群体理性决策的博弈与逻辑分析

收稿日期：2018-03-25基金项目：重庆市社科规划培育项目“群体决策中理性问题的逻辑研究”，项目编号：2014PY05；中央高校基本科研业务一般项目“决策理论中理性和认知的逻辑研究”，项目编号：SWU1609188。

作者简介：蒋军利（1981-），女，河南新乡人，哲学博士，西南大学政治与公共管理学院讲师。

研究方向：现代逻辑及其在博弈和社会选择等群体决策中的应用。

2018年第3期第36卷（总第194期）NO.3，2018Vol.36General No.194
贵州工程应用技术学院学报JOURNAL OF GUIZHOU UNIVERSITY OF ENGINEERING SCIENCE
蒋军利
（西南大学政治与公共管理学院，重庆 400715）
摘 要：群体理性确定是社会选择理论的一个关键问题。

“阿罗不可能性定理”似乎否定了群体理性决策的可能。

本文首先分析了阿罗不可能定理产生的条件，然后基于对聚合规则的逻辑刻画，讨论了避免不可能性的几种可能解决方案。

然而，理性群体决策的生成绝不仅仅是聚合规则的选择问题，还需要考虑个体间的互动影响，既看到各成员之间基本利益的一致，又看到成员之间的利益冲突，从博弈的角度讨论了群体理性聚合中的策略操纵和防御问题。

关键词：阿罗定理；聚合；博弈论；逻辑
中图分类号：B81 文献标识码:A 文章编号: 2096-0239（2018）03-0000-14
1概述
社会选择是一个多学科交叉研究领域，它广泛存在于政治（如人民代表大会做出决议），经济（公共事业投资、社会福利分配）和科学研究（如专家评审组做出的评审结果）等领域。

在一个以市场机制为主导的时代，社会成员都是理性的，即都基于实现自己利益的目的进行自由选择，因此，通过社会选择进行的群体决策应该公平公正，符合社会成员最大利益。

问题是如果个体处在利益对抗的竞争之中，群体的利益如何确定，怎样才能实现群体决策的公平公正，这就是群体决策理性条件实现问题。

群体理性确定是社会选择理论的一个关键问题，因为社会选择理论的研究框架是在理性假设基础上构造合理指标体系，运用规范性的方法分析群体理性决策形成的内在机制，在此基础上才能建立合理的决策模型进行具体求解运算。

显然，群体理性必须以群体各成员的个体理性为基础，社会福利函数刻画了由个人理性到群体或社会理性的聚合（aggregate ）规则。

美国诺贝尔经济学奖获得者肯尼思·阿罗(Kenneth J·Arrow)提出的“阿罗定理”却使这一观点面临严重挑战。

[1]该定理指出，在满足有关个体理性的一组合理条件前提下，无法聚合产生群体理性。

这一定理似乎否定了群体理性决策的可能。

然而群体决策是必需的，在公民享有自由选择权的社会群体决策也只能是理性的。

因此学者们从不同角度对群体理性聚合规则进行了深入研究。

尤其是近几年，学者们对普遍存在于现实生活中基于判定聚合的群体理性聚合方法进行了形式化研究。

这类方法不需要将相关选项按照个人偏好排序，而只需要做出简单的“是”或“否”判定。

判断聚合中同样有不可能性结果出现，事实上Arrow 定理涉
及的偏好聚合问题都可以划归为判断聚合问题，即判定聚合包含偏好聚合。

[2]基于判定聚合和偏好聚
合的这种关系，本文主要从对判定聚合问题的研究入手，探究群体决策理性条件实现问题。

本文首先从分析“阿罗定理”入手，讨论聚合规则的逻辑刻画；然后基于逻辑刻画讨论如何修订限制条件，避免不可能性的结果，并分析不同处理方法所能解决的问题及可能存在的问题；最后从博弈的角度分析聚合规则，探讨群体理性聚合中可能存在的欺骗等策略操纵和防御问题。

