湖北省武汉为明教育集团2020届高三下学期第四次调研考试数学(文)试题

湖北省武汉为明教育集团2020届高三下学期第四次调研考试
数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集U=R ，A={x|x ≤0}，B={x|x ≥1}，则集合()U
A B ⋃=（ ）
A ．{x|x ≥0}
B ．{x|x ≤1}
C ．{x|0≤x ≤1}
D ．{x|0<x<1}
2．已知a b c d ,,,为实数，则“a b c d +>+”是“a c >且b d >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知230.2log 3,log 2,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．a c b <<
4．已知非零向量,a b 满足，||||a b =，(2)0a b b +⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 5．下列命题中错误的是（ ）
A ．如果一个平面与两个平行平面都相交，那么它们的交线平行
B ．如果一个平面与两个不同的平面都平行，那么这两个平面平行
C ．如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必与另一个平面相交
D ．如果一条直线与两个不同的平面都平行，那么这两个平面平行 6．函数()sin sin2f x x x =的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知2c =，222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则+a b 的取值范围是（ ）
A ．(2,4]
B ．(2,
C ．+
D ．
8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点为(,0)(0)F c c >，且双曲线的渐近线
与圆2
2
2
()4
c x c y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
43
B C ．
1615
D ．
15
9．已知圆22:(2)4C x y -+=，直线1:l y =，2:1l y kx =-，若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为（ ）
A B C ．
12
D ．1
10．已知F 是抛物线2
4y x =的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线交抛物线于,A B （A
点在x 轴上方）两点，则
||
||
AF BF 的值为（ ）
A ．9
B ．3
C ．2
D
11．已知曲线x
y e b =+（e 为自然对数的底数）的一条切线为(1)y a x =+，则b =（ ）
A ．ln a a
B ．2ln a a
C ．
1
a
D ．
ln a
a
12．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价
格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格1P 低于均衡价格0P 时，需求
量大于供应量，价格会上升为2P ；当产品价格2P 高于均衡价格0P 时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格0P ．能正确表示上述供求关系的图形是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和.若41380,20S a a =+=，则n a =______. 14．已知函数()()sin (0,)f x x ωϕωπϕπ=+>-<<的部分图象如下图，则ϕ=_____.
15．已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面
,,4,3,ABC AB AC AB AC PA ⊥===P ABC -的外接球的表面积
为______.
16．在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W .给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；
③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12
. 其中，所有正确结论的序号是_____.
三、解答题 17．
在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设(1)2
n n n b a +=，记1234
(1)n n n T b b b b b =-+-+++-，求n T .
18．如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线BD 的中点为O ，60BAD ∠=︒；点E 不在平面ABCD 内，平面ADEF
平面BCEF =直线,EF OF ⊥平面ABCD ，
22BC CE DE EF ====.
（1）求证：//EF BC ； （2）求三棱锥E BCD -的体积. 19．已知函数2
1()cos ()4
f x x x x R =
+∈. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线； （2）求证：0x =为函数()f x 的极大值点.
20．消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标；它是预测经济走势和消费趋向的一个先行指标，是监测经济周期变化的重要依据.消费者信心指数值介于0和200之间.指数超过100时，表明消费者信心处于强信心区；指数等于100时，表示消费者信心处于强弱临界点；指数小于100时，表示消费者信心处于弱信心区.我国某城市从2016年到
2019年各季度的消费者信心指数如下表1：
记2016年至2019年年份序号为(1,2,3,4)x x =，该城市各年消费者信心指数的年均值（四舍五入取整）为y ，x 与y 的关系如下表2：
（1）该城市在2017年和2018年的四个季度的消费者信心指数中各任取一个，求2018年的消费者信心指数不小于2017年的消费者信心指数的概率；
（2）根据表2得到线性回归方程为：ˆˆ4.4y
x a =+，求ˆa 的值，并预报该城市2020年消费者信心指数的年平均值.
（3）根据表2计算(,)x y 的相关系数r （保留两位小数），并判断是否正相关很强.
参考数据和公式：ˆˆa
y bx =-；1
234
2.54
x +++==；
105112114119
112.54
y +++=
=23.45≈22.47≈；
()()
n
i
i
x x y y r --=
∑0.751r ≤≤时，y 与x 正相关很强.
21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
，点(0,1)在椭圆C 上，椭圆C
长轴的左右端点分别为,A B . （1）求椭圆C 的方程；
（2）直线(1)y k x =-交椭圆C 交于M ，N 两点，设直线,AM BN 的斜率分别为,AM BN k k .求证：3BN AM k k =恒成立.
22．（1）已知,,1a b R a b +∈+=，求证：
11
4a b
+≥.
（2）已知23x y z ++=222
x y z ++的最小值.
