江西省师大附中2014届高三数学开学摸底考试试题 理

江西师大附中高三年级开学考试数学（理）试卷
2013.8
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的. 1．已知复数2013
2i
z i +=，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．全集R U =，集合{}
2|lg(1)M x y x ==-，{}|02N x x =<<，则()U N M =（ ）
A ．{}|21x x -≤<
B ．{}|01x x <≤
C ．{}|11x x -≤≤
D ．{}|1x x <
3．有以下命题：
（1）命题“存在x R ∈，使2
20x x --≥”的否定是：“对任意的x R ∈，都有2
20x x --<”； （2）已知随机变量ξ服从正态分布2
(1,)N σ，(4)0.79P ξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=； （3）函数1
3
1()()2
x
f x x =-的零点在区间11(,)32
内．其中正确的命题的个数为（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
4．已知函数2
()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为（ ）
A ．()2g x x =
B ．()2g x x =
C ．3()2)4
g x x π
=-
D ．()24g x x =
5．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为（ ）
A ．14
t ≥
B ．18t ≥
C ．14t ≤
D ．18
t ≤ 6．如右图所示，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB
交于圆内一点D ，若OC xOA yOB =+，则( )
A ．01x y <+<
B ．1x y +>
C ．1x y +<-
D ．10x y -<+<
7．设{}n a 是公比为q 的等比数列，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列{}n b 的连续四项在集
合}{
53,23,19,37,82--中，则q 等于( )
A ．43-
B ．32
-
C ．32-
或23
-
D ．34-
或4
3-
8．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为（ ）
A ．
110 B ．14 C ．310 D ．2
5
9．已知112
2
log (4)log (32)x y x y ++<+-，若x y λ-<恒成立， 则λ的取值范围是（ ）
A ．(],10-∞
B ．(),10-∞
C ．[)10,+∞
D ．()10,+∞
10．抛物线2
2y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||
||
MN AB 的最大值为（ ） A ．2 B 23
C ．1
D 3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．2
5
(ax x
+
的展开式中各项系数的和为243， 则该展开式中常数项为______．
12．已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示， 则该四棱锥的表面积为 ．
13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解式： 2
213=+，2
3135=++，2
41357=+++， ；3235=+，3
37911=++，
；
4
279=+，
；按此规律，4
5的分解式中的第三个数为 ____ ．
14．已知函数232
21()1(0)()31,()2
(3)1(0)x x f x x x g x x x ⎧
-+>⎪=-+=⎨⎪-++≤⎩
，则方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的实数根最多有______个．
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，按第一题评阅计分，本题共5分 15．（1）已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩
（α为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=,(0,02ρθπ≥≤<)则直线l 与圆C 的交点的极坐标为______________．
15．（2）已知()1f x x x =-||+||，若()()g x f x a =-的零点个数不为0，则a 的最小值为 ．
四、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且2,60c C ==︒． （1）求
sin sin a b
A B
++的值；
（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆．
17．（本小题满分12分）
某游乐场有A 、B 两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A ，丙丁两人各自独立进行游戏B ．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为1
3
，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为
12
． （1）求游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关成功的人数的概率； （2）记游戏A 、B 被闯关总人数为X ，求X 的分布列和期望．
18．（本小题满分12分）
设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{}n a 的集合：①对任意*
n N ∈，
2
12
n n n a a a +++≤恒成立；②对任意*
n N ∈，存在与n 无关的常数M ，使n a M ≤恒成立．
（1）若{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且334,18,a S ==试探究数列{}n S 与集合W 之间的关系；
（2）设数列{}n b 的通项公式为52n
n b n =-，且{}n b W ∈，求M 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC ．
(1)求二面角1E AC D --的大小；
(2)在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ？ 若存在，求1:D P PE 的值;不存在，说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆
与直线0x y -+=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求OB OA ⋅的取值范围．
21．（本小题满分14分） 设()(1)x
f x e a x =-+．
(1)若0,()0a f x >≥对一切x R ∈恒成立，求a 的最大值．
（2）设()()x
a
g x f x e =+，且112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点，若对任意的1a ≤-，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；
（3）求证：*13(21))()n
n
n n n n n N +++-<
∈．
江西师大附中高三年级开学考试数学（理）答题卷
2013.8
