2014年西城区初三数学一模试题及答案
最新西城区初三数学一模试题及答案
2014年北京西城中考一模数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2-的绝对值是（ ）．A ．2B ．2-C ．12 D ．12-2．2014年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013年全国城镇新增就业人数约为13100000人，创历史新高，将数字13100000用科学记数法表示为（ ）． A ．613.110⨯ B ．71.3110⨯ C ．81.3110⨯ D ．90.13110⨯3．由5个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）．4．从1到9这九个自然数中任取一个，是奇数的概率是（ ）．A ．29 B ．49 C ．59D ．235．右图表示一圆柱体输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm ，水面宽AB 为8cm ，则水的最大深度CD 为（ ）．A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm6．为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7(单位：个)．关于这组数据，下列结论正确的是（ ）．A ．极差是6B ．众数是7C ．中位数是8D ．平均数是107．已知关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）． A ．1m <- B ．1m > C ．1m <且0m ≠ D ．1m >-且0m ≠8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点(2,3)A 为顶点任作一直角PAQ ∠，使其两边分别与x 轴、y 轴的正半轴交于点P ，Q ．连接PQ ，过点A 作AH PQ ⊥于点H ．设点P 的横坐标为x ，AH 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 函数关系的图象大致是（ ）．二、填空题(本题共16分，每小题4分)9．分解因式：2242a a -+=_________．10．写出一个只含字母的x 分式，满足x 的取值范围是2x ≠，所写的分式是：_________． 11．如图，菱形ABCD 中，=60DAB ∠︒，DF AB ⊥于点E ，且DF DC =，连接FC ，则ACF ∠的度数为_________度．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，(2,0)B ，正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向滑动滚动，当点D 第一次落在x 轴上时，点D 的坐标为_________；在运动的过程中，点A 的纵坐标的最大值是_________；保持上述运动过程，经过(2014,3)的正六边形的顶点是_________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算011(21)272cos30()2---+︒+．14．如图，点C ，F 在BE 上，BF CE =，AB DE =，B E ∠=∠． 求证：ACB DFE ∠=∠．15．解不等式组3(1)72113x x x x --<⎧⎪-⎨+⎪⎩…．16．已知231x x -=，求代数式2(1)(31)(2)4x x x -+-+-的值．17．列方程（组）解应用题：某校甲、乙两班给贫困地区捐款购买图书，每班捐款总数均为1200元，已知甲班比乙班多8人，乙班人均捐款是甲班人均捐款的1.2倍，求甲、乙两班各有多少名学生．18．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x n =+和反比例函数6y x=-的图象都经过点(3,)A m ．（1）求m 的值和一次函数的表达式； （2）点B 在双曲线6y x=-上，且位于直线y x n =+的下方，若点B 的横、纵坐标都是整数，直接写出点B 的坐标．19．如图，在ABC=．∥且CE AD=，AD平分BAC△中，AB AC∠，CE AD（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若ABC=，连接OF，△是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF CO求线段FC的长及四边形AOFE的面积．20．以下是根据北京市统计局分布的20102013-年北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入的数据绘制的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）2012年农民人均现金收入比2011年城镇居民人均可支配收入的一半少0.05万元，则2012年农民人均现金收入是万元，请根据以上的信息补全条形统计图，并标明相应的数据（结果精确到0.1）；（2）在20102013-年这四年中，北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入数额最大的年份是年；（3）①20112013-年城镇居民人均可支配收入的年平均增长率最接近；A．14%B．11%C．10%D．9%②若2014年城镇居民人均可支配收入按①中的年平均增长率增长，请预测2014年的城镇居民人均可支配收入为__________万元（结果精确到0.1）．21．如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，交BC 于点D ，连结OD ，过点D 作圆O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：OD AC ∥； （2）当10AB =，5cos 5ABC ∠=时，求AF 及BE 的长．22．阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系xOy 中，一张矩形纸片OBCD 按图1所示放置，已知10OB =，6BC =，将这张纸片折叠，使点O 落在边CD 上，记作点A ，折痕与边OD （含端点）交于 点E ，与边OB （含端点）或其延长线交于点F ，求点A 的坐标．小明在解决这个问题时发现：要求点A 的坐标，只要求出线段AD 的长即可．连接OA ，设折痕EF 所在直线对应的函数表达式为(0,0)y kx n k n =+<≥，于是有(0,)E n ，(,0)nF k-所以在Rt EDF △中，得到tan OFE k ∠=-，在Rt AOD △中，利用等角的三角函数值相等， 就可以求出线段DA 的长（如图1）．请回答：（1）如图1，若点E 的坐标为(0,4)，直接写出点A 的坐标；（2）在图2中，已知点O 落在边CD 上的点A 处，请画出折痕所在的直线EF （要求：尺规作 图，保留作图痕迹，不写作法）； 参考小明的做法，解决以下问题：（3）将矩形沿直线12y x n =-+折叠，求点A 的坐标；（4）将矩形沿直线y kx n =+折叠，点F 在边OB 上（含端点），直接写出k 的取值范围．23．抛物线23y x kx =--与x 轴交于点A B ，，与y 轴交于点C ，其中点B 坐标为()10k +，． （1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段BC 上，记该抛物线为G 求抛物线G 所对应的函数表达式；(3)将线段BC 平移得到线段''B C (B 的对应点为'B C ，的对应点为'C )，使其经过（2）中所得抛物线G 的顶点M ，且与抛物线G 另有一个交点N ，求点'B 到直线'OC 的距离h 的取值范围．24．四边形ABCD 是正方形，BEF △是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =．连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG CG EC ，，．（1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2）将图1中的BEF △绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）将图1中的BEF △，绕点B 顺时针旋转(090)αα︒<<︒，若1BE =，AB E 、F 、D 三点共线时，求DF 的长及tan ABF ∠的值．备用图图2图1ACBDGFEDBCA25．定义1：在ABC △中，若顶点A 、B 、C 按逆时针方向排列，则规定它的面积为ABC △的“有向面积”；若顶点A 、B 、C 按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为ABC △的“有向面积”，“有向面积”用S 表示，例如图1中，ABC ABC S S =△△，图2中，ABC ABC S S =-△△．图3DABC图2图1CBAC BA定义2：在平面内任意取一个ABC △和点P (点P 不在ABC △的三边所在直线上)，称有序数组（,,PBC PCA PAB S S S △△△）为点P 关于ABC △的“面积坐标”，记作P (,,PBC PCA PAB S S S △△△)． 例如图3中，菱形ABCD 的边长为2，60?ABC ∠=，则ABCS△，点D 关于ABC △的“面积坐标”D (,,DBC DCA DAB S S S △△△)为D ．在图3中，我们知道ABC DBC DAB DCA S S S S =+-△△△△，利用“有向面积”我们可以把上式表示为+ABC DBC DAB DCA S S S S =+△△△△．应用新知：（1）如图4，正方形ABCD 的边长为1，则ABC S =△ ． 点D 关于ABC △的“面积坐标”是 ：探究发现：（2）在平面直角坐标系xOy 中，点()0,2A ，()1,0B -．①若点P 是第二象限内任意一点（不在直线AB 上），设点P 关于ABO △的“面积坐标”为(),,P m n k ，试探究++m n k 与ABO S △之间有怎样的数量关系，并说明理由；②若点(),P x y 是第四象限内任意一点，请直接写出点P 关于ABO △的“面积坐标”（用x ，y 表示）； 解决问题：（3）在（2）的条件下，点()1,0C ，()0,1D ，点Q 在抛物线224y x x =++上，求当QAB QCD S S +△△的值最小时，求Q 的横坐标．备用图备用图DCB A2014年北京西城中考一模数学试卷答案一、选择题1．A 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．D 8．D二、填空题9．22(1)a - 10．答案不唯一，12x - 11．15 12．(4,0)，2，B 或F三、解答题13．解：原式122=-3=-14．解：∵BF CE =，∴BF CF CE CF +=+， ∴BC EF =，在ABC △和DEF △中， AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ ABC △≌DEF △（SAS ）， ∴ ACB DFE ∠=∠．15．解：3(1)72113x x x x --<⎧⎪⎨-+⎪⎩①②„由①得，5x <， 由②得，4x -…， ∴45x -<„．16．解：原式2269x x =--2=2(3)9x x --∵ 231x x -=． ∴ 原式7=-．17．解：设乙班有x 名学生，则甲班有(8)x +名，则120012001.28x x =⨯+ 解得40x =．经检验，原方程的解为40x =．答：甲班有48人，乙班有40人．18．解：（1）将3x =，y m =代入6y x=-中， 623m =-=-将3x =，2y =-代入y x n =+中，23n -=+ 5n =- ∴5y x =-（2）(1,6)-或(6,1)-19．（1）∵//CE AD 且CE AD =， ∴四边形ADCE 的平行四边形， ∵AB AC =，AD 平分BAC ∠， ∴AD BC ⊥， ∴90ADC ∠=︒， ∴四边形ADCE 为矩形。
2014北京西城区初三数学一模试卷解析
【解析】 （1）
1 1 1 1 ，( ， ，) 2 2 2 2
（2）①，ⅰ）当 P 点在 △ABO 外部时，
m S△PBO S△PBO ， n S△POA S△POA ， k S△PAB S△PAB
由图 4 可知
B′ y
∴抛物线 G 所对应的函数表达式为 y ( x 1)2 2 ， 即 y x2 2 x 1 . （3）连结 OB ，过 B 作 BH OC 与点 H . ∵ BH BC sin C 3 2 sin C ∴当 C 最大时 h 最大；当 C 最小时， h 最小， 由图 2 可知，当 C 与 M 重合时， C 最大， h 最大. 此时， S△OBC S△OBB S△OBC ∴
A G F E E B 图1 C B 图2 C B 备用图 C D F A G D A D
【解析】 （1） EG GC ，
EC 2； GC
（2）倍长 EG 至 H ，连接 GH 、 OH 、 CH 、 CE ； 在 △EFG 与 △HDG 中
GF GD EGF HGD EG HG
m n k S△PBO S△POA S△PAB S△ABO S△ABO
综上所述， m n k S△ ABO .
y y ②( ， x， 1 x ) 2 2
y 3 2 1 1 2 F E3 D4 A B C 5 x
y 3 2 1 1 2 3 E D4 C5 F A B 6 x
【点评】近年北京中考数学第 12 题主要考察找规律问题，规律类型分递进规律和循环 规律，本题属于循环规律问题，观察图形可得每 6 次六边形各顶点回归原来的位置。
2014--2015年西城区九年级数学期末试题及答案
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只．有一个．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是A ．2-B ．1-C ．1D ．2 2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B 等于 A ．130° B ．120° C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面 积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．12 6．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ≥3C ．m ＜5D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5，CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是A ．512 B ．513 C ．1213 D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正 方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中 的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物 线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网 格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，AB =A ，B ，C的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是 A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-的图象上，AB ⊥x 轴于 点B ，那么△AOB 的面积等于 ．10．如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到 △AB ′C ′，使AB ′∥CB ， CB ，AC ′的延长线相交于点D ， 如果∠D =28°，那么BAC ∠= °．11．如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE=3，DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 的对应点 为A ，C ，那么线段CE 的长应等于 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m （其中0m >），点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足90APB ∠=︒，（1）线段OP 的长 等于 （用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值 为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒． 14．解方程：2410x x -+=．15．如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E ．如果⊙O 的半径等于1tan 2CPO ∠=，求 弦CD 的长．16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°得到 △AB C ''．（1）在正方形网格中，画出△AB C ''；（2）计算线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积． （结果保留π）17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出(80010)a -件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．18．如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A 的正东400米的B 处，测得 海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 1.732，结果精确到1米）20．如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上． （1）求证：△EBF ∽△FCD ；（2）连接DH ，如果BC=12，BF =3，求tan HDG ∠的值．21．如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称．E 为半径OC 上一点，3OC OE =， 连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M ．（1）请依题意补全图形； （2）求证：AOC DBC ∠=∠； （3）求BMBC的值．22． 已知抛物线C ：2=23y x x +-.（1）补全表中A ，B 两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C ； （2）将抛物线C 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的12，可证明得到的曲线仍是 抛物线，（记为1C ），且抛物线1C 的顶点是抛物 线C 的顶点的对应点，求抛物线1C 对应的函数 表达式.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数my x=（m 为常数）的图象G 上，连接AO 并延长与图象G 的另一个交点为点C ，过点A 的直线l 与 x 轴的交点为点(1,0)D ，过点C 作CE ∥x 轴交直线l 于点E ．（1）求m 的值及直线l 对应的函数表达式； （2）求点E 的坐标；（3）求证：BAE ACB ∠=∠．24．如图，等边三角形ABC 的边长为4，直线l 经过点A 并与AC 垂直．当点P 在直线l上运动到某一位置（点P 不与点A 重合）时，连接PC ，并将△ACP 绕点C 按逆时针 方向旋转60︒得到△BCQ ，记点P 的对应点为Q ，线段P A 的长为m （0m >）． （1） ①QBC ∠= ︒；X k B 1 . c o m② 如图1，当点P 与点B 在直线AC 的同侧，且3m =时，点Q 到直线l 的距离 等于 ；（2） 当旋转后的点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 的位置分别记为0P ，0Q ．在图2中画出此时的线段0P C 及△0BCQ ，并直接写出相应m 的值；（3）当点P 与点B 在直线AC 的异侧，且△P AQ 时，求m 的值．25．如图1，对于平面上不大于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则称PE PF +为点P 相对于 MON ∠的“点角距离”，记为(),d P MON ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正 半轴上的动点，且满足(),d P xOy ∠=5，点P 运动形成的图形记为图形G ． （1）满足条件的其中一个点P 的坐标是 ，图形G 与坐标轴围成图形的面积等于 ； （2）设图形G 与x 轴的公共点为点A ，已知(3,4)B ，(4,1)M ，求(),d M AOB ∠的值；（3）如果抛物线212y x bx c =-++经过（2）中的A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间 的抛物线上（点Q 可与A ，B 两点重合），求当(),d Q AOB ∠取最大值时，点Q 的坐标．北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末九年级数学试卷参考答案及评分标准2015.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．3． 10.28． 11.415． 12.（1）m ；（2）3. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解： 23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒232=+-⎝⎭……………………………………………………… 3分 121.2= ………………………………………………………………………………… 5分 14．