向量代数和空间解析几何

向量代数和空间解析几何
一． 选择题
1. 设矢量,a b 为非零矢量，且a b ⊥，那么必有( )
(A)a b a b +=+; (B)a b a b -=-; (C)a b a b +=-; (D)a b a b +=-.
2. 设矢量,a b 的模分别为1,2a b ==
，且a 与b 的夹角为4πθ=，那么( )a b +=
(A)1; (B)12+; (C)2; (D) 3. 设矢量,a b 为非零矢量，且满足a b a b +=-，那么必有) (
(A)0a b -=; (B) 0a b +=; (C) 0a b ⋅=; (D) 0a b ⨯=. 4. 设三矢量,,a b c 满足关系式a b a c ⋅=⋅，那么) (
(A)必有0a b c ==或; (B)必有0a b c =-=; (C)当0a ≠时必有b c =; (D) 必有()
a b c ⊥-. 5. 设矢量,a b 为非零矢量，且()()753a b a b -⊥+，(
)()
724a b a b -⊥-，那么a 与b 的夹角θ=) (
(A)0; (B)
2π; (C)3
π
; (D) 23π.
6. 过A (4,0,-2)、B (5,1,7)且平行于x 轴的平面法矢量) (=n
(A) },,0{}9,1,1{b a ⨯; (B) },,0{}9,1,1{a a ⨯;(C) }0,0,{}9,1,1{a ⋅; (D) }0,0,{}9,1,1{a ⨯. 7. 两平行平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 间的距离为) (
(A) 1; (B)2
1;(C) 2; (D) 21. 8. 直线⎩⎨⎧=++-=++-0364850
5z y x z y x 的标准方程为) (
(A)31144-+=-=z y x ; (B) 31144-=-=z y x ;(C) 31144-+=--=z y x ; (D) 3
1144--=-=z y x . 9. 直线⎩⎨⎧=++-=-+7272:1z y x z y x L 与⎩⎨⎧=--=-+0
28
363:2z y x z y x L 的关系是) (
(A)21L L ⊥; (B) 1L 与2L 相交但不一定垂直;(C) 1L 与2L 为异面直线; (D) 21//L L .
10. 直线18
2511:1+=--=-z y x L 与⎩
⎨⎧=+=-326:2z x y x L 的夹角为( ) (A)
6
π； (B) 4π； (C) 3π； (D) 2π。

二．填空题
1. 矢量c b a ,,两两互相垂直，且1=a ，2=b ，3=c
，那么c b a p ++=的长度是 ；
2. 矢量c b a ,,，其中a c ⊥，b c ⊥，由a 与b
的夹角为6
π，且6=a ，=b 3=c ，那么()
c b a ⋅⨯= ；
3. 直线1
3
271--=
+=z y x 上与点(3，2，6)的距离最近的点是 ； 4. 直线L 过点M (0，-3，-2)且与两条直线⎪⎩
⎪
⎨⎧+=-=+-=λ
λλ
324521:1z y x L 、12233:2-=-=-z y x L 都垂直，那么直线L 的方程是 ；
5. 与直线1
12x y t z t
=⎧⎪
=-+⎨⎪=+⎩
及121121x y z +++==
都平行且过原点的平面方程为 ； 三. 判断题
1. 设a 、b 、c
是三个向量，那么()()
a c
b a
c b ⋅=⋅⨯。

( )
2. 设a 、b 、c
是三个向量，假设c b c a ⋅=⋅，那么b a =。

( )
3. 由于方程
1
0111-=-=-z y x 以0做除数，故它不表示任何空间曲线。

( ) 4. 方程0),(22=+z y x f 表示旋转曲面，其旋转轴为x 轴。

( )
5. 单叶双曲面
12
22
22
2=-
+
c
z b
y a
x 用垂直于x 轴的平面来截，截痕都是以x 轴为实轴的双曲线。

( )
四. 解答题
1. 求二平面22210x y z -++=、72450x z +-=间的两面角的平分面方程。

2. 直线235:27y z L x y z +=⎧⎨--=-⎩
，求①直线L 在xoy 平面上的投影方程；②直线L 在平面
:380x y z π-++=上的投影方程。

