湖南省常德市 八年级(上)期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.若分式x−3x+3的值为0，则x的值为（）
A. 3
B. −3
C. 3或−3
D. 0
2.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）
A. 1
B. 2
C. 8
D. 11
3.化简a2a−1−1−2a1−a的结果为（）
A. a+1a−1
B. a−1
C. a
D. 1
4.下列各式中，正确的是（）
A. 1−x+y=−1x−y
B. a2+ba+b=a+b
C. 2y2x+y=yx+y
D. ba=b2a2
5.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，
∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）
A. 20∘
B. 35∘
C. 40∘
D. 70∘
6.下列各式中，正确的是（）
A. x3y(x−1y)−2=x5y
B. x6x3=x2
C. x0=1
D. (x−3y)−2=x−5y2
7.下列命题的逆命题为真命题的是（）
A. 如果a=b，那么a2=b2
B. 若a=b，则|a|=|b|
C. 对顶角相等
D. 两直线平行，同旁内角互补
8.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O
点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定
△ABE≌△ACD（）
A. ∠B=∠C
B. AD=AE
C. BD=CE
D. BE=CD
二、填空题（本大题共8小题，共26.0分）
9.如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则
∠BAD=______．
10.分式32x−2，1x2+x，xx2−1的最简公分母是______．
11.计算：x+3x−1+41−x=______；1x2−y2•（x+y）=______．
13.已知在△ABC中，∠A=40°，∠B-∠C=40°，则∠B=______．
14.用科学记数法表示0.00021=______，用小数表示3.57×10-6=______．
15.如图，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分线AD交
BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度数为______．
16.有一类分数，每个分数的分子与分母的和是100，若分子减k，分母加k后，得到
新的分数，将其约分后等于37（其中k是正整数），则原分数是______，且该类分数中分数值最小的是______．
三、计算题（本大题共2小题，共11.0分）
17.计算：
（1）4x2−y23x2y÷2x−yxy；
（2）x−1x2+x-x−3x2−1．
18.先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2．
四、解答题（本大题共6小题，共39.0分）
19.如图，△ADF≌△BCE，∠B=32°，∠F=28°，BC=5cm，CD=1cm
求：（1）∠1的度数
（2）AC的长
20.解方程：x+1x-1=12−x．
21.如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．有下面三个等式：①AB=AC；
②AD=AE；③BD=CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题
的结论，相构成三个命题．解答下列问题
（1）写出这三个命题，并直接判断其是否是真命题；
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
22.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点
E，BF⊥AC于点F．
（1）求证：S△ABC=DE×AB；
（2）若DE=3cm，求BF的长．
23.某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，
已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A 型芯片？
24.如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s
的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：由分式的值为零的条件得x-3=0，且x+3≠0，
解得x=3．
故选：A．
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
2.【答案】C
【解析】
解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7-3＜x＜7+3，
4＜x＜10，
故选：C．
根据三角形的三边关系可得7-3＜x＜7+3，再解即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
3.【答案】B
【解析】
解：原式=+
=
=a-1
故选：B．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
4.【答案】A
【解析】
解：A、，正确；
B、不能化简，错误；
C、不能化简，错误；
D、不能化简，错误；
故选：A．
根据分式的性质判断即可．
此题考查分式的性质，关键是根据分式的性质解答．
5.【答案】B
【解析】
解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选：B．
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=
∠ACB=35°．
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】
解：A、x3y（x-1y）-2=x3y（x2y-2）=x5y-1=，此选项计算正确；
B、=x3，此选项计算错误；
C、当x≠0时，x0=1，此选项错误；
D、（x-3y）-2=，此选项计算错误；
故选：A．
根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、零指数幂和负整数指数幂的规
定逐一计算即可得．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、零指数幂和负整数指数幂的规定．
7.【答案】D
【解析】
解：A、逆命题为：如果a2=b2，那么a=b，错误，为假命题；
B、逆命题为：若|a|=|b|，则a=b，错误，是假命题；
C、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题；
D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，
故选：D．
把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题，再逐个分析真假命题即可．本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题
叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
8.【答案】D
【解析】
解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为
添加的条件．
故选：D．
欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
9.【答案】30°
【解析】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
又点D是边BC的中点，
∴∠BAD=∠BAC=30°．
故答案是：30°．
根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
10.【答案】2x（x+1）（x-1）
【解析】
【分析】
本题考查了最简公分母，掌握因式分解是解题的关键．先把分母因式分解，再找出最简分母即可．
【解答】
解：∵2x-2=2（x-1），
x2+x=x（x+1），
x2-1=（x+1）（x-1），
∴分式，，的最简公分母是2x（x+1）（x-1），
故答案为2x（x+1）（x-1）．
11.【答案】1 1x−y
【解析】
解：+=-==1，
•（x+y）=•（x+y）=，
