测控设计高二数学人教B必修同步训练：第二章 数列 测评B 含解析

第二章测评B
(高考体验卷)
(时间:90分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2014重庆高考)在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()
A.5
B.8
C.10
D.14
解析:由等差数列的性质,可知a1+a7=a3+a5.因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.故选B.
答案:B
2.(2013课标全国Ⅰ高考)设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则()
A.S n=2a n-1
B.S n=3a n-2
C.S n=4-3a n
D.S n=3-2a n
解析:S n==3-2a n,故选D.
答案:D
3.(2014大纲全国高考)等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lg a n}的前8项和等于()
A.6
B.5
C.4
D.3
解析:∵a4=2,a5=5,
∴a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=10,
∴lg a1+lg a2+…+lg a8=lg a1a2…a8=lg(a1a8)4=lg(a4a5)4=4lg a4a5=4lg10=4,选C.
答案:C
4.(2013辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:
p1:数列{a n}是递增数列;
p2:数列{na n}是递增数列;
p3:数列是递增数列;
p4:数列{a n+3nd}是递增数列.
其中的真命题为()
A.p1,p2
B.p3,p4
C.p2,p3
D.p1,p4
解析:如数列-2,-1,0,1,2,…,则1×a1=2×a2,排除p2,如数列1,2,3,…,则=1,排除p3,故选D.
答案:D
5.(2014课标全国Ⅱ高考)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=()
A.n(n+1)
B.n(n-1)
C.
D.
解析:∵a2,a4,a8成等比数列,
∴=a 2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),
解得a1=2.
∴S n=na1+d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.
答案:A
6.(2014天津高考)设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=()
A.2
B.-2
C.
D.-
解析:由题意知=S 1·S4,则(a1+a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.故选D.
答案:D
7.(2014福建高考)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6等于()
A.8
B.10
C.12
D.14
解析:因为S3=3a1+d=3×2+d=12,所以d=2.所以a6=a1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C.
答案:C
8.(2014辽宁高考)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则()
A.d<0
B.d>0
C.a1d<0
D.a1d>0
解析:∵数列{}为递减数列,∴,n∈N +,
∴a1a n>a1a n+1,∴a1(a n+1-a n)<0.
∵{a n}为公差为d的等差数列,∴a1d<0.故选C.
答案:C
9.(2014大纲全国高考)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=()
A.31
B.32
C.63
D.64
解析:∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得
S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,
∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),
即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.
答案:C
10.(2013福建高考)已知等比数列{a n}的公比为q,记
b n=a m(n-1)+1+a m(n-1)+2+…+a m(n-1)+m,
c n=a m(n-1)+1·a m(n-1)+2·…·a m(n-1)+m(m,n∈N+),则以下结论一定正确的是()
A.数列{b n}为等差数列,公差为q m
B.数列{b n}为等比数列,公比为q2m
C.数列{c n}为等比数列,公比为
D.数列{c n}为等比数列,公比为
解析:∵{a n}是等比数列,
∴=q mn+m-m(n-1)-m=q m,
∴=(q m)m=.
答案:C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.(2013广东高考)设数列{a n}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=.
解析:由数列{a n}首项为1,公比q=-2,则a n=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.
答案:15
12.(2014课标全国Ⅱ高考)数列{a n}满足a n+1=,a11=2,则a1=.
解析:由a11=2及a n+1=,得a10=.
同理a9=-1,a8=2,a7=,…
所以数列{a n}是周期为3的数列.
所以a1=a10=.
答案:
13.(2014安徽高考)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.
解析:设数列{a n}的公差为d,则a1=a3-2d,a5=a3+2d,由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,∴d=-1,则a1+1=a3+3,故q=1.
答案:1
14.(2014北京高考)若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{a n}的前n项和最大.
解析:由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0;而a7+a10=a8+a9<0,故a9<0.所以数列{a n}的前8项和最大.
答案:8
15.(2013江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N+)等于.
解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以S n==2(-1+2n)≥100,∴2n≥51,∴n≥6.
答案:6
三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分)(2014福建高考)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.
(1)求a n;
(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.
解:(1)设{a n}的公比为q,依题意,得
解得
因此,a n=3n-1.
(2)因为b n=log3a n=n-1,
所以数列{b n}的前n项和S n=.
17.(6分)(2014北京高考)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;
(2)求数列{b n}的前n项和.
解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,
由题意得d==3.
所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).
设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3==8,解得q=2.
所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.
从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).
(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).
数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为1×=2n-1.
所以,数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.
18.(6分)(2014安徽高考)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N+.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)设b n=3n·,求数列{b n}的前n项和S n.
解：(1)证明:由已知可得+1,即=1.
所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.
(2)解由(1)得=1+(n-1)·1=n,
所以a n=n2.
从而b n=n·3n.
S n=1·31+2·32+3·33+…+n·3n,①
3S n=1·32+2·33+…+(n-1)·3n+n·3n+1.②
①-②得,-2S n=31+32+…+3n-n·3n+1
=-n·3n+1=,
所以S n=.
19.(7分)(2014山东高考)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.
解:(1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,
S4=4a1+×2=4a1+12,
由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),
解得a1=1,所以a n=2n-1.
(2)b n=(-1)n-1=(-1)n-1
=(-1)n-1.
当n为偶数时,T n=+…+=1-.
当n为奇数时,T n=+…-=1+.
所以T n=
.。