把握概念本质 提升探究教学--对“函数的极值与导数”一课的思考

间一点，点a 在a ,p
p\、
在0 ，那么I PAI +
I PB I 能否最小？A PAB 的周长
能否最小？
3. 5 从理论到实践
:： 的条件、结论
的不断发散，我们不 了一
，也收获了几个重要模
，能 模 应用呢？（我
学生对模
实的编拟与应用，也收到了可喜的效果，很快，便有
了小组编拟与应用 ）
1 在一条河（近似笔直）的同侧有两个
，张庄和 ，两村计划于 共建一水电站,发电 使用，请建立数学模型，设计水电站的位
置，使送电
使用的电线用料最省？
问题2 求函数/（”）=槡槡+ 2” + 2 + 槡”2 - 4” + 5的最小值.
问题3 （2712年3月广东省一模）在三棱锥P
—4BC 中,1P,1B,1C 两两垂直，且AP = AB = AC = 槡，若点D,E 分别在棱PB,PC 上运动（都不含端
）,求AD +DE + EA 的最小值.
四、教学启示
不是新的，但过程却不是旧的，几经思维
“冲浪”，看似平常的 2
它强大的生命力.
一 结束了，相信学生探究数学的工作仍在 •
引例本是常规 ，但一改过 、学
生接受的教学模式，“行散而神不散”，既落实了垂
直和对称知识，又把生成
在 的自主探索和
思 向的发
：一是它激发了学生探究数学的
兴趣和热情；二是
引导学生思维发散的
和方式可迁
他
的探索过程中，其潜在价
值不 ；三是学生
性思维的火花不断碰撞
和相互启发,促进了每位学生思维的发展，使学生看
的角度不 大2 、 、分析问
的能力不 •
“教的最终目的是为了不教”，“授人以鱼，不如
”，教
作的真正意义，不是 的
知识，而应以数学知识为载体，以数学思想和
为
，以提高学生能力和素养为目的••
认
为：“数学知识不是教出来的，而是研究出来的•”所
，我 学生知道数学学习的 是 ；我
注意于数学家所用的工作方式2 它，而
不是 数学 作的结果来组织教学，知识也
会“老”，但思 的 永远“年轻”.
参考文献
[1]郑毓信，中国数学教育的“问题特色” [J]数学教育学
报,2018,27（8） ：3.
把握概念本质 提升探究教学
对“函数的极值与导数”一课的思考
浙江省安吉孝丰高级中学
（313302） 汪本旺
浙江省安吉县教育科学研究中心（313302） 姚文建
高中数学 含大量的 教学，如何把 握 的探究2
效率？人教A, 2-2中函数的极值与导数，是 探究教学的好素材.教学设计的共识是：不能直接告诉学生利用导数直 接 极值，而是在教师的引导下,通过类比 情
推理归纳出结论，获得函数的极值 •教学设计的
难点是 学生的探究难点——导数的介入
（ 用导数 函数的极值） 函数极值与函数
最值的 •笔者结 教学实践，从学生数学学
习的认知角度，探讨函数的极值与导数探究教学的
四 ：如何引起学生对新知识的共鸣？适合学生
探究的起点是 ？？ 学生探究过程中遇到
的难点？关于探究式教学的思考？
一、理解教材
2
情境
程标准：“数学课程应学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实抽象成数学模型并进行解释与应用的过程•”同时建构主义也认为学习并非是对教师所的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程•所以，数学教要掌握数学概念的引•数学的有效引入，可学生思维带到某一的数学情境中，能有效地加深学生对数学与掌握•据此，笔者采用游戏引入，以下是教学片段：
:让学生观起伏的图片思考“山势有什么特点？”
学生间激烈地争论着这个问题，各执一词，情绪高涨•这时笔者已经将学生从“要我学”被动学习情发到“我要学”的积极主动的学习欲望上来，学生能够自觉地参与教学的过程中来.
:结“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由想的起成好多的'“’与“谷点”2数学上要研究的函数的极值一引
国学纳认为教学过程是一出问题、解决问题的持续不断的••的探究问是函数的极值的用导数，函数的极值与函数的最值，其中导数的介入是探究的难点•笔者和同事在教学中分用如下设计思路：
1探究的起点是依托学生课前自主预习，然后课堂上直接给出：可导函数y=/(”),22是极大 值点7'(”2)=2且”2两侧附近导数左正右负.
