第三讲 鸟头模型

CE BC ， AF AC ，求三角形 DEF 的面积.
F A B D
学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 3
1 C
E
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【答案】7
S△DBE BD BE 2， 【分析】 这道题是对应第二单元例 2 的作业. 由鸟头模型， 故 S△BDE 2S△ABC 2 ， S△ABC BA BC
12 34 12 34 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ； ； ；下 4 题： (12 56) (34 78) 68 112 56 (1 3) 4 4 4 8 (2 4) 3 6 3 9 67 67 3 34 12 34 12 34 ； (6 8) 5 14 5 5 (34 56) 78 90 78 585
【点评】注意某些夹边需要将已知线段长度相加；注意在计算时一定要先约后乘.
【第一单元 3】 （2）如图，园林小路由白色正方形石板和红、青两色的三角形石板铺成. 问：内圈 红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？
【答案】一样大 【分析】本题即为例 3（1）的多次重复；每一个红色三角形，均和与其有公共顶点的青色三角形构成 有互补内角的鸟头模型，其面积相等，故知 S红 S青 . 【基础、 提高作业 3】 如图， 已知三角形 ABC 面积为 1， 分别延长 AB、 BC、 CA 至 D、 E、 F， 使 BD AB ，
【点评】把条件中的 2、3 改为 x、y，就将是鸟头模型的一般证明. 从证明过程可以看出，鸟头模型是 使用两次等高模型得来的，进一步地说：共角模型的基础是共边模型. 三道小题的证明方法完全相同，这正是因为鸟头模型的特征是角（相等或互补的角） ，而不是 位置. 这一点在第一单元的例 3 中体现得最为明显. 例 2 对寻找夹边长度给出了相应练习，这一类题目是重要的，在这里提供几道练习题：
相等：
共角
对顶角
平行线
互补：
组成平角
双直角（既相等又互补）
周角减去180度
【点评】 其中最常见的是最左边两个图. 课本第一单元的例 1 就是讨论了共角、 对顶角和组成平角这三 种情况的最简单的鸟头模型；第一单元例 3 就是最后一个图的情况，两矩形有 1 个公共顶点时要 记得考虑这种情况；第一单元超常班例题是双直角情况，进一步可拓展为：若一个四边形的四个 顶点共圆，则其内部对角互补（初中知识，不要求学生掌握）. 【扩展阅读】 鸟头模型的本质：若固定一个角，再将这个角的两个夹边的长度固定，易见三角形就随之固定了， 换句话说， 一个内角的度数和它的两个夹边的长度将决定这个三角形的面积. 显然， 将夹边拉得越 长，三角形的面积越大；张角约接近 90 度，三角形的面积越大. 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 1
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 其本质就是初中将要学习的三角函数的一部分内容：
S△ABC ABຫໍສະໝຸດ AC sin A ；【点评】从这条定理可以看出许多有用的规律（当然，这是初中的定理，不要求学生掌握） ： ①面积理应是由长度相乘得来； ②由于 sin x sin(180o x) ，故知两个有互补内角的三角形，其面积比取决于夹边乘积之比. ③由正弦函数的性质，可知张角越接近 90 度，三角形面积越大；越接近 0 度或 180 度，面积越小.