3. 一动点与(1,2,3)P 的距离是它到平面3x =
倍，试求动点的轨迹方程，并求该轨迹曲面。

4. 在曲面222
316x y z ++=上求一点，使曲面在此点的切平面与两条直线1361:458
x y z L --+==
，2:L x y z ==平行。

5. 过直线102227:0
x y z L x y z +-=⎧⎨
+-=⎩做曲面222
327x y z +-=的切平面，求此切平面方程。

6. 求点(2,3,1)在直线⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=-=23227t z t y t x 上的投影。

7. 直线130211:
1--=-=-z y x L ，1
1122:2z
y x L =-=+，求过L 1且平行于L 2的平面方程。

8. 设直线L 通过点M (1,1,1)，并且与直线1:23y z L x ==相交，与直线2123
:214
x y z L ---==
垂直，求直线L 的方程。

9. 考察直线310
:40x z L x y -+=⎧⎨+-=⎩
与平面:210x y z π--+=的关系，假设平行，求其距离；假设相交，求
出交点。

10. 点M 的原来位置为M 0(5,-1,2)，它沿着平行于y 轴的方向移动，求它与平面2370x y z --+=的交点。

多元函数及其微分学
一. 选择题
1. 设2
(,)()x f xy x y y =+,那么(,)f x y =( )
(A) 221()x y y +； (B) 2(1)x y y +；(C) 221()y x x +； (D) 2
(1)y y x
+
2. 21lim 1x x y
x y a x +→∞
→⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭
( ) (A)1e -; (B)e ; (C)1; (D)0.
3. 设函数2
22, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪
=+⎨⎪=⎩
，那么) (
(A)极限00
lim (,)x y f x y →→存在，但(,)f x y 在点(0,0)处不连续;
(B) 极限00
lim (,)x y f x y →→存在，且(,)f x y 在点(0,0)处连续;
(C)极限00
lim (,)x y f x y →→不存在，故(,)f x y 在点(0,0)处不连续;
(D)极限00
lim (,)x y f x y →→不存在，但(,)f x y 在点(0,0)处连续;.
4. 函数(,)f x y 在点00(,)x y 偏导数存在是(,)f x y 在该点连续的( )
(A)充分条件，但不是必要条件; (B)必要条件，但不是充分条件; (C)充分必要条件; (D)既不是充分条件，也不是必要条件. 5. 假设
00
0x x y y f x
==∂=∂，
00
0x x y y f y
==∂=∂，那么(,)f x y 在00(,)x y 是( )
(A)连续且可微; (B) 连续但不一定可微; (C) 可微但不一定连续; (D) 不一定连续也不一定可微. 6. 设(,)u u x y =为可微分函数，且当2
y x =时，有(,)1u x y =及
u
x x
∂=∂，那么当2y x =(0x ≠)时u y ∂=∂) (。