2探究的起点是
习函数的性与其导
数的2学生观察图
12水面高度最
大时，此点的导数值是多少，
的图像特点，
应的，导数的符号变
化规律？并回答下：
(1)当t<a时h(t)的单调性是________;
(2)当t>a时烈t)的单调性是________;
(3)当t=_________时运动员距水面高度最大2()在此点的导数是________；
4)导数的符号变化规律？
二、基于学生的认知，降低探究起点
导数产生到完备经历了几个世纪，凝聚了数学家的•如今学生“”学习时，在没
教的引导下，导数介函数的极值中是难的.这样的“突然一跳”作为学生的探究起点，难度很大，不免给学生造成好像是“帽子里跳的兔子”•因此，探究的起点应从学生的公式或
的两种教学设计的主要区别是探究的起点不同，但不同的起点都是为了让学生体会函数的极值是最值的，基于学生的认知，寻找函数的极值的一导数介入是个难点•从教学实践来看，设计1中通过学生课前自主预习，课堂学生展示，体现了学生主观能动性.教学过程很流畅，课堂完成例较多，给觉学生的认知过程.但学生经问过：“我感觉求函数的极值很简单，只要把利用导数求极值的可以了，实我并不是是极值，但不影响我做题•”知识遗忘，并且缺少提示导致学生失去探究的兴趣•设计2依托教材设置情境,让学生自主探究，而生成函数极值的．设
计避免了设计1中的学生类比难点，但是学生又的疑问：“怎么想到用导数来函数的极值呢？是不是所有的函数都是要导数等于2的2右两侧的符号呢？如果函数在某一
导数不存在，那又是否为极值点呢？”
学生的反应可以看出2教学设计起点都能学生认知观•但是，在探究过程中学生在情推不是那归纳出函数的极值,特别是用导数函数的极值，觉得“导数的介”不是那么的“合情”，即使部分同学推导数函数的极值，但是函数的极值的
又有难点•例如：=2是函数/(”)=I2I的极值点吗？如果是，是极大值是极小值点呢？那何设计探究过程，难呢？
三、、的本质 探究难点
函数的极值反映的是函数在某一点附近的
性质，而不是函数在整个定义的性质•笔者思是可学生通过观直观的
“局部最值”的初步想法，通过对比函数的最值，引发学生的认知冲突,使学生认识到“局部最值”不同于函数最值,是一个全新的，从而生成函数极值的•针对教学设计，笔者在第二次教学中做了相应修改，下面是笔者的教学：
1观2和图3函数图像，
回答以下问
生：观察分析后发表自己的见解.
教师点评：函数y=/（2）在a点的函数值/（a）比a点两侧他点的函数值都大，它是一个局部的，不同于函数的最值，为了区分函数的最值，我要的定义.
生成（学生归纳）极大值的定义：函数y= /（2）在a点的函数值/（a）比a点两侧他点的函数值都大，我们把a点叫做函数y=/（x）的极大值点2（a）叫做函数y=/（2）的极大值.
:你能类比极大值的定义，给出极小值得定义吗？
概念生成（学生归纳）极小值的定义：函数y= /（2）在a点的函数值/（a）比a点两侧他点的函数值都小，我们把a点叫做函数y=/（2）的极小值点2（a）叫做函数y=/（2）的极小值.
教师点评：极小值点、极大值点统称为极值点,极小值、极大值统称为极值；强调极值点是横坐标,极值是纵坐标.
：
y-t 观察图4,回答下列问
问题2找出图中的极
值点，并说明哪些点为极大值Se/bg h1j*点，哪些为极小值点？
问题3极大值一定大
图4
于极小值吗？
问题4函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？
5区间的端点能成为极值点吗？
教师点评:极值刻画的是函数的局部性质，而最值刻画的是函数的整体性质，是两个不同的概念.
学生对函数的极值有了初步的了解，那么第二难了：用导数求函数的极值呢？这一部分主要是探究求极值的2知识和新的生成，但笔者认为要学生的认知规律•要让学生认识用导数来求极值是通过探究自然而成的•笔者下教学设计：
问题6回到问题1、问题2的图像，这些函数极值附近两侧的图像变化如何？
生：这些函数极值右两侧图像变化趋势是相反的.
:函数图像的上升与下降可以用什么来刻画？
生：单调性.
师：那现在我们知道函数的极值可以用单调性来刻画，那函数性又可以用来刻画呢？
生：函数的导数.
为此，笔者很自然的了的难点，导数来刻画函数的极值•为了解决学生的“是不是所有的函数都是要导数等于2的点2折该右两侧的符号呢？如果函数在某一导数不存在，那又是否为极值点呢？”，笔者下设计：
师：思考如下问题：=2是函数/（2）=I2I的极值点吗？如果是，是极大值是极小值点呢？该的导数存在吗？
生：=2是函数/（2）=I2I的极小值点，且该点处导数不存在.