收稿日期：2018-03-25 基金项目：重庆市社科规划培育项目“群体决策中理性问题的逻辑研究”，项目编号：2014PY05；中央高校基本科研业务一般项目“决策理论中理性和认知的逻辑研究”，项目编号：SWU1609188。

作者简介：蒋军利（1981- ），女，河南新乡人，哲学博士，西南大学政治与公共管理学院讲师。

研究方向：现代逻辑及其在博弈和社会选择等群体决策中的应用。

摘要：群体理性确定是社会选择理论的一个关键问题。

“阿罗不可能性定理”似乎否定了群体理性决策的可能。

分析阿罗不可能定理产生的条件，然后基于对聚合规则的逻辑刻画，讨论避免不可能性的几种可能解决方案。

然而，理性群体决策的生成绝不仅仅是聚合规则的选择问题，还需要考虑个体间的互动影响，既看到各成员之间基本利益的一致，又看到成员之间的利益冲突，从博弈的角度来讨论群体理性聚合中的策略操纵和防御问题。

关键词：阿罗定理；聚合；博弈论；逻辑中图分类号：B81文献标识码：A 文章编号：2096-0239（2018）03-0006-14群体理性决策的博弈与逻辑分析（西南大学政治与公共管理学院，重庆400715）··6
2 不可能性结果
阿罗定理是由一些与社会福利函数相关的基本假设推演出的一个著名不可能性结论。

社会福利函数表达的是一个将群体成员的个体偏好聚合为群体偏好的规则，也被称作偏好聚合规则。

判定聚合的不同，是通过判定聚合规则对一组逻辑公式聚合，其优点是分析方法较简单且分析结果直观易理解。

偏好聚合问题一般可以化归为判断聚合来处理。

在这一节，我们将首先讨论阿罗不可能性定理，然后基于判定聚合对阿罗不可能性定理进行逻辑分析。

2.1 阿罗定理
既然阿罗定理由一些与社会福利函数的基本假设推演出来，分析阿罗定理须从社会福利函数入手。

被称作偏好聚合规则的社会福利函数是一个将群体成员个体的理性聚合为群体理性的规则，理性可以通过偏好来表达。

我们先指出偏好聚合规则的定义域和值域，然后讨论阿罗关于偏好聚合规则所必须满足的条件及性质，在此基础上给出有关不可能定理的表述。

为了增加文章的可读性，我们首先介绍一些约定的记法和一些基本的概念。

令A是选项集且|A|≥2，偏好关系R是A上的反对称，传递且完全的二元全序关系（即，满足反对称：任意a, b∈A，如果(a, b)∈R 且(b, a)∈R，则a=b；传递性：任意a, b, c∈A，如果(a, b)∈R且(b, c)∈R，则(a, c)∈R。

完全性：任意a, b∈A，有(a, b)∈R或(b, a)∈R。

）如果R又满足反自反性（即，任意a, ∈A，(a, a) ∉R）。

则偏好关系R 是严格偏序关系，记为R s。

令T(A)为A上的偏好关系集，n是个体数，N表示个体集合，即，N={1，…，n}（n>1）。

一个偏好组合是一个n元组<R1, …, R n>，其中R i是个体i的偏好关系。

社会福利函数F 将每一由n个个体偏好构成的组合映射到一个偏好关系R上，该偏好关系代表聚合后的群体偏好关系：
,…,R n)=R∈T(A)
社会福利函数F：F(R
1
其中F的定义域(Domain)是这样一个集合：它由所有可能的个体偏好关系的组合<R
, …, R n>构
1
，而对选项在个体的偏好成，并且每一个体i对于所有选项都有一个完全的且传递的严格偏好关系R
i
关系中表现为什么样的传递顺序没有任何限制。

