江苏地区中考数学复习几何计算题选讲新课标

江苏地域中考数学复习几何计算题选讲
几何计算题历年来是中考的热门问题。

几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段 与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的相关计算。

解几何计算题的常
用方法有：几何法、代数法、三角法等。

一、三种常用解题方法举例
例 1． 如图，在矩形 ABCD 中，以边 AB 为直径的半圆 O 恰与对边 CD 相切于 T ，与对角线 AC 交
于 P ，PE ⊥ AB 于 E ， AB=10，求 PE 的长 .
解法一 ：（几何法）连接 OT ， 则 OT ⊥ CD ，且 OT=1
AB ＝ 5
2
BC=OT=5 ,AC=
100 25 =5
5
D
T
C
∵ BC 是⊙ O 切线，∴
2
BC =CP · CA.
P
∴ PC= 5 ，∴ AP=CA-CP=4 5 .
∵ PE ∥BC ∴
PE
AP
，PE=
4 5
× 5=4. A O EB
BC
AC
5 5
说明：几何法即依据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注企图形中的隐含条件 .
解法二 ：（代数法） ∵ PE ∥BC ，∴
PE AE
. ∴
PE CB 1
.
CB
AB
AE
AB 2
设： PE=x ，则 AE=2 x ，EB=10– 2 x . 0
连接 PB. ∵ AB 是直径，∴∠ APB=90.
在 Rt △ APB 中， PE ⊥ AB ，∴△ PBE ∽△ APE . ∴
EB PE 1
. ∴ EP=2EB ，即 x=2（ 10–2x ） .
EP AE
2
解得 x =4. ∴ PE=4.
说明：代数法即为设未知数列方程求解，重点在于找出可供列方程的相等关系，比如：相像三角形中的线段比率式；勾股定理中的等式；订交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其余的相等关系 . 解法三：（三角法）
连接 PB ，则 BP ⊥ AC.设∠ PAB=α 在 Rt △ APB 中， AP=10COS α，
在 Rt △ APE 中， PE=APsin α , ∴ PE=10sin α COS α .
在 Rt △ ABC 中 , BC=5,AC= 5 5 . ∴ sin α=
5 5 5 ,
5 5
10
2 5
5 2 5
=4.
COS α =
5
5
. ∴ PE=10×
5
5
5
说明：在几何计算中，一定注意以下几点：
（ 1） 注意“数形联合” ，多角度，全方向察看图形，发掘隐含条件，找寻数目关系和相等关
系 .
（ 2 ） 注意推理和计算相联合，先推理后计算，或边推理边计算，力争解题过程规范化 .
（ 3 ） 注意几何法、代数法、三角法的灵巧运用和综合运用
.
二 . 其余题型举例
例 2. 如图， ABCD 是边长为 2 a 的正方形， AB 为半圆 O 的直径， CE 切⊙ O 于 E ，与 BA 的延伸线交
于 F ，求 EF 的长 .
剖析：此题观察切线的性质、切割线定理、相像三角形性质、 D
C 以 及
正方形相关性质 . 此题可用代数法求解 .
解：连接 OE ，∵ CE 切⊙ O 于 E ， ∴ OE ⊥ CF ∴△ EFO ∽△ BFC ，
E
∴
OE FE 1 1 1
BC
FB
，又∵ OE= AB=
BC ，∴ EF=
FB
2
2
2
F A O
B
设 EF=x ，则 FB=2x ， FA=2x – 2a
∵ FE 切⊙ O 于 E ∴ FE 2=FA · FB ，∴ x 2=（ 2x – 2a ）· 2x 解得 x =
4
a ， ∴EF= 4
a.
3
3
例 3．已知：如图，⊙ O 1 与⊙ O 2 订交于点 A 、B ，且点 O 1 在⊙ O 2 上，连心线 O 1O 2 交⊙ O 1 于点 C 、D ，
交⊙ O 2 于点 E ，过点 C 作 CF ⊥ CE ，交 EA 的延伸线于点 F ，若 DE=2，AE=2 5 （ 1） 求证： EF 是⊙ O 1 的切线； F
（ 2） 求线段 CF 的长；
（ 3） 求 tan ∠ DAE 的值 .
剖析：（ 1）连接 O 1A ， O 1E 是⊙ O 2 的直径， O 1 A ⊥ EF ，进而知
EF 是⊙ 1的切线 .
A
O
（ 2）由已知条件 DE=2， AE=2 5 ，且 EA 、EDC 分别是⊙ O 的切线
和割
1
C
O 1O 2
E
EA 2=ED ·EC ，可求得 EC=10.由 CF ⊥ CE ，可得
D
CF
线，运用切割线定理
B
是⊙ O 1 的切线，进而 FC=FA.在 Rt △ EFC 中，设 CF=x ，则 FE= x + 2 5 .