23．在极坐标系中，直线l 过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，且与极轴所成的角为23π；点Q 在曲线1ρ=上.
（1）求直线l 的极坐标方程；
（2）设R 为直线l 上的点，求RQ 的最小值.
参考答案
1．D 【分析】
本题先求两个集合的并集，再求补集即可解题. 【详解】
∵U=R ，A={x|x ≤0}，B={x|x ≥1}，∴A ∪B={x|x ≤0，或x ≥1}，∴
()U
A B ⋃={x|0<x<1}．
故选：D. 【点睛】
本题考查集合的运算，是基础题. 2．A 【分析】
根据充分条件、必要条件的概念及不等式的性质即可求解. 【详解】
若a c >且b d >，由不等式的性质可得：a b c d +>+，
若a b c d +>+成立，推不出a c >且b d >，例如1,0,2,3a b c d ====-， 满足a b c d +>+，但a c <，
所以 “a b c d +>+”是“a c >且b d >”的必要不成分条件， 故选：A 【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件，不等式的性质，属于中档题. 3．C 【分析】
利用对数的两个重要公式()log 1
,0,1log 10a a
a a a =⎧>≠⎨=⎩，可知10a
b
c >>>>，据此可得答案.
【详解】
因为22log 3log 2=1a =>，3330log 1log 2log 31=<<=，0.20.2log 2log 10<< 所以1a >，01b <<，0c <，所以c b a <<. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了对数的大小比较以及对数函数单调性的应用，属于基础题. 4．C 【分析】
根据向量数量积的运算及向量的模相等，即可求出夹角. 【详解】
2
2
(2)22||||cos ,||0a b b a b b a b a b b →→→→→
→→→→→→+⋅=⋅+=<>+=，且||||a b →→
=，
2cos ,10a b →→
∴<>+=，
1
cos ,2
a b →→
∴<>=-，
2,3
a b π→→∴<>=，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，考查了数量积的性质，属于中档题. 5．D 【分析】
根据面面平行的性质定理，可判断A 的真假;根据面面平行的几何特征，可判断B 的真假;根据线面关系及面面平行的几何特征，可判断C 的真假;根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断D 的真假. 【详解】
根据面面平行的性质定理，两个平行平面与第三个平面的交线平行，可得A 正确; 根据面面平行的几何特征，可得平行于同一个平面的两个平面平行，故B 正确; 根据―条直线与两个平行平面的夹角相等，可得C 正确; 平行于同一条直线的两个平面可能平行也可能相交，故D 错误. 故选：D 【点睛】
本题以命题的真假判断为载体考查了空间线面的位置关系，熟练掌握面面平行，线面平行的几何特征及判定方法是解答的关键. 6．B 【分析】
根据函数的奇偶性可排除AD,根据特殊值可排除C ，即可得到答案. 【详解】
因为()sin sin 2()f x x x f x -==，x ∈R 所以函数为偶函数，故排除AD, 当2
x π=
时，()02
f π=，可排除C,
故选：B 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图像与性质，考查了排除法解选择题，属于中档题. 7．A 【分析】
222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，由余弦定理可得：222a b ab c +-=，再利用余弦定理
可得C
．由正弦定理可得：2sin sin sin
3
a b A B π===
，解出a ，b 代入+a b ，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出． 【详解】
222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，
∴由正弦定理可得：222a b ab c +-=，
∴可得222cos 1
22a b c C ab +-==，
(0,)C π∈，
3
C π
∴=
．
∴
由已知及正弦定理可得：2sin sin 3sin
3
a b A B π===，
a A ∴=
，b B ，23B A π=-．
则2sin()4sin()36
a b A B A A A ππ
+=
=+-=+，
2(0,)3
A π∈， (66A ππ
∴+
∈，5)6π
，
1
sin()(62A π∴+∈，1]，
(2a b ∴+∈，4]．
故选：A 【点睛】
本题考查了正余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．B 【分析】
根据直角三角形的边角关系得出b a =
，再由离心率公式即可得出答案 【详解】 设渐近线b
y x a
=
与该圆切于B ，设O 为坐标原点， 在Rt OBF
中，
tan c BF
BOF OB
∠==
=
3
b a ∴=，
c e a ∴====
故答案选：B 【点睛】
本题考查双曲线的离心率，属于中档题 9．C 【分析】
由条件利用直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式，求得k 的值． 【详解】
圆2
2
:(2)4C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为2，
圆心到线1:l y
1l 被圆C
所截得的弦的长度为2=， 圆心到2l
，2l 被圆C
所截得的弦的长度为
结合1l ，2l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2
，可得22=⨯， 求得12
k =
， 故选：C
【点睛】 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题． 10．B
【分析】
联立直线AB 与抛物线的方程求出,A B 两点的横坐标，然后求出AF 、BF 即可.