F的值域(Range)是T(A)，它只要求候选项按传递的顺序排列，也就是要求经社会福利函数聚合生成的群体偏好关系R具有传递性。

阿罗定理同时还要求社会福利函数必须满足如下性质：
A1. 帕累托最优(Pareto)：对于任意的偏好组合<R1,…,Rn>和任意选项a与b（a，b∈A），如果对于所有的个体i都有(a, b)∈Rs，那么(a, b)∈F(R1,…,Rn) s。

也就是说，对任意的两个候选项，如果所有选举人关于它们的偏好顺序是相同的，那么这一共同的偏好顺序就是它们的社会偏好顺序。

A2. 无关选项独立IIA (Independence of Irrelevant Alternatives 或Binary Independence)：对任意选项a，b∈A和任意两个偏好组合<R1, …, Rn>，<R‘1, …, R‘n>，如果对于所有的个体i都有((a, b)∈Ri iff (a, b)∈R‘i），那么（(a, b)∈F（R1,…,Rn）iff (a, b)∈F(R‘1, …, R‘n )）。

也就是说，两个选项的顺序仅依赖选举者如何对它们进行偏好排序，和其他选项的信息无关。

A3. 无独裁ND1（Non-dictatorship）：不存在个体i使得对于所有偏好组合<R1,…,Rn>都有F(R1,…,Rn)=Ri。

也就是说，没有任何一个个体能够使得经由社会福利函数生成的群体偏好关系总是和该个体的偏好关系顺序一致。

阿罗关于定义域、值域的要求以及社会福利函数必须满足的性质每一个似乎都是合理的：首先每个个体都有选择的自由和权利，他有权按照自己的偏好对所有候选项作出逻辑上一致的任意选择而不受任何限制，因此每个个体i都有一个完全的且传递的偏好关系Ri；其次，个体成员都是理性，他知道自己的最大利益，因此他有自己最偏好的候选项；群体的决策应体现所有群体成员的意志并与之保持一致，即性质A1、A2应该被满足；最后，理性群体决策应该是公平、公正的，不应该有一个独裁者，即性质A3应该被满足。

然而令人惊讶的是这些条件却是不相容的：
阿罗定理：如果有多于两个选项，不存在同时满足性质A1——A3的社会福利函数。

关于这个定理的证明可参见文献。

[3]该证明说明：在候选项多于两个的时候，唯一能同时满足性质A1和A2的社会福利函数是一个独裁的偏好聚合规则。

·7
·
接下来我们将基于判定聚合对阿罗不可能性结果作进一步的逻辑分析。

2.2 判定聚合的逻辑基础
令L 是我们讨论的判定聚合的基础逻辑，根据我们讨论的需要L 可以是命题逻辑、认知逻辑和时态逻辑等，具有通常的语义解释。

L 的语言ℒ(L)是非空命题集且否定闭包。

所谓否定闭包也就是说对所有非负命题ϕ，ϕ∈ℒ(L)当且仅当⌝ϕ∈ℒ(L)。

对语言ℒ(L)进行这样的规定是为了满足判定聚合问题中所有命题都在ℒ(L)语言中且是该语言所能够描述的。

然而决策主体是理性的，他所做的选择必须是一致的。

接下来给出一致性概念。

一致性定义： 令非空集合A ⊆ ℒ(L)， (1) A 是不一致的，如果存在命题ϕ∈ℒ(L)使得A ⊢L ϕ且A ⊢L ⌝ϕ；（2）如果A ⋃{⌝p}是不一致的，那么A ⊢L p ；(3)A 是一致的，如果对任意ϕ∈ℒ(L)，A 都不能即推出ϕ又推出其否定，即，A ⊬L ϕ∧⌝ϕ；（4）A 是完全的，如果对所有非负命题ϕ∈ℒ(L)，都有ϕ∈A 或⌝ϕ∈A 。