又
CE=10，由勾股定理可得： （ x + 2 5 ） 2= x 2+102，解得 x = 4 5 . 即 CF=4 5 .
（ 3）要求 tan ∠ DAE 的值，往常有两种方法：①结构含∠ DAE 的直角三角形；②把求 tan ∠ DAE
的值转变为求某向来角三角形一锐角的正切
（等角转变） . 在求正切值时， 又有两种方法可供选
择：①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值
.
1
解：（ 1）连接 O A ，
∵ O 1E 是⊙ O 2 的直径，∴ O 1A ⊥ EF
∴ EF 是⊙ O 1 的切线 ..
（ 2）∵ DE=2， AE=2 5 ，且 EA 、 EDC 分别是⊙ O 1 的切线和割线 ∴ EA 2=ED · EC ，∴ EC=10
由 CF ⊥CE ，可得 CF 是⊙ O 1 的切线，进而 FC=FA.在 Rt △EFC 中，设 CF= x ，则 FE= x + 2 5 . 又
CE=10，由勾股定理可得： （ x + 2 5 ） 2= x 2+102，解得 x = 4 5 . 即 CF=4 5 .
（ 3）解法一：（结构含∠ DAE 的直角三角形）
作 DG ⊥ AE 于 G ，求 AG 和 DG 的值 . 剖析已知条件， 在 Rt △ A O 1E 中，三边长都已知或可求
（ O 1A=4，
O 1E=6），又 DE=2，且 DG ∥A O （1由于 DG ⊥ AE ），运用平行分线段成比率可求得
DG=
4
,AG
4 5 ,
3
3
进而 tan ∠ DAE= 5
.
5
解法二：（等角转变）
AD 连接 AC ，由 EA 是⊙ O 1 的切线知∠ DAE=∠ ACD.只要求 tan ∠ ACD.易得∠ CAD=90，因此只要求
AC
的值即可
. 察看和剖析图形，可得△
AD AE 2 5 5
ADE ∽△ CAE ，
CE
10
. 进而 tan ∠
AC
5
ACD=
AD
5
，即 tan ∠DAE= 5
.
AC
5
5
说明：（1）从已知条件出发迅速地找到基本图形，获得基本结论，在解综合题时更显出它的基
础性和重要性 . 如此题（ 2）求 CF 的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出 CE 的
长 .
（ 2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要娴熟地掌握
.
例 4. 如图，已知矩形 ABCD ，以 A 为圆心， AD 为半径的圆交 AC 、AB 于 M 、 E ，CE 的延伸线交⊙ A
于 F ，CM=2， AB=4.
（ 1） 求⊙ A 的半径；
F
（ 2） 求 CF 的长和△ AFC 的面积 .
G
解：（ 1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴ CD=AB=4，在 Rt △ ACD 中，
B E
A
2
2
2
22
2
AC=CD+AD ，∴（ 2+AD ） =4 +AD ，解得 AD=3.
（ 2） A 作 AG ⊥ EF
于
G. ∵ BG=3， BE=AB ― AE=1 ， ∴ M
C
D
CE=
BC 2
BE 2
3 2
12
10
2
CD 2
42 8 10 .
由 CE · CF=CD ，得
CF=
10
5又∵∠ B=∠ AGE=90，∠ BEC=∠ GEA ，∴△ BCE ∽ △
CE
GAE.∴
BC
CE ，即 3 10
, S △ AFC = 1 CF ·AG=
36
.
AG
AE
AG
3
2 5
例 5. 如图， △ ABC 内接于⊙ O ，BC=4，S △ ABC = 6 3 ，∠ B 为锐角， 且对于 x 的方程 x 2– 4xcosB+1=0
有两个相等的实数根 .D 是劣弧 AC 上的任一点（点 D 不与点 A 、 C 重合），DE 均分∠ ADC ，交⊙
O
于点 E ，交 AC 于点 F.
A
（ 1） 求∠ B 的度数；
（ 2） 求 CE 的长 .
D 剖析：此题是一道综合了代数知识的几何计算题，观察了圆的相关性
F O
质，解题时应注意线段的转变 .
E
B
HC
解：（ 1）∵对于 x 的方程 x 2– 4xcosB+1=0 有两个相等的实数根，
∴Δ =（ -4cosB ） 2
-4=0. ∴cosB= 1 ，或 cosB=-
1
（舍去） .
2
2
又∵∠ B 为锐角，∴∠ B=600.