第一个分式先变形为同分母分式相减，再依据法则计算、约分即可得；第二个分式先将分母因式分解，再约分即可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
12.【答案】6或8
【解析】
解：①6cm是底边时，腰长=（20-6）=7cm，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
能组成三角形，
②6cm是腰长时，底边=20-6×2=8cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
能组成三角形，
综上所述，底边长为6或8cm．
故答案为：6或8．
分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
13.【答案】90°
【解析】
解：∵∠A=40°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=140°①，
∵∠B-∠C=40°②，
①+②得：2∠B=180°，
∴∠B=90°，
故答案为：90°．
根据三角形内角和定理求出∠B+∠C=140°，和∠B-∠C=40°组成方程组，求出方程组的解即可．
本题考查了三角形内角和定理，解二元一次方程组的应用，注意：三角形的内角和等于180°．
-4
解：用科学记数法表示0.00021=2.1×10-4，用小数表示3.57×10-6=0.00000357，故答案为：2.1×10-4，0.00000357．
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此可得．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15.【答案】84°
【解析】
解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=32°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠DAB=32°，
∴∠C=180°-32°×3=84°，
故答案为：84°．
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到
∠DAB=∠B=32°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】30+k70−k3169
【解析】
解：由题可得，该分数可表示为，
∵分子与分母的和是100，
∴3a+k+7a-k=100，
∴a=10，
∴得到的新的分数为，原分数是，
又∵当k最小时，分数的值最小，
∴当正整数k=1时，分数的值为，
先将该分数可表示为，再根据分子与分母的和是100，即可得到的新的分数为，最后根据当k最小时，分数的值最小，即可得出当正整数k=1时，分数的值为．
本题主要考查了分数、分式及一元一次方程，理解题意列方程是解题的关键．
17.【答案】解：（1）原式=(2x+y)(2x−y)3x2y•xy2x−y=2x+y3x；
（2）原式=x−1x(x+1)-x−3(x+1)(x−1)
=x2−2x+1x(x+1)(x−1)-x2−3xx(x+1)(x−1)
=x+1x(x+1)(x−1)
=1x(x−1)．
【解析】
（1）先将分子、分母因式分解，同时把除法转化为乘法，再约分即可得；
（2）先因式分解、通分，再依据法则计算，继而约分即可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：原式=x−x+1x−1⋅(x+1)(x−1)(x+1)2=1x+1
把x=2代入得：原式=13
【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案，
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19.【答案】解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F=28°，
∴∠E=∠F=28°，
∴∠1=∠B+∠E=32°+28°=60°；
（2）∵△ADF≌△BCE，BC=5cm，
∴AD=BC=5cm，又CD=1cm，
∴AC=AD+CD=6cm．
【解析】
（1）根据全等三角形的对应角相等和三角形外角性质求得答案；
（2）根据全等三角形的对应边相等求出AD，根据图形计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
20.【答案】解：方程两边同时乘以x（2-x），得（x+1）（2-x）-x（2-x）=x
整理得，-2x+2=0，
解得，x=1，
检验：把x=1代入x（2-x）≠0，
因此x=1是原方程的解．
【解析】
利用解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论解出方程．
本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
21.【答案】解：（1）三个命题如下：命题Ⅰ“如果①②成立，那么③成立”；
命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；
命题Ⅲ“如果②③成立，那么①成立，这三个命题都是真命题．
（2）选择命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”：
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC∠B=∠CBD=CE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE．
【解析】
（1）根据真命题的定义即可得出结论，
（2）根据全等三角形的判定方法及全等三角形的性质即可证明．
本题主要考查了真命题的定义及全等三角形的判定方法，难度适中．
22.【答案】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC于D点，∴BD=CD，
在△ADB与△ADC中，AB=ACAD=ADDB=DC，
∴△ADB≌△ADC，（SSS），
∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB•DE=AB•DE；
（2）∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB•DE=AB•DE=3AB，
∵S△ABC=12AC•BF，
∴12AC•BF=3AB，
∵AC=AB，
∴12BF=3，
∴BF=6．
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质得到BD=CD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD是△ABC的中线，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．
23.【答案】解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x-9）元/条，根据题意得：3120x−9=4200x，
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解，且符合题意，
∴x-9=26．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200-a）条B型芯片，
根据题意得：26a+35（200-a）=6280，
解得：a=80．
答：购买了80条A型芯片．
【解析】
（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x-9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200-a）条B型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24.【答案】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP=BQ∠A=∠BAC=BP
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
3=4−tt=xt，
解得
t=1x=1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
3=xtt=4−t，
解得
t=2x=32；
综上所述，存在
t=1x=1或t=2x=32
使得△ACP与△BPQ全等．
【解析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出
∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．。