定义中的“⊢”是推演符号，表示一种逻辑上的可推演关系，A ⊢L ϕ表示在逻辑L 中存在从A 到ϕ的推演，命题集A 是前提，ϕ被称为A 的推论。

在上下文明确的情况下一般可省去符号“⊢L ”中的下标L ，简记为“A ⊢ ϕ”。

定义(1)和(3)说明，命题集A 是一致的当且仅当由A 推不出矛盾，
(2)说明由逻辑不可能推演出任何与前提不一致的结论，（4）说明如果有一个完全的命题集A ，则任一命题都可以由A 得到一种判定。

判定聚合问题会涉及以下一些基本的概念：
（1）选项总表X （Agenda ）：选项总表是非空命题集合X （X ⊆ ℒ(L)），对所有的非负命题ϕ∈ ℒ(L)，ϕ∈X iff ⌝ϕ∈X 。

所有的判定都是针对选项总表X 中的命题进行的。

选项总表中的每一个命题都被称为待选项（agenda item ）。

（2）判定集A （Judgment sets ）：一个判定集A 是选项总表X 中的一个命题集，即，A ⊆X 。

某个个体或群体接受（或判定）的命题集可以看作是一个判定集。

（3）判定组合（Judgment profile ）：一个判定组合是一个n 元组<A 1,…,A n >，其中A i 表示个体i 的判定集。

（4）一致的判定集：判定集A 是一致的，如果对任意ϕ∈X ，该判定集A ⊬L ϕ∧⌝ϕ；
（5）完全的判定集：判定集A 是完全的，如果对每对公式ϕ，⌝ϕ∈X ，其中至少有一个在A 中，即，ϕ∈A 或⌝ϕ∈A
（6） 完全理性：一个判定集是完全理性的，如果它是一致和完全的。

判定聚合规则：一个判定聚合规则是将定义域中的判定组合<A 1,…,A n >映射到群体判定集上的函数f ：
f （A 1,…,A n ）= A ⊆X
其定义域Domain 是可允许的判定组合的集合，在许多关于不可能性结果的文献中，一般都是假定聚合规则的定义域是全定义域（Universal domain ），也即是所有完全和一致的个体判定集组成的判定组合。

关于值域需要满足的条件，可以要求群定判定集是完全的或一致的，或二者兼具。

定义域和值域之间可能还需要满足一些关系条件，即判定规则f 可能具有的性质要求一般有以下几点：
B1意见一致性U （Unanimity ）：对于任意的判定组合<A 1,…,A n >∈Domain 和任意命题p ∈X ，如果对于所有的个体i 都有p ∈ A i ，那么p ∈ f （A 1,…,A n ）。

这条性质相应于第2.1节中的帕累托最优P 。

B2独立性I （Independence ）：对任意命题p ∈X 和任意两个判定组合<A 1,…,A n >，<B 1,…,B n >∈Domain ，如果对于所有的个体i 都有p ∈A i iff p ∈B i ，那么p ∈f （A 1,…,A n ） iff p ∈f
（B 1,…,B n ）。

·
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也就是说，对于选项总表中的任意命题p （p ∈X ），群体判定仅是个体在该命题上的判定函数。

这条性质和第2.1节的无关选项独立IIA 相对应。

B3 无独裁ND2（相应于无独裁ND1）：不存在个体i 使得对定义域中每个判定组合<A 1,…,A n >都有f （A 1,…,A n ）=A i 。

判定悖论（Discursive Paradox ）：如果有多于两个个体对至少两个不同的命题和它们的实质蕴含式，且多数获胜聚合规则满足性质B1——B3，那么运用该规则一定得不到一个一致的结果。

对这一命题的证明通过运用第三节的逻辑进行刻画之后可容易地得出。

2.3从偏好聚合到判定聚合的转化
个体偏好从某种角度可以看作是做出了某种判定，因此偏好集合可以通过一定方式转化为判定聚合。

我们通过具体例子来展示将偏好聚合转化成判定聚合的方法。

例1，（专家判定）假设一个三人专家组对以下三个命题进行判定：（p ）“该候选人可以胜任该职位”，（q ）“该候选人将得到聘书”，（p →q ）“如果该候选人可以胜任该职位那么他将得到聘书”。