【详解】
因为()1,0F ，所以直线AB
的方程为)1y x =-
所以由)214y x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得231030x x -+=，解得3x =或13x = 因为A 点在x 轴上方，所以342p AF =+=，14323
p BF =+= 所以||3||
AF BF = 故选：B
【点睛】
本题考查的是抛物线焦半径公式的应用，较简单.
11．A
【分析】
根据导数的几何意义求出切线斜率，利用切点在切线与曲线上即可列方程求解.
【详解】
设切点为00(,)x y ，
e x y '=，
0x k e a ∴==，
又000(1)x
y e b a x =+=+， 0b x a
∴=， 又0ln x a =，
ln b a a ∴=
故选：A
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，考查了运算能力，属于中档题.
12．C
【详解】
因为当产品价格1P 低于均衡价格0P 时，需求量大于供应量，
故可排除A ,D ；
且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，
故排除B .
故选：C ．
【点睛】
本题属于识图的问题，解题的关键是读懂题意、看准图形，解答本题时容易出错，其中的原因就是对图形和题意的不理解．解题时要注意到纵轴表示自变量，而用横轴来表示因变量，故分析时应由y 轴分析x 轴，并借助排除法求解．
13．123()n n N -*⋅∈
【分析】
根据等比数列，先分析公比不为1，根据求和公式及通项公式计算即可.
【详解】
设公比为q ，
若1q =，则41480S a ==，120a =，
不满足1320a a +=
所以1q ≠，
所以132
1(120)q a a a ++==，414(1)801a q S q -==-， 联立解得，13,2q a ==，
所以123
()n n a n N -*=⋅∈， 【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题. 14．34
π 【分析】
根据图象可知函数周期，利用周期求出ωπ=，再由图象过点求出ϕ.
【详解】 由图象可知5122()244T πω=-==
， 所以ωπ=， 由图象过点5(,0)4可得5sin()04πϕ+=， 所以5
2,4
k k Z πϕπ+=∉， 即5
2,4
k k Z ϕππ=-∉， 因为πϕπ-<<，
所以当1k =，34
πϕ=， 故答案为：
34
π 【点睛】 本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，考查了数形结合的思想，属于中档题. 15．36π
【分析】
由已知PA ⊥平面,ABC AB AC ⊥，可得三棱锥外接球等同于以,,AB AC AP 为长宽高的长方体的外接球，进而可得答案
【详解】
解：因为PA ⊥平面,ABC AB AC ⊥，
所以三棱锥外接球等同于以,,AB AC AP 为长宽高的长方体的外接球，
所以三棱锥外接球的表面积为222[43]36S ππ=++=
故答案为：36π
【点睛】
此题考查棱锥的外接球问题，将三棱锥补成长方体是解的关键，属于中档题
16．②③
【分析】
根据动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．
【详解】
动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，
x y ∴+=10xy x y ∴++-=
0xy ∴>，(1)(1)2x y ++=或0xy <，(1)(1)0y x --=
函数的图象如图所示
∴曲线W 关于直线y x =对称；曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12
； 故答案为：②③
【点睛】
本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键．
17．（1）2n a n =.（2）2
(1),2{(2)2
n n n T n n n +-=+为奇数，为偶数. 【解析】
试题分析：（1）由题意知2111()(3)a d a a d +=+，
解得12a =，即得所求.
（2）由题意知(1)2
(1)n
n n b a n n +==+. 从而得到122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+.
由于12(1)n n b b n +-=+.因此应分n 为偶数、n 为奇数讨论求和
具体的，当n 为偶数时，
12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+
48122n =++++
(2)2n n += 当n 为奇数时，
1()n n n T T b -=+-
2
(1)2
n +=-. 试题解析：（1）由题意知2111()(3)a d a a d +=+，
即2111(2)(6)a a a +=+，
解得12a =，
所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.
（2）由题意知(1)2
(1)n
n n b a n n +==+. 所以122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+.
因为12(1)n n b b n +-=+.
可得，当n 为偶数时，
12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+
48122n =++++
(42)2
2
n n += (2)2
n n += 当n 为奇数时， 1()n n n T T b -=+-
(1)(1)(1)2
n n n n -+=-+ 2
(1)2
n +=- 所以2
(1),2{(2)2
n n n T n n n +-=+为奇数，为偶数. 考点：等差数列、等比数列，数列的求和，分类讨论思想.
18．（1）证明见解析（2）1
【分析】
（1）先根据菱形证明线BC 与面ADEF 平行，再由线面平行的性质可证;
（2）取CD 中点M ，连接EM ，OM ，可证明棱锥高为EM ，根据体积公式即可求解.
【详解】
（1）因为四边形ABCD 为菱形，
所以//AD BC ,
因为BC ⊄面ADEF ， AD ⊂面ADEF ，
所以BC //面ADEF ,
而平面ADEF ∩平面BCEF =EF ，
所以EF // BC .
