高中数学 圆锥曲线椭圆教案 苏教版选修1-1 教案

椭圆
【学习目标】
1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；
2. 掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；
3. 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法。

B级要求
【自学评价】
1.椭圆的定义与方程
椭圆定义：
2．椭圆的标准方程：①焦点在x轴上的方程：，
②焦点在y轴上的方程：
3．椭圆的简单几何性质：
方程
>>(0)
>>
a b
(0)
a b
图像
焦点
X围
对称性
顶点
长短轴
准线
离心率
4．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙成立的（填“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，非充分非必要条件”之一）。

5．已知椭圆过点(3,0),3
6
=
e ,则椭圆的标准方程为。

6．椭圆的长轴长为4，椭圆中心到其准线的距离为
3
3
4，则椭圆的标准方程为。

7．如果方程x 2
+ky 2
=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值X 围是。

【真题解析】(2008·某某卷) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的
焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，作圆M 的两条切线相互垂直，
则椭圆的离心率为▲
本题主要考查过圆外一点圆的切线知识、椭圆的离心率，考查运算求解能力、数形结合能力。

【精题演练】
例1. 求下列椭圆的标准方程
（1）已知椭圆的焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过()3,2M 。

（2）与椭圆2
2
4936x y +=有相同焦点，且过点()3,2-。

（3）椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率e =，过点()0,A b -和(),0B a 的直线
[说明]根据已知条件求椭圆方程时，有以下步骤：（1）定位，有条件确定中心，焦点所在
坐标轴（即长轴所在坐标轴），从而确定所求方程为椭圆的标准方程，如无法确定焦点所在的坐标轴，要分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况讨论；（2）当根据条件设出椭圆方程后，要设法建立基本量a ，b ，c ，e 的方程组，然后求出基本量。

例2.设F 1、F 2为椭圆22
194
x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求
|
PF ||
PF |21的值。

[说明]1．椭圆内的直角三角形要注意讨论直角的情况，灵活运用三角形的特殊关系。

2．有关椭圆焦点的问题要注意利用椭圆的定义。

例 3. 已知F 1,F 2为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点, 椭圆上存在一点P ，使得
PF 1⊥PF 2,求离心率的X 围。

点拨： |PF 1|=a ex +，|PF 2|=a ex -为椭圆的焦半径公式，
如能恰当的运用，常能简捷地使问题获解。

例 4. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为C 经过坐
标原点O ，椭圆()22
2109
x y a a +
=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

（1）求圆C 的方程；
（2）若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足4PF =，求点P 的坐标。

[说明] 1．椭圆与圆的几何性质的综合是解析几何考查的新动向。

2．有关椭圆焦点的问题要注意利用椭圆的定义。

例5. 已知椭圆2
2
21(01)y x b b
+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过
F 、B 、C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）．
（1）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的X 围； （2）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．
[说明] 1．此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a,b,c的齐次等式得离心率的X围．
2．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB2＝AF×AC，易由椭圆中a,b,c的关系推出矛盾．
【要点整合】
1. 待定系数法求椭圆的标准方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲，不能遗忘定位—确定焦点所在坐标轴。

2.通过数形结合牢固地掌握椭圆的几何性质，深刻理解椭圆中几何量a、b、c、e、
2
a
等之间的关系并应用于解题。

c
x（或y)的一元二次方程，设出交点坐标，借助根与系数的关系进行整体化简；对于中点弦及对称问题运用“点差法”可减少运算量。

4.椭圆的两个定义从不同的角度反映了椭圆的特征。

一般地，遇到动点到两顶点的距离问题，应联想椭圆第一定义；遇到一个动点到一定直线距离问题，应联想椭圆第二定义。

5．友情提醒：
（1）运用椭圆定义时注意椭圆第一定义的限制条件（两定点间的距离小于定长）。

（2）椭圆的标准方程有两种情形，要防止遗漏。

（3）讨论直线与椭圆相交时，要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性的帮助解题，最后要检验椭圆是否与直线相交。

椭圆
【学习目标】
1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；
2. 掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际
问题；
3. 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法。