(A)12; (B) 1
2
-; (C)0; (D) 1. 7. 设(,)z z x y =是由方程(,)0F x az y bz --=所定义的隐函数，其中(,)F u v 是变量,u v 的任意可微函
数，,a b 为常数，那么必有) (
(A)1z z b a x y ∂∂+=∂∂; (B) 1z z a b x y ∂∂+=∂∂; (C) 1z z b a x y ∂∂-=∂∂; (D) 1z z
a b x y
∂∂-=∂∂. 8. 函数(,,),(,),(,)u f t x y x s t y s t ϕφ===均有一阶连续偏导数，那么u
t
∂=∂) ( (A)x t y t f f ϕφ+; (B) t x t y t f f f ϕφ++;(C) t t f f ϕφ⋅+⋅; (D) t t t f f f ϕφ+⋅+⋅.
9. 曲线2226
:0
x y z x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩在点(1,2,1)M -的切线一定平行于) (
(A) xoy 面; (B) yoz 面;(C) zox 面; (D) 平面0x y z ++=.
10. 曲面3z
e z xy -+=在点(2,1,0)的切平面方程为) (
(A) 240x y +-=; (B) 240x y z +--=;(C) 240x y +-=; (D) 250x y +-=.
11. 平面23x y z λ+-=是曲面与22
23z x y =+在点111,,222⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切平面，那么λ的值是) (
(A)
45; (B)54;(C) 2; (D)12
. 12. 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，且0000(,)(,)0x y f x y f x y ==，那么(,)f x y 在点
00(,)
x y ) (
(A)必有极值,可能是极大,也可能是极小; (B)可能有极值，也可能没有极值; (C)必有极大值; (D)必有极小值.
13. 二元函数22
, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xy
x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩
在(0,0)处) (
(A)连续且偏导数存在; (B) 连续且偏导数不存在;(C) 不连续且偏导数存在; (D) 不连续且偏导数不存在;
二. 填空题
1. 设()z x y f x y =++-，且当0y =时2
z x =，那么函数f 为 ；z = ;
2.
设arctan x y =，那么dy dx = ；
3. 设(,)z z x y =由方程20xy z
e z e --+=确定，于是z 关于x 的二阶偏导数为 ;
4. 设()y
z xyf x
=，()f u 可导，那么x y xz yz ''+= ；
5. 设2
(,,)x f x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，那么
(0,1,1)x f -= ； 三. 判断题
1. 假设从),(y x 对无穷多种方式趋于),(00y x 时，函数),(y x f 都无限接近于A ，那么
A y x f y x y x =→),(lim )
,(),(00。

( )
2. 二元函数),(y x f 在),(000y x P 处偏导数都存在，那么),(y x f 在),(000y x P 处连续。

( )
3. 二元函数),(y x f 在),(y x P 处二阶偏导数都连续，那么),(y x f 在),(y x P 处可微。

( )
4. 光滑曲面),(y x f z =在任意点的法向量为{}1 ),,( ),,(y x f y x f y x 。

( )
5. 一元复合函数具有一阶微分形式的不变性，二元和多元函数那么没有。

( )
四. 解答题
1. 设322(,,)f x y z x y z =，其中(,)z z x y =为由333
30x y z xyz ++-=确定的隐函数，试求(1,0,1)x f -。

2. 设(,,)u f x y z =，()2,,0y x e z ϕ=，sin y x =，
其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数，且0z ϕ∂≠∂，求du
dx。

3. 设函数()f u 具有二阶连续导数，而(sin )x
z f e y =满足方程22222z z z e z x y
∂∂+=∂∂，求()f u 。

4. 设2
0(,)xy
t f x y e dt -=⎰，求22222
2x f f y f
y x x y x y ∂∂∂-+∂∂∂∂。

5. 设(,,)z f x y x y z =++确定了(,)z z x y =，求dz 。

6. 设函数(,)z z x y =由方程,0z z F x y y x ⎛
⎫
+
+= ⎪⎝⎭
确定，(),F u v 的偏导数存在，计算z x x ∂∂+z y y ∂∂。

7. 设函数(,)ax by
z u x y e +=且
20u x y
∂=∂∂，试确定常数,a b ，使函数(),z z x y =能满足方程：
20z z z
z x y x y
∂∂∂--+=∂∂∂∂ 8. 设,ϕφ都具有连续的二阶导数，()()()1122y ax y ax z y ax y ax t dt a ϕϕφ+-=++-+⎡⎤⎣
⎦⎰，求22
222z z a x y ∂∂-∂∂。

五. 证明题
1. 证明极限00
1sin lim x y x y
x x y →→++不存在。

2. 设(,)z f x y =二次可微，且cos u
x e v =，sin u
y e v =，试证：222
222222u z z z z e x y u v -⎛⎫∂∂∂∂+=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭。

3. 设sin (sin sin )u x F y x =+-，证明cos cos cos cos u u
y x x y x y
∂∂+=∂∂。