2018-2019学年山西省朔州市怀仁县高一下学期期中数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年山西省朔州市怀仁市高一下学期期中
数学（文）试题
一、单选题
1．设α角的终边上一点P 的坐标是()3,4--，则cos α等于（ ） A ．
45
B ．35
-
C ．
35
D ．45
-
【答案】B
【解析】利用三角函数的定义可求出cos α的值. 【详解】
由三角函数的定义可得
3cos 5
α==-.
故选：B. 【点睛】
本题考查余弦值的计算，利用三角函数的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
2．若tan 2α=，则tan 2α的值为（ ） A ．45
-
B ．43
-
C ．
43
D ．
45
【答案】B
【解析】根据正切的二倍角公式计算即可. 【详解】 因为tan 2α=, 所以22tan 44
tan 21tan 143
ααα===---，故选B.
【点睛】
本题主要考查了正切的二倍角公式，属于容易题. 3．已知函数2()sin f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 在区间[,]22
ππ
-
上是增函数
C ．()f x 的图像关于点(,0)4
π
对称 D ．()f x 的图像关于直线2
x π=
对称
【答案】D
【解析】函数()2
1211
sin 2222
cos x f x x cos x -==
=-+.， 得：()f x 的最小正周期为
2 2
ππ=，A 不正确； ()f x 在区间,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上，[]2π,πx ∈-，此时函数不单调，B 不正确； 当x 4
π
=时，20cos x =，所以()f x 的图像关于点1,42π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，C 不正确； 当x 2
π
=
时，21cos x =-，()f x 的图像关于直线2
x π
=
对称正确.
故选D.
4．将3sin 4y x =的图象向左平移
12
π
个单位长度，,再向下平移3个单位长度得到
()y f x =的图象，则()8
f π
=（ ）
A ．32
-
B ．
32
C D 3 【答案】A
【解析】分析：先求出3sin4y x =的图象向左平移12
π
个单位长度的解析式，再求向下平移3个单位长度的解析式，再求8f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 详解：将3sin4y x =的图象向左平移
12
π
个单位长度得到3sin 4()3sin(4)123
y x x ππ
=+
=+，再向下平移3个单位得到()3sin(4)33
f x x π
=+-，
所以8f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
33sin(4)3832ππ⨯+-=-，故选A.
点睛：本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数求值，意在考查三角函数图像变换的基础知识掌握能力和基本运算能力.
5．已知平面向量()2,a x =-v
，(b =r ，且()a b b -⊥r r r ，则实数x 的值为（ ）
A ．-
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】∵向量()2,a x =-v
，(b =v ，
∴(3,a b x -=--r
r
∵()
a b b -⊥v
v v
∴()0a b b -⋅=r r
r
，即310x -⨯+-=
∴x =故选B
6．函数sin(2)3
y x π
=+图象的对称轴方程可能是（ ）
A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
【答案】D
【解析】函数的对称轴方程满足：()23
2
x k k Z π
π
π+=+
∈ ,
即：()212
k x k Z ππ
=
+∈ ,令0k = 可得对称轴方程为12x π= .
本题选择D 选项.
7．等边三角形ABC ∆的边长为1，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
（ ）
A ．0
B ．－3
C ．
32
D ．32
-
【答案】D
【解析】由题意可得
AB u u u r •BC BC u u u r u u u r +•CA CA +u u u r u u u r •AB =u u u r 1×1×cos
23π+1×1×cos 23
π
+1×1×cos 23π，运算求得结果. 【详解】
三角形ABC 为边长为1的等边三角形，
则AB u u u r •BC BC u u u r u u u r +•CA CA +u u u r u u u r •AB =u u u r 1×
1×cos 23π+1×1×cos 23
π
+1×1×cos 2332π=-， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积的定义，要特别注意两个向量的夹角的值，属于中档题．
8．已知()2
tan 3
πα-=-，则()()()cos 3sin cos 9sin απαπαα-++-+的值为 A ．37
-
B ．15
-
C ．
15
D ．
37
【答案】B
【解析】利用诱导公式求得tanα2
3
=，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值． 【详解】
∵已知()23tan πα-=-
=-tanα，∴tan α23
=， 则
()()()33131
99195
cos sin cos sin tan cos sin cos sin tan απααααπαα
ααα-++--=
==--+-+-+，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 9．已知锐角α满足3
cos()6
5π
α+
=
，则sin(2)3
πα+=（ ） A ．
12
25
B ．1225±
C ．
2425
D ．2425
±
【答案】C
【解析】利用诱导公式，求得sin()6
π
α+的值，再利用倍角公式，即可求解.