B 级要求
【自学评价】
1.椭圆的定义与方程
椭圆定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定长2a （2a ＞|F 1F 2|）的点的轨迹。

平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （e ∈（0，1））的点的轨
迹。

2．椭圆的标准方程：①焦点在x 轴上的方程：22
221x y a b
+=，
②焦点在y 轴上的方程：22
221y x a b
+=（a ＞b ＞0）。

3．椭圆的简单几何性质：
方程
(0)a b >> (0)a b >>
图像
焦点
),0(),0(21c F c F -
X 围 b y a x ≤≤, b x a y ≤≤,
对称性
椭圆关于y 轴、x 轴和原点都对称
顶点
长短轴
长轴: A 1A 2 长轴长
短轴：B 1B 2短轴长
准线
2
a x c =±
2
a y c
=±
离心率
4．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙成立的必要不充分条件（填“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，非充分非必要条件”之一）。

5．已知椭圆过点(3,0),36=e ,则椭圆的标准方程为
13922=+y x 或 19272
2=+x y 。

6．椭圆的长轴长为4，椭圆中心到其准线的距离为334，则椭圆的标准方程为
14
22
=+y x 或14
22
=+x y 。

7．如果方程x 2
+ky 2
=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值X 围是0＜k ＜1。

【真题解析】(2008·某某卷) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的
焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，作圆M 的两条切线相互垂直，
则椭圆的离心率为▲
本题主要考查过圆外一点圆的切线知识、椭圆的离心率，考查运算求解能力、数形结合能力。

【解】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP
是等腰直角三角形，故2
2a a c
=，解得22c e a ==。

答案：
2
2
【精题演练】
1. 求下列椭圆的标准方程
（1）已知椭圆的焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过()3,2M 。

（2）与椭圆2
2
4936x y +=有相同焦点，且过点()3,2-。

（3）椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>
的离心率e =，过点()0,A b -和(),0B a 的直线
与原点的距离为
2。

解：（1）当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），又M(3,2)在
椭圆上，由题意，得
2
2
223321
a b
a b
=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴22455a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆的标准方程为22
1455
x y +=
当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为22
221y x a b
+=（0a b >>），又M(3,2)在
椭圆上，由题意，得
22223231a b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴2285
859a b ⎧=⎪⎨=
⎪⎩
∴椭圆的标准方程为22
185859
x y +=
∴综上述椭圆的标准方程为221455
x y +=或22
185859
x y +=。

（2）椭圆2
2
4936x y +=
的焦点为(
)
，
∴c =∴设所求椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），由题意，得
()22
2222523 1a b a
b ⎧=+⎪⎨-+=⎪⎩， ∴221510
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆的标准方程为22
11510
x y +=
（3）由题意，设AB 的直线方程为0bx ay ab --=，根据题意，得
32c a
⎧=
⎪⎪⎨
=
∴1a b ==
∴椭圆的标准方程为2
213
x y +=
[说明]根据已知条件求椭圆方程时，有以下步骤：（1）定位，有条件确定中心，焦点所在坐
标轴（即长轴所在坐标轴），从而确定所求方程为椭圆的标准方程，如无法确定焦点所在的坐标轴，要分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况讨论；（2）当根据条件设出椭圆方程后，要设法建立基本量a ，b ，c ，e 的方程组，然后求出基本量。

2.设F 1、F 2为椭圆22
194
x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求
|
PF ||
PF |21的值。

解：[法一]：当∠PF 2F 1=900
时，由题意，得
⎪⎩⎪⎨⎧=+==+5
c )c 2(|PF ||PF |6|PF ||PF |2
2
222121，又|PF 1|>|PF 2| ∴3
14|PF |1=，3
4|PF |2=
∴2
7|
PF ||PF |21=
当∠F 1PF 2=900
时，同理求得|PF 1|=4，|PF 2|=2
∴2|
PF ||PF |21=
[法二]：当∠PF 2F 1=900
时， F 2坐标为（5，0），
∴2P F x x ==∴43
P y =±，∴ P （
3
4
,5±
） ∴ |PF 2
|=
34，∴ |PF 1|=2a -|PF 2|=3
14 ∴2
7|
PF ||PF |21=
当∠F 1PF 2=900
，设P(,x y )，由题意，得
22222
2
2
[(][(]19
4x y x y x y ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩ ∴ P （55
4
,55
3
±
±），又|PF 1|>|PF 2| ∴ P
，1|PF |=4，2|PF |=2
∴2|
PF ||PF |21=
[说明]1．椭圆内的直角三角形要注意讨论直角的情况，灵活运用三角形的特殊关系。