解：2410x x -+=．∵ 1a =，4b =-，1c =， ……………………………………………………… 1分∴ 224(4)41112b ac -=--⨯⨯=．……………………………………………… 2分∴ x ==……………………………………………… 3分2==∴ 原方程的解是12x =22x =…………………………………… 5分15．解：连接OC ．（如图1）∵ PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，∴ OC ⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分 PC =PD ，∠OPC=∠OPD ．∴ CD ⊥OP ，CD =2CE ． …………………………2分∵ 21tan =∠CPO ， ∴ 1tan tan 2OCE CPO ∠=∠=．……………3分设 OE=k ，则CE=2k ，OC =．（0k >）∵ ⊙O的半径等于 ∴=3k =．∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分 ∴ CD =2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分16．（1）画图见图2． …………………………… 2分 （2）由图可知△ABC 是直角三角形，AC=4，BC=3，所以AB=5．…………………… 3分 线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域 是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．……………………………………… 4分 ∴ 221125ππ5π444AB B S AB '=⨯=⨯=扇形． …………………………………… 5分所以线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积为25π4． 17．解：根据题意，得(20)(80010)8000a a --=．（20≤a ≤80） …………………… 1分整理，得 210024000a a -+=．可得 (40)(60)0a a --=．解方程，得140a =，260a =．…………………………………………………… 3分 当140a =时，800108001040400a -=-⨯=（件）． 当260a =时，800108001060200a -=-⨯=（件）．因为要使每天的销售量尽量大，所以40a =． ………………………………… 4分 答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售价应是40元．……………………………………………………………………… 5分 18．解：（1）当0a =时，函数21y x =+的图象与x 轴只有一个公共点成立．…………1分 （2）当a ≠0时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 的二次函数．∵ 它的图象与x 轴只有一个公共点，∴ 关于x 的方程 2(2)10ax a x a ++++=有两个相等的实数根． ………2分∴ 2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=．………………………………………………3分整理，得 2340a -=． 解得a =．…………………………………………………………… 5分综上，0a =或a = 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：如图3，由题意，可得∠P AC =30°，∠PBC =60°． ………………………………………… 2分 ∴ 30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒．∴ ∠P AC=∠APB ．∴ PB =AB = 400．…………………………… 3分在Rt △PBC 中，∠PCB =90°，∠PBC =60°，PB =400，∴sin 400346.4PC PB PBC =⋅∠===≈346（米）．………………4分 答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于346米． …………………………………… 5分 20．（1）证明：如图4．∵ 正方形ABCD ，正方形EFGH ，∴ ∠B =∠C =90°，∠EFG =90°，BC =CD ，GH=EF=FG ．又∵ 点F 在BC 上，点G 在FD 上，∴ ∠DFC +∠EFB =90°，∠DFC +∠FDC =90°， ∴ ∠EFB =∠FDC ． …………………… 1分 ∴ △EBF ∽△FCD ．…………………… 2分 （2）解：∵ BF =3，BC =CD =12，∴ CF =9，15DF =．由（1）得BE CFBF CD=． ∴ 399124BF CF BE CD ⨯⨯===． …………………………………………… 3分∴154GH FG EF ==．……………………………………4分454DG DF FG =-=．∴ 1tan 3GH HDG DG ∠==． ………………………………………………… 5分21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分 （2）证明：∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，∴ ∠DBC =2∠ABC ． ……………………………2分 又∵2AOC ABC ∠=∠，∴ AOC DBC ∠=∠．……………………………3分（3）解：∵，∴ ∠A =∠D ．又∵ AOC DBC ∠=∠，∴ △AOE ∽△DBM ． 分BF=BF∴OE BMOA BD=． ∵ 3OC OE =，OA =OC ，∴ 13BM OE OE BD OA OC ===．∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称， ∴ BC =BD ． ∴13BM BM BC BD ==．………………………………………………………… 5分 22．解：（1）(1,4)A --，(3,0)B -． ……………………………………………………… 2分画图象见图6．……………………………………………………………… 3分（2）由题意得变换后的抛物线1C 的相关点的坐标如下表所示：设抛物线1C 对应的函数表达式为 2(2)2y a x =+-．（a ≠0） ∵ 抛物线1C 与y 轴交点的坐标为(0, 1.5)-， ∴ 3422a -=-． 解得 18a =． ∴ 221113(2)28822y x x x =+-=+-．……… 5分 ∴ 抛物线1C 对应的函数表达式为2113822y x x =+-说明：其他正确解法相应给分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵ 点1(,2)2A 在反比例函数my x =（m 为常数）的图象G 上，∴ 1212m =⨯=．………………………………………………………………1分∴ 反比例函数m y x =（m 为常数）对应的函数表达式是1y x=．设直线l 对应的函数表达式为y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）．∵ 直线l 经过点1(,2)2A ，(1,0)D ，∴ 12,20.k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得4,4.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线l 对应的函数表达式为44y x =-+． ………………………………2分 （2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为1(,2)2C --． ………… 3分 ∵ CE ∥x 轴交直线l 于点E ， ∴ E C y y =．∴ 点E 的坐标为3(,2)2E -．………………………………………………… 4分（3）如图7，作AF ⊥CE 于点F ，与过点B 的y 轴的垂线交于点G ，BG 交AE 于点M ，作CH ⊥BG 于点H ，则BH ∥CE ，BCE CBH ∠=∠．∵ 1(,2)2A ，1(,2)2C--，3(,2)2E -，∴ 点F 的坐标为1(,2)2F -．∴ CF =EF ．∴ AC =AE ．∴ ∠ACE =∠AEC ．………………………… 5分∵ 点(3,)B n 在图象G 上，∴ 13n =，∴ 1(3,)3B ，11(,)23G ，11(,)23H -．在Rt △ABG 中，1223tan 1332AG ABH BG -∠===-， 在Rt △BCH 中，1223tan 1332CH CBH BH +∠===+， ∴ ABH CBH ∠=∠．………………………………………………………… 6分 ∴ BCE ABH ∠=∠．∵ BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠，∴ ∠BAE =∠ACB ． …………………………………………………………… 7分24．解：（1）①QBC ∠= 90︒；………………………………………………………………1分② m =3时，点Q 到直线l 的距离等于．……………………………… 2分 （2）所画图形见图8．………………………… 3分 m =4分（3）作BG ⊥AC 于点G ，过点Q 作直线l 的垂线交l 于点D ，交BG 于点F ．∵ CA ⊥直线l ，∴ ∠CAP =90︒．易证四边形ADFG 为矩形．X|k |B | 1 . c|O |m∵ 等边三角形ABC 的边长为4， ∴ ∠ACB =60︒，122DF AG CG AC ====，1302CBG CBA ∠=∠=︒． ∵ 将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ， ∴ △ACP ≌△BCQ ．∴ AP = BQ = m ，∠P AC =∠QBC =90︒． ∴ ∠QBF =60︒．在Rt △QBF 中，∠QFB =90︒，∠QBF =60︒，BQ=m ， ∴QF =．…………………………………………………………… 5分 要使△P AQ 存在，则点P 不能与点A ，0P 重合，所以点P 的位置分为以下两 种情况：① 如图9，当点P 在（2）中的线段0P A 上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得0m <<，此时点Q 在直线l 的下方． ∴2DQ DF QF =-=．∵12APQ S AP DQ ∆=⋅=，∴1(2)2m =．240m -+=．解得1m =或2m =经检验，m =0m << 7分② 如图10，当点P 在（2）中的线段0AP 的延长线上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得m >Q 在直线l 的上方． ∴2DQ QF DF =-=-．∵12APQ S AP DQ ∆=⋅=， ∴.12)2m -=．整理，得2330m --=．解得 m =． 经检验，m =m >的范围内，符合题意．…………8分综上所述，3m =32132+时，△P AQ ．25．解：（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是(5,0)；………………………………… 1分（说明：点(,)P x y 的坐标满足5x y +=， 0≤x ≤5，0≤y ≤5均可）图形G 与坐标轴围成图形的面积等于252．…………………………………2分 （2）如图11，作ME ⊥OB 于点E ，MF ⊥x 轴于点F ，则MF =1，作MD ∥x 轴，交OB 于点D ，作BK ⊥x 轴于点K ．由点B 的坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应的函数关系式为43y x =． ∴ 点D 的坐标为3(,1)4D ，313444DM =-=． ∴ OB =5，4sin 5BK AOB OB ∠==， 4sin sin 5MDE AOB ∠=∠=．∴ 13413sin 455ME DM MDE =⋅∠=⨯=．……………………………………… 3分∴ 1318(,)155d M AOB ME MF ∠=+=+=．……………………………………… 4分（3）∵ 抛物线212y x bx c =-++经过(5,0)A ，(3,4)B 两点， ∴ 221055,21433.2b c b c ⎧=-⨯++⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩解得2,5.2b c =⎧⎪⎨=⎪⎩∴ 抛物线对应的函数关系式为215222y x x =-++．………………………5分 如图12，作QG ⊥OB 于点G ，QH ⊥x 轴于点H ．作QN ∥x 轴，交OB 于点N ．设点Q 的坐标为(,)Q m n ，其中3≤m ≤5， 则215222QH n m m ==-++．同（2）得 4sin sin 5QNG AOB ∠=∠=． ∴ 点N 的坐标为3(,)4N n n ，34NQ m n =-．∴ 43sin ()54QG NQ QNG m n =⋅∠=-4355m n =-． ∴ 434(,)5555d Q AOB QG QH m n n ∠=+=-+=24215(2)5522m m m =+-++ 218155m m =-++2121(4)55m =--+．∴ 当4m =（在3≤m ≤5范围内）时，(),d Q AOB ∠取得最大值（215）． ………………………………………………………… 6分此时点Q 的坐标为5(4,)2．…………………………………………………7分。
西城区2013-2014学年度第一学期期末数学九年级答案
北京市西城区2013-2014学年度第一学期期末九年级数学试卷参考答案及评分标准2014.1三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．232=................................................................................... 4分=............................................................................................................... 5分14．解：（1）∵二次函数23y x bx=+-的图象经过点A(2，5)，∴4235b+-=．.......................................................................................... 1分∴2b=．∴二次函数的解析式为223y x x=+-． ................................................... 2分（2）令0y=，则有2230x x+-=．解得13x=-，21x=．∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(3,0)-和(1,0)．.......................... 4分（3）223y x x=+-2(21)4x x=++-2(1)4x=+-．............................................................................................. 5分15．解：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，∴∠D=90°．∴90DCP DPC∠+∠=︒．∵PC PB⊥，∴∠BPC=90°，90DPC APB∠+∠=︒．∴∠DCP =∠APB ． ................................................. 2分 ∴t an an t DCP APB =∠∠． 在Rt △PCD 中， CD =2，PD =4， ∴1tan 2PD DCP CD ∠==．在Rt △PBA 中，AB =6， ∴tan AB APB PA∠=．∴162PA=． ∴12PA =． ............................................................................................................... 4分∴PB == .................................................................................. 5分16．解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x ． ......... 1分依题意，得275(1)108x +=． ................................................................................. 2分整理，得236(1)25x +=． .......................................................................................... 3分615x +=±．解得x 1=0.2=20%，x 2=－2.2（舍去）． ................................................................... 4分 答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%． ........ 5分 17．解：设河宽AB 为x 米． ............................................................................................... 1分∵ 在Rt △AOC 中，∠ACO =90°，3cos 5A =， ∴ 10OA =． ....................................................... 2分 ∴8OC =． ............................... 3分（2）2或14． ....................................................................................................... 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）二次函数2143y x x =-+图象的顶点(2,1)-关于y 轴的对称点坐标为(2,1)--，···························································································· 1分∴ 所求的二次函数的解析式为22(2)1y x =+-， ········································ 2分 即2243y x x =++．（2）1-≤2y ≤3． ········································································································ 4分 （3）20x -<<． ········································································································· 5分20．（1）证明：∵ 在矩形ABCD 中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°．∴ 90ABF D ∠=∠=︒． ∵ AF ⊥AE ，∴ ∠EAF =90DAE EAB DAB ∠+∠=∠=︒． ∴ 90BAE BAF ∠+∠=︒． ∴ ∠DAE =∠BAF ．∴ △ADE ∽△ABF ． ··············································································· 2分（2）解：①如图，取FC 的中点H ，连接MH ．∵ M 为EF 的中点，∴ MH ∥DC ，12MH EC =．∵ 在矩形ABCD 中，∠C =90°，∴ MH ⊥FC ，即MH 是点M 到FC 的距离．HMDFAECB∵ DE =x ，DC =AB =4． ∴ EC =4x -， ∴ 12MH EC =122x =-． 即点M 到FC 的距离为MH 122x =-． .................................................. 3分 ②∵△ADE ∽△ABF ， ∴ DE BFAD AB =． ∴24x BF=． ∴ 2BF x =，FC =22x +，FH = CH =1x +． ∴ 1HB BF HF x =-=-． ∵ 122MH x =-， ∴ 在Rt △MHB 中，222221(2)(1)2MB BH MH x x =+=-+-25454x x =-+． ∴ 25454y x x =-+（04x <<）， ............................................................ 4分当85x =时，BM 长的最小值是 ................................................... 5分21．（1）证明：如图，连接OC ．∵ AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴ AD ⊥AB ， ∴ ∠DAB =90°． ∵ OD ∥BC ，∴ ∠DOC =∠OCB ，∠AOD =∠ABC ．∵ OC =OB ， ∴ ∠OCB =∠ABC ． ∴ ∠DOC =∠AOD ．