专家组的三位成员的个人判定如下表：
由上表可以看到每个成员的个体判定都是一致的，而运用多数获胜聚合规则f m 得到的群体判定却是不一致的：根据表中第二列和第三列，专家组多数成员认为该候选人可以胜任该职位，并且专家组多数成员认为如果该候选人可以胜任该职位那么他将得到聘书。

如果根据这两列中专家组的判定来判定该候选人是否将得到聘书，则结论是他将得到聘书。

但是根据第四列，专家组多数成员却认为该候选人不能得到聘书。

例2，孔多塞悖论（Condorcet ’s Paradox ）假设三个人要根据自己对三个旅游景点x ，y ，z 的偏好，按照多数获胜的偏好聚合规则选出多数人最想去的景点。

假设偏好关系是严格的且具有可传递性。

形如x >y 的式子表示x 比y 好。

三个人的偏好如下表：
尽管三个人的个人偏好（判定）都是一致的，但是按照多数获胜的偏好（判定）聚合规则得到的群体偏好（x >y ，y >z ，z>x ）却是循环的，即x 即是最优又是最劣，自相矛盾。

尽管例1的专家判定和例2的孔多塞悖论看上去是对不同现象的反映，其实它们本质是一样的，它们分别是同一行为现象的特殊情况。

实际上，通过对他们进行“换名”或者说是名称替换，上面谈到的例子都可以相互转换成彼此。

例如把例2中成员的偏好，如“x>y ”，用“是”或“否”替换。

也就是说，我们可以把例2中成员的偏好看作是三个人对以下三个命题进行是与否的判定：
··9
x > y ：x 比y 好，y >z ：y 比z 好，z>x ：z 比x 好。

例2的表格即可变成形如例1的表格，具体见表3：
事实上，所有关于三人专家组悖论的例子都只不过是孔多塞悖论这种三元数组的改写。

通过在任何神秘的多数选举现象和孔多塞悖论之间进行这种一对一的“换名”，它们之间的这种对等关系在所有有三个候选项的情况下都是成立的。

3 不可能性结果的逻辑分析及其化解
我们首先基于对判定聚合问题的逻辑刻画，讨论分析判定聚合悖论问题；然后从不同角度分析如何化解或削弱这类悖论问题，从而得到合理的群体决策结果。

3.1基于判定聚合逻辑JAL 分析判定悖论 在这一节我们以多数获胜群体判定聚合规则为例，采用Thomas Ågotnes 等提出的逻辑来刻画和分析判定聚合悖论。

[4] 判定聚合逻辑JAL 的语言ℒ(N, X)有两个参数，其中N 是有n 个个体的个体集，X 是选项总表。

首先给出原子命题的定义，然后再递归定义JAL 语言。

∏=N ⋃{h p | p ∈X}⋃{σ} 其中σ是一个常量表示当前待选项通过当前聚合规则被选出。

JAL 语言ℒ(N, X)的递归定义如下： ψ：：= α | ψ | ■ψ | ψ∧ϕ | ⌝ψ 其中α∈∏。

关于语言ℒ(N, X)的详细语义解释理论可参见上述文献。

简单说来，该语言可以在一个三元组<f, γ, p>的基础上进行解释，其中f 是判定聚合规则，γ是判定组合，p 是待选项。

ψ表示ψ在每个判定组合中都是真的；■ψ表示ψ在每个待选项中都是真的。

命题联接词和通常的解释一样，为了方便起见，我们也在后面的讨论中使用其他可推出的命题联接词。

算子 和■的对偶算子可定义如下： ◊ψ=⌝⌝ψ ，直观意思就是“ψ在某个判定组合中是真的”； ◆ψ=⌝■⌝ψ ，直观意思就是“ψ在某个待选项中是真的”。

例3.1 假设经济政策制定委员会的三位专家对三个命题进行判定：“物价持续上涨”（p ），“物价持续上涨导致目前通货膨胀”（p →q ），“目前通货膨胀”（q ）。