（ 2） 点 A 作 AH ⊥ BC ，垂足为 H. S △ ABC = 1 BC ·AH=1
BC · AB · sin60 0=6
3 ，解得 AB=6
2 2
在 Rt △ ABH 中， BH=AB · cos60 =6×
10
2
=3， AH=AB ·sin60 =6×
3 3
3
，∴
CH=BC-BH=4-3=1.
2
2
2
∴ AC=
2 7 （负值舍去） . ∴ AC=2 7 . 连接 AE ，在圆内接四
在 Rt △ ACH 中， AC+CH=27+1=28.
边形 ABCD 中， ∠ B+∠ ADC=180，∴∠ ADC=120.
又∵ DE 均分∠ ADC ，∴∠ EDC=60=∠ EAC. 又
∵∠
AEC=∠B=600，∴∠ AEC=∠EAC ，∴ CE=AC=2 7 .
例 6. 已知：如图，⊙ O 的半径为 r ， CE 切⊙ O 于点 C ，且与弦 AB 的延伸线交于点 E ， CD ⊥ AB 于 D. 假如 CE=2BE ，且 AC 、BC 的长是对于 x 的方程 x 2–3（ r – 2）x+ r 2– 4=0 的两个实数根 . 求（ 1）AC 、
BC 的长；（2） CD 的长 .
剖析：（ 1）图中明显存在切割线定理的基本图形，进而可得△ ECB ∽△ EAC ，AC=2BC.又∵ AC 、BC
是方程的两根，由根与系数关系可列出对于 AC 、 BC 的方程组求解 . （ 2）∵ CD 是 Rt △ CDB 的一
边，因此考虑结构直角三角形与之对应 . 若过 C 作直径 CF ，连接 AF ，则 Rt △ CDB ∽ Rt △ CAF ，据此
可列式计算 .
解：（ 1）∵ CE 切⊙ O 于 C ，∴∠ ECB=∠ A. 又∵∠ E 是公共角，∴ C
△ ECB ∽△ EAC ，
BC
BE 1
，∴ AC=2BC.由 AC 、BC 的长是
A
D B
E
AC
CE
2
对于 x 的方程 x 2–3（ r – 2）x+ r 2–4=0 的两个实数根， ∴ AC+BC=3 O
（ r-2 ）； AC · BC=r 2-4 ，解得 r=6 ，∴ BC=4， AC=8.
（ 2） CO 并延伸交⊙ O 于
F ，连接 AF ，则∠ CAF=90，∠ CFA=
F
∠ CBD. ∵ ∠ CDB=90= ∠ CAF ， ∴ △ CAF ∽ △ CDB ，
AC CF . ∴CD=AC BC 8 4 8 .
CD BC CF 12 3
说明：（ 1）这是一道代数、几何的综合题，重点是找寻相像三角形，成立线段之间的比率关系，再依据根与系数关系列等式计算； （ 2）结构与相像的直角三角形的方法有很多种，同学们不如试一试 .
例 7. 如图，△ ABC 内接于⊙ O ， AB 是⊙ O 的直径， PA 是过 A 点的直线，∠ PAC=∠ B.
（ 1）求证： PA 是⊙ O 的切线；
（ 2）假如弦 CD 交 AB 于 E ， CD 的延伸线交 PA 于 F ， AC=CE ∶ EB=6∶ 5， AE ∶ EB=2∶3，求
长和∠ FCB 的正切值 .
P
1）∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ 0
解：（
ACB=90. ∴∠ CAB+∠ B=90 ，又∠
C
PAC=∠B ，∴∠ CAB+∠ PAC=90. 即 PA ⊥AB ，∴ PA 是⊙ O 的切线 .
（ 2） 设 CE=6a,AE=2x, 则 ED=5a ， EB=3 x.
A
O
AB 的
B
由订交弦定理，得
2x ·3x=5a · 6a ∴ x= 5 a. 连接 AD.由△ BCE ∽
F D
△ DAE ， 得
BC
EB 35
.连接 BD. 由 △ BED ∽ △ CEA ， 得
AD
ED
5
BD BE 5 .
∴ BD=4 5 .由勾股定理得BC=AB282，AD= AB (4 5)2.
4 / 5
∴AB282 3 5. 两边平方，整理得AB2100 ，∴ AB10 （负值舍去）.
AB2(45) 25
∴ AD=25. ∵∠ FCB=∠ BAD，∴ tan ∠ FCB= tan ∠BAD=BD
452.
AD25
解几何计算题要求我们一定掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，剖析问题时应注意剖析法与综合法的同时运用，还特别要注企图形中的隐含条件，在平常的学习中要擅长
总结概括，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.。