在△COD和△AOD中，OC = OA，∠DOC=∠AOD，OD=OD，∴△COD≌△AOD． .................................................................................................. 1分∴∠OCD=∠DAB = 90°．∴OC⊥DE于点C．∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线． ............................................................................................. 2分（2）解：由23CEDE=，可设2(0)CE k k=>，则3DE k=．.. ........................................ 3分∴AD DC k==．∴在Rt△DAE中，AE=．∴tan E=ADAE=．∵在Rt△OCE中，tan2OC OCECE k==．∴2OCk=，∴OC OA==∴在Rt△AOD中，OD．.. ................................................ 4分∴cos cos OAABC AODOD∠=∠==．.. ............................................................... 5分22．解：（1）①③；.......... 2分（2）2π；............ 3分（3）x- ... 4分（4）答案不唯一，所画图形是非封闭的，长度l满足2π+≤l＜2π．例如：在图1中l2=π+，在图2中l=6．.......... 5分阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中画图正图1 图2确且图形长度都正确得1分，否则得0分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）①∵ 二次函数2314y x mx m =-++的图象与x 轴只有一个公共点A ，∴ ∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=． .................................................................... 1分整理，得2340m m --=． 解得，14m =，21m =-． 又点A 在x 轴的正半轴上， ∴ 0m >．∴ m =4． ............................................................................................................ 2分 ②由①得点A 的坐标为(20)，．∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上，∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，． ...................................... 3分 设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)． ∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--．..................................... 4分（２）函数2314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况： (ⅰ)当02m<，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为314m +；(ⅱ)当0≤2m≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++；(ⅲ)当22m>，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554m -+．综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++；当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554m -+． ............... 7分24．（1）ADBE=，AD BE ⊥． ........................................................................................ 2分（2）证明：连接DM ，AM ．在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点，∴ AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AMBM∴ 90BME EMA ∠+∠=︒． 同理，DMEM90AMD EMA ∠+∠=︒． ∴AM DMBM EM=，AMD BME ∠=∠． ········· 3分 ∴ △ADM ∽△BEM ．∴AD DMBE EM== ................................................................................ 4分 延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K ．∴ MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠． ∴ 90GKA AMB ∠=∠=︒．∴ AD BE ⊥． ............................................................................................ 5分（3）解：(ⅰ)当△DEF 绕点M 顺时针旋转α(o 0≤α≤o 90∵ △ADM ∽△BEM ， ∴2()3ADM BEM S AD S BE∆∆==． ∴ 13BEM ADM S S ∆∆=∴ ABM ADM BEM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+-121133)12322x =⨯⨯⨯⨯--⨯ ．∴ S =+ （3≤x ≤3+． ........................................................... 6分(ⅱ) 当△DEF 绕点M 逆时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时，可证△ADM ∽△BEM ，∴ 21()3BEM ADM S BM S AM ∆∆==．∴ 13BEM ADM S S ∆∆=．∴ ABM BEM ADM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=--21)32x =⨯⨯-=．∴S =+(3x ≤3)．综上，S +(3≤x≤3+)． ......................................................... 7分25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线1x =-； ................................................ 1分②∵ 当x =0时，y =－4， ∴ 点C 的坐标为(04)-，． ∵ ABC S∆ ∴ AB =6．又∵点A ，B 关于直线1x =-对称，∴ A 点和B 点的坐标分别为(40)-，，(20)，． ∴∴ ..................................... 2分（2）如图，作DF ⊥x 轴于点F ．分两种情况：(ⅰ)当点P 在直线AD 的下方时，如图所示．由（1）得点A (40)-，，点D (21)-，， ∴ DF =1，AF =2．在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2AFADF DF∠==． 延长DF 与抛物线交于点P 1，则P 1点为所求． ∴ 点P 1的坐标为(24)--，． ....................................................................... 3分(ⅱ)当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G 使得AG =AP 1，连接DG ，作GH ⊥x 轴于点H ，如图所示． 可证 △GHA ≌△1P FA ．∴ HA =AF ，GH = P 1 F ，GA =P 1A ． 又∵ (40)A -，，1(2P --，∴ 点G 的坐标是(64)-，在△ADP 1中，DA =DP 1＝５，1AP =，∴ 22211DA AP DP +=．∴ 1o 90DAP ∠=．∴ DA ⊥1GP ． ∴ 1DG DP =． ∴ 1ADG ADP ∠=∠．∴ 1tan tan 2ADG ADP ∠=∠=．设DG 与抛物线的交点为P 2，则P 2点为所求． 作DK ⊥GH 于点K ，作P 2S ∥GK 交DK 于点S ． 设P 2点的坐标为21(4)2x x x +-，，则2221141522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--． 由2P S DS GK DK=，3GK =，4DK =，得2152234x x x +---=． 整理，得 227140x x +-=．解得x ∵ P 2点在第二象限，分 （3）如图，连接O O '，交CE 于T ．连接O 'C ．∵ 点O 与点O '关于EC 所在直线对称，∴ O O '⊥CE ，OCE ∠=∠O 'CE ，∠C O 'E o 90COE =∠=． ∴ O 'C ⊥O 'E ． ∵ ON ⊥O 'E ， ∴ O 'C ∥O N ．∴ OMC ∠=∠O 'C E OCE =∠．∴ OC OM =． ......................................................................................................... 6分 ∴ CT MT =．∵ 在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ETOEC OE ∠=， 在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OEOEC EC∠=，∴ OE ET EC OE =． ∴ 2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅32TM EC =+⋅．同理 2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=． ∴ 2321648OE =+=． ∵ 0OE >， ∴ OE =∵点E在x轴的正半轴上，∴............................................................................... 8分11。
2014北京市西城区初三(一模)数学
2014北京市西城区初三（一模）数学一、选择题（本小题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（4分）2014年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013年全国城镇新增就业人数约13100000人，创历史新高，将数字13100000用科学记数法表示为（）A．13.1×106 B．1.31×107 C．1.31×108 D．0.131×1083．（4分）由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．4．（4分）从1到9这九个自然数中任取一个，是奇数的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm6．（4分）为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（单位：个），关于这组数据下列结论正确的是（）A．极差是 6 B．众数是7 C．中位数是8 D．平均数是107．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠08．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（2，3）为顶点任作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴、y轴的正半轴交于点P、Q，连接PQ，过点A作AH⊥PQ于点H，设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）分解因式：2a2﹣4a+2=．10．（4分）写出一个只含字母x的分式，满足x的取值范围是x≠2，所写的分式是：．11．（4分）如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连接FC，则∠ACF的度数为度．12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，当点D第一次落在x轴上时，点D的坐标为：；在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是；保持上述运动过程，经过（2014，）的正六边形的顶点是．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）计算：﹣+2cos30°+．14．（5分）如图，点C、F在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．求证：∠ACF=∠DFE．15．（5分）解不等式组．16．（5分）已知x2﹣3x=1，求代数式（x﹣1）（3x+1）﹣（x+2）2﹣4的值．17．（5分）列方程（组）解应用题：某校甲、乙给贫困地区捐款购买图书，每班捐款总数均为1200元，已知甲班比乙班多8人，乙班人均捐款是甲班人均捐款的 1.2倍，求：甲、乙两班各有多少名学生．18．（5分）平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+n和反比例函数y=﹣的图象都经过点A（3，m）．（1）求m的值和一次函数的表达式；（2）点B在双曲线y=﹣上，且位于直线y=x+n的下方，若点B的横、纵坐标都是整数，直接写出点B的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积．20．（5分）以下是根据北京市统计局公布的2010﹣2013年北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入的数据绘制的统计图的一部分：根据以上信息，解答下列问题：（1）2012年农民人均现金收入比2011年城镇居民人均可支配收入的一半少0.05万元，则2012年农民人均现金收入是万元，请根据以上信息补全条形统计图，并标明相应的数据（结果精确到0.1）；（2）在2010﹣2013年这四年中，北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入相差数额最大的年份是年；（3）①2011﹣2013年城镇居民人均可支配收入的年平均增长率最接近；A.14%B.11%C.10%D.9%②若2014年城镇居民人均可支配收入按①中的年平均增长率增长，请预测2014年的城镇居民人均可支配收入为万元（结果精确到0.1）．21．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线，交AB延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：OD∥AC；（2）当AB=10，cos∠ABC=时，求AF及BE的长．22．（5分）阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A 的坐标．小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设折痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n（k＜0，n≥0），于是有E（0，n），F（﹣，0），所以在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=﹣k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）请回答：（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标；（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；参考小明的做法，解决以下问题：（3）将矩形沿直线y=﹣x+n折叠，求点A的坐标；（4）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）抛物线y=x2﹣kx﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（1+k，0）．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M落在线段BC上，记该抛物线为G，求抛物线G所对应的函数表达式；（B的对应点为B′，C的对应（3）将线段BC平移得到线段B′C′点为C′），使其经过（2）中所得抛物线G的顶点M，且与抛物线G另有一个交点N，求点B′到直线OC′的距离h的取值范围．24．（7分）四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE=1，AB=，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．25．（8分）定义1：在△ABC中，若顶点A，B，C按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有向面积”；若顶点A，B，C按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为△ABC的“有向面积”．“有向面积”用表示，例如图1中，=S，图2中，=﹣S△ABC．△ABC定义2：在平面内任取一个△ABC和点P（点P不在△ABC的三边所在直线上），称有序数组（，，）为点P关于△ABC的“面积坐标”，记作，例如图3中，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，则，点D关于△ABC的“面积坐标”为．在图3中，我们知道S△ABC=S△DBC+S△DAB﹣S△DCA，利用“有向面积”，我们也可以把上式表示为：．应用新知：（1）如图4，正方形ABCD的边长为1，则=，点D关于△ABC的“面积坐标”是；探究发现：（2）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（﹣1，0）．①若点P是第二象限内任意一点（不在直线AB上），设点P关于△ABO的“面积坐标”为（m，n，k），试探究m+n+k 与之间有怎样的数量关系，并说明理由；②若点P（x，y）是第四象限内任意一点，请直接写出点P关于△ABO的“面积坐标”（用x，y表示）；解决问题：（3）在（2）的条件下，点C（1，0），D（0，1），点Q在抛物线y=x2+2x+4上，求当S△QAB+S△QCD的值最小时，点Q的横坐标．数学试题答案一、选择题（本小题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】﹣2的绝对值是2，即|﹣2|=2．故选：A．2．【解答】13100000=1.31×1073．【解答】从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：1，1，2．故选C．4．【解答】∵从1到9这九个自然数中一共有5个奇数，∴任取一个，是奇数的概率是：，故选：C．5．【解答】如图所示：∵输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，水的最大深度为CD，∴DO⊥AB，∴AO=5cm，AC=4cm，∴CO==3（cm），∴水的最大深度CD为：2cm．故选：C．6．【解答】A．极差=14﹣7=7，结论错误，故A不符合题意；B．众数为7，结论正确，故B符合题意；C．中位数为8.5，结论错误，故C不符合题意；D．平均数是9，结论错误，故D不符合题意；故选：B．7．【解答】∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即22﹣4?m?（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根．故选D．8．【解答】①当点P与点O重合时，x=0，y=2．故可排除C选项；②当点Q与点O重合时，y=3．故可排除A选项；③当x=2，即AP∥x轴时，∵AH⊥PQ，∴AH＜AQ=2，即y＜2．故可排除B选项．故选：D．解法二：常规解法设Q（0，q）．∵∠BAQ+∠QAC=∠CAP+∠QAC=90°，∴∠BAQ=∠CAP．又∠ABQ=∠ACP，∴△ABQ∽△ACP．∴=．①若x＞2．则=，化简可得，q=．∵S△APQ=（2+x）×3﹣（3﹣q）×2﹣x×qS△APQ=××y，则（2+x）×3﹣（3﹣q）×2﹣x×q=××y，整理，得y=（3﹣q）x+2q，则y=，所以y=2（x2﹣4x+13），y==所以当x=2时，y有最小值．②若0＜x＜2，则=，化简可得，q=．同理，y==则在0＜x＜2范围内，y随x的增大而减小．综上所述，只有D选项符合题意．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．【解答】原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2．故答案为：2（a﹣1）2．10．【解答】根据分式有意义的条件可得，故答案为：．11．