> y ：x 比y 好，y >z ：y 比z 好，z>x ：z 比x 好。

例2的表格即可变成形如例1的表格，具体见表3： 事实上，所有关于三人专家组悖论的例子都只不过是孔多塞悖论这种三元数组的改写。

通过在任何神秘的多数选举现象和孔多塞悖论之间进行这种一对一的“换名”，它们之间的这种对等关系在所有有三个候选项的情况下都是成立的。

3 不可能性结果的逻辑分析及其化解 我们首先基于对判定聚合问题的逻辑刻画，讨论分析判定聚合悖论问题；然后从不同角度分析如何化解或削弱这类悖论问题，从而得到合理的群体决策结果。

3.1基于判定聚合逻辑JAL 分析判定悖论 在这一节我们以多数获胜群体判定聚合规则为例，采用Thomas Ågotnes 等提出的逻辑来刻画和分析判定聚合悖论。

[4]
判定聚合逻辑JAL 的语言ℒ(N, X)有两个参数，其中N 是有n 个个体的个体集，X 是选项总表。

首先给出原子命题的定义，然后再递归定义JAL 语言。

∏=N ⋃{h p | p ∈X}⋃{σ} 其中σ是一个常量表示当前待选项通过当前聚合规则被选出。

JAL 语言ℒ(N, X)的递归定义如下：
ψ：：= α | ψ | ■ψ | ψ∧ϕ | ⌝ψ
其中α∈∏。

关于语言ℒ(N, X)的详细语义解释理论可参见上述文献。

简单说来，该语言可以在一个三元组<f, γ, p>的基础上进行解释，其中f 是判定聚合规则，γ是判定组合，p 是待选项。

ψ表示ψ在每个判定组
合中都是真的；■ψ表示ψ在每个待选项中都是真的。

命题联接词和通常的解释一样，为了方便起见，我们也在后面的讨论中使用其他可推出的命题联接词。

算子 和■的对偶算子可定义如下：
◊ψ=⌝⌝ψ ，直观意思就是“ψ在某个判定组合中是真的”；
◆ψ=⌝■⌝ψ ，直观意思就是“ψ在某个待选项中是真的”。

例3.1 假设经济政策制定委员会的三位专家对三个命题进行判定：“物价持续上涨”（p ），“物价持续上涨导致目前通货膨胀”（p →q ），“目前通货膨胀”（q ）。

·
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表4 多数获胜投票选举规则f m
在上表中可以看出，判定聚合规则是多数获胜投票选举规则，也就是说对一个命题的群体判定是肯定当且仅当它是大多数个体判定所肯定的。

该例子在JAL 中进行模拟如下：
选项总表X={p ，p →q ，q ，⌝p ，⌝( p →q)，⌝ q }；
判定聚合的逻辑基础L 是命题逻辑；
判断组合 γ=<γ1, γ2, γ3>，其中γ1={ p ，p →q ，q }是个体1的判定集，γ2={⌝ p ，p →q ，⌝q }、γ3={ p ，⌝（p →q ），⌝q }分别是个体2和3的判定集。

显然γ1, γ2, γ3都是一致的。

如果聚合规则是多数获胜“f m ”，则有：待选项p ：因为p 在γ1和γ3中，所以p ∈ f m (γ)；待选项p →q ：因为p →q 在γ1和γ2中，所以p →q ∈ f m (γ)；待选项q ：因为q 只在γ1中，所以q ∉ f m (γ)，又因为f m (γ)是完全的，所以⌝q ∈ f m (γ)。