（2）取CD 中点M ，连接EM ，OM ，
则//OM BC ,12
OM BC =
因为1//,2EF BC EF BC =, 所以//EF OM ，EF OM =，
故四边形EFOM 为平行四边形，
所以//EM OF ，
因为OF ⊥平面ABCD ，
所以EM ⊥平面ABCD ，
在等边EDC △中，2EM ==， 1
=22sin 2
60BCD S ⨯⨯⨯︒=△
所以11=133
E BCD BCD V EM S -⨯⨯==△ 【点睛】
本题主要考查了线面平行的判定与性质定理，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题. 19．（1）1y =，（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出()0f 和()0f '即可；
（2）利用导数证明在,03π⎛-
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减即可. 【详解】
（1）因为21()cos ()4
f x x x x R =+∈，所以1()sin 2f x x x '=-
所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线为：1y = （2）令()1()sin 2g x f x x x '==
-，则()1cos 2g x x '=- 所以可得当,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭时()0g x '< 所以()g x 在,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减，因为()00g = 所以当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时()0g x >，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g x < 所以()f x 在,03π⎛-
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 所以0x =为函数()f x 的极大值点.
【点睛】
本题考查的是导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，考查了学生对基本方法的掌握情况，属于中档题.
20．（1）
34
（2）ˆ101.5a =，123.5（3）0.98，相关性强 【分析】
（1）根据表格及题意找出基本事件的个数，根据古典概型求解解； （2）根据线性回归方程过样本中心点即可求出ˆa
，再利用线性回归方程估计即可； （3）根据公式计算回归系数，判断相关性即可.
【详解】
（1）设2017年和2018年的四个季度的消费者信心指数中各任取一个分别为,i j a b ,,1,2,3,4i j =，则共有基本事件(,)i j a b 16个，其中满足i j a b ≤的共有12个， 所以123164
P == （2）由题意， 2.5,112.5x y ==，
代入ˆˆ4.4y
x a =+，可得，ˆ101.5a =， 即线性回归方程为：ˆ 4.4101.5y
x =+，
当5x =时，101.5125.5ˆ 4.43y
==⨯+， 即2020年消费者信心指数的年平均值大约为123.5
（3）
()()
220.9822.47n
n i i
i i x x y y x r y nx y ---====≈⋅∑∑， 0.980.75>，
∴正相关很强.
【点睛】
本题主要考查了古典概型，线性回归方程，相关系数，考查了运算能力，属于中档题.
21．（1）2
214
x y +=（2）证明见解析 【分析】
（1）根据离心率及过点(0,1)求出a ，b 即可求出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，由根与系数关系可得1212,x x x x +⋅,由斜率公式得出,3BN AM k k ，作差即可求证.
【详解】
（1）由题意1b =，
由 c e a ===， 解得 2a =，
所以椭圆C 的方程 2
214
x y += （2）联立方程得：()22114
y k y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩， 消元得，()2222148440k x k x k +-+-=，
设()()1122,,,M x y N x y ，
则22121222
844,? 1414k k x x x x k k -+=⋅=++， 由题意知()()2,0 2.0A B -，，
()22221022
BN k x y k x x --∴==--， ()11111022
AM k x y k x x --==++, 222121212124088(8)[5()28]1430(2)(2)(2)(2)BN AM
k k k k x x x x k k k x x x x -+-+--+∴-===+-+-，
3BN AM k k ∴=
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程，简单几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题.
22．（1）证明见解析（2）1
【分析】
（1）利用“1”的变形，由均值不等式求证即可；
（2）根据柯西不等式，直接求最值即可.
【详解】
（1）,,1a b R a b +∈+=
1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即12
a b ==时，等号成立. （2）由柯西不等式知，
()()
2222222(23)123x y z x y z ++++++ 2221x y z ∴++， 当且仅当112314x y z ===时取等号，
即222x y z ++的最小值为1
【点睛】
本题主要考查了均值不等式，柯西不等式的应用，属于中档题.
23．（1）sin()3πρθ+
=（21 【分析】
（1）求出直线的方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极坐标方程； （2）求出圆心到直线的距离d ，RQ 的最小值为d r -.
【详解】
（1）由2,3P π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
可得点P 的直角坐标P ， 因为直线l 与极轴所成的角为
23π，
所以斜率k =
直线方程为1)y x -=-，
0y +-=，
根据cos ,sin x y ρθρθ==cos sin 0θρθ+-=，
化简可得：sin()3π
ρθ+=，
（2）由1ρ=可得，221x y +=，
则圆心到直线l 的距离d ==
所以RQ 的最小值为1d r -=
. 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了点到直线的距离，圆的几何性质，属于中档题.。