【解答】∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF=DC，∴∠BCD=60°，AB∥CD，∠DFC=∠DCF，∵DF⊥AB于点E，∴∠FDC=90°，∴∠DFC=∠DCF=45°，∵菱形ABCD中，∠DCA=∠ACB，∴∠DCA=∠ACB=30°，∴∠ACF的度数为：45°﹣30°=15°．故答案为：15°．12．【解答】∵点A（1，0），B（2，0），∴OA=1，OB=2，∴正六边形的边长为：AB=1，∴当点D第一次落在x轴上时，OD=2+1+1=4，∴此时点D的坐标为：（4，0）；如图1所示：当滚动到A′Ｄ⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′Ｄ，点F′，E′作F′Ｇ⊥A′Ｄ，E′Ｈ⊥A′Ｄ，∵六边形ABCDEF是正六边形，，∴∠A′F′G=30°∴A′G=A′F′＝，同理可得：HD=，∴A′D=2，∴在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是：2；如图1，∵D（2，0）∴A′（2，2），OD=2，∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点（2，2）开始到点（2014，）正好滚动2012个单位长度，∵=335…２，∴恰好滚动335周多2个，如图2所示，F′点纵坐标为：，∴会过点（2014，）的是点F，当点D还是在（2014，0）位置，则E点在（2015，0）位置，此时B点在D点的正上方，DB=，所以B点符合题意．故答案为：（4，0），2，F或B．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．【解答】原式=1﹣3+2×+=1﹣32=3﹣214．【解答】证明：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACF=∠DFE．15．【解答】，解①得：x＜5，解②得：x≥﹣4．故不等式组的解集是：﹣4≤x＜5．16．【解答】原式=3x2﹣2x﹣1﹣（x2+4x+4）﹣4=3x2﹣2x﹣1﹣x2﹣4x﹣4﹣4=2x2﹣6x﹣9．∵x2﹣3x=1．∴原式=2（x2﹣3x）﹣9=2﹣9=﹣7．17．【解答】设乙班有x名学生，则甲班有（x+8）名学生，由题意，得=×1.2，解得x=40．经检验，x=40是原方程的解．答：甲、乙两班各有48名、40名学生．18．【解答】（1）把A（3，m）代入y=﹣得：m=﹣2，即A的坐标是（3，﹣2），把A的坐标代入y=x+n得：﹣2=3+n，解得：n=﹣5．即一次函数的解析式是y=x﹣5；（2）符合条件的点B的坐标是（1，﹣6）或（6，﹣1）．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．【解答】（1）证明：∵CE∥AD且CE=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质），∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC=4，∠DAC=30°，∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2，∵四边形ADCE为矩形，∴OC=OA=2，∵CF=CO，∴CF=2，过O作OH⊥CE于H，∴OH=OC=1，∴S四边形AOFE=S△AEC﹣S△COF=×2×2﹣×2×1=2﹣1．20．【解答】（1）∵由条形图可得出：2011年城镇居民人均可支配收入为 3.3万元，2012年农民人均现金收入比2011年城镇居民人均可支配收入的一半少0.05万元，∴2012年农民人均现金收入是： 3.3÷2﹣0.05=1.6（万），故答案为： 1.6；（2）∵2011年到2012年城镇居民人均可支配收入增长率为9.1%，∴2012年人均可支配收入为： 3.3×（1+9.1%）≈3.6（万元），∵2.9﹣1.3=1.6（万），3.3﹣1.5=1.8（万），3.6﹣1.6=2（万），4﹣1.8=2.2（万），∴在2010﹣2013年这四年中，北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入相差数额最大的年份是2013年；故答案为：2013；（3）①设2011﹣2013年城镇居民人均可支配收入的年平均增长率为x，则3.3（1+x）2=4，解得：x1≈﹣2.1（不合题意舍去），x2≈0.10=10%，故选：C；②由①得：2014年的城镇居民人均可支配收入为：4×（1+10%）=4.4（万）．故答案为： 4.4．21．【解答】（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，（2）连接AD，∵AB为直径，∴AD⊥BD，∴∠ADC=90°，∵AB=10，cos∠ABC=，∴BD=AB?cos∠ABC=2，∴AD=4，∵DF是圆的切线，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°，∵AC∥OD，∴∠AFD=90°，∵∠ADC=∠AFD，∠DAF=∠CAD，∴△ADC∽△AFD，∴，∴，∴AF=8，∵OD∥AF，∴，∴，∴BE=．22．【解答】（1）如图1若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标为（2，6）；（2）如图所示：（3）如图，过点F作FG⊥DC于G ∵EF解析式为y=﹣x+n，∴E点的坐标为（0，n），∴OE=n∴F点的坐标为（2n，0），∴OF=2n∵△AEF与△OEF全等，∴OE=AE=n，AF=OF=2n∵点A在DC上，且∠EAF=90°∴∠1+∠3=90°又∵∠3+∠2=90°∴∠1=∠2在△DEA与△GAF中，∴△DEA∽△GAF（AA）∴=∵FG=CB=6∴=∴DA=3∴A点的坐标为（3，6）．（4）﹣1≤k≤﹣．∵矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上，（1）当E点和D点重合时，k的值为﹣1，（2）当F点和B点重合时，k的值为﹣；∴﹣1≤k≤﹣．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．【解答】（1）将B（1+k，0）代入y=x2﹣kx﹣3，得（1+k）2﹣k（1+k）﹣3=0，解得k=2，所以抛物线对应的函数表达式为y=x2﹣2x﹣3；（2）当k=2时，点B的坐标为（3，0）．∵y=x2﹣2x﹣3，∴当x=0时，y=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．设直线BC的解析式为y=mx+n，则，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣3．∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移时横坐标不变．把x=1代入y=x﹣3可得y=﹣2，∴抛物线G的顶点M的坐标为（1，﹣2），∴抛物线G所对应的函数表达式为y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣2x﹣1；（3）连结OB′，过B′作B′Ｈ⊥OC′于点H．∵B′H=B′C′?sin∠C=3?sin∠C′，∴当∠C′最大时h最大；当∠C′最小时h最小．由图2可知，当C′与M重合时，∠C′最大，h最大．此时，S△OB′C′=S△OB′Ｂ+S△OBC′，∴OC′?B′H=+3，∴B′H=；由图3可知，当B′与y=x2﹣2x﹣1的顶点M重合时，B'（2，﹣1），则C'（﹣1，﹣4），∠C'最小，h最小．此时，S△OB′C′=S△OCB′+S△OCC'，∴OC′?B′H=+3=，此时∵C′（﹣1，﹣4），∴OC'=，∴B'H=．综上所述，≤h≤．24．【解答】（1）EG⊥CG，=，理由是：过G作GH⊥EC于H，∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC，∵G为DF中点，∴H为EC中点，∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=HC，∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形，∴=；（2）结论还成立，理由是：如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，∵在△EFG和△HDG中∴△EFG≌△HDG（SAS），∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，∴EF∥DH，又易证ER∥CD，∴∠1=∠2，∴∠1=∠2=90°﹣∠3=∠4，∴∠EBC=180°﹣∠4=180°﹣∠1=∠HDC，在△EBC和△HDC中∴△EBC≌△HDC．∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，∴△ECH是等腰直角三角形，∵G为EH的中点，∴EG⊥GC，=，即（1）中的结论仍然成立；（3）连接BD，∵AB=，正方形ABCD，∴BD=2，∴cos∠DBE==，∴∠DBE=60°，∴∠ABE=∠DBE﹣∠ABD=15°，∴∠ABF=45°﹣15°=30°，∴tan∠ABF=，∴DE=BE=，∴DF=DE﹣EF=﹣1．25．【解答】（1）=S△ABC=×1×1=，点D关于△ABC的“面积坐标”为（，﹣，）；（2）①当点P在△ABO的外部时，m==S△PBO，n==S△POA，k==﹣S△PAB，由图①可知m+n+k=S△PBO+S△POA﹣S△PAB=S△ABO=，当点P在△ABO的内部时，m==S△PBO，n==S△POA，k==S△PAB，由图②可知：m+n+k=S△PBO+S△POA+S△PAB=S△ABO=；综上所述，m+n+k=；②根据面积公式得：点P关于△ABO的“面积坐标”：（，﹣x，1+x﹣）；（3）∵点Q在抛物线y=x2+2x+4上，设Q（x，x2+2x+4），①当Q在第二象限时，即x＜0时，如图③所示，S△QBO+S△QOA﹣S△QAB=S△ABO，S△QOC﹣S△QCD﹣S△QDO=S△DOC，由+（﹣x）﹣S△QAB=1，∴S△QAB=+1，由﹣S△QCD﹣（﹣）=，∴S△QCD=+x+，∴S△QAB+S△QCD=x2+x+=（x+）2+，∴当x=﹣时，S△QAB+S△QCD的最小值为；②当Q在第一象限时，即x＞0时，如图④所示，∵S△QBO﹣S△QOA﹣S△QAB=S△ABO，S△QOC﹣S△QCD+S△QDO=S△DOC，则﹣x﹣S△QAB=1，∴S△QAB=+1，﹣S△QCD+=，∴S△QCD=+x+，∴S△QAB+S△QCD=x2+x+=（x+）2+，此时，S△QAB+S△QCD＞无最小值；③当Q为y=x2+2x+4与y轴的交点时，即Q（0，4）时，有图⑤可知：S△QAB=1，S△QCD=，∴S△QAB+S△QCD=，综上所述，S△QAB+S△QCD的最小值为，此时，Q点的横坐标为﹣．。
北京市西城区2014届九年级上学期期末考试数学试题
北京市西城区2013-2014学年度第一学期期末试卷九年级数学 2014.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是 A ．(21)，B ．(21)-，C ．(21)-，D ．(21)--，2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若o 100AOB ∠=，则∠ACB 的度数是 A ．40° B ．50° C ．60°D ．80°3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是 A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为 A B C ．12D ．26．如图，抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为直线12x =-．下列结论中，正确的是A ．a ＜0B ．当12x <-时，y 随x C ．0a b c ++>D ．当12x =-时，y7．如图，在平面直角坐标系坐标都是整数．若将△ABC 转中心的坐标是A ．(00)，B ．(10)，C ．(11)-，D ．(2.50.5)，8．若抛物线()2231y x m m =-+-（m 是常数）与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是 A ．2m < B ．2m > C ．94m <D ．94m >二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，△A BC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若2AD =，3DB =，1DE =，则BC 的长是 ．10．把抛物线2=y x 向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线=y ．11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝2．将△ABC绕点C 逆时针旋转α角后得到△A′B′C ，当点A 的对应点A' 落在AB 边上时，旋转角α的度数是 度，阴影部分的面积为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点(65)A ，作AB ⊥x 轴于点B ．半径为(05)r r <<的⊙A与AB 交于点C ，过B 点作⊙A 的切线BD ，切点为D ，连接DC 并延长交x 轴于点E .（1）当52r =时，EB 的长等于 ；（2）点E 的坐标为 （用含r 的代数式表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin 603tan 302tan 60cos 45︒+︒-︒⋅︒．14．已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(25)A ，． （1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式．15．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，点P 在AD 边上，且PC PB ⊥．若AB ＝6，DC ＝4，PD ＝2，求PB 的长．16．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．17．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BD ，∠ACB ＝45°，∠ADB ＝30°，并且点B ，C ，D 在同一条直线上．若测得CD ＝30米，求河宽AB （结果精确到1 1.73 1.41）．18．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，AB ＝12，cos A = （1）求OC 的长；（2）点E ，F 在⊙O 上，EF ∥AB ．若EF ＝16，直接写出EF 与AB 之间的距离．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式； （2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围； （3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值范围．ABCO20．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上任意一点（不与点C ，D 重合），作AF ⊥AE 交CB 的延长线于点F ． （1）求证：△ADE ∽△ABF ；（2）连接EF ，M 为EF 的中点，AB ＝4，AD ＝2，设DE ＝x ， ①求点M 到FC 的距离（用含x 的代数式表示）； ②连接BM ，设2BM y =，求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出BM 的长度的最小值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若23CE DE =，求cos ABC ∠的值．22．阅读下面材料：定义：与圆的所．有切线和割线．．．．．．都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形． 问题：⊙O 的半径为1，画一个⊙O 的关联图形．在解决这个问题时，小明以O 为原点建立平面直角坐标系xOy 进行探究，他发现能画出很多⊙O 的关联图形，例如：⊙O 本身和图1中的△ABC （它们都是封闭的图形），以及图2中以O 为圆心的 （它是非封闭的图形），它们都是⊙O 的关联图形．而图2中以P ，Q 为端点的一条曲线就不是⊙O 的关联图形．（DmE参考小明的发现，解决问题：（1）在下列几何图形中，⊙O 的关联图形是 （填序号）；① ⊙O 的外切正多边形 ② ⊙O 的内接正多边形③ ⊙O 的一个半径大于1的同心圆（2）若图形G 是⊙O 的关联图形，并且它是封闭的，则图形G 的周长的最小值是____； （3）在图2中，当⊙O 的关联图形 的弧长最小时，经过D ，E 两点的直线为y =__； （4）请你在备用图中画出一个⊙O 的关联图形，所画图形的长度l 小于（2）中图形G的周长的最小值，并写出l 的值（直接画出图形，不写作法）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：二次函数2314y x mx m =-++（m 为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上． ①求m 的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2） 当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．24．已知：△ABC ，△DEF 都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE .（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系； （2）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 旋转α（o 0≤α≤o 90）角，作DH ⊥BC于点H ．设BH ＝x ，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当AB ＝6，DE ＝2时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．图2备用图图1（DmE25．已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．（1）①填空：二次函数图象的对称轴为 ； ②求二次函数的解析式；（2） 点D 的坐标为（－2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan 2ADP ∠=，求点P 的横坐标；（3）点E 在x 轴的正半轴上，o 45OCE ∠>，点O 与点O '关于EC 所在直线对称．作ON ⊥EO '于点N ，交EC 于点M ．若EM ·EC ＝32，求点E 的坐标．北京市西城区2013-2014学年度第一学期期末九年级数学试卷参考答案及评分标准 2014.1三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：2sin 603tan 302tan 60cos 45︒+︒-︒⋅︒．232=- ................................................................................... 4分=．............................................................................................................... 5分14．解：（1）∵ 二次函数23y x bx =+-的图象经过点A (2，5)，∴ 4235b +-=． ........................................................................................... 1分 ∴ 2b =．∴ 二次函数的解析式为223y x x =+-． .................................................... 2分 （2）令0y =，则有2230x x +-=．解得13x =-，21x =．∴ 二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(3,0)-和(1,0)． ........................... 4分 （3）223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-． ............................................................................................. 5分15．解：∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，∴ ∠D =90°．∴ 90DCP DPC ∠+∠=︒． ∵PC PB ⊥，∴∠BPC =90°，90DPC APB ∠+∠=︒．∴∠DCP =∠APB ． .................................................... 2分∴t an an t DCP APB =∠∠． 在Rt △PCD 中， CD =2，PD =4， ∴1tan 2PD DCP CD ∠==．在Rt △PBA 中，AB =6， ∴tan AB APB PA∠=．∴162PA=． ∴12PA =． ................................................................................................................ 