高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列教案 新人教A版必修5(2021年整理)

陕西省澄城县高中数学第二章数列2.2 等差数列教案新人教A版必修5 编辑整理：
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等差数列
【教学三维目标】
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等
差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

【教学重点】
理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式；
会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系.
【教学难点】概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

【教学方法】引导学生首先从四个现实问题（数数问题、座位问题、鞋号问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式;可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

教学设想：[创设情景]
上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。

今天我们就先学习一类特殊的数列。

教学过程：
一、引导观察数列：
0，5，10,15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5,13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析)
引导学生观察相邻两项间的关系，得到:
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②,从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 —2.5 ；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

等差数列的概念:对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2。

5，72。

二、得出等差数列的定义:注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．．
. 1．名称:等差数列,首项 )(1a ， 公差 )(d
2．若0=d 则该数列为常数列
3．寻求等差数列的通项公式：
d
a d d a d a a d a d d a d a a d
a a 3)2(2)(1134112312+=++=+=+=++=+=+= 由此归纳为 d n a a n )1(1-+= 当1=n 时 11a a = (成立）
注意: 1 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数；
2 如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成等差数列；
证明：若A n B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+=
它是以B A +为首项，A 为公差的AP. 3 公式中若 0>d 则数列递增,0<d 则数列递减; 4 图象： 一条直线上的一群孤立点得出通项公式：
以1a 为首项，d 为公差的等差数列}{n a 的通项公式为:d n a a n )1(1-+=；知等差数列的首项1a 和公差d ，那么这个等差数列的通项n a 就可以表示。

选讲:除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法)： }{n a 是等差数列，所以 ,1d a a n n =--
,21d a a n n =---
,32d a a n n =---
……
,12d a a =-
两边分别相加得 ,)1(1d n a a n -=-
所以 d n a a n )1(1-+=
（迭代法）：}{n a 是等差数列，则有：
d a a n n +=-1d d a n ++=-2d a n 22+=-d d a n 23++=-d a n 33+=-……d n a )1(1-+= 所以 d n a a n )1(1-+=
三、例题讲解：注意在d n a a n )1(1-+=中n ，n a ，1a ，d 四数中已知三个可以求出另一个。

例1 （课本）判断下面数列是否为等差数列.
例2 已知数列首项与公差，求通项公式。

例3(此题可以看成应用题)已知数列的其中几项，求其余各项
例4 已知数列其中两项,求通项公式.
四、 关于等差中项： 如果b A a ,,成AP 则2b a A += 证明：设公差为d ，则d a A += d a b 2+=
∴A d a d a a b a =+=++=+2
22 例4：在1与7之间顺次插入三个数c b a ,,使这五个数成等差数列，求此数列.
解法一：∵AP c b a 成7,,,,1- ∴b 是—1与7 的等差中项
∴ 3271=+-=
b a 又是-1与3的等差中项 ∴12
31=+-=a c 又是1与7的等差中项 ∴5273=+=c 解法二：设11-=a 75=a ∴d )15(17-+-= 2=⇒d
∴所求的数列为-1，1，3，5，7
例5已知是等差数列图像上的两点。

（1）求这个数列的通项公式;
（2）画出这个数列的图像；
（3)判断这个数列的单调性.
(解略）
例6一个木制梯形架的上、下两底边分别为33,75，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度。

分析：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为，则由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而成等差数列。

解略
五、小结:等差数列的定义、通项公式、等差中项
六、练习：
P13练习 1、2、3 P14 1、2、3、4
七、作业：
P19 习题1-—2第7、8、9题。