即f m (γ)={p ，p →q ，⌝ q }，它是不一致的，与f m (γ)必须是一致的要求相矛盾。

将这一结论进行一般化推广，可得出有关判定悖论（Discursive Paradox ）的公式：
判定悖论 当至少有三个个体且选项总表中至少有两个不同的公式和他们的实质蕴含，且多数获胜聚合规则同时满足性质B1——B3时，那么运用该规则一定得不到一个一致的结果，即，下述公式成立
证明：对于该命题的证明可以通过反证法得到，由于具体的证明过程要运用到严格的逻辑语言和公式。

限于篇幅这里就不再给出详细证明。

对证明过程感兴趣的读者可参见文献。

3.2 避免不可能性结果
为了找到没有独裁的聚合规则，我们需要对不可能结果产生的条件进行放松。

下面的这些方法使我们在一定条件下可以避免不可能结果的出现。

3.2.1放弃完全理性
下面两个聚合规则试图通过对完全理性的放弃来避免不一致性结果的出现。

通过下面的分析我们将看到，虽然这两种聚合规则在一定条件下可以达到我们想要的效果，但是它们各自却又存在着这样或那样的不足。

为了定义这两类规则，我们需要首先把要判定的命题分为前提命题类和结论命题类。

（1）基于前提的多数获胜投票规则f pr ：大致说来，这一规则是这样运行的：仅对前提中的每个命题进行判定，采用多数投票获胜的原则，然后根据对前提的群体判定，运用演绎推理得出对结论命题的群体判定。

也就是说，前提中的一个命题是群体所肯定的当且仅当它是群体中多数人所肯定的；结论中的命题是群体所肯定的当且仅当它是对前提命题的群体判定所能够演绎推出的。

我们通过第三节的例3.1来说明这一聚合规则。

在这个例子中，以{p ，p →q}为前提，根据命题逻辑推理规则可推出q 这个结论，因此我们把p ，p →q 看作是前提命题，把q 看作是结论命题。

既然只对前提命题进行判定，因此个体1、2 和3的判定集分别变为γ’1={ p ，p →q}，γ’2={⌝ p ，p →q }、γ’3={ p ，⌝(p →q)}。

由于p 在γ1和γ3中，p →q 在γ1和γ2中，它们都是肯定的总人数为多数，所以{p ，p →q} ∈ f pr (γ)，由其根据命题逻辑推理规则可推出结论q ，所以q ∈ f pr (γ)，即群体判定集
表4多数获胜投票选举规则f m
·
·11
pr (γ)={p ，p →q ，q}。

如下图所示。

在这个聚合规则中，个体判定仅对前提{p ，p →q}进行，所以个体判定集是不完全的。

因此这一规则舍弃了个体完全理性。

例中的群体判定集{p ，p →q ，q}是一个一致且完全的群体判定集，因此是群体完全理性的。

但这并不意味着f pr 聚合规则具有保持群体理性的性质。

例如，当个体3对p 的判定变为否定后，群体对p 的判定变为否定，即，⌝p ，根据群体判定{⌝p ，p →q }无法推出q 或⌝q 。

这使得群体对结论q 无法判定，也就很难保持群体判定的完全理性。

聚合规则f pr 存在被策略操纵的可能。

例如，在这个例子中f pr 规则对结论的判定不符合个体2的判定。

如果个体2否定其对前提p →q 的判定，那么就会导致群体判定对该命题的否定，则由群体对前提的判定{ p ，⌝ (p →q) }可推出群体对q 的判定为否定，即，⌝q 。

符合了个体2
对结论的判定，该个体为了实现自己对结论的判定，就有可能不真实表达自己对前提真实的判定。

（2）基于结论的多数获胜投票规则f c ：这个规则仅根据个体对结论命题的判定进行群体对结论
的判定，而无视个体对前提的判定。

根据这一规则，上例中对结论q 的群体判定通过个体对q 的判定和多数获胜投票原则，得出群体
m c 显然这一规则是对个体判定和群体判定完全理性的放弃，因为无论是个体判定集还是群体判定集，它们都是不完全的。