4分∴PB == .................................................................................. 5分16．解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x ． ......... 1分依题意，得275(1)108x +=． ................................................................................. 2分整理，得236(1)25x +=． .......................................................................................... 3分615x +=±．解得x 1=0.2=20%，x 2=－2.2（舍去）． .................................................................... 4分 答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%． ........ 5分 17．解：设河宽AB 为x 米． ................................................................................................ 1分∵ AB ⊥BC ， ∴ ∠ABC =90°．∵ 在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，∴ AB =BC =x ． .....................................2分∵ 在Rt△ABD 中，∠ADB=30°，∴ BD ==． ........................3分 ∴ CDBD BC x =-=-． ∴30x -=． ..................................................................................................... 4分解得15x =+≈41．答：河宽AB 约为41米． .............................................................................................. 5分 18．解：（1）∵ AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB =12，∴ 162AC AB ==． ............................................ 1分A BCO∵ 在Rt △AOC 中，∠ACO =90°，3cos 5A =， ∴ 10OA =． ........................................................ 2分 ∴8OC ==． ................................ 3分（2）2或14． ....................................................................................................... 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）二次函数2143y x x =-+图象的顶点(2,1)-关于y 轴的对称点坐标为(2,1)--，································································································ 1分∴ 所求的二次函数的解析式为22(2)1y x =+-， ··········································· 2分 即2243y x x =++．（2）1-≤2y ≤3． ·············································································································· 4分 （3）20x -<<． ·············································································································· 5分20．（1）证明：∵ 在矩形ABCD 中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°．∴ 90ABF D ∠=∠=︒． ∵ AF ⊥AE ，∴ ∠EAF =90DAE EAB DAB ∠+∠=∠=︒． ∴ 90BAE BAF ∠+∠=︒． ∴ ∠DAE =∠BAF ．∴ △ADE ∽△ABF ． ····················································································· 2分（2）解：①如图，取FC 的中点H ，连接MH ．∵ M 为EF 的中点， ∴ MH ∥DC ，12MH EC =． ∵ 在矩形ABCD 中，∠C =90°，∴ MH ⊥FC ，即MH 是点M 到FC 的距离．H MDFAECB∵ DE =x ，DC =AB =4． ∴ EC =4x -， ∴ 12MH EC =122x =-． 即点M 到FC 的距离为MH 122x =-． .................................................... 3分 ②∵△ADE ∽△ABF ， ∴ DE BF AD AB =． ∴24x BF=． ∴ 2BF x =，FC =22x +，FH = CH =1x +． ∴ 1HB BF HF x =-=-． ∵ 122MH x =-， ∴ 在Rt △MHB 中，222221(2)(1)2MB BH MH x x =+=-+- 25454x x =-+． ∴ 25454y x x =-+（04x <<）， ............................................................. 4分当85x =时，BM 长的最小值是． ................................................... 5分21．（1）证明：如图，连接OC ．∵ AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴ AD ⊥AB ， ∴ ∠DAB =90°． ∵ OD ∥BC ，∴ ∠DOC =∠OCB ，∠AOD =∠ABC ．∵ OC =OB ， ∴ ∠OCB =∠ABC ． ∴ ∠DOC =∠AOD ．在△COD和△AOD中，OC = OA，∠DOC=∠AOD，OD=OD，∴△COD≌△AOD． ..................................................................................................... 1分∴∠OCD=∠DAB = 90°．∴OC⊥DE于点C．∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线． ............................................................................................... 2分（2）解：由23CEDE=，可设2(0)CE k k=>，则3DE k=．.. ........................................ 3分∴AD DC k==．∴在Rt△DAE中，AE==．∴tan E=ADAE=∵在Rt△OCE中，tan2OC OCECE k==．∴2OCk=，∴OC OA==．∴在Rt△AOD中，OD==．.. ................................................. 4分∴cos cosOAABC AODOD∠=∠==．.................................................................. 5分22．解：（1）①③；.......... 2分（2）2π；............ 3分（3）x--... 4分（4）答案不唯一，所画图形是非封闭的，长度l满足2π+≤l＜2π．例如：在图1中l2=π+，在图2中l=6． .......... 5分阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中画图正图1 图2确且图形长度都正确得1分，否则得0分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）①∵ 二次函数2314y x mx m =-++的图象与x 轴只有一个公共点A ， ∴ ∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=． ..................................................................... 1分 整理，得2340m m --=．解得，14m =，21m =-．又点A 在x 轴的正半轴上，∴ 0m >．∴ m =4． ............................................................................................................. 2分②由①得点A 的坐标为(20)，．∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上，∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，．........................................ 3分 设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)．∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩ ∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--． ..................................... 4分 （２）函数2314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况：(ⅰ)当02m <，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为314m +； (ⅱ)当0≤2m ≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++； (ⅲ)当22m >，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554m -+． 综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++； 当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554m -+．............... 7分 24．（1）AD BE =，AD BE ⊥． ........................................................................................ 2分 （2）证明：连接DM ，AM ．在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点，∴ AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AM BM∴ 90BME EMA ∠+∠=︒．同理，DM EM =，90AMD EMA ∠+∠=︒． ∴ AM DM BM EM=，AMD BME ∠=∠． ·········· 3分 ∴ △ADM ∽△BEM ．∴ AD DM BE EM== ................................................................................. 4分 延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K ．∴ MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠．∴ 90GKA AMB ∠=∠=︒．∴ AD BE ⊥． ............................................................................................ 5分（3）解：(ⅰ)当△DEF 绕点M 顺时针旋转α(o 0≤α≤o 90)∵ △ADM ∽△BEM ，∴ 2()3ADM BEM S AD S BE∆∆==． ∴ 13BEM ADM S S ∆∆= ∴ ABM ADM BEM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+- 121133)12322x =⨯⨯+⨯⨯--⨯ =+．∴ S =+ （3≤x ≤3+）． ............................................................. 6分(ⅱ) 当△DEF 绕点M 逆时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时，可证△ADM ∽△BEM ，∴ 21()3BEM ADM S BM S AM ∆∆==． ∴ 13BEM ADM S S ∆∆=． ∴ ABM BEM ADM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=--21)32x =-⨯⨯-+=．∴S =+(3-≤x ≤3)．综上，S =(3-≤x≤3+)． .......................................................... 7分25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线1x =-； ............................................... 1分②∵ 当x =0时，y =－4，∴ 点C 的坐标为(04)-，．∵ ABC S∆ ∴ AB =6．又∵点A ，B 关于直线1x =-对称，∴ A 点和B 点的坐标分别为(40)-，，(20)，．∴∴ ..................................... 2分 （2）如图，作DF ⊥x 轴于点F ．分两种情况：(ⅰ)当点P 在直线AD 的下方时，如图所示．由（1）得点A (40)-，，点D (21)-，， ∴ DF =1，AF =2．在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2AF ADF DF∠==． 延长DF 与抛物线交于点P 1，则P 1点为所求．∴ 点P 1的坐标为(24)--，． ........................................................................ 3分(ⅱ)当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G 使得AG =AP 1，连接DG ，作GH ⊥x 轴于点H ，如图所示．可证 △GHA ≌△1PFA ． ∴ HA =AF ，GH = P 1 F ，GA =P 1A ． 又∵ (40)A -，，1(2P --，∴ 点G 的坐标是(64)-，．在△ADP 1中，DA =，DP 1＝５，1AP =，∴ 22211DA AP DP +=．∴ 1o 90DAP ∠=．∴ DA ⊥1GP ．∴ 1DG DP =．∴ 1ADG ADP ∠=∠．∴ 1tan tan 2ADG ADP ∠=∠=．设DG 与抛物线的交点为P 2，则P 2点为所求． 作DK ⊥GH 于点K ，作P 2S ∥GK 交DK 于点S ．设P 2点的坐标为21(4)2x x x +-，， 则2221141522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--． 由2P S DS GK DK=，3GK =，4DK =，得2152234x x x +---=． 整理，得 227140x x +-=．解得x = ∵ P 2点在第二象限，.................................................... 5分 （3）如图，连接O O '，交CE 于T ．连接O 'C ．∵ 点O 与点O '关于EC 所在直线对称， ∴ O O '⊥CE ，OCE ∠=∠O 'CE ，∠C O 'E o 90COE =∠=． ∴ O 'C ⊥O 'E ．∵ ON ⊥O 'E ，∴ O 'C ∥O N ．∴ OMC ∠=∠O 'C E OCE =∠． ∴ OC OM =． ......................................................................................................... 6分 ∴ CT MT =．∵ 在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ET OEC OE∠=， 在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OE OEC EC∠=， ∴ OE ET EC OE =． ∴ 2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅ 32TM EC =+⋅．同理 2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=． ∴ 2321648OE =+=．∵ 0OE >，∴ OE =．∵点E在x轴的正半轴上，∴E点的坐标为(43,0))．................................................................................ 8分。
北京市西城区2014年中考一模数学试题分析
年中考题相比，基本契合《中考说明》对今年数学考试的要求与目标，是一份很不错的试卷。
在往年几个难度较大的题号上，如第8题、第22题、第24题都有明显削弱。
但在第23题、第25题难度是有加强的。
值得一提的是第25题参考了最近两年的中考趋势——“新定义题”，在考场有限的时间内要读懂题意、消化理解、并进行变通完成对其他问题的解决还是很有难度的，对学生理解能力、分析能力的要求相当高（不是多做题就能解决的），让人眼前一亮。
具体到重点题来看：第8题：答案： D分析：第8题的趋势一直是动点与函数图像问题，要解决该题，最应该使用的方法是把题目所要求的函数准确的求出来（辅之以特殊值法）。
本题要求的y为AH的长度，AH的长度可以使用面积法（求Rt△APQ的面积）表示出来，因此我们要做的便是用x（即P点横坐标）表示出AQ、AP、PQ的长度来。
另外本题存在着一个对角互补的几何模型（四边形AQOP），通过向两个坐标轴作垂直，可以得到AQ、AP的数量关系，进而得出QP与AQ的数量关系。
最终得出的函数解析式可能我们不认识，但此时我们可以使用特殊值法来排除A、B、C项。
第12题：答案：（4,0）； 2； B点或者F点分析：本题其实没有太大难度，思考起来并不费劲，学生通过多画两次翻滚的过程很快可以掌握其规律。
第二问问的是“运动过程中”，因此A点到x轴最大距离是线段AD的长度：2。
前两问难度很小，第三问需要我们掌握翻滚过程的规律：每翻滚六次，点的位置与第一次完全一致。
所以可以算出A点在（2011,0）时，各点位置与翻滚前一致。
之后要注意的是本题的难点（陷阱）——存在两种情况下顶点位于题目所给目标点。
第21题：分析：第一问需要运用AB=AC条件可得：∠ABC=∠C，又由于OD=OB=半径，所以∠ABC=∠ODB，因而可得：∠ODB=∠C，即OD∥AC。
（这种方法经常用来证明平行，易忽略OB=OD这个条件得到的等角）本题的第二问属于较简单的与锐角三角函数相结合的题目，提供锐角三角函数的题目可以把所有和该角相等的角都找出来，进而求出所有能求出的线段长度。
2014西城中考一模参考答案
北京市西城区2014年初三一模化学试卷参考答案及评分标准2014.4一、选择题（每小题只有1个选项符合题意。
共25个小题，每小题1分，共25分。
）题号l 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A D B A A B A D C题号1l 12 13 14 15 16 17 18 19 20答案 D C B A C C B C A C题号21 22 23 24 25答案 A B D C C说明：除特别注明外，每空1分。
其他合理答案参照本标准给分。
二、填空题（共5小题，共30分。
）26．（6分）（1）混合物氮气氧气（2）①B ②钙（3）AC27．（6分）点燃（1）石油CH4 + 2O2 CO2 + 2H2O （2）C（3）①B ②H2O ③CO2 + Na2CO3 + H2O＝2NaHCO328．（6分）（1）氢气氢元素和氧元素（2）①t℃时，KNO3和NaCl的溶解度相等②饱和升高温度（3）117︰693（或13︰77）29．（6分）（1）导电（2）与氧气和水同时接触（3）①过滤②Fe + H2SO4 = FeSO4 + H2↑ Fe + CuSO4 = FeSO4 + Cu （各1分）③铜、氧化铜和碳粉30．（6分）（1）CaO + H2O= Ca(OH)2（2）Na2CO3 + Ca(OH)2 = 2NaOH + CaCO3↓（3）滴加无色酚酞溶液，溶液由无色变成红色；再滴加稀盐酸，溶液由红色变成无色（4）NaCl、Na2CO3或NaCl、Na2CO3、NaOH （2分，写“酚酞”不扣分）CaO、Ca(OH)2、CaCO3三、实验题（共3小题，共19分。