【详解】
因为锐角α满足3cos()6
5π
α+
=
，所以6
π
α+也是锐角，
由三角函数的基本关系式可得4
sin()65
π
α+==， 则24
sin(2)2sin()cos()36625
π
ππααα+=++=，故选C. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．若非零向量a r 、b r 满足a b =r r ，()
20a b b +⋅=r r r ，则a r 与b r
的夹角为（ ）
A ．30o
B ．60o
C ．120o
D ．150o
【答案】C
【解析】设向量a r
与b r
的夹角为θ，根据题中条件结合平面向量数量积的运算律和定义求出cos θ的值，再结合θ的取值范围可求出角θ的值. 【详解】
设向量a r 与b r
的夹角为θ，a b =r r Q ，()
222222cos 0a b b a b b b b θ+⋅=⋅+=+=r r r r r r r r ，
得1
cos 2
θ=-，0180θ≤≤o o Q ，120θ∴=o ，因此，a r 与b r 的夹角为120o . 故选：C. 【点睛】
本题考查利用平面向量数量积来计算平面向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
11．已知向量44sin
,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
r ，向量()1,1b =r ，函数()f x a b =r r g ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 的一条对称轴为直线4
x π
=
C ．()f x 的最小正周期为2π
D ．()f x 在,42ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上为减函数 【答案】D 【解析】
()·f x a b
=v
v 4
422222213+cos 2sin cos (sin cos )2sin cos 1sin =22222224
x x x x x x x
x =+=+-=-， 所以()f x 是偶函数，4
x π
=不是其对称轴，最小正周期为π，在,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上为减函数，所以选D.
【点睛】函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π
.T ω
=
(3)由 π
π()2
x k k ωϕ+=
+∈Z 求对称轴 (4)由ππ
2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间;
由π3π
2π2π()22
k x k k ωϕ+≤+≤
+∈Z 求减区间 12．函数(
)sin cos f x x a x ωω+（0a >，0ωπ<<）的部分图象如图所示，则ω的值为（ ）
A ．1ω=
B ．2
π
ω=
C ．2ω=
D ．3ω=
【答案】C
【解析】利用图中的信息列方程组求解。

【详解】
由()3sin cos f x a x a x ωω=+得()2sin()6
f x a x π
ω=+
，由图中信息得：
()2sin()1336
(0)2sin 1
6f a f a π
ππωπ⎧=+=⎪⎪⎨
⎪==⎪⎩
，解得15+2+2366
366a k k k Z πππ
πππωπωπ=⎧⎪
⎨=+=+∈⎪⎩或，），又0ωπ<<，所以2ω=，故选C 。

【点睛】
本题考查了()sin()f x A x B ωϕ=++（或()cos()f x A x B ωϕ=++）的图象，利用图象信息列方程组求解，注意结合,,,A B ωϕ的要求来确定,,,A B ωϕ的值。

二、填空题
13．已知向量()2,1a =r ，()1,b x x =-v ，()3,3c x x =-v
，满足//a b r r ，则b r ，c r 夹角的
余弦值为__________． 【答案】1010
-
【解析】由a r ∥b r ，得()210x x ⋅--=，解得1
3x =，则21,33b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
v ，()1,1c =-r ，
所以
()
21
11cos ,10b c ⨯-+⨯==-
v v .
14．函数()4sin cos f x x x =的图象向左平移
3
π
个单位得出函数()g x ，则8g π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
______．
【解析】化简函数() 2sin
2f x x =，由平移变换得到函数()g x ，带入求值即可. 【详解】
()42sin 2f x sinxcosx x ==,
()22sin 22sin 2333g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
=+=+=+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
, 则22222sin 22sin 2sin cos cos sin 883434343g ππππππ
πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=+
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
122⎛⎫=⨯-+=
⎪⎝⎭⎣⎦
,
【点睛】
变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用
x x ϕωϕωω⎛⎫
+=+
⎪⎝
⎭
来确定平移单位． 15．已知
32
4π
πβα<<<
，()12
cos 13αβ-=，()3sin 5
αβ+=-，则cos2=α___________．
【答案】33
65
-
【解析】∵2
π
＜β＜α＜34π，cos （α﹣β）=1213，∴sin （α﹣β
）
513， ∵sin （α+β）=﹣35，∴cos （α+β）=
﹣4
5
，
则cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]=cos （α+β）cos （α﹣β）﹣sin （α﹣β）sin （α﹣β）
=﹣4
5
•
12
13
﹣
5
13
•（﹣
3
5
）=
33
65
-，
故答案为：﹣
33
65
．
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
16．如图：在ABC
∆中，若3
AB AC
==，
1
cos
2
BAC
∠=，2
DC BD
=
uuu r uu u r
，则
AD BC
⋅=
u u u r u u u r
__________．
【答案】
3
2
-
【解析】用基底AB
u u u r
、AC
u u u r
表示向量AD
u u u r
和BC
uuu r
，然后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出AD BC
⋅
u u u r u u u r
的值.
