 思路：
– 对博弈中的每一个策略组合进行分析，考察在每个策略组合处各个博弈方能 否通过单独改变自己的策略而增加得益
– 与划线法一样都是基于策略之间的相对优劣关系进行分析的，所得到的结果 也是一致的。
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划线法
1， 0 0， 4
1， 3 0， 2
0， 1 2， 0
囚 徒
-5， -5
0， -8
情 侣
困
-8， 0
境
-1， -1
博
弈
猜
-1， 1
硬
币
1， -1
1， -1 -1， 1
2， 1 0， 0
0， 0 1， 3
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课堂习题
• 用划线法求出均衡解
不受贿
受
9
贿
甲9
不 受
0
贿8
8 0
7
乙
7
受贿
不受贿
受
贿
9
甲
不
受
贿3
9 0
0 2
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完全信息静态博弈
• 完全信息：各博弈方都完全了解所有博弈方各种情况下得益 • 静态：博弈方是同时决策的，或者虽然各博弈方决策的时间
不一定真正一致，但他们在做决策时互相不知道其他博弈方 的策略。 • 完全信息静态博弈：各博弈方同时决策，且所有博弈方对各方得 益都了解的博弈。 • 如何求这一类博弈的解呢？－－博弈的结果如何？－－博弈各方 最终的策略组合？
第二讲纳什均衡
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情侣博弈的得益矩阵
足球
小丽
芭蕾
足球
1
2
0 0
芭蕾
－1
－1
2 1
大海
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靠左走还是靠右走
• 在一个没有交通规范的农村小路骑自行车，你应该走在道路的哪 一边？
• 假如别人靠右（左）走，你也 靠右（左）走，则不会相撞； 反之，假如别人靠右（左）走，而你却反其道而行之，偏要靠 左（右）走，则必然相撞。
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上策均衡法
• 上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策略都是各个博弈方 各自的上策
– 上策：不管其它博弈方选择什么策略，一博弈方的某个策略给他带 来的得益始终高于其它的策略，至少不低于其他策略的策略
– 囚徒的困境中的“坦白”；双寡头削价中“低价”。
• 上策均衡反应了所有方的绝对偏好，因此是非常稳定 ，可以作出最 肯定的预测。
-1， 1
1， -1
1， -1
-1， 1
（1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合 （2）关键是不能让对方猜到自己策略－－保持随机性
这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念
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混合策略、混合策略博弈 和混合策略纳什均衡
• 混合策略：在博弈 G {S1, Sn;u1, u中n}，博弈方 的i策略空 间为 Si {si1,， 则si博k}弈方 以概i 率分布