一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题5分,共25分）
11．_____________________ 12．_____________________
13．_____________________ 14．_____________________
15．（1）__________________________ （2）__________________
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(12分)
17.(12分)
18.(12分)
19.(12分)
20.(13分)
21.(14分)
江西师大附中高三数学(理)入学考试卷答案2013．8
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
二、填空题（共5小题，每小题5分,共25分）
11．10； 12．3
13．125
； 14．6； 15．（1）
3
),)
44
ππ
，（2）1．三、解答题（本大题共6小题，共75分．）
16． (本小题满分12分)
解：（1）由正弦定理可设
2
sin sin sin sin60
a b c
A B C
=====
︒
，
所以,
a A
b B
==，
所以
(sin sin)
3
sin sin sin sin
A B
a b
A B A B
+
+
==
++
．…………………6分（2）由余弦定理得2222cos
c a b ab C
=+-，即222
4()3
a b ab a b ab
=+-=+-，又a b ab
+=，所以2
()340
ab ab
--=，解得4
ab=或1
ab=-（舍去），所以
11
sin4
22
ABC
S ab C
∆
==⨯=12分
17．（本小题满分12分）
解：(1)
2
1211137
2
33233436
P
⎛⎫
=⨯⨯⨯+⨯⨯=
⎪
⎝⎭
（2）X可取0，1，2，3，4
22114
0)=
332236
P X==⋅⋅⋅
（，
11
22
1211221112
1)+=
3322332236
P X C C
==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（，
11
22
11111211221113
2)++=
33223322332236
P X C C
==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（，
11
22
121111116
3)+=
3322332236
P X C C
==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（，
11111
4)=
332236
P X==⋅⋅⋅
（
X的分布列为：
∴
412
01234
36363636363
EX=⨯⨯⨯⨯⨯
++++=．
18．(本小题满分12分)
解：(1)设等差数列{}
n
a的公差是d，则
1124,338a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得18,
2a d =⎧⎨
=-⎩
………1分 ∴21(1)
92
n n n S na n n -=+=-+ ∴
2
211211()()102222
n n n n n n n n n S S S S S S a a d
S ++++++++-----====-<
∴212
n n n S S S +++<，适合条件①………3分
又2
29819()24
n S n n n =-+=--+，
∴当4n =或5n =时，n S 取得最大值20，即20n S ≤，适合条件②．……5分 综上，{}n S W ∈ ………6分
（2）∵115(1)2(52)52n n n
n n b b n n ++-=+---=-，
∴当3n ≥时，1n n b b +<，此时，数列{}n b 单调递减；………9分 当1,2n =时，10n n b b +->，即123b b b <<，………10分 因此，数列{}n b 中的最大项是37b =，………11分 ∴7M ≥，即M 的取值范围是[)7,+∞．………12分 19．（本小题满分12分）
解：(1)设AC 与BD 交于O ，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，
设2AB =，则1(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),A B C D D ---
设(0,1,2),E h +则11(0,2,),(23,0,0),(3,1,2),D E h CA D A ===-
1D E ⊥平面1D AC ，∴1D E AC ⊥ ，111D E D A ⊥
220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E ……………………2分
1(0,2,1),(3,1,3)D E AE ∴==-
设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =，则由m CA m AE
⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得0330x x y z =⎧⎪
⎨++=⎪⎩，
令1z =-，∴平面EAC 的一个法向量为(0,3,1)m =- 又平面1D AC 的法向量为11112
(0,2,1),cos ,,2
m D E D E m D E m D E ⋅=∴<>=
=⋅||||
∴二面角1E AC D --大小为45……………………………………………6分
(2)设111(),D P PE D E D P λλ==-得112(0,
,),111D P D E λ
λλ
λλλ=
=+++
111121(3,1,0)(0,,)(3,,)1111A P A D D P λλλλ
λλλλ-∴=+==--+=-++++…10分
1//A P 面113
,,303(1)0,,112
EAC A P m λλλλλ-∴⊥∴-+⨯+-⨯=∴=++
∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =……………………12分
20．(本小题满分13分)
解：(1)由题意知12c e a ==，∴222222
14c a b e a a -===，即2
243a b =
又b =
=2243a b ==，
故椭圆的方程为22
143
y x += 5分
(2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =- 由2
2(4)
14
3y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(43)3264120k x k x k +-+-= 6分 由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：21
4
k < 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则22121222
326412
4343k k x x x x k k -+==++， ① 8分 ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++
∴222
22
121222264123287(1)41625434343
k k OA OB x x y y k k k k k k -⋅=+=+⋅-⋅+=-
+++ 10分
∵2104k <
≤，∴28787873443
k --<-+≤，∴13[4)4OA OB ⋅∈-， ∴OA OB ⋅的取值范围是13
[4)4-， 13分
212312
2
2
2
1
21(1)()21n n n n
n e e e
e
e
n
e -
----
-
----+
+≤+++=<-(21)(2)1
n n e
n n e +
+-<
- 故存在正整数a=2．使得13(21)()1
n n n n n e
n a e ∴++
+-<
-。