2．有关椭圆焦点的问题要注意利用椭圆的定义。

3. 已知F 1,F 2为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点, 椭圆上存在一点P ，使得
PF 1⊥PF 2,求离心率的X 围。

解：设P(,x y )，则F 1（-c ，0），F 2（c ，0）
∴1
PF k =y
x c
+，2PF k =
y
x c
- 又PF 1⊥PF 2
∴1
PF k •2
PF k =y x c +•y x c
-=-1
∴222x y c +=
∴2222
2
()
a c
b x
c -=
22
0x c
≤≤
∴2222
2
()
a c b
c
c
-
≤≤，∴222
a c
≤
∴21
2
e≥，又01
e
<<
∴1
e
≤<
点拨： |PF1|=a ex
+，|PF2|=a ex
-为椭圆的焦半径公式，
如能恰当的运用，常能简捷地使问题获解。

4. 在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线4
y x
=+
上，半径为C经过坐标原点O，椭圆()
22
2
10
9
x y
a
a
+=>与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足4
PF=，求点P的坐标。

解：（1）由已知可设圆心坐标为()
,4
t t+，()2
248
t t
++=得2
t=-，所以圆心坐标为()
2,2
-，所以圆的方程为()()
22
228
x x
++-=
（2）设(),
P m n，由已知得()
4,0
F，则()()
22
4016
m n
-+-=，
()()
22
228
m n
++-=
解之得：
4
05
012
5
m
m
n
n
⎧
=
⎪
=
⎧⎪
⎨⎨
=
⎩⎪=
⎪⎩
或
[说明] 1．椭圆与圆的几何性质的综合是解析几何考查的新动向。

2．有关椭圆焦点的问题要注意利用椭圆的定义。

5. 已知椭圆
2
2
2
1(01)
y
x b
b
+=<<的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）当m＋n>0时，求椭圆离心率的X围；
（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．
解：（1）设F 、B 、C 的坐标分别为（－c ，0），（0，b ），（1，0），则FC 、BC 的中垂线分
别为12c x -=，11()22b y x b -=-．联立方程组，解出2
1,2
.
2c
x b c y b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩21022c b c m n b --+=+>，即20b bc b c -+->，即（1＋b ）（b －c ）>0，∴b >c ．
从而22b c >即有222a c >，∴21
2
e <．又0e >，∴0e <
<2．
（2）直线AB 与⊙P 不能相切．
由AB k b =，
22102
PB b c
b b k
c --
=--＝2(1)b c b c +-．如果直线AB 与⊙P 相切，则b ·2(1)b c b c +-＝－1．解
出c ＝0或2，与0＜c ＜1矛盾，所以直线AB 与⊙P 不能相切．
[说明] 1．此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a,b,c 的齐次等式得离心率的X 围．
2．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB 与⊙P 相切，则有
AB 2＝AF ×AC ，易由椭圆中a,b,c 的关系推出矛盾．
【要点整合】
1. 待定系数法求椭圆的标准方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲，不能遗忘定位—确定焦点所在坐标轴。

2.通过数形结合牢固地掌握椭圆的几何性质，深刻理解椭圆中几何量a 、b 、c 、e 、
2
a c
等之间的关系并应用于解题。

x （或y )的一元二次方程，设出交点坐标，借助根与系数的关系进行整体化简；对于
中点弦及对称问题运用“点差法”可减少运算量。

4.椭圆的两个定义从不同的角度反映了椭圆的特征。

一般地，遇到动点到两顶点的距离问题，应联想椭圆第一定义；遇到一个动点到一定直线距离问题，应联想椭圆第二定义。

5．友情提醒：
（1）运用椭圆定义时注意椭圆第一定义的限制条件（两定点间的距离小于定长）。

（2）椭圆的标准方程有两种情形，要防止遗漏。

（3）讨论直线与椭圆相交时，要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性的帮助解题，最后要检验椭圆是否与直线相交。