【详解】
3
AB AC
==
Q，
1
cos
2
BAC
∠=，2
19
cos3
22
AB AC AB AC BAC
∴⋅=⋅∠=⨯=
u u u r u u u r u u u r u u u r
.
2
DC BD
=
uuu r uu u r
Q，即
()
2
AC AD AD AB
-=-
u u u r u u u r u u u r u u u r
，
12
33
AD AC AB
∴=+
u u u r u u u r u u u r
，
BC AC AB
=-
u u u r u u u r u u u r
，
因此，
()22
12112
33333
AD BC AC AB AC AB AC AB AC AB
⎛⎫
⋅=+-=+⋅-
⎪
⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22
11923
33
33232
=⨯+⨯-⨯=-.
故答案为：
3
2
-.
【点睛】
本题考查三角形中数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示问题所涉及的向量，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
17．已知1tan 42
πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．
（Ⅰ）求tan α的值；
（Ⅱ）求()()22sin 22sin 21cos 2sin παπαπαα
⎛⎫+-- ⎪
⎝⎭--+的值．
【答案】（Ⅰ）1
tan =-3α；（Ⅱ）15-
19
. 【解析】试题分析：（Ⅰ）用两角和的正切公式把tan 4πα⎛⎫
+
⎪⎝⎭
展开得到关于tan α方程即可求得tan α的值；（2）先用诱导公式、二倍角公式把原式化简成关于角α正、余弦的齐次式，化切，代入tan α的值得解.
试题解析：解：（Ⅰ）tan
tan 1tan 1
4
tan(
)4
1tan 2
1tan
tan 4
π
α
π
ααπ
αα
+++=
==--，
解得；
（Ⅱ）22sin(22)sin ()21cos(2)sin π
απαπαα
+----+=22sin 2cos 1cos 2sin αα
αα-++ 2222sin cos cos 2cos sin ααααα
-=
+22tan 1
152tan 19αα-==-+． 【考点】两角和的正切公式，诱导公式，二倍角公式和同角三角函数的基本关系式及三角函数式的化简、求值.
【方法点晴】在给条件求值的问题中，应先通过待求值式子的形式判断条件的处理方法，本题第（Ⅰ）问中欲求tan α的值，只需把条件1
tan 42
πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭用两角和的正切公式展开即可得到关于tan α的方程，同时要注意角的范围对三角函数值的影响，这往往是一个易错点；第（Ⅱ）问中，应先用诱导公式、倍角公式及同角三角函数的基本关系式对待求值的式子进行化简，建立其与tan α的关系，这个过程中用到了齐次式化切这种常用的化简技巧.
18．已知||4,||3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=r r r r r r
.
(1)求a r 与b r
的夹角θ；
(2)求||a b +r r .
【答案】（1）23πθ=
；（2
【解析】（1）由(23)(2)61a b a b -⋅+=r r r r 得到6a b ⋅=-r r
，又||4,||3a b ==r r 代入夹角公
式cos ||||
a b
a b θ⋅=r r
r r ，求出cos θ的值；
（2
）利用公式||a b +=r r
.
【详解】
（1）因为22
(23)(2)6144361a b a b a a b b -⋅+=⇒-⋅-=r r r r r r r r ，所以6a b ⋅=-r r ，
因为61cos 43
2||||a b a b θ⋅-==
=-⋅r r r r ，因为0θπ≤≤，所以23π
θ=. （2
）||a b +===r r
【点睛】
本题考查数量积的运算及其变形运用，特别注意2
2||a a =r r 之间关系的运用与转化，考查
基本运算能力.
19．已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2当[0,]2
x π
∈时，求函数()f x 的值域.
【答案】（1）π；（2
）1⎡⎤-⎣⎦.