）31．（7分）（1）试管（2）2KMnO4△K2MnO4 + MnO2 + O2↑ A C（3）CaCO3 + 2HCl = CaCl2 + H2O + CO2↑紫色溶液变成红色H2O + CO2 = H2CO332．（5分）（1）2H 2O 22H 2O + O 2↑ 将带火星的木条放在K 2右侧的导管口处，若木条复燃，则证明是氧气（2）烧杯中的水倒吸2NaOH + CO 2 = Na 2CO 3 + H 2O（3）广口瓶和烧杯中的澄清石灰水均变浑浊33．（7分）【实验过程】①稀盐酸Fe 3O 4CO + 3Fe 2O 32Fe 3O 4 + CO 2有气泡冒出【实验反思】（1）abcd（2）认同，若固体是Fe 和Fe 3O 4的混合物，过量的Fe 可与FeCl 3反应生成FeCl 2，加入试剂A 同样能观察到溶液无明显变化。
2014-2015学年北京市西城区初三一模数学试题
北京市西城区2015年初三一模试卷数学2015. 4一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的•11.1的相反数是31 1A. B. - C.3 D. -33 32 •据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五同比下降了32% •将196 000用科学记数法表示应为A.1.96 105B.1.96 104C.19.6 1043.下列运算正确的是3 2 236632A. 3a 3b =6abB. a「a 二aC. a 二aD. a a 二a4.如图是一个几何体的直观图，则其主视图是定各自的跑道.若甲首先抽签，则甲抽到1A. 1B.21号跑道的概率是11C. D.346.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是7.如图，线段AB是O O的直径，弦CD丄AB，如果/ BOC=70 °那么/ BAD等于A. 20 °B. 30C. 35 °D.70A R5.甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1, 2, 3, 4四条跑道，选手以随机抽签的方式决24时，全市共销售烟花爆竹约196 000箱,D. 0.196 106&在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐标是3, 0P=5, 那么该函数的表达式为12A. yB.x12y = -x15 15C. y =D. y =-x x9•为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图•这组数据的众数和中位数分别是A. 6 , 4B. 6 , 6C. 4 , 4D. 4, 610.如图，过半径为6的O 0上一点A作O 0的切线丨，P为O 0上的一个动点，作PH丄丨于点H，连接PA .如果PA=x , AH= y ,那么下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.如果分式一1有意义，那么x的取值范围是x —512.半径为4cm，圆心角为60°勺扇形的面积为 2cm .._ 213.分解因式：12m -3 =14.如图，△ ABC中，AB=AC,点D, E在BC边上，当—△ ABD ◎△ ACE .（添加一个适当的条件即可）15.如图是跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，以O为横板AB的中点，AB绕点O上下转动，横板AB 的B端最大高度h是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2 m,OC= 0.5 m,通过计算得到此时的h1,再将横板AB换成横板A B', O为横板A'B的中点，且A'B' 3m，此时B点的最大高度为h2,由此得到h1与h2的大小关系是：h1 h2 （填“〉”、“=”或“V” ）.可进一步得出，h随横板的长度的变化而（填“不变”或“改变”）.16.如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1,现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A，第2次从点A向右移动6个单位长度至点A，第3次从点A向左移动9个单位长度至点A，,，按照这种移动方式进行下去，点A表示的数是_，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.计算：诉2+ n2008）（1）- -6tan30 .18.如图，/ C=Z E ,Z EAC= / DAB , AB=AD . 求证：BC=DE .19.解不等式组丿2一x'°，35x +1 p>4x —8.20.先化简，再求值:a2 3a ...a 3a2 2a 1 a 1，其中a =2 .£21.从北京到某市可乘坐普通列车或高铁.已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米•如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的 2.5倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时.求高铁的平均速度是多少千米/时.22.已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x - m(m • 2) = 0.(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若x二-2是此方程的一个根，求实数m的值.四、解答题(本题共20分，每小题5分)23.如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC,垂足为点F, E为四边形ABCD外一点，且/ ADE = / BAD ,AE 丄AC.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如果DA 平分/ BDE , AB=5, AD=6,求AC 的长.24 •在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式•据调查，新票价改革政策的实施给北京市 轨道交通客流带来很大变化•根据 2015年1月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图.调价后部分线路客流馱及变化率调价后不同里程对应票价及客流量变化图根据以上信息解答下列问题： （1）补全扇形图；（2） 题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程x （千米）在范围内的客流量下降最明显•对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计 2016年1月这条线路的日均客流量将达到万人次； （精确到0.1）（3） 小王同学上学时，需要乘坐地铁 15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次•问：调价后小王 每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出元. （不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次 乘坐地铁票价为2元）市民过去四周乘坐地铁的次数扇形图2014^1 月日均甞流荒 2015年1月 日均客流輦⑷号线154.0 -14,87 1号线110.7 -14.71 2号线 124.81018 -16.835号线 曲88413号线 80.4 72+7 -9.58 6号绘 62.4 7L2 14J0 9号线 44.1 40占 -7J26 E 号线 26.3 30.4 15J59 八通线 31.9 27.6 -13.4815号线 1X5 173 2845昌平线 14-7 15.9 846 亦庄线 17.0 15.6-8^4 房山线9.5 9,2-3.163.22.8 -1250无30J&—驻程（千米）12<i^22 22<x^32 32<x^52 52<r^72 72<x^92客流量变化率（麗）-8.8 -8.0 -7.6 -72 S.6-15.2 -13臬价｛元｝3456789毎周10次或以上12J%29.7%9.0%0.0% -2.0%-AM-6.0% -8,0% -10.0% -12.0% -14.0%25.如图，AB为O O的直径，M为O O外一点，连接MA与O O交于点C,连接MB并延长交O O于点D，经过点M的直线I与MA所在直线关于直线MD对称.作BE丄I于点E,连接AD, DE .(1)依题意补全图形；(2)在不添加新的线段的条件下，写出图中与/ BED相等的角，并加以证明.26•阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题:1 1如果a, B都为锐角，且tan a = - , tan P =-，求a + P的度数.2 3小敏是这样解决问题的：如图1,把:放在正方形网格中，使得.ABD = • CBE =2，且BA, BC在直线BD的两侧，连接AC,可证得△ ABC是等腰直角三角形，因此可求得J = / ABC=°请参考小敏思考问题的方法解决问题：3如果:-,-都为锐角，当tan: -4 , tan『'：一时，在图2的正方形网格中，禾U用已作出的锐角5/ MON= a —B ,由此可得 a - P = ________ °.a,画出五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)227、已知二次函数％=x bx c的图象G经过(-1,0), (0,-3)两点.(1)求C i对应的函数表达式；(2)将G先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线C2，将C22对应的函数表达式记为y^x mx n，求C?对应的函数表达式；(3)设y3 =2x 3 在(2)的条件下，如果在-2 < x w a内存在某一个x的值，使得y2w y3成立，利用函数图象直接写出a的取值范围.28、△ ABC中，AB=AC .取BC边的中点D，作DE丄AC于点E,取DE的中点F，连接BE, H.(1) 如图1，如果.BAC =90 ,(2)AF那么.AHB 二, 二；BE猜想.AH［的度数和AF的值，并证明你的结论;BE如图2，如果ZBAC =60 ,AF交于点29、给出如下规定：两个图形G i和G2,点P为G i上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.在平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点.(1)____________________________________________________________ 点A的坐标为A(1,0)，则点B(2,3)和射线0A之间的距离为___________________________________________ ，点C(/,3)和射线0A之间的距离为_________ ;k(2)如果直线y=x和双曲线y 之间的距离为、2，那么k=;(可在图1中进行研究)x(3)点E的坐标为(1, .. 3)，将射线0E绕原点0逆时针旋转60，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线0E, 0F之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M .①请在图2中画出图形M ,并描述图形M的组成部分；(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)②将射线0E , 0F组成的图形记为图形W，抛物线y = x2- 2与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离.-5 -+ -3 ^2 -10 1 J 3 4 5 1北京市西城区2015年初三一模试卷数学试卷参考答案及评分标准2015. 4题号12345678910答案B A C C D A C A B C 、填空题（本题共18分，每小题3分）111213141516x鼻58n33(2m+1 )(2m—1 )BD=CE, / BAD= / CAE , Z ADB = / AEC,BE=CD, Z BAE= Z CAD , Z ADE = Z AED ,AE=AD (只填一个即可)一 ?不变7, 1317 .解：J12+（n2008 0 •（；）」-6tan30=2 3 12—6 34 分3= 2 -3 3 - 2 .3=3v ♦））））））））））））））））））））））））））））18.证明：如图1 .•••/ EAC= / DAB,二匚EAC Q = DAB ,/1 . 即/ BAC= / DAE 在厶ABC和厶ADE中，-C =• E,:—BAC - DAE,,,,,,,,,,AB =AD,由① 得x >2I—I—I : I 'J，八J •）））））））））））））））））））））））））由②，得15x 3 4x -8 .移项，合并，得11x -11 .19.解: 2 -x 空0,3 5x 1 4x -8.4分5分所以原不等式组的解集为 x_2 .2a 3a a 3 1—2 ' —a 2a 1 a 1 a 1_ a a 3 a 31 ----------------- 2(a +1) a +1 a +1 a a 3 a 1 12 —a 1 a 3 a 1=a 1= --a 1 a 1=a —1 = • 门门门门门门门门门门门门门门门a 1当 a =2 时 原式= ------- =—.””，”” ””” ”””， 2+1 3 21 .解：设普通列车的平均速度为 x 千米/时.则高铁的平均速度是 2.5x 千米/时.400 520依题意，得 ----- 3. ”，””，”，””2.5xx解得 x = 120经检验，x 二120是原方程的解，且符合题意. 所以 2. 5x = 300 . 答：高铁的平均速度是 300千米/时 22. (1)证明：厶-I -2(m -1) f 4m(m 2)2 2 =4m -8m 4 4m 8m2—8m 4. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1分 ••• 8m 2 > 0,2••• 8m 2 +4 > 02 分•••方程总有两个不相等的实数根.,,,,,,,,,,,,,,,3分(2)解：T x =「2是此方程的一个根，2• (-2) -2 (-2)(m-1)-m(m 2)=0.整理得m - 2m =0 . 解得m =0 ,也=2 .四、解答题(本题共 20分，每小题5分) 23. (1)证明：T ADE =/BAD ,AB // ED1 分•/ BD 垂直平分AC ,垂足为F , • BD _AC , AF=FC .又••• AE _ AC , • . EAC = DFC =90 . • AE // BD .20.解:3分 4分 5分1分2分3分 4分5分•••四边形ABDE 是平行四边形.(2)解：如图2，连接BE 交AD 于点0. •/ DA 平分/ BDE ,•••/ ADE= / 1.又••• . ADE = . BAD , •••/ 1= / BAD . • AB= BD 3分• ABDE 是菱形. ■/ AB= 5, AD= 6,1• BD=AB= 5, AD_BE , OA 二 AD =3 .2在 Rt △ OAB 中，OB 二■. AB 2 -OA 2 =4 .24•解：(1)补全扇形图如图3所示.，,,,,,，1分(2)2 号线，52 V x W 72 , 22.2.(各 1 分)4分5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1八(3)30.,,,,,,,,,,,,,,,5分•/ AB 为O O 的直径，• . ACB =90，即 BC _ MA . 又••• BE _1 , ■/ MC =MB cos £1 , ME = MB cos £2 , • MC=ME .又••• C , E 两点分别在直线 MA 与直线l 上, 可得C , E 两点关于直线 MD 对称. • 3 二 BED . ,,,,,,,4 分又•••乙3 ZBAD ,•- BAD 二.BED . ,,,,,,5 分26.解：45. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1 分25.解：(1)依题意，补全图形如图4* • ))5!，”1分(2)— BAD .,,,,,,,,,,,,,,2分证明：如图5,连接BC , CD .T 直线l 与直线 MA 关于直线MD 对称,•仁/2 .,,,,J 5 5 5 53分財E11S ABDAD O B = BD AF , 2 2• 6 4 =5AF .解得 AF =4.8 .,,,,,,,,,,4分•/ BD 垂直平分AC ,• AC =2AF =9.6 .,,,,, ,,, 5 分注：其他解法相应给分. C图2iff 艮过土四間義塑地铁的机數JS 世區12.2419 7*加用|瞰戒上1XM图4MK图5r --------- T ---------- 1 ---------- 1 --------- v ------- 1 ---------- 1 --------- 厂 I I I k I I I h画图见图6.,,,,,, 45.,五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8 分）227.解：（I ）：•二次函数 y i =x bx c 的图象 C i 经过（-1,0） , （0,-3）1 —b c =0, c 二—3.解得b 」2,c ■ -3.•抛物线C 1的函数表达式为 ％ = x 2 一 2x - 3.(2)T y 1 =X 2 -2x -3=(x -1)2 -4 ,•••抛物线C i 的顶点为（1,-4）.,,AF _三 BE 一 2 .证明：如图8,连接AD .•/ AB=AC ,Z BAC=60° ,• △ ABC 是等边三角形. •/ D 为BC 的中点， • AD 丄 BC .•••/ 1 + / 2=90° . 又••• DE 丄 AC ,•••/ DEC =90° .•••/ 2+ / C=90° .•••/ 1 = / C=60° .设 AB=BC=k ( k 0 ),1 k则 CE = CD , DE2 4••• F 为DE 的中点，3 "8 k ，DFCE1•- DF DE2 .AD _3 • • ---- — ---BC 2 'AD□ AB2•平移后抛物线C 2的顶点为（0,0）, 它对应的函数表达式为 y 2 =x 2. , 5分(3) a > -1 (见图 7).,, 128 .解：(1) 90,—.,,,,,,,,,,,,,,,,2(2)结论： ZAHB =90 ,.AD DF "■--------------- = ------------------------ •5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5! BC CE15 5 5 5 5 5 5 5 5 53分又•••/ 1=/ C ,•••△ ADF B CE .,,, 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 54分.AF AD 品BE 一 BC 一 2，，5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 55分/ 3= / 4.又•••/ 4+ / 5=90°, /5= / 6,:丄 3+ / 6=90° .•匚AHB =90 .,,,,,,,,5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 56分(3) — tan (90 …).,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 27分注：写1 c°s-或其他答案相应给分.2sin :-29.解：（1） 3,13 .（每空各 1 分）,,,,,15 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 52分(2) -1 . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4分（3）①如图9,过点0分别作射线OE 、OF 的垂线 OG 、OH ，则图形M 为：y 轴正半轴，/ 【GOH的边及其内部的所有点（图中的阴影部分） •5 5 5 5 5 5 5 57分说明：（画图2分，描述1分）（图形M 也可描述为：y 轴正半轴，直线y F 方重叠的部分（含边界））8•分9图。
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参考答案一、选择题ACAB CCDB二、填空题 9.2(3)y x - 10.8 11.①③ 12.5；5n三、解答题13.12-14.－3＜x ≤1；3x =不是其解 15.2y x =-+；1AOP S =16.略17.由根的判别式得22b a =，代入原式化简得2 18.（1）300；60；99；132；9 （2）72°19.抢险车20km/时，吉普车30km/时。
注意分式方程要检验20.（1）BN=5；（2）163(25)922S =+⨯=21.（1）连接BO ，证明略；（2）易证△ABO 为正三角形，于是∠E=∠C=30°，所以△BFE ∽△AFC由cos ∠BFA=23BF AF =设△AOC 面积为S ，因此有239()824S ==，解得S=18 22.（1）1:2；121 （2）正三角形、正六边形 （3）如图A 3A 2A 1A23.略24.（1）30°；60°(2)2182y x =-+；（3）5个；222(3,)33；222(3,)33-；416(3,)33- 25.（1）如图，PEFC ABD过点E 作EF ⊥AE ，使EF=BD ，构造全等三角形，易证△DCA ≌△AEF （SAS ）从而△AFD 是等腰直角三角形 再利用四边形EFDB 是平行四边形得EB ∥FD ，于是∠APE=∠ADF=45° （2）如图FPEDCAB方法同（1），构造相似，判断含30°的直角三角形，从而得∠APE 是30°注：本试卷答案仅为参考答案，系本人仓促间所作，错漏之处请批评指正。
另外本人对23题存有异议，故答案暂略。
