2019届天津市高考压轴卷 数学理科Word版含答案

2019届天津市高考压轴卷
数学理科
一、选择题（共8题，每题5分，共40分）
1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =
（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．0或1
3.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为
A.
73 B. 94 C. 76 D. 9
8 4.不等式组0
3434x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域的面积等于（ ）
A ．
32 B.23 C. 43 D.34
5.下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是（ ） A ．()()ln 1f x x =+
B ．()()()
222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩
C ．()()()()200,010
2,
,x
x
x f x x x ⎧⎪<⎪⎪
==⎨⎪⎛⎫⎪->
⎪⎪⎝⎭
⎩
D ．()1f x x -=
6.(
)
8
34
132x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭展开式中2x 的系数为（ ）
A ．1280-
B ．4864
C ．4864-
D ．1280
7.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）
A ．2
3
B
．3+ C
D
．8．函数()2ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．
ln 2
212
a -<≤- B ．21a -<≤- C ．31a -<≤-
D ．
ln3ln 2
3232
a -<≤- 二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.
9.已知两点)2,2(),2,0(-N M 以线段MN 为直径的圆的方程为________________.
10.学校艺术节对A 、B 、C 、D 四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A 、D 两件作品未获得一等奖”；
丁说：“是C 作品获得一等奖”．
评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________． 11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________．
12.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325
45x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．直线l 截圆C 的弦长等于圆C
求a 的值 ．
13.如图，在ABC △中，23AN NC =
，P 是BN 上一点，
若1
3
AP t AB AC =+，则实数t 的值为
14.设函数()ln ,1
1,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩
，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3=== (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)6
2cos(π
+
A 的值.
16． (本小题满分13分)
田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发现他们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等
于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即
将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比
赛获胜的概率如表所示：
田忌的马公子的马比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者． （1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；
（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望． 17．（本小题13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥，
且22
2P C B C A D C D ====2PA =．
（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；
（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PM
PD
的值；如果不存在，请说明理由． 18.（本小题13分）
在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆13
2
22=+
y a x ()
3>a 的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1=-OF OA ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率e ；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点()
轴上不在x B B ，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围. 19.(本小题满分14分)
数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和n
S ()n N *
∈，{}n
b 是等差数列，
已知11
2a =
，32
114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *
∈，
（i ）求n T ； （ii ）证明：
()2
1
1
2
1311<⋅-∑
=+++++n
i i i i i i b b b b T .
20. (本小题满分14分)
设函数)0()(≠=k xe x f kx .
(Ⅰ) 求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (Ⅱ) 讨论函数)(x f 的单调性；
(Ⅲ) 设42)(2+-=bx x x g ,当1=k 时,若对任意的R x ∈1，存在[]2,12∈x ，使得
)(1x f ≥)(2x g ，求实数b 的取值范围.。