中，
S△AHB AE 1 ， 故 三 角 形 BHC 的 面 积 为 6 2 12 份 ； 所 以 三 角 形 ABC 的 面 积 为 S△BHC EC 2 6 2 2 2 1 ；同理， S△BIC S△CGA S△AHB ，故 S△GHI 1 3 . 21 7 7 7 7
【具体题目和方法】 【第一单元 1】鸟头模型： （1）如左图，三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点， AB 2 AD ， AC 3 AE ；请 问：三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 面积的几倍？ （2） 如中间图， 三角形 ABC 中， E 是 AC 上的点， D 是 BA 延长线上的点， AB 2 AD ， AC 3 AE ； 请问：三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 面积的几倍？ （3）如右图，三角形 ABC 中，D、E 分别是 BA、CA 延长线上的点， AB 2 AD ， AC 3 AE ； 请问：三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 面积的几倍？
7 78 12 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 5 6 5 6 5 ； 【答案】 上 4 题： ； ； (4 1) (3 2) 5 5 25 (3 1) (4 2) 4 6 12 (5 7) (6 8) 12 14 28
由鸟头模型dbeabcbabcbdeabccefafddefbdecefafdabc点评这道题是多个鸟头的组合形状的问题单看每一个鸟头时不要考虑其他的鸟头甚至可以将对这个鸟头无用的线段暂时擦去这种分离图形思想是解组合形状几何题的重要思想
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第三讲
鸟头模型
在之前的共边比例模型（金字塔模型、沙漏模型）的基础之上，本讲第一次介绍共角比例模型之 一——鸟头模型. 学好共角模型， 将有助于加深对面积与长度之间关系的理解， 并且能为初中将要学习 的三角函数、正弦定理、余弦定理等内容打下基础. 【重要知识点】 鸟头模型：有相等（或互补）的内角的两个三角形，其面积比等于相等（或互补）内角的夹边乘 积之比. 【点评】根据定义也能够看出：在做题时，不要看到边的比例就相乘、作比，而是应该先找角，再找 角的两条夹边，将一个三角形内的夹边的比例份数相乘，再将两个乘积作比. 详细证明见下页例 1 的分析. 同时还可看出：根据定义，鸟头模型只要求两个三角形有相等或互补的内角即可，并不要求 两个三角形的具体位置，于是有了下面几种常见的鸟头模型的具体图案： 常见的鸟头模型图案：
D
A E D
C
E A
E
B
【答案】6
C
B
A
D
B
C
【分析】 三道题的证明方法完全相同： 连接 BE， 根据等高模型 故
S△ABE AE 1 S△ADE AD 1 ， ； 同时 S AC 3 S△ABE AB 2 △ABC
S△ADE S△ADE S△ABE AD AE 1 1 1 ， 即三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 面积的 6 倍. S△ABC S△ABE S△ABC AB AC 2 3 6
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2
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【拓展】以下各个示意图 中均有两个三角形，给出了某些线段的长度，请求出小三角形和大三角形的 ．．． 面积比.
1 4
2 3 3
1
2 4 7
5
6 8 56
12
34 78
3 1 4 2 3 2
4 6 1 5
8 34
56
3 6 12 21 份， S△AHB 1
【点评】两道题目图形非常相像，甚至结论都是 S小 : S大 1: 7 ，但两者还是有很多区别的： 鸟头的线段比例条件往往在图形内部，并且常给出目标三角形的边长倍数或比例； 燕尾的线段比例条件往往在最外围三角形的边长上，并且常不给出目标三角形的边长比例条 件，但图形中常出现三线共点. 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 4
同理可得 S△CEF S△AFD 2 ，所以 S△DEF S△BDE S△CEF S△AFD S△ABC 2 2 2 1 7 . 【点评】这道题是多个鸟头的组合形状的问题，单看每一个鸟头时，不要考虑其他的鸟头，甚至可以 将对这个鸟头无用的线段暂时擦去，这种分离图形思想是解组合形状几何题的重要思想. 当然， 本 题有非常良好的旋转对称性质，外围的 3 个三角形地位是平等的，其生成条件的比例关系完全相 同，所以它们的面积一定是相同的. 在第十二讲，将会讲授小学阶段的另一个比例模型：燕尾模型. 把下一题与本题作比较，将能 看出燕尾题型与鸟头题型的区别与联系.
A E
A 1 E 6 H 2 12
H F B
D
C
B
D
C
设三角形 AHE 的面积为 1 份，则根据等高模型，三角形 CHE 的面积为 2 份，故三角形 AHC 的面
S BD 2 燕尾 ABHC 中， △AHB 故三角形 AHB 的面积为 3 2 6 份； 燕尾 ABCH 积为 1 2 3 份； ， S△AHC DC 1
DC EA FB 1 ， 则三角形 GHI 的面积为 DB EC FA 2
【拓展】 如图，已知三角形 ABC 的面积为 1，
；
A E
H F I B
【分析】题目条件也是轮换对称的，故可知 S△AHB S△BIC S△CGA ，下求 S△AHB ：
G D C
如下图分离图形，只找出对求 S△AHB 有帮助的线段，省略无用线段，再连接辅助线 HC，则图中将 会出现燕尾模型.