(完整版)高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结,推荐文档
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的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角 P BD A 的
39
大小为 arctan ）
4
P
三．补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二
面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称
为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没
△OPF∽△CC1F,∵
OP CC1
OF C1F
∴
OP
1
2
2
,
22 22
2
在 Rt△OPF 中, BP
OP2 OB2
13 2
14 , cos OPB OP
2
BP
2
2 14
7 7 ,所以二面角 B-FC 1 -
2
7
C 的余弦值为 .
7
练习 2 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形．已知
值。（答案：二面角的余弦值为
15
）
5
二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
垂直．通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例 2）过二面角 B-FC 1 -C 中半平面 BFC 上的一已
有明确的交线时，一般用补棱法解决
例 3 如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，
∠BCD＝60°，E 是 CD 的中点，PA⊥底面 ABCD，PA＝2.
AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。
D1
A1 （1） 证明：直线 EE 1 //平面 FCC 1 ；
C1 B1
（2） 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。
E1
D
E
A
F
C B
证（1）略 解（2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 A1 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因
二面角的求法
一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫
做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面 角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1 中从二面角 S—AM—B 中半平面 ABM 上的一已知 点（B）向棱 AM 作垂线，得垂足（F）；在另一半平面 ASM 内过该垂足（F）作棱 AM 的垂线（如 GF）， 这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助 直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
F 为 AM 的中点，过 F 点在平面 ASM 内作 GF AM ，GF 交 AS 于 G，
连结 AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且 M 是 SC 的中点，
∴AM⊥SC， GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵ F 为 AM 的中点，
∴GF 是△AMS 的中位线，点 G 是 AS 的中点。
G F
例 1 如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ， AD 2
DC SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上， ABM =60°
（I）证明：M 在侧棱 SC 的中点
（II）求二面角 S AM B 的大小。
证（I）略
解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF AM 交 AM 于点 F ，则点
2
2
cos BFG GF 2 FB 2 BG 2
1 3 11
2
2
2
6
2GF FB
2 2 3 6
3
2
G F
∴二面角 S AM B 的大小为 arccos( 6 ) 3
练习 1 如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD， ABC 60 ,E，F 分别是
为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所以
E1
CC1⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 A
OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个
D1 F1
C1 B1
P
D
C
E
OBaidu Nhomakorabea
F
B
平面角,
在△BCF 为正三角形中, OB 3 ,在Rt△CC1F 中,
BC, PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD; （Ⅱ）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值
6
为 ，求二面角 E—AF—C 的余弦值.
2
分析：第 1 题容易发现，可通过证 AE⊥AD 后推出 AE⊥平面 APD， 使命题获证，而第 2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到 运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S，和两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦
知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂线，得垂足 O；再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂线，得垂足 P，连结起点与终 点得斜线段 PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线 PB、垂线 BO、射影 OP）。再解直角三角形求二 面角的度数。
例 2．如图，在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,
AB 3, AD 2, PA 2, PD 2 2, PAB 60 ．
（Ⅰ）证明 AD 平面 PAB ； （Ⅱ）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角 P BD A 的大小．
分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明 AD⊥平面 PAB 后，容易发现平面 PAB⊥ 平面 ABCD，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点 P 作棱 BD 的垂线，再作平面 ABCD
则 GFB 即为所求二面角. ∵ SM
2 ，则 GF
2
，
2
又∵ SA AC 6 ，∴ AM 2 ，∵ AM AB 2 ， ABM 600 ∴△ ABM 是等边三角形，∴
BF 3 。在△ GAB 中， AG 6 ， AB 2 ， GAB 900 ，∴ BG 3 4 11
2
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大小为 arctan ）
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三．补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二
面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称
为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没
△OPF∽△CC1F,∵
OP CC1
OF C1F
∴
OP
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22 22
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在 Rt△OPF 中, BP
OP2 OB2
13 2
14 , cos OPB OP
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BP
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2 14
7 7 ,所以二面角 B-FC 1 -
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C 的余弦值为 .
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练习 2 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形．已知
值。（答案：二面角的余弦值为
15
）
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二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
垂直．通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例 2）过二面角 B-FC 1 -C 中半平面 BFC 上的一已
有明确的交线时，一般用补棱法解决
例 3 如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，
∠BCD＝60°，E 是 CD 的中点，PA⊥底面 ABCD，PA＝2.
AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。
D1
A1 （1） 证明：直线 EE 1 //平面 FCC 1 ；
C1 B1
（2） 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。
E1
D
E
A
F
C B
证（1）略 解（2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 A1 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因
二面角的求法
一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫
做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面 角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1 中从二面角 S—AM—B 中半平面 ABM 上的一已知 点（B）向棱 AM 作垂线，得垂足（F）；在另一半平面 ASM 内过该垂足（F）作棱 AM 的垂线（如 GF）， 这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助 直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
F 为 AM 的中点，过 F 点在平面 ASM 内作 GF AM ，GF 交 AS 于 G，
连结 AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且 M 是 SC 的中点，
∴AM⊥SC， GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵ F 为 AM 的中点，
∴GF 是△AMS 的中位线，点 G 是 AS 的中点。
G F
例 1 如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ， AD 2
DC SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上， ABM =60°
（I）证明：M 在侧棱 SC 的中点
（II）求二面角 S AM B 的大小。
证（I）略
解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF AM 交 AM 于点 F ，则点
2
2
cos BFG GF 2 FB 2 BG 2
1 3 11
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2GF FB
2 2 3 6
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G F
∴二面角 S AM B 的大小为 arccos( 6 ) 3
练习 1 如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD， ABC 60 ,E，F 分别是
为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所以
E1
CC1⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 A
OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个
D1 F1
C1 B1
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C
E
OBaidu Nhomakorabea
F
B
平面角,
在△BCF 为正三角形中, OB 3 ,在Rt△CC1F 中,
BC, PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD; （Ⅱ）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值
6
为 ，求二面角 E—AF—C 的余弦值.
2
分析：第 1 题容易发现，可通过证 AE⊥AD 后推出 AE⊥平面 APD， 使命题获证，而第 2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到 运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S，和两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦
知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂线，得垂足 O；再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂线，得垂足 P，连结起点与终 点得斜线段 PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线 PB、垂线 BO、射影 OP）。再解直角三角形求二 面角的度数。
例 2．如图，在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,
AB 3, AD 2, PA 2, PD 2 2, PAB 60 ．
（Ⅰ）证明 AD 平面 PAB ； （Ⅱ）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角 P BD A 的大小．
分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明 AD⊥平面 PAB 后，容易发现平面 PAB⊥ 平面 ABCD，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点 P 作棱 BD 的垂线，再作平面 ABCD
则 GFB 即为所求二面角. ∵ SM
2 ，则 GF
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，
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又∵ SA AC 6 ，∴ AM 2 ，∵ AM AB 2 ， ABM 600 ∴△ ABM 是等边三角形，∴
BF 3 。在△ GAB 中， AG 6 ， AB 2 ， GAB 900 ，∴ BG 3 4 11
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