F. Dietrich 和 C. List 证明了如果放弃对群体判定完全理性的要求，如仅要求群体判定是推演封闭的，虽然可以在一定程度上避免独裁但是又会出现寡头现象。

[5] 3.2.2对定义域限制 通过对定义域的适当限制，运用多数获胜投票规则可以得到一个一致性的判定结果。

如库姆斯(C.H.Coombs)等指出的，在群体决策过程中，如果群体成员的偏好由某种“强势文化特征”（dominant cultural features ）决定，那么在多数规则下产生的群体偏好序就将具有传递性，但不再是无限制的。

[6]
例如选举中，如果选民可能对候选人的家族势力感兴趣，这种“特别的兴趣”就成为决定群体成员偏好序的“强势文化特征”，选民在一组按某种标准排列的备选方案中，就有一个最为偏好的选择，而从这个选项向任何方面的偏离，选民的偏好程度都是递减的。

因此定义域满足单峰性，每个选民的偏好只能有一个峰值，即所谓的单峰偏好。

布莱尔证明如果假设各个选民的偏好都是单峰偏好，那么最 终投票的结果就可以避免阿罗悖论，群体成员的个人偏好聚合之后可以得出一致的群体偏好。

[7] f pr (γ)={p ，p →q ，q}。

如下图所示。

规则舍弃了个体完全理性。

例中的群体判定集{p ，p →q ，q}是一个一致且完全的群体判定集，因此是群体完全理性的。

但这并不意味着f pr 聚合规则具有保持群体理性的性质。

例如，当个体3对p 的判定变为否定后，群体对p 的判定变为否定，即，⌝p ，根据群体判定{⌝p ，p →q }无法推出q 或⌝q 。

这使得群体对结论q 无法判定，也就很难保持群体判定的完全理性。

聚合规则f pr 存在被策略操纵的可能。

例如，在这个例子中f pr 规则对结论的判定不符合个体2的判定。

如果个体2否定其对前提p →q 的判定，那么就会导致群体判定对该命题的否定，则由群体对前提的判定{ p ，⌝ (p →q) }可推出群体对q 的判定为否定，即，⌝q 。

符合了个体2对结论的判定，该个体为了实现自己对结论的判定，就有可能不真实表达自己对前提真实的判定。

（2）基于结论的多数获胜投票规则f c ：这个规则仅根据个体对结论命题的判定进行群体对结论的判定，而无视个体对前提的判定。

根据这一规则，上例中对结论q 的群体判定通过个体对q 的判定和多数获胜投票原则，得出群体判定对q 的否定。

如仅要求
群体判定是推演封闭的，虽然可以在一定程度上避免独裁但是又会出现寡头现象。

[5]
3.2.2对定义域限制
通过对定义域的适当限制，运用多数获胜投票规则可以得到一个一致性的判定结果。

如库姆斯
(C.H.Coombs)等指出的，在群体决策过程中，如果群体成员的偏好由某种“强势文化特征”（dominant
cultural features ）决定，那么在多数规则下产生的群体偏好序就将具有传递性，但不再是无限制的。

[6]例如选举中，如果选民可能对候选人的家族势力感兴趣，这种“特别的兴趣”就成为决定群体成员偏好序的“强势文化特征”，选民在一组按某种标准排列的备选方案中，就有一个最为偏好的选择，而从这个选项向任何方面的偏离，选民的偏好程度都是递减的。

因此定义域满足单峰性，每个选民的偏好只能有一个峰值，即所谓的单峰偏好。

布莱尔证明如果假设各个选民的偏好都是单峰偏好，那么最 终投票的结果就可以避免阿罗悖论，群体成员的个人偏好聚合之后可以得出一致的群体偏好。

[7] ··12。