【能力提升】
1. 已知椭圆011216722=-+y x 上有一点P 到右焦点的距离是5，则它到左准线的距离为4。

2．若椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 值3m =或25
3
=。

3．（书本P 28习题3改编）已知12F ,F 为椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，过2F 作椭
圆的弦AB ，
若△1AF B 的周长为16，椭圆的离心率为e =则椭圆的方程为22
1164
x y +=。

4．椭圆3
1222y x +=1的一个焦点为F 1，点
PPF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是4±。

5．若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为4。

6．以椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点(,0)
F c -为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交
于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值X 围是。

7．（书本P 32练习5改编）已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，求椭圆的方程。

解：由题意设椭圆的半长轴为a ，半短轴为b ，半焦距为c (
0,0)a b c >>>
∴2a c a c
=⎧⎪⎨-=⎪⎩a b ==
∴椭圆的标准方程为221129x y +=或22
912
x y +=
8． 椭圆22
194
x y +=的焦点为F 1,F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求P 点横坐标的取值X 围。

P
A B
M
l
· · O
x
y
解：由题意得3a =，5c =5
3
e =
设P 到左焦点F 1的距离为1d ，P 到右焦点F 2的距离为2d ，P(,x y )∴1d =x -(-2a c ),11PF d =e =c
a
,∴|PF 1|=a ex + 同理得|PF 2|=a ex -
又∠F 1PF 2为钝角
∴cos ∠F 1
PF 2
=
222
1212
12
2PF PF F F PF PF +-<•0
∴3535x <<9．（书本P 297改编）已知定点A 、B 间的距离为2，以B 为圆心作 半径为22P 为圆上一点，线段AP 的垂直平分线l 与直 线PB 交于点M ，当P 在圆周上运动时点M 的轨迹记为曲线C ． 建立适当的坐标系，求曲线C 的方程，并说明它是什么样的曲线。

解：以AB 中点为坐标原点，直线AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图）， 则A(－1,0)，B(1,0).设M(,x y ),由题意，得
|MP|=|MA|, |BP|=2
∴|MB|+|MA|=2
2∴曲线C 是以A 、B 为焦点，长轴长为2
2
其方程为2
2
22x y +=
10．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且
OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的
椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与OA 交于 点E .
（1）求证：221b a -=；
（2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，
求直线l 的方程；
（3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部，
且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．
解：设椭圆的方程为2
221x y a
+=.
由2221,x y a y x b
⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y 得22222(1)2(1)0a x a bx a b +-+-=.由于直线l 与椭圆相切，故△＝22222
(2)4(1)(1)0a b a a b --+-=，化简得221b a -=. ①
（2）由题意知A （1a +，0），B （1a +，1），C （0，1），于是OB 的中点为()
11,22a +.
因为l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，所以l 过点()
11,22a +，即(1)
122
a b -+=
+，亦即22b a -=. ② 由①②解得45,33a b ==，故直线l 的方程为5.3
y x =-+
（3）由（2）知()()
57,0,,033E A .因为圆M 与线段EA 相切，所以可设其方程为
2220()()(0)x x y r r r -+-=>.因为圆M 在矩形及其内部，所以00
10,
25,37.3r x x r ⎧<⎪⎪⎪
>⎨⎪
⎪+⎪⎩≤≤④
圆M 与 l 相切，且圆M 在l
r =
，即03()5x r +=+.
代入④得10,
25
,
37
,3r ⎧<⎪>≤
即0r < 所以圆M
面积最大时，r
，这时，0x =.
故圆M
面积最大时的方程为2
2
2.9x y ⎛⎛+= ⎝
⎭⎝⎭。