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北京市西城区 2015 年初三一模试卷数学2015. 4一、选择题 ( 本题共30 分，每小题 3 分 )下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．1的相反数是311C. 3D.3 A. B.332．据市烟花办相关负责人介绍，2015 年除夕零时至正月十五24 时，全市共销售烟花爆竹约196 000 箱，同比下降了32%．将 196 000 用科学记数法表示应为A. 1.96105B. 1.96104C. 19.6104D. 0.196 1063．下列运算正确的是A. 3a3b 6abB. a3a a2C. a23a6D. a6a3a24．如图是一个几何体的直观图，则其主视图是5．甲、乙、丙、丁四名选手参加100 米决赛，赛场共设1， 2， 3， 4 四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到 1 号跑道的概率是A. 11C.11 B.3D.246．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是7．如图，线段AB 是⊙ O 的直径，弦CD 丄 AB，如果∠ BOC=70 °，那么∠ BAD 等于A. 20°B.30 °C. 35°D.70°8．在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 P 在反比例函数的图象上，如果点 P 的纵坐标是 3，OP= 5，那么该函数的表达式为1212A.yB.yx x1515C. yD. yx x9．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50 名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这组数据的众数和中位数分别是A. 6 ，4B. 6 ， 6C. 4，4D. 4， 610．如图，过半径为 6 的⊙ O 上一点 A 作⊙ O 的切线l， P 为⊙ O 上的一个动点，作PH ⊥l于点 H，连接 PA．如果 PA= x， AH= y，那么下列图象中，能大致表示y 与x的函数关系的是二、填空题 (本题共 18 分，每小题 3 分 )11．如果分式1有意义，那么x 的取值范围是．x 512．半径为 4cm，圆心角为60°的扇形的面积为cm2．13．分解因式：12m2 3 =．14．如图，△ ABC 中， AB=AC ，点 D，E 在 BC 边上，当时，△ ABD ≌ △ACE．（添加一个适当的条件即可）15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以 O为横板 AB 的中点， AB 绕点 O 上下转动，横板 AB．．的 B 端最大高度 h 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB= 2 m，OC= 0.5 m，通过计算得到此时的h1，再将横板 AB换成横板 A′B′， O 为横板 A′B′的中点，且 A′B′=3m，此时 B′点的最大高度为h2，由此得到h1与 h2的大小关系是： h1 h2（填“＞”、“＝”或“＜” ）．可进一步得出， h 随横板的长度的变化而（填“不变”或“改变” ）．16．如图，数轴上，点 A 的初始位置表示的数为1，现点 A 做如下移动：第 1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，第2次从点 A1向右移动6个单位长度至点 A2，第3次从点 A2向左移动9个单位长度至点A3，,，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数是，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．三、解答题 (本题共 30分，每小题 5分 )17．计算：12π0 1 )1 6 tan30 ．2008(218．如图，∠ C=∠ E，∠ EAC=∠ DAB， AB=AD ．求证： BC=DE ．2 x0，19．解不等式组3 5x 1 4x8.a23a a 3120．先化简，再求值：，其中a 2．a22a 1 a 1 a 121．从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程是400 千米，普通列车的行驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的 2.5 倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用 3 小时．求高铁的平均速度是多少千米/时．22．已知关于 x 的一元二次方程x22( m1) x m(m 2) 0 .（ 1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（ 2）若x 2 是此方程的一个根，求实数m 的值．四、解答题 ( 本题共 20 分，每小题 5 分 )23．如图，四边形 ABCD 中，BD 垂直平分 AC，垂足为点 F ，E 为四边形 ABCD 外一点，且∠ ADE =∠ BAD ，AE⊥ AC．（1）求证：四边形 ABDE 是平行四边形；（2）如果 DA 平分∠ BDE ， AB= 5，AD= 6，求 AC 的长．\24．在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的实施给北京市轨道交通客流带来很大变化．根据 2015 年 1 月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．根据以上信息解答下列问题：（ 1）补全扇形图；（ 2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程x（千米）在范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016 年 1 月这条线路的日均客流量将达到万人次；（精确到 0.1）（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9 公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问：调价后小王每周（按 5 天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出元．（不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为 2 元）25．如图，AB为⊙ O 的直径，M为⊙ O 外一点，连接 MA 与⊙ O 交于点 C，连接 MB 并延长交⊙ O 于点D，经过点 M 的直线 l 与 MA 所在直线关于直线 MD 对称．作 BE⊥ l 于点 E，连接 AD， DE．（ 1）依题意补全图形；（ 2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED 相等的角，并加以证明．26．阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan 11的度数．， tan，求23小敏是这样解决问题的：如图 1，把，放在正方形网格中，使得 ABD， CBE，且 BA，BC 在直线 BD 的两侧，连接AC，可证得△ ABC 是等腰直角三角形，因此可求得=∠ ABC=°.请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果，都为锐角，当 tan 4 ， tan 32 的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出时，在图5∠ MON=，由此可得=______°.五、解答题 (本题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分 )27、已知二次函数 y 1 x 2 bx c 的图象 C 1 经过 ( 1,0) ， (0, 3) 两点．（ 1）求 C 1 对应的函数表达式；（ 2）将 C 1 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得到抛物线 C 2 ，将 C 2对应的函数表达式记为y 2 x 2 mx n ，求 C 2 对应的函数表达式；3y 3 2x 3 ，2 x ≤ a．．x（ ）设在（ ）的条件下，如果在 2 ≤ 内存在 某一个的值，使得 y 2 ≤ y 3 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．28、 △ ABC 中， AB=AC ．取 BC 边的中点 D ，作 DE ⊥ AC 于点 E ，取 DE 的中点 F ，连接 BE ， AF 交于点H ．（ 1）如图 1，如果BAC 90 ，那么 AHB ，AF；BE（ 2）如图 2，如果 BAC60 ，猜想AHB 的度数和AF的值，并证明你的结论；BE（ 3）如果BAC ，那么AF．（用含的表达式表示）BE29、给出如下规定：两个图形G1和 G2，点P为 G 1上任一点，点Q 为G2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形 G1和 G2之间的距离．在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点．（1）点 A 的坐标为A(1,0)，则点B(2,3)和射线 OA 之间的距离为 ________，点C ( 2,3)和射线 OA 之间的距离为 ________；（ 2）如果直线 y=x 和双曲线y k2 ，那么 k=；（可在图 1 中进行研究）之间的距离为x（ 3）点 E 的坐标为 (1, 3 )，将射线 OE 绕原点 O 逆时针旋转60 ，得到射线 OF ，在坐标平面内所有和射线 OE， OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ．①请在图 2 中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）②将射线 OE ，OF 组成的图形记为图形W，抛物线y x2 2 与图形M的公共部分记为图形N ，请直接写出图形 W 和图形 N 之间的距离．北京市西城区2015 年初三一模试卷数学试卷参考答案及评分标准2015. 4一、选择题（本题共30 分，每小题 3 分）题号12345678910答案B A C C D A C A B C 二、填空题（本题共18 分，每小题 3 分）1112131415168BD=CE，∠ BAD=∠ CAE，∠ ADB =∠AEC，=，x 3 2m1 2m 1 BE=CD，∠BAE=∠CAD，∠ADE =∠AED，57， 13不变3AE=AD（只填一个即可）三、解答题（本题共30 分，每小题5 分）17．解：0( 1)16tan3012 π 200823= 2 3 1 2 6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分3=2 3 3 2 3=3． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分18．证明：如图1．∵∠ EAC=∠DAB ，∴ EAC1DAB1．即∠ BAC=∠DAE ．,,,,,,,, 1 分在△ ABC 和△ ADE 中，C E,BAC DAE , ,,,,,,,,, 3 分图 1AB AD ,∴△ ABC≌△ ADE ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分∴ BC = DE ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分2x，①19．解：14x8. ②3 5x由①，得 x 2 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2 分由②，得 15x 3 4x 8 ．系数化 1，得 x 1 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4 分所以原不等式组的解集为 x2 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5 分20．解：a 2 3aa 3 1a22a 1 a 1a 1=a a3a 31 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 分a2a1a 11a a3 a 11a2a 3 a 11= a1 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 分a 1 a1= a1．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4 分a 1当 a2 时， 原式 =211．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分2 1 321．解：设普通列车的平均速度为 x 千米 / 时． ,,,,,,,,,,,,,,,,, 1 分则高铁的平均速度是2.5x 千米 /时．依题意，得400 3520 ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 分2.5xx解得 x120 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 3 分 经检验， x 120 是原方程的解，且符合题意． ,,,,,,,,,,,, 4 分所以 2. 5x 300 ．答：高铁的平均速度是300 千米 /时 . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5 分22．（ 1）证明：2(m 1) 24m( m 2)4m 2 8m 4 4m 28m8m 2 4 ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1 分∵ 8m 2 ≥ 0，∴ 8m 2 4 ＞ 0． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 分∴方程总有两个不相等的实数根． ,,,,,,,,,,,,,,,3 分（ 2）解：∵ x2 是此方程的一个根，∴ ( 2)22 ( 2)(m 1)m(m 2) 0 ．22m 0 ．整理得 m解得 m 1 0 ， m 2 2 ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5 分四、解答题（本题共20 分，每小题 5 分）23．（ 1）证明：∵ ADE BAD ，∴ AB ∥ ED ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1 分∵ BD 垂直平分 AC ，垂足为 F ，∴ BDAC ， AF=FC ．又∵ AE AC ，∴EAC DFC90 ．∴四边形ABDE 是平行四边形． ,,,,,,,,,,,,,,,,（2）解：如图 2，连接 BE 交 AD 于点 O．∵DA 平分∠ BDE，∴∠ ADE= ∠ 1．又∵ ADE BAD ，∴∠ 1= ∠ BAD ．∴ AB= BD ．,,,,,,,,,,,, 3 分∴ ABDE 是菱形．∵ AB= 5， AD= 6，∴ BD=AB= 5，AD BE ，OA 1AD 3 ．2在 Rt△OAB中，OB AB2OA2 4 ．∵ S V ABD 11AD OB BD AF ，22∴ 6 4 5 AF ．解得 AF 4.8 ．,,,,,,,,,, 4 分∵ BD 垂直平分 AC，∴ AC 2 AF9.6 ．,,,,,,,, 5 分注：其他解法相应给分．24．解：（ 1）补全扇形图如图 3 所示． ,,,,,,, 1 分（2） 2 号线， 52＜ x≤ 72 ， 22.2．（各 1 分）,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分（ 3） 30．,,,,,,,,,,,,,,, 5 分25．解：（ 1）依题意，补全图形如图4． ,,,,,, 1 分（ 2）BAD ．,,,,,,,,,,,,,, 2 分证明：如图5，连接 BC， CD．∵直线 l 与直线 MA 关于直线MD 对称，∴12．,,,,,,,,, 3 分∵ AB 为⊙O的直径，∴ACB 90 ，即BC MA ．又∵ BE l ，∵ MC MB cos 1 ， ME MB cos 2 ，∴MC=ME ．又∵ C， E 两点分别在直线 MA 与直线 l 上，可得 C， E 两点关于直线 MD 对称．∴3BED ．,,,,,,, 4 分又∵3BAD ，∴BAD BED ．,,,,,, 5 分26．解： 45． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1 分2 分图2图 3图 4图 511画图见图 6．,,,,,,,,,,,,,,, 3 分45． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）27．解：（ 1）∵二次函数y1x2bx c 的图象C1经过 ( 1,0) ， (0,3)两点，1 b c 0,1 分∴,,,,,,,,,,,,c 3.b2,2 分解得,,,,,,,,,,,,,c 3.∴抛物线 C 的函数表达式为y1x 22x 3 ．1,,,,,,,,,,,,,, 3 分（ 2）∵y1x2 2 x 3=(x1)2 4 ，图 7∴抛物线 C1的顶点为(1,4) ．,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分∴平移后抛物线 C 2的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为y2x2．,5分（3）a≥1（见图 7）．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,28．解：（ 1） 90，1．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2（ 2）结论： AHB 90， AF3．BE2证明：如图8，连接 AD．∵AB=AC，∠ BAC=60°，∴△ ABC 是等边三角形．∵D 为 BC 的中点，∴ AD⊥ BC．∴∠ 1+∠ 2=90°．又∵ DE ⊥ AC，∴∠ DEC =90°．∴∠ 2+∠ C=90°．∴∠ 1=∠ C=60°．设 AB=BC=k （k0 ），7 分2 分图8则 CE 1CDk， DE3k ．244∵ F 为 DE 的中点，∴ DF 1DE3k ， AD3328AB k ．22∴ AD 3 ， DF 3 ．BC2CE212∴ ADDF ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 3 分BCCE又∵∠ 1=∠ C ，∴△ ADF ∽△ BCE ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分 ∴ AFAD 3 ， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分BEBC 2∠ 3=∠ 4．又∵∠ 4+∠ 5=90°，∠ 5=∠6，∴∠ 3+∠ 6=90°．∴ AHB 90 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6 分（ 3） 1tan （90）． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7 分22注：写 1 cos或其他答案相 分．2sin29．解：（ 1） 3，13 ．（每空各 1 分） ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 分 （2） 1．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4 分（3）①如 9， 点 O 分 作射 OE 、OF 的垂 OG 、OH ， 形 M ：y 正半 ，∠ GOH的 及其内部的所有点（ 中的阴影部分）．,,,,,,,,7 分9明：（画 2 分，描述 1 分）（ 形 M 也可描述 ： y 正半 ，直 y3x 下方与直 y3x33下方重叠的部分（含 界） ）② 4． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分313。
2014年西城区初三数学一模试题及答案
2014年北京西城中考一模数学试卷一、选择题（本题共32分,每小题4分）下列各题均有四个选项,其中只有一个．．是符合题意的．1．2-的绝对值是（）．A．2B．2-C．12D．12-2．2014年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013年全国城镇新增就业人数约为13100000人，创历史新高，将数字13100000用科学记数法表示为（)．A．613.110⨯B．71.3110⨯C．81.3110⨯D．90.13110⨯3．由5个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( ）．4．从1到9这九个自然数中任取一个，是奇数的概率是( )．A．29B．49C．59D．235．右图表示一圆柱体输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（）．A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm6．为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况,小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8,7，14，10，8，9，7（单位：个）．关于这组数据，下列结论正确的是（）．A．极差是6B．众数是7C．中位数是8D．平均数是107．已知关于x的一元二次方程2210mx x+-=有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）．A．1m<-B．1m>C．1m<且0m≠D．1m>-且0m≠8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点(2,3)A为顶点任作一直角PAQ∠，使其两边分别与x轴、y轴的正半轴交于点P，Q．连接PQ，过点A作AH PQ⊥于点H．设点P的横坐标为x,AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）．二、填空题(本题共16分，每小题4分）9．分解因式：2242a a -+=_________．10．写出一个只含字母的x 分式，满足x 的取值范围是2x ≠，所写的分式是：_________． 11．如图，菱形ABCD 中，=60DAB ∠︒，DF AB ⊥于点E ，且DF DC =，连接FC ，则ACF ∠的度数为_________度．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，(2,0)B ，正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向滑动滚动，当点D 第一次落在x 轴上时,点D 的坐标为_________；在运动的过程中，点A 的纵坐标的最大值是_________;保持上述运动过程，经过(2014,3)的正六边形的顶点是_________．三、解答题(本题共30分，每小题5分）13．计算011(21)272cos30()2---+︒+．14．如图，点C ，F 在BE 上,BF CE =，AB DE =，B E ∠=∠． 求证:ACB DFE ∠=∠．15．解不等式组3(1)72113x x x x --<⎧⎪-⎨+⎪⎩．16．已知231x x -=，求代数式2(1)(31)(2)4x x x -+-+-的值．17．列方程（组）解应用题:某校甲、乙两班给贫困地区捐款购买图书，每班捐款总数均为1200元，已知甲班比乙班多8人，乙班人均捐款是甲班人均捐款的1.2倍，求甲、乙两班各有多少名学生．18．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x n =+和反比例函数6y x=-的图象都经过点(3,)A m ．(1）求m 的值和一次函数的表达式; (2）点B 在双曲线6y x=-上，且位于直线y x n =+的下方，若点B 的横、纵坐标都是整数，直接写出点B 的坐标．19．如图,在ABC∥且CE AD∠，CE AD=．=，AD平分BAC△中，AB AC（1)求证:四边形ADCE是矩形；（2）若ABC△是边长为4的等边三角形，AC,DE相交于点O，在CE上截取CF CO=，连接OF,求线段FC的长及四边形AOFE的面积．20．以下是根据北京市统计局分布的20102013-年北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入的数据绘制的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）2012年农民人均现金收入比2011年城镇居民人均可支配收入的一半少0.05万元,则2012年农民人均现金收入是万元，请根据以上的信息补全条形统计图，并标明相应的数据(结果精确到0.1）；(2）在20102013-年这四年中，北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入数额最大的年份是年；（3）①20112013-年城镇居民人均可支配收入的年平均增长率最接近;A．14%B．11%C．10%D．9%②若2014年城镇居民人均可支配收入按①中的年平均增长率增长,请预测2014年的城镇居民人均可支配收入为__________万元（结果精确到0.1)．21．如图,在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，交BC 于点D ，连结OD ，过点D 作圆O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：OD AC ∥； （2)当10AB =，5cos 5ABC ∠=时，求AF 及BE 的长．22．阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系xOy 中,一张矩形纸片OBCD 按图1所示放置，已知10OB =，6BC =,将这张纸片折叠，使点O 落在边CD 上，记作点A ，折痕与边OD （含端点）交于 点E ，与边OB （含端点）或其延长线交于点F ,求点A 的坐标．小明在解决这个问题时发现：要求点A 的坐标,只要求出线段AD 的长即可．连接OA ，设折痕EF 所在直线对应的函数表达式为(0,0)y kx n k n =+<≥，于是有(0,)E n ，(,0)nF k-所以在Rt EDF △中，得到tan OFE k ∠=-，在Rt AOD △中，利用等角的三角函数值相等， 就可以求出线段DA 的长（如图1）．请回答：(1）如图1,若点E 的坐标为(0,4)，直接写出点A 的坐标；（2)在图2中，已知点O 落在边CD 上的点A 处，请画出折痕所在的直线EF （要求：尺规作 图，保留作图痕迹，不写作法）； 参考小明的做法，解决以下问题：（3)将矩形沿直线12y x n =-+折叠，求点A 的坐标；（4）将矩形沿直线y kx n =+折叠，点F 在边OB 上（含端点），直接写出k 的取值范围．23．抛物线23y x kx =--与x 轴交于点A B ，，与y 轴交于点C ，其中点B 坐标为()10k +，． (1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段BC 上,记该抛物线为G 求抛物线G 所对应的函数表达式；（3）将线段BC 平移得到线段''B C （B 的对应点为'B C ，的对应点为'C ），使其经过（2）中所得抛物线G 的顶点M ,且与抛物线G 另有一个交点N ,求点'B 到直线'OC 的距离h 的取值范围．24．四边形ABCD 是正方形，BEF △是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =．连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG CG EC ，，．（1)如图1,若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2）将图1中的BEF △绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问（1)中所得的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程;若不成立，请说明理由．（3）将图1中的BEF △，绕点B 顺时针旋转(090)αα︒<<︒，若1BE =，AB E 、F 、D 三点共线时,求DF 的长及tan ABF ∠的值．备用图图2图1ACBDGFEDBCA25．定义1：在ABC △中,若顶点A 、B 、C 按逆时针方向排列，则规定它的面积为ABC △的“有向面积”；若顶点A 、B 、C 按顺时针方向排列,则规定它的面积的相反数为ABC △的“有向面积”，“有向面积"用S 表示，例如图1中，ABC ABC S S =△△，图2中，ABC ABC S S =-△△．图3DABC图2图1CBAC BA定义2：在平面内任意取一个ABC △和点P (点P 不在ABC △的三边所在直线上)，称有序数组（,,PBC PCA PAB S S S △△△）为点P 关于ABC △的“面积坐标”，记作P (,,PBC PCA PAB S S S △△△)． 例如图3中，菱形ABCD 的边长为2,60?ABC ∠=，则ABCS△点D 关于ABC △的“面积坐标"D (,,DBC DCA DAB S S S △△△）为D ．在图3中，我们知道ABC DBC DAB DCA S S S S =+-△△△△，利用“有向面积”我们可以把上式表示为+ABC DBC DAB DCA S S S S =+△△△△．应用新知:(1)如图4，正方形ABCD 的边长为1，则ABC S =△ ． 点D 关于ABC △的“面积坐标”是 :探究发现：（2）在平面直角坐标系xOy 中，点()0,2A ，()1,0B -．①若点P 是第二象限内任意一点（不在直线AB 上），设点P 关于ABO △的“面积坐标”为(),,P m n k ，试探究++m n k 与ABO S △之间有怎样的数量关系,并说明理由；②若点(),P x y 是第四象限内任意一点，请直接写出点P 关于ABO △的“面积坐标”（用x ，y 表示）； 解决问题：（3）在（2）的条件下，点()1,0C ，()0,1D ,点Q 在抛物线224y x x =++上，求当QAB QCD S S +△△的值最小时，求Q 的横坐标．备用图备用图DCB A2014年北京西城中考一模数学试卷答案一、选择题1．A 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．D 8．D二、填空题9．22(1)a - 10．答案不唯一，12x - 11．15 12．(4,0),2，B 或F三、解答题13．解：原式122=-3=-14．解：∵BF CE =，∴BF CF CE CF +=+， ∴BC EF =， 在ABC △和DEF △中, AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ ABC △≌DEF △（SAS ）， ∴ ACB DFE ∠=∠．15．解：3(1)72113x x x x --<⎧⎪⎨-+⎪⎩①②由①得，5x <, 由②得，4x -, ∴45x -<．16．解：原式2269x x =--2=2(3)9x x --∵ 231x x -=． ∴ 原式7=-．17．解：设乙班有x 名学生,则甲班有(8)x +名，则120012001.28x x =⨯+ 解得40x =．经检验，原方程的解为40x =．答：甲班有48人，乙班有40人．18．解:（1）将3x =，y m =代入6y x=-中， 623m =-=-将3x =，2y =-代入y x n =+中，23n -=+ 5n =- ∴5y x =-(2）(1,6)-或(6,1)-19．（1）∵//CE AD 且CE AD =， ∴四边形ADCE 的平行四边形， ∵AB AC =，AD 平分BAC ∠， ∴AD BC ⊥， ∴90ADC ∠=︒， ∴四边形ADCE 为矩形。
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2014年北京西城中考一模数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．2-的绝对值是（）．A．2B．2-C．12D．12-2．2014年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013年全国城镇新增就业人数约为13100000人，创历史新高，将数字13100000用科学记数法表示为（）．A．613.110⨯B．71.3110⨯C．81.3110⨯D．90.13110⨯3．由5个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）．4．从1到9这九个自然数中任取一个，是奇数的概率是（）．A．29B．49C．59D．235．右图表示一圆柱体输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（）．A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm6．为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7(单位：个)．关于这组数据，下列结论正确的是（）．A．极差是6B．众数是7C．中位数是8D．平均数是107．已知关于x的一元二次方程2210mx x+-=有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）．A．1m<-B．1m>C．1m<且0m≠D．1m>-且0m≠8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点(2,3)A为顶点任作一直角PAQ∠，使其两边分别与x轴、y轴的正半轴交于点P，Q．连接PQ，过点A作AH PQ⊥于点H．设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）．二、填空题(本题共16分，每小题4分)9．分解因式：2242a a -+=_________．10．写出一个只含字母的x 分式，满足x 的取值范围是2x ≠，所写的分式是：_________． 11．如图，菱形ABCD 中，=60DAB ∠︒，DF AB ⊥于点E ，且DF DC =，连接FC ，则ACF ∠的度数为_________度．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，(2,0)B ，正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向滑动滚动，当点D 第一次落在x 轴上时，点D 的坐标为_________；在运动的过程中，点A 的纵坐标的最大值是_________；保持上述运动过程，经过(2014,3)的正六边形的顶点是_________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算011(21)272cos30()2---+︒+．14．如图，点C ，F 在BE 上，BF CE =，AB DE =，B E ∠=∠． 求证：ACB DFE ∠=∠．15．解不等式组3(1)72113x x x x --<⎧⎪-⎨+⎪⎩…．16．已知231x x -=，求代数式2(1)(31)(2)4x x x -+-+-的值．17．列方程（组）解应用题：某校甲、乙两班给贫困地区捐款购买图书，每班捐款总数均为1200元，已知甲班比乙班多8人，乙班人均捐款是甲班人均捐款的1.2倍，求甲、乙两班各有多少名学生．18．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x n =+和反比例函数6y x=-的图象都经过点(3,)A m ．（1）求m 的值和一次函数的表达式； （2）点B 在双曲线6y x=-上，且位于直线y x n =+的下方，若点B 的横、纵坐标都是整数，直接写出点B 的坐标．19．如图，在ABC=．∥且CE AD=，AD平分BAC△中，AB AC∠，CE AD（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若ABC=，连接OF，△是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF CO求线段FC的长及四边形AOFE的面积．20．以下是根据北京市统计局分布的20102013-年北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入的数据绘制的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）2012年农民人均现金收入比2011年城镇居民人均可支配收入的一半少0.05万元，则2012年农民人均现金收入是万元，请根据以上的信息补全条形统计图，并标明相应的数据（结果精确到0.1）；（2）在20102013-年这四年中，北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入数额最大的年份是年；（3）①20112013-年城镇居民人均可支配收入的年平均增长率最接近；A．14%B．11%C．10%D．9%②若2014年城镇居民人均可支配收入按①中的年平均增长率增长，请预测2014年的城镇居民人均可支配收入为__________万元（结果精确到0.1）．21．如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，交BC 于点D ，连结OD ，过点D 作圆O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：OD AC ∥； （2）当10AB =，5cos 5ABC ∠=时，求AF 及BE 的长．22．阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系xOy 中，一张矩形纸片OBCD 按图1所示放置，已知10OB =，6BC =，将这张纸片折叠，使点O 落在边CD 上，记作点A ，折痕与边OD （含端点）交于 点E ，与边OB （含端点）或其延长线交于点F ，求点A 的坐标．小明在解决这个问题时发现：要求点A 的坐标，只要求出线段AD 的长即可．连接OA ，设折痕EF 所在直线对应的函数表达式为(0,0)y kx n k n =+<≥，于是有(0,)E n ，(,0)nF k-所以在Rt EDF △中，得到tan OFE k ∠=-，在Rt AOD △中，利用等角的三角函数值相等， 就可以求出线段DA 的长（如图1）．请回答：（1）如图1，若点E 的坐标为(0,4)，直接写出点A 的坐标；（2）在图2中，已知点O 落在边CD 上的点A 处，请画出折痕所在的直线EF （要求：尺规作 图，保留作图痕迹，不写作法）； 参考小明的做法，解决以下问题：（3）将矩形沿直线12y x n =-+折叠，求点A 的坐标；（4）将矩形沿直线y kx n =+折叠，点F 在边OB 上（含端点），直接写出k 的取值范围．23．抛物线23y x kx =--与x 轴交于点A B ，，与y 轴交于点C ，其中点B 坐标为()10k +，． （1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段BC 上，记该抛物线为G 求抛物线G 所对应的函数表达式；(3)将线段BC 平移得到线段''B C (B 的对应点为'B C ，的对应点为'C )，使其经过（2）中所得抛物线G 的顶点M ，且与抛物线G 另有一个交点N ，求点'B 到直线'OC 的距离h 的取值范围．24．四边形ABCD 是正方形，BEF △是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =．连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG CG EC ，，．（1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2）将图1中的BEF △绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）将图1中的BEF △，绕点B 顺时针旋转(090)αα︒<<︒，若1BE =，2AB =，当E 、F 、D 三点共线时，求DF 的长及tan ABF ∠的值．备用图图2图1ACBDACBDEFGGFEDBCA6432112345123454321O yx25．定义1：在ABC △中，若顶点A 、B 、C 按逆时针方向排列，则规定它的面积为ABC △的“有向面积”；若顶点A 、B 、C 按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为ABC △的“有向面积”，“有向面积”用S 表示，例如图1中，ABC ABC S S =△△，图2中，ABC ABC S S =-△△．图3DABC图2图1CBAC BA定义2：在平面内任意取一个ABC △和点P (点P 不在ABC △的三边所在直线上)，称有序数组（,,PBC PCA PAB S S S △△△）为点P 关于ABC △的“面积坐标”，记作P (,,PBC PCA PAB S S S △△△)． 例如图3中，菱形ABCD 的边长为2，60?ABC ∠=，则ABCS △=3，点D 关于ABC △的“面积坐标”D (,,DBC DCA DAB S S S △△△)为D (3,3,3)-．在图3中，我们知道ABC DBC DAB DCA S S S S =+-△△△△，利用“有向面积”我们可以把上式表示为+ABC DBC DAB DCA S S S S =+△△△△．应用新知：（1）如图4，正方形ABCD 的边长为1，则ABC S =△ ． 点D 关于ABC △的“面积坐标”是 ：探究发现：（2）在平面直角坐标系xOy 中，点()0,2A ，()1,0B -．①若点P 是第二象限内任意一点（不在直线AB 上），设点P 关于ABO △的“面积坐标”为(),,P m n k ，试探究++m n k 与ABO S △之间有怎样的数量关系，并说明理由；②若点(),P x y 是第四象限内任意一点，请直接写出点P 关于ABO △的“面积坐标”（用x ，y 表示）； 解决问题：（3）在（2）的条件下，点()1,0C ，()0,1D ，点Q 在抛物线224y x x =++上，求当QAB QCD S S +△△的值最小时，求Q 的横坐标．123453211231xy O 备用图备用图Oy x132112354321DCB A2014年北京西城中考一模数学试卷答案一、选择题1．A 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．D 8．D二、填空题9．22(1)a - 10．答案不唯一，12x - 11．15 12．(4,0)，2，B 或F三、解答题13．解：原式3133222=-+⋅+ 323=-．14．解：∵BF CE =，∴BF CF CE CF +=+， ∴BC EF =，在ABC △和DEF △中， AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ ABC △≌DEF △（SAS ）， ∴ ACB DFE ∠=∠．15．解：3(1)72113x x x x --<⎧⎪⎨-+⎪⎩①②„由①得，5x <， 由②得，4x -…， ∴45x -<„．16．解：原式2269x x =--2=2(3)9x x --∵ 231x x -=． ∴ 原式7=-．17．解：设乙班有x 名学生，则甲班有(8)x +名，则120012001.28x x =⨯+ 解得40x =．经检验，原方程的解为40x =．答：甲班有48人，乙班有40人．18．解：（1）将3x =，y m =代入6y x=-中， 623m =-=-将3x =，2y =-代入y x n =+中，23n -=+ 5n =- ∴5y x =-（2）(1,6)-或(6,1)-19．（1）∵//CE AD 且CE AD =， ∴四边形ADCE 的平行四边形， ∵AB AC =，AD 平分BAC ∠， ∴AD BC ⊥， ∴90ADC ∠=︒， ∴四边形ADCE 为矩形。