教师点评:导数为零的点不一定是函数的极值点，一般情况下函数的极值点导数都为2,但有时在极值点导数不一定存在.
可以看出探究“导数介入”难点的认知困难,在学生已有知识的基的形式引导学生关注，排除不括的“干扰”因素，由此完成探究，这是一种教学策略.
四、反思的，总结教学
抽象的知识或的学习都要从学习
良好的引对的教学有极大的帮助•数学一般用精炼、严密、抽象的数学语言来，理解起来 对较难•这也反映出理数学对于教学的重要性.
1•把握概念的，“再创造”式探究
学生在学习时，总会的疑问，数学家是怎么发现知识的•这也给我们一示：数学“再”是设计探究教学的一•教的是在认清概念的下，引导和帮助学生
而不是把现成的知识给学生•让学生在“”过程中体验到：如果的了我们现在的知识，他们是来的（在现有知识基 ，如果积极思考，也可以有重大发现和创•从而学生的意识和能力•）•
2.三个认知层次要环环相扣，符合学生的认知
规律
张熊飞教授在《诱思探究学科教学论》提出学生的认知过程:“观察（探索）一思维（研究）一-一迁移（运用）”，笔者设计了“设置引例、奠定基础一-一思考探究、总结规律一学以致用、提升能力”三个认知层次•在第一个认知层次中，为学习新知识做好准备就行;在第二个认知层次中，更是把“思考探究”作为学生学习的主要方法；在第三个认知层次中，要求学生亲身体验练习，巩固对定义和性质的理解,达到学有所用•这样就做到了环环相扣，前一个认知层次为后一个奠定基础，后一个认知层次是对前一个的深入和升华•在教学活动中，给学生“犯错误、逐步成长、独立自主”的机会，这样学生就能不断地“修正自己、展示自己、完善自己”.
3.合理设置导向性信息，创造高效课堂
每个有效的活动都要坚持落实在教师导向性信息诱导下学生真正地学，都要有明确的目标导向•让学生清楚地知道自己在这一活动中究竟“学什么？怎么学？”•以具体、扼要、明确的学习任务驱动学生的学习活动.笔者深深感受到探究性学习课堂中，学生独立地发现问题、获得自主发展的魅力.在学习活动中，学生收获了知识，培养了能力，增强了信心，这才是真正的高效课堂.
参考文献
[1]丁志伟.“函数的极值与导数”教研课的反思[J].数学教
育与研究,2012（23）：（32-133.
[2]邵琪.探究函数的极值与导数[J].数学学习与研究,
2713（78）;30-90.
高中课本习题教学的一点思考
以一道三角求值题为例
江苏省滦水高级中学(711272)方金宝
普通高中数学课程标准（2214年版）倡导积极主动、勇于探索的学习方式，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式•注重提高学生的数学思维能力，是数学教育的基本目标之一•在新课程理念影响下，我深刻认识到：“教师不应是教课本而是用课本去教”.因此我对课本习题的教学做了尝试和思考，以下是我的习题课教学实录，用以抛砖引玉.
一、教学片段
（苏教版数学必修4第123页第2（4）题）求sinl5°-cosl5°,,
”nl5°+co”5。

的值.
师：大家试试看从不同角度用多种方法来求解此题，有想法的欢迎站起来说说看.
生1可以从角度出发，运用两角差的正余弦公式，化一般角为特殊角.
sinl5°=sin（45°-30°）=sin45°cos30o cos45o sin30°
/23 -32。

)=cos45o oos32°=”45°oin30°=槡-弟+
2丄=槡+槡.™式=-2槡=一槡
2亍=，■-= “=一亍生2：由于32°是15°的二倍，因此，本题也可以上下平方，灵活运用平方关系和二倍角公式，化一般角为特殊角.所以原式7
1+2sinl4o cosS4°
3 cosS5°<2,sinl5°+cosS5°>2,所以原式=_槡
生3：我们也可以运用辅助角公式，去凑角，把一般角化为特殊角.
槡(槡sinl5°-槡cosl5°)
槡(槡sinl5°-槡cosl5°)
(sinl5°-cosl5。

)23*
(sinl5°+cosl5°)2
1-2sinl5o cosS5°1-sin30°
1+sin30°
=*,因为”45°-原式
cnsl5°=cos(45°sinl5°cos45°-cosl5°sin45°=-sin32°sinl5°cos45°+cosl5°siii45°
sin62°。