【解析】（1）由三角函数的公式化简已知函数可得f （x ）
2?14x π⎛
⎫
+- ⎪⎝
⎭
，易得周期；
（2）由x 的范围，结合不等式的性质，一步步可得值域，先求函数的单调区间，结合函数的定义域可得答案． 【详解】
（1）因为()(
)πsin21cos2214f x x x x ⎛
⎫=--=+- ⎪⎝
⎭，
所以函数()f x 的最小正周期为2π
π2
T =
=．
（2）π0,2x ⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
时，ππ5π2,444x ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦，
∴π
sin 24x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
．
π24x ⎛⎫⎡
+
∈- ⎪⎣⎝
⎭
．
∴()f x 的值域为()1f x ⎡⎤∈-⎣⎦
．
【点睛】
本题考查三角函数的公式的应用，涉及正弦函数的单调性以及函数值域的求解，属中档题．
20．已知函数()()sin cos f x x a x x R =+∈，4
π
是函数()f x 的一个零点． （1）求a 的值；
（2）若α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且45f πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，345f πβ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，求()sin αβ+的值．
【答案】（1）1-；（2）
2
. 【解析】（1）由04f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
可求出实数a 的值；
（2）利用辅助角公式得出()4f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝⎭
，利用已知条件求出sin α、cos β的
值，并利用同角三角函数的基本关系求出cos α、sin β的值，最后利用两角和的正弦公式可求出()sin αβ+的值. 【详解】 （1）4
π
Q
是函数()y f x =的一个零点，sin cos 0444f a πππ⎛⎫
∴=+=
⎪
⎝⎭
，1a ∴=-；
（2）()sin cos 224f x x x x x x π⎫⎛
⎫=-=
-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
Q .
45f παα⎛⎫+==
⎪⎝
⎭Q ，sin 5α∴=.
0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭Q ，cos 5
α∴==.
3
42f ππβββ⎛⎫⎛⎫+
=+== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭Q ，.cos β∴=
0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭Q ，sin β∴==
()sin sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+=
=
【点睛】
本题考查利用三角函数的零点求参数，同时也考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
21．已知函数())
2
sin 212sin 1f x x x =--+.
（1）求()f x 的最小正周期及其单调减区间； （2）当,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域． 【答案】（1）最小正周期为π，单调减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）[]1,1-. 【解析】（1）利用二倍角的余弦公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为
()2sin 213f x x π⎛
⎫=-++ ⎪⎝⎭
，利用正弦型函数的周期公式可求出函数()y f x =的最小
正周期，然后解不等式()2222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈即可得出函数()
y f x =的单调递减区间； （2）由,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，计算出23x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可得出
sin 23x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的取值范围，即可得出函数()y f x =的值域.
【详解】 （1）
())
2sin 212sin 1sin 221
f x x x x x =--+=-+Q
()
sin 2212sin 213x x x π⎛
⎫=-++=-++ ⎪⎝
⎭，
∴函数()y f x =的最小正周期为22
T π
π=
=， 函数()2sin 213f x x π⎛⎫
=-++ ⎪⎝
⎭的单调减区间即是函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的单调增区
间，
由正弦函数的性质知，当()2222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈，
即()51212k x k k Z ππππ-
≤≤+∈时，函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭为单调增函数，
∴函数()y f x =的单调减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦； （2）,66x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦Q ，220,33x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，0sin 213x π⎛
⎫∴≤+≤ ⎪⎝
⎭，
[]2sin 211,13x π⎛
⎫∴-++∈- ⎪⎝
⎭，∴函数()y f x =的值域为[]1,1-.
【点睛】
本题考查三角函数基本性质的综合问题，考查了正弦型函数的最小正周期、单调区间以及值域的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
22．已知向量(p =u r ，()cos ,sin q x x =r
.
（1）若//p q u r r
，求2sin 2cos x x -的值；
（2）设函数()f x p q =⋅u r r ，将函数()f x 的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的
1
2
（纵坐标不变），再把所得的图象向左平移3
π
个单位，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.
【答案】（1）
14
；（2）()2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢
⎥⎣⎦.
【解析】（1）由//p q u r r
，可得出tan x =想求出2sin 2cos x x -的值；
（2）利用平面向量数量积的坐标运算以及辅助角公式可得出()2sin 6f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，利用三角函数图象变换规律得出()52sin 26
g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，然后解不等式()52222
62
k x k k Z π
ππ
ππ-
+≤+
≤+∈，可得出函数()y g x =的单调递增区间. 【详解】
（1
）(p =u r Q ，()cos ,sin q x x =r ，且//p q u r r
，sin x x ∴=，
则tan x =
22
222
2sin cos cos 2tan 1sin 2cos sin cos tan 1x x x x x x x x x --∴-===++； （2）(
)cos 2sin 6f x p q x x x π⎛
⎫=⋅==+ ⎪⎝
⎭u r r Q ，
由题意可得()52sin 22sin 2366g x x x πππ⎡⎤
⎛
⎫⎛
⎫
=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦
， 由()52222
62k x k k Z π
ππππ-
+≤+
≤+∈，得()236
k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈. ∴函数()y g x =的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎤
-
+-+∈⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查利用共线向量的坐标表示求三角函数值，同时也考查了正弦型函数单调区间的求解，解题的关键就是结合三角